四川省峨眉山市第七教育發(fā)展聯(lián)盟高2025屆數(shù)學高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

四川省峨眉山市第七教育發(fā)展聯(lián)盟高2025屆數(shù)學高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線過點，，則該直線的傾斜角是（）A. B.C. D.2．設(shè)、分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為（）A. B.C. D.3．圓與的公共弦長為（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)，當時，函數(shù)在，上均為增函數(shù)，則的取值范圍是A. B.C. D.5．已知一個圓錐的體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.6．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若已知圖象如圖，則下列說法正確的是（）A.存在極大值點 B.在單調(diào)遞增C.一定有最小值 D.不等式一定有解7．已知是定義在上的奇函數(shù)，對任意兩個不相等的正數(shù)、都有，記，，，則（）A. B.C. D.8．已知點是拋物線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為（）A. B.C. D.9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.110．不等式的解集為（）A. B.C. D.11．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角的余弦值為（）A. B.C. D.12．若數(shù)列滿足，則的值為（）A.2 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，求_____________.14．已知焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，焦距為，則該雙曲線的標準方程為________15．如圖，某海輪以的速度航行，若海輪在點測得海面上油井在南偏東，向北航行后到達點，測得油井在南偏東，海輪改為沿北偏東的航向再行駛到達點，則，間的距離是________16．已知直線，拋物線上一動點到直線l的距離為d，則的最小值是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知O為坐標原點，、為橢圓C的左、右焦點，，P為橢圓C的上頂點，以P為圓心且過、的圓與直線相切（1）求橢圓C的標準方程；（2）若過點作直線l，交橢圓C于M，N兩點（l與x軸不重合），在x軸上是否存在一點T，使得直線TM與TN的斜率之積為定值？若存在，請求出所有滿足條件的點T的坐標；若不存在，請說明理由18．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，求證：；（3）當時，恒成立，求的取值范圍19．（12分）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是菱形，E為的中點（1）證明：（2）已知，求二面角的余弦值21．（12分）在銳角中，角的對邊分別為，滿足.（1）求;（2）若的面積為，求的值.22．（10分）某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，每臺機器出現(xiàn)故障的概率為（1）若出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時能及時維修，都產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠在雇傭維修工人時，要保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為，該直線的斜率，即.故選：C2、A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得，所以，，設(shè)，因為，則，由勾股定理得，即，整理得，故.故選：A.3、D【解析】已知兩圓方程，可先讓兩圓方程作差，得到其公共弦的方程，然后再計算圓心到直線的距離，再結(jié)合勾股定理即可完成弦長的求解.【詳解】已知圓，圓，兩圓方程作差，得到其公共弦的方程為：：，而圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以，所以.故選：D.4、A【解析】由，函數(shù)在上均為增函數(shù)，恒成立，,設(shè)，則，又設(shè)，則滿足線性約束條件，畫出可行域如圖所示，由圖象可知在點取最大值為，在點取最小值.則的取值范圍是，故答案選A考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，簡單的線性規(guī)劃5、B【解析】設(shè)圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據(jù)體積公式計算可得，利用扇形的面積公式計算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B6、C【解析】根據(jù)圖象可得的符號，從而可得的單調(diào)區(qū)間，再對選項進行逐一分析判斷正誤得出答案.【詳解】由所給的圖象，可得當時，，當時，，當時，，當時，，可得在遞減，遞增；在遞減，在遞增，B錯誤，且知，所以存在極小值和，無極大值，A錯誤，同時無論是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定為負數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：C.7、A【解析】由題，可得是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，由題，得，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以是定義在上的偶函數(shù)，因此，，，即.故選：A【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小的問題，其中涉及到構(gòu)造函數(shù)的運用.8、C【解析】分析可知圓的圓心為拋物線的焦點，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.【詳解】設(shè)點的坐標為，有，由圓的圓心坐標為，是拋物線的焦點坐標，有，由圓的幾何性質(zhì)可得，又由，可得的最小值為故選：C.9、B【解析】計算后，根據(jù)判斷框直接判斷即可得解.【詳解】輸入，計算，判斷為否，計算，輸出.故選：B.10、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法進行求解即可.【詳解】，故選：A.11、D【解析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.12、C【解析】通過列舉得到數(shù)列具有周期性，，所以.詳解】，同理可得：，可得，則.故選:C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】，所以，故答案為：.14、【解析】根據(jù)漸近線方程、焦距可得，，再根據(jù)雙曲線參數(shù)關(guān)系、焦點的位置寫出雙曲線標準方程.詳解】由題設(shè)，可知：，，∴由，可得，，又焦點在軸上，∴雙曲線的標準方程為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)條件先由正弦定理求出的長，得出,求出的長，由勾股定理可得答案.【詳解】海輪向北航行后到達點，則由題意，在中，又則,由正弦定理可得：,即在中，，所以故答案為：16、##【解析】作直線l，拋物線準線且交y軸于A點，根據(jù)拋物線定義有，進而判斷目標式最小時的位置關(guān)系，結(jié)合點線距離公式求最小值.【詳解】如下圖示：若直線l，拋物線準線且交y軸于A點，則，，由拋物線定義知：，則，所以，要使目標式最小，即最小，當共線時，又，此時.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在；.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出a，c，b即可作答.(2)聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，利用斜率坐標公式并結(jié)合韋達定理計算即可推理作答.【小問1詳解】依題意，，，，由橢圓定義知：橢圓長軸長，即，而半焦距，即有短半軸長，所以橢圓C的標準方程為：【小問2詳解】依題意，設(shè)直線l方程為，由消去x并整理得，設(shè)，，則，，假定存在點，直線TM與TN的斜率分別為，，，要使為定值，必有，即，當時，，，當時，，，所以存在點，使得直線TM與TN的斜率之積為定值【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值18、（1）函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)（2）證明見解析（3）[1，＋∞)【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）可得，令，則可得，然后利用累加法可證得結(jié)論，（3）由，故，然后分和討論的最大值與比較可得結(jié)果【小問1詳解】當時，（），則，由，解得；由，解得，因此函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)【小問2詳解】由（1）知，當k＝1時，，故令，則，即，所以【小問3詳解】由，故當時，因為，所以，因此恒成立，且的根至多一個，故在(0，1]上單調(diào)遞增，所以恒成立當時，令，解得當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減；于是，與恒成立相矛盾綜上，的取值范圍為[1，＋∞)【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關(guān)鍵是利用（1）可得，從而得，然后令，得，最后累加可證得結(jié)論，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題19、（1）；（2）【解析】（1）由等差數(shù)列以及等比中項的公式代入聯(lián)立求解出，再利用等差數(shù)列的通項公式即可求得答案；（2）利用分組求和法，根據(jù)求和公式分別求出等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和再相加即可.【詳解】（1）由題意，，，即，聯(lián)立解得，所以數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）得，，所以【點睛】關(guān)于數(shù)列前項和的求和方法：分組求和法：兩個數(shù)列等差或者等比數(shù)列相加時利用分組求和法計算；裂項相加法：數(shù)列的通項公式為分式時可考慮裂項相消法求和；錯位相減法：等差乘以等比數(shù)列的情況利用錯位相減法求和.20、（1）詳見解析（2）【解析】（1）利用垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即可證明線線垂直；（2）利用垂直關(guān)系，建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量，利用公式，即可求解二面角的余弦值.【小問1詳解】如圖，取的中點，連結(jié)，，，因為，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，且平面，所以，又因為底面時菱形，所以，又因為點分別為的中點，所以，所以，且，所以平面,又因為平面，所以；【小問2詳解】由（1）可知，平面，連結(jié)，因為，，點為的中點，所以，則兩兩垂直，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，所以,，，，，，所以,，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)平面的法向量為，所以，因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.21、（1）；（2）.【解析】（1）由條件可得，即，從而可得答案.(2)由條件結(jié)合三角形的面積公式可得，再由余弦定理得，配方可得答案.【詳解】（1）因為，所以，所以所以，因為所以，因為，所以（2）由面積公式得，于是，由余弦定理得，即，整理得，故.22、（1）答案見解析（2）雇傭3名【解析】（1）設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，由題意知，即可由二項分布求解；（2）設(shè)該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計算3人，4人時的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺機器運行是否出現(xiàn)故障看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現(xiàn)故障的概率為，4臺機器相當于4次獨立試驗設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問2詳解】設(shè)該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，設(shè)“