2025屆湖北省咸寧市高二數(shù)學第一學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

2025屆湖北省咸寧市高二數(shù)學第一學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓及以下3個函數(shù)：①；②；③，其中函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個數(shù)有（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個2．已知函數(shù)，的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的極值情況為（）A.2個極大值，1個極小值 B.1個極大值，1個極小值C.1個極大值，2個極小值 D.1個極大值，無極小值3．圓關于直線對稱圓的標準方程是（）A. B.C. D.4．已知F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a，當a為3和5時，點P的軌跡分別為()A.雙曲線和一條直線 B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線 D.雙曲線的一支和一條射線5．已知直線l經(jīng)過，兩點，則直線l的傾斜角是（）A.30° B.60°C.120° D.150°6．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為（）A. B.C. D.7．已知等比數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.8．在數(shù)列中，，，，則（）A.2 B.C. D.19．變量，滿足約束條件則的最小值為()A. B.C. D.510．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為A. B.C. D.11．已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則（）A. B.C. D.12．圓的圓心到直線的距離為2，則（）A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足0，，則數(shù)列的通項公式為____，則數(shù)列的前項和______14．數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）．給出下列三個結論：其中，所有正確結論的序號是____________①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍城的“心形”區(qū)域的面積小于315．函數(shù)滿足，且，則的最小值為___________.16．已知正三角形邊長為a，則該三角形內任一點到三邊的距離之和為定值.類比上述結論，在棱長為a的正四面體內，任一點到其四個面的距離之和為定值_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點（1）若，求直線AB的斜率；（2）設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值18．（12分）已知動點M到定點和的距離之和為4（1）求動點軌跡的方程；（2）若直線交橢圓于兩個不同的點A，B，O是坐標原點，求的面積19．（12分）已知橢圓的兩焦點為、，P為橢圓上一點，且（1）求此橢圓的方程；（2）若點P在第二象限，，求的面積20．（12分）圓心為的圓經(jīng)過點,，且圓心在上，（1）求圓的標準方程；（2）過點作直線交圓于且，求直線的方程.21．（12分）某公司有員工人，對他們進行年齡和學歷情況調查，其結果如下：現(xiàn)從這名員工中隨機抽取一人，設“抽取的人具有本科學歷”，“抽取的人年齡在歲以下”，試求：（1）；（2）；（3）.22．（10分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作斜率為的弦.求：（1）弦的長；（2）△的周長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由橢圓的幾何性質可得橢圓的圖像關于原點對稱，因為函數(shù),函數(shù)為奇函數(shù),其圖像關于原點對稱，則①②滿足題意,對于函數(shù)在軸右側時，，只有時，，即函數(shù)在軸右側的圖像顯然不能等分橢圓在軸右側的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關于軸對稱，則函數(shù)在軸左側的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，得解.【詳解】解：因為橢圓的圖像關于原點對稱，對于①，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于②，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于③，對于函數(shù)在軸右側時，，只有時，，即函數(shù)在軸右側的圖像（如圖）顯然不能等分橢圓在軸右側的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關于軸對稱，則函數(shù)在軸左側的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，即函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個數(shù)有2個，故選C.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的對稱性，重點考查了函數(shù)的性質，屬基礎題.2、B【解析】根據(jù)圖象判斷的正負，再根據(jù)極值的定義分析判斷即可【詳解】由，得，令，由圖可知的三個根即為與的交點的橫坐標，當時，，當時，，即，所以為的極大值點，為的極大值，當時，，即，所以為的極小值點，為的極小值，故選：B3、D【解析】先根據(jù)圓的標準方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關于直線的對稱點，進而寫出圓的標準方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，且關于直線對稱的點為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標準方程為.故選：D.4、D【解析】由雙曲線定義結合參數(shù)a的取值分類討論而得.【詳解】依題意得，當時，，且，點P的軌跡為雙曲線的右支；當時，，故點P的軌跡為一條射線.故選D.故選：D5、C【解析】設直線l的傾斜角為，由題意可得直線l的斜率，即，∵，∴直線l的傾斜角為，故選：.6、D【解析】由向量線性運算得，利用數(shù)量積的定義和運算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.7、C【解析】設等比數(shù)列的公比為，可得出，即可得解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，可得出.故選：C.8、A【解析】根據(jù)題中條件，逐項計算，即可得出結果.【詳解】因為，，，所以，因此.故選：A.9、A【解析】根據(jù)不等式組，作出可行域，數(shù)形結合即可求z的最小值.【詳解】根據(jù)不等式組作出可行域如圖，，則直線過A(－1，0)時，z取最小值.故選：A.10、A【解析】每個同學參加的情形都有3種，故兩個同學參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A11、C【解析】求出導數(shù)后，把x=e代入，即可求解.【詳解】因為，所以，解得故選：C12、B【解析】配方求出圓心坐標，再由點到直線距離公式計算【詳解】圓的標準方程是，圓心為，∴，解得故選：B.【點睛】本題考查圓的標準方程，考查點到直線距離公式，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】第一空：先構造等比數(shù)列求出，即可求出的通項公式；第二空：先求出，令，通過錯位相減求出的前項和為，再結合等差數(shù)列的求和公式及分組求和即可求解.【詳解】第一空：由可得，又，則是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，則；第二空：，設，前項和為，則，，兩式相減得，則，又，則.故答案為：；.14、①②【解析】根據(jù)題意，先判斷曲線關于軸對稱，由基本不等式的性質對方程變形，得到，可判定①正確；當時，，得到曲線右側部分的點到原點的距離都不超過，再根據(jù)曲線的對稱性，可判定②正確；由軸的上方，圖形的面積大于四點圍成的矩形的面積，在軸的下方，圖形的面積大于三點圍成的三角形的面積，可判斷③不正確.【詳解】根據(jù)題意，曲線，用替換曲線方程中的，方程不變，所以曲線關于軸對稱，對于①中，當時，，即為，可得，所以曲線經(jīng)過點，再根據(jù)對稱性可知，曲線還經(jīng)過點，故曲線恰好經(jīng)過6個整點，所以①正確；對于②中，由①可知，當時，，即曲線右側部分的點到原點的距離都不超過，再根據(jù)曲線的對稱性可知，曲線上任意一點到原點的距離都不超過，所以②正確；對于③中，因為在軸的上方，圖形的面積大于四點圍成的矩形的面積，在軸的下方，圖形的面積大于三點圍成的三角形的面積，所以曲線所圍城的“心形”區(qū)域的面積大于3，所以③不正確.故選：①②15、6【解析】化簡得出，由化簡后根據(jù)均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.【詳解】，由得：，（當且僅當時取等號），所以的最小值為6.故答案為：616、【解析】利用正四面體內任一點可將正四面體分成四個小四面體，令它們的高分別為，由體積相等即可求得；【詳解】正三角形邊長為a，則該三角形內任一點到三邊的距離分別為，即有：，解得同理，棱長為a的正四面體內，任一點到其四個面的距離分別為，即有：，解得故答案為：【點睛】本題考查了利用空間幾何體的等體積法求高的和為定值，屬于簡單題；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）面積最小值是4【解析】本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系、直線的斜率等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，依題意F（1,0），設直線AB的方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得，由此能夠求出直線AB的斜率；第二問，由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC的中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于，由此能求出四邊形OACB的面積的最小值試題解析：（1）依題意知F（1,0），設直線AB方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得．設，，所以，．①因為，所以．②聯(lián)立①和②，消去，得所以直線AB的斜率是（2）由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于因為，所以當m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4考點：拋物線的標準方程及其幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系、直線的斜率18、（1）；（2）.【解析】（1）利用橢圓的定義即求；（2）由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可解得點，再利用三角形面積公式即求.【小問1詳解】∵動點M到定點和的距離之和為4，∴動點M的軌跡是以和為焦點的橢圓，可設方程為，則，故動點軌跡的方程為；【小問2詳解】由可得，∴或，∴，又O是坐標原點，∴的面積為.19、（1）；（2）.【解析】（1）由題可得，根據(jù)橢圓的定義，求得，進而求得的值，即可求解；（2）由題可得直線方程為，聯(lián)立橢圓方程可得點P，利用三角形的面積公式，即求.【小問1詳解】設橢圓的標準方程為，焦距為，由題可得，，所以，可得，即，則，所以橢圓的標準方程為【小問2詳解】設點坐標為，，，∵，∴所在的直線方程為，則解方程組，可得，∴.20、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線段的垂直平分線方程，求出此直線與已知直線的交點坐標即為圓心坐標，再求得半徑后可得圓的標準方程；（2）檢驗直線斜率不存在時是否滿足題意，在斜率存在時設方程為,求得圓心到直線的距離，由勾股定理得弦長，由弦長為8得參數(shù)，得直線方程【詳解】（1）由已知，中點坐標為，垂直平分線方程為則由解得，所以圓心,因此半徑所以圓的標準方程（2）由可得圓心到直線的距離當直線斜率不存在時,其方程為，當直線斜率存在時,設其方程為,則，解得，此時其方程為，所以直線方程為或.【點睛】方法點睛：本題考查求圓的標準方程，考查直線與圓相交弦長．求弦長方法是幾何法：即求出圓心到弦所在直線距離，由勾股定理求得弦長．求直線方程時注意檢驗直線斜率不存在的情形21、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求得；（2）利用古典概型的概率公式和對立事件的概率公式可求得；（3）利用古典概型的概率公式可