2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：課時(shí)作業(yè)四十九 利用空間向量研究夾角問題

四十九利用空間向量研究夾角問題

（時(shí)間：45分鐘分值:85分）

【基礎(chǔ)落實(shí)練】

1.（5分）已知向量m,n分別是直線I和平面a的方向向量和法向量，若COS<AM,〃>=

手,則/與a所成的角為（）

A.30°B,60°C.120°D.150°

【解析】選B.由于cos<也所以<也〃>=30。,所以直線I與a所成的角為

60°.

2.（5分）在正方體ABCD-ABCQi中乃是CXDX的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所

成角的余弦值為（）

,10,20。20,10

【解析】選D.建立如圖空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

B

X

設(shè)N=1則41,0,0),

C(O,l,O),E(O,f,l),

貝1L4C=(-1,1,O),DE=(O,2，1),

設(shè)異面直線DE與AC所成的角為0,

則COS0=|cOS<XC,5E>|=^y.

3.(5分)在空間直角坐標(biāo)系。研z中下=(1,-1,0),同=(-2,0,1),平面a的一個(gè)法向量

為機(jī)=(-1,0,1),則平面a與平面ABC夾角的正弦值為()

A.fB,^egD.唱

6644

【解析】選A.設(shè)平面ABC的法向量為〃=(可/),則［翼°=：-2=°令產(chǎn)1,

n-BC=-2x+z=0

得〃=(1,1,2),

令平面a與平面ABC的夾角為6,

則cosgeos”,〃十靠［晨停

singjl.cc^eT，所以平面?與平面4BC夾角的正弦值為厚.

4.(5分)在四棱錐R/5C7)中，尸4,底面45cA底面/5C7)是邊長為1的正方

形〃P=2,則直線PB與平面PCD所成角的正弦值為()

A至B-C婦D理

A.5口333

【解析】選B.以/54CUP所在直線分別為x軸J軸2軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖，

z,

則5(1,O,O),C(1,1,0),D(0,l,0),P(0,0,2),

所以PD=(0,1,-2),。C=(1,0,O),PB=(1,0,-2),

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為〃=（%$/）,

=y-2z=0

則

■n=x=0

令z=l彳導(dǎo)”=(0,2,1),

設(shè)直線PB與平面PCD所成角為0,

則直線PB與平面PCD所成角的正弦值為

—>\PB-n\I-212

sm外卡麗

5.（5分）如圖，在長方體450/向GA中）5=50=1441=2,體對(duì)角線3浦與平面

45G交于E點(diǎn)，則AiE與平面W41AZ）所成角的余弦值為（）

A.|B9C.|婕

【解析】選D.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

A3=(0』,-2),4]C「(-1,1,0),

設(shè)平面45G的法向量為機(jī)=(xy,z),

A^B-m=y-2z=0

則

,

A1C1-m=-x+y=0

令z=l,則產(chǎn)2,x=2,所以機(jī)=(2,2,1),

西=(1,1,2),因?yàn)辄c(diǎn)E在BQ上，

設(shè)族=7西=(丸),24),所以所1么,2加2),

因?yàn)?￡u平面45G,所以萃切=0,即(九142加2>(2,2,1尸0,

易得平面的一個(gè)法向量為〃=(0,1,0),

設(shè)4E與平面AA}DXD所成角為a,

A^E-n

所以sina=-

\\E\\n\

所以cosa=1l.sin―

6.（5分X多選題）如圖石尸是直三棱柱/3C4出G棱AC上的兩個(gè)不同的動(dòng)

點(diǎn)HC=5C=CGHCa5C,則()

A.5GJ_平面與成7

B.若EF為定長，則三棱錐A「BiEF的體積為定值

C.直線55與平面5環(huán)所成角為3

D.平面44Agi，平面5麻

【解析】選AB.由題可知，平面與即即平面5/C

以C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)4。=1,由題可知：4(1,0,0),。(0,0,0),呂(0,1,1),5(0,1,0),G(0,01),

設(shè)4B中點(diǎn)為。，則。募,0),

由題可知CDJ_平面

即而=圖0)為平面AlABB1的一個(gè)法向量，

又府=(1,0,0),西=(0,1,1),

設(shè)平面B}AC的法向量為〃=。,丁/),

rJn-CA=%=0

AmJi,——>,

]n-CB1=y+z=0

取產(chǎn)1,則w=(0,l,-l).

對(duì)于A,由于萬G=(0,-l,l),則萬[〃〃，

故5Q±平面B[EF,b正確；

對(duì)于B,若EF為定長，由于用到直線EF的距離即為B1到直線4。的距離，也為

定值，于是△與川的面積為定值，又4到平面B}EF的距離即為小到平面B、AC

的距離，為定值，則三棱錐4多所的體積為定值，故B正確；

_、兩加

對(duì)于C,由于BB〔=(0,0,l),所以直線BB1與平面B】EF所成角的正弦值為一=

,故直線BBl與平面B.EF所成角為，故C錯(cuò)誤；

1X0Z4

對(duì)于D,而?〃=!#),故平面AMBBi與平面叢歷不垂直,D錯(cuò)誤.

7.(5分)若直線1的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120。,則直線/與平面

a所成的角為.

【解析】設(shè)直線I與平面a所成的角為0,

1

則sin8=|cos120°|=^.

又因?yàn)?區(qū)比90。,所以8=30。.

答案：30。

8.(5分)正方體中，直線5G與平面力山。所成角的正弦值

是

【解析】如圖，以D/QCQA所在直線分別為x軸，歹軸/軸建立空間直角坐標(biāo)

系，設(shè)正方體的棱長為1,

貝1M(l,0,0),3(l,l,0),G(0,l,l),

易證西是平面A.BD的一個(gè)法向量.

4c「(-1,1,1),BC「G1,0,1).

---->----?1+1^/6

cos<4C],BC]>一8….

所以直線BCi與平面力小。所成角的正弦值為

冬奈?理

口木,3

9.(5分)正三角形ABC與正三角形BCD所在的平面互相垂直，則直線CD與平面

ABD所成角的正弦值為.

【解析】取3。的中點(diǎn)。，連接4QDO,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)

BC=l,

3

則40o),c(o,1,ojAf,o,o),

-10y

設(shè)平面ABD的法向量為〃=(%,3),

3

riV八

n-BA=0-y+-z=0

則，所以

n-BD=0J31八

Tx+2y=°

取X=l,

則尸-G，2=1,所以n=(l,-y/3,l),

A/30

所以C0S<〃，方〉|噓x,唱,

因此直線CD與平面ABD所成角的正弦值為雷.

冬案?亞

口木.5

10.（10分）如圖,三棱柱45C451G中44」底面ABC）B=AC,D是BC的中點(diǎn).

⑴求證，平面440；

⑵若NA4C=90"C=4,三棱柱/5CZ向G的體積是園區(qū)求異面直線/Q和

ABX所成的角的余弦值.

【解析】⑴因?yàn)?4」底面"J所以

又AB=ACQ是BC的中點(diǎn)，所以BCLAD,

因?yàn)榱?1%4。=4所以3。，平面AXAD.

【解析】（2）因?yàn)?氏4。=90?！?=4。,5。=4,

11

所以AB—AC=2yf2,S^BC^AB

因?yàn)槿庵?5C-451cl的體積是8^/3,

所以SA^8C//I=4,4=8<\/^,解得

以A為原點(diǎn)所在直線為x軸HC所在直線為歹軸所在直線為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，

則D(V2,A/2,0)^(0,0,0),51(2A/2,0,273),

4(0,0,2?

A、D=d，也,-2乖),AB,02\儂),

設(shè)異面直線所成角為0,

甌?萃18V5

則cos4

畫「砧|A/16A/205?

11.（10分）如圖是圓的直徑垂直于圓所在的平面，。是圓上的點(diǎn).

⑴求證:平面P4CLL平面PBC-

（2）若45=240=1,尸力=1,求平面CPB與平面APB所成夾角的余弦值.

【解析】（1）由45是圓的直徑彳導(dǎo)4C_L5C

由PA垂直于圓所在的平面，

得為，平面/5C

由BCu平面4BC,得PA±BC.

又，尸4u平面P4a4Cu平面/MC,所以5C_L平面PAC.

又因?yàn)锽Cu平面PBC,

根據(jù)面面垂直判定定理得平面平面PBC.

⑵過點(diǎn)。作CM〃在,由⑴知平面力5C

如圖所示，

以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CB,CA,CM為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

在RtA^5C中〃5=24。=1,所以BC=p

又PA=1，所以4(0,1,0),5(通0,0),尸(0,1,1),

故而二(逆,0,0),而=(0,1,1),同=(31,0),Q=(0,0,1).

設(shè)平面CPB的法向量為“1=(X1,九zi),

%?而=0'=0

則，，所以

?而=0y+z=°’

lnl11

不妨令4=1,則zi=-1,故w1=(0,1,-1).

Ti.ylB—0

設(shè)平面APB的法向量為“2=(X2g/2),由，23，，同理可得"2=(1,平,0).

—U

不日I7叫為木V6

于是|COS<〃1,〃2>|一嬴九22「2522一1

lnilln2l^0+1+（-1）xjl/+（逆）+04

所以平面CPB與平面APB所成夾角的余弦值為連

【能力提升練】

12.（5分）（多選題）如圖所示，在棱長為2的正方體/38-45GA中，點(diǎn)E尸分別

是棱5C,CG的中點(diǎn)，則（）

A.A1D±AF

B.DjC與平面AEF所成角的正弦值為』

1

C.二面角A-EF-C的余弦值為§

D.平面AEF截正方體所得的截面周長為2尋3"

【解析】選BD.由題意知所以4Q_L4/錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤;

以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DAQCQDT所在直線為xyz軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

貝！。1(002),￡(1,2,0),尸(0,2,1)〃(2,0,0),C(0,2,0),

則CDI=(0,-2,2)/E=(-120)/F=(-2,2,1),

設(shè)平面AEF的法向量〃=(xy,z),

m.i[n-AE=-x+2y=0

則｛~ATQIQIN

n-AF=-2x+2y+z=0

令x=2,則“=(2,1,2),

設(shè)功。與平面AEF所成角為0,

___,|西?叫A/2__

則sin敘的y為吟工；丁京2升,故B正確；

易得平面CM的一個(gè)法向量為片(0,1,0),

mn11

cos<m.n>=---=---7==^.

|m|-|n|1x7^3

1

所以二面角A-EF-C的余弦值為故C錯(cuò)誤；

因?yàn)橥叻椒謩e是棱5C,CG的中點(diǎn)，所以EF//BC,,

因?yàn)锳DX//BQ,即EF//ADX,

所以平面AEF截正方體所得截面為四邊形EFD.A,

因?yàn)檎襟w的棱長為2,所以AD1=2^/2,EF=72^4E^D1F=A/4TT=A/5,

所以平面4屏截正方體的截面周長為2"+3",

故D正確.

13.(5分)手工課可以提高學(xué)生的動(dòng)手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力，使學(xué)生在德、

智、體、美、勞等方面得到全面發(fā)展,某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮

的房子模型，它可近似地看成是一個(gè)直三棱柱和一個(gè)長方體的組合圖形,其直觀

圖如圖所示出產(chǎn)"尸=2”〃5臼1=240=4,尸,。分別是棱/民尸

的中點(diǎn)，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是_________.

【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn),04所在直線為x軸,QC所在直線為y軸QA所

在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?F=BiF=2"MB=AAi=2AD=4,

所以口2,2,0),。(0,3,5),<2,4,2),M2,1,5),

所以而=(-2,1,5),而=(0,-3,3),

UL、一>——>PQ-J1N122715

所以cos<PQ,MN>-麗麗-聞15，

因?yàn)楫惷嬷本€PQ與〃N所成角為銳角，所以異面直線PQ與所成角的余弦

日2々15

值

正15,

2聲

口木?15

14.（10分）（2023?全國甲卷）在三棱柱48C-451G中44i=24CJ_底面48C,

N力。8=90。4到平面BCCB的距離為1.

(1)求證:4C=4C;

(2)若直線AA.與BB］距離為2,求AB、與平面5CC出所成角的正弦值

【解析】⑴如圖，

GBl

因?yàn)?CJ_底面48C,3Cu平面ABC,

所以4CL3C,又3CUC4cMet平面4CG44cn/c=。,

所以5cL平面4CG4.

又5Cu平面BCCM

所以平面4CG4_L平面BCCM

過4作4。，CG交CG于O,

又平面4。?！捌矫?CG5i=CG4Ou平面ACCXAX,

所以小平面5C