湖南省邵陽市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前

沖刺2023年高考數(shù)學(xué)真題重組卷01

新高考地區(qū)專用（原卷版）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2022年高考北京卷）己知全集"={目—3<x<3},集合A={x|—2<x<l},則（）

A.（-2,1]B.（-3,-2）U[l,3）C.[-2,1）D.（-3,-2]l（l,3）

2.（2022年高考全國乙卷）已知z=l—2i,且z+〃z+6=0,其中。/為實(shí)數(shù)，則（）

A.a=l,b=—2B.a——1,Z?=2C.a=l,b=2D.a——1,Z?=—2

3.（2022年全國高考全國H）已知向量a=（3,4）,b=（l,0）,C=〃+必，若,貝廿=（）

A.-6B.-5C.5D.6

4.（2022年高考天津卷）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，

直三棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）

A.23B.24C.26D.27

5.（2021年高考全國甲卷）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

6.（2022年高考天津卷）己知/（x）=；sin2x,關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說法:

①/（%）的最小正周期為2兀；

②/⑺在-儲(chǔ)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)工￡——時(shí),/（X）的取值范圍為

④/（%）的圖象可由g（x）=；sin（2x+：7T

的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

8

以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2022年高考全國I卷）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36兀，

且3〈/<3百，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

\81]「2781]「2764]…

A.18o,—B.—,—C.—,—D.118,271

_4JL44JL43JL」

8.（2022年高考全國I卷）設(shè)a=0.1e°」,b=t，c=—ln0.9,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2022年高考全國I卷）已知正方體ABC。-則（）

A.直線3。與。4所成的角為90°B.直線8C]與CA所成的角為90°

C.直線5cl與平面5與2。所成的角為45。D.直線3。與平面ABCD所成的角為45。

10.（2022年高考全國n卷）若滿足/+/一孫=1,貝I」（）

A.x+y<1B.x+y>-2C.x2+y2<2D.x2+y2>1

11.（2022年高考全國II卷）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：V=2Px（p>0）焦點(diǎn)F的直線與。交于A,

8兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)〃（p,0）,若目=|40，則（）

A.直線A3的斜率為2?B.|OB|=|OF|

C.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<1SQ°

12.（2022年高考全國I卷）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)/'（x）的定義域均為R,記g（x）=/'（x）,若

g（2+x）均為偶函數(shù)，貝U（）

A./（O）=OB.gf-|]=OC./（-l）=/（4）D.g（T）=g（2）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2021年高考天津卷）在的展開式中,X6的系數(shù)是.

14.（2022年高考全國n卷）設(shè)點(diǎn)4-2,3）,5（0,a）,若直線A3關(guān)于y=a對(duì)稱的直線與圓

（x+3）2+（y+2）2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

15.（2021年高考全國新高考n卷）已知函數(shù)/（%）=——1|,龍1<0,W>0，函數(shù)/（%）的圖象在點(diǎn)

A（XP/（%!））和點(diǎn)3（%,/（々））的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于Af,N兩點(diǎn),則取值范圍是

V2V21

16.（2022年高考全國I卷）已知橢圓C:一十4=1（?！地啊?）,。的上頂點(diǎn)為4,兩個(gè)焦率為一.過片

ab2

且垂直于A&的直線與C交于D,E兩點(diǎn)，|。目=6,則VADE的周長(zhǎng)是心，離心.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

fC11

17.（2022年高考全國I卷）記S,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知%=1,｛乏｝是公差為4的等差數(shù)列.

[anJ3

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）證明：—+—++—<2.

18.（2020年高考浙江卷）在銳角4ABe中，角A,5c的對(duì)邊分別為a,0,c,且2加inA-島=0.

（I）求角8的大小；

（II）求cosA+cos5+cosC的取值范圍.

19.（2021年高考全國乙卷）如圖，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，。￡>，底面458,。。=。。=1,加

為的中點(diǎn)，且？BLA".

（1）求BC；

（2）求二面角A—RW—5的正弦值.

20.（2022年高考北京卷）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以

上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽

成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

21.（2021年高考全國I卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)與「Ji萬,0）、鳥（J萬,崢|=2,

點(diǎn)M的軌跡為C.

（1）求。的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)T在直線x=g上，過T的兩條直線分別交C于A8兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，5.|Z4|-|7B|=|7P|-|712|,

求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

22.（2020年高考全國新課標(biāo)I卷）已知函數(shù)/（X）=e“+融2一1.

（1）當(dāng)〃=1時(shí)，討論/（%）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，/（x）＞|x3+l,求a的取值范圍.

沖刺2023年高考數(shù)學(xué)真題重組卷01

新高考地區(qū)專用（解析版）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.D【解析】利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng).

【詳解】由補(bǔ)集定義可知：24=何—3<x?—2或l<x<3},即6A=(—3,—2]j(l,3),

故選：D.

2.A【解析】先算出3,再代入計(jì)算，實(shí)部與虛部都為零解方程組即可

【詳解】z=l—2i

z+az+Z?=1~2i+a(l+2i)+Z?=(l+a+Z?)+(2a-2)i

由z+o1+〃=0,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實(shí)部、虛部對(duì)應(yīng)相等,

l+a+b=Q。=1

得4即《

2a—2=0b=-2

故選：A

3.C【解析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得

【詳解】解：c=(3+f,4),cos(a,c)=cos僅,c)，即9+：,6==1,解得(=5,

故選：C

4.D【解析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.

【詳解】該幾何體由直三棱柱AED-及直三棱柱DGC-AEB組成，作于"，如圖,

因?yàn)镃H=BH=3,NCHB=120。,所以CM=BM=—,HM=-,

22

因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以AB=3C=3百，

在直棱柱AED—中，平面則

由AB3。=3可得功0，平面40。8,

設(shè)重疊后的EG與FH交點(diǎn)為/,

則*.=93昌33；=斗,匕》壯=933936=日

-

J乙乙乙乙i

則該幾何體的體積為V=2V?-Vm=2x7-T=27.

故選：D.

5.C【解析】將4個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，

2個(gè)0相鄰，則有C；=5種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有C；=10種排法，

102

所以2個(gè)0不相鄰的概率為-----=

5+103

故選：C.

6.A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假.

127r

【詳解】因?yàn)椤▁)=5sin2x,所以〃龍)的最小正周期為丁=三=兀，①不正確;

Ac兀71兀711?,71兀rdLt、rr(\九TTTT

t=2xG—,一,而,=-sin，在—,一上遞培，所以/(%)在—4%上單調(diào)遞增，②正確

2222/

712兀!

因?yàn)椋?2%w——,——,sinZG-,所以〃x)e,③不正確;

33一彳，5

由于g(x)=gsinf2%+—兀|=—sin2|x+—兀,所以/(%)的圖象可由g(x)=gsin［2x+；］的圖象向

428

7T

右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，④不正確.

8

故選：A.

7.C【解析】設(shè)正四棱錐的高為/?,由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定

正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】「球的體積為36兀，所以球的半徑H=3,

2a

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2。，高為h,

貝|“2=2/+*,32=2a2+（3_介）2,

所以6/z=尸,2a1=I2—h2

2

117//I

2

所以正四棱錐的體積V=—S〃=—x4a2x/z=—XI——X—二

33336J6MV

1（戶、1/24-2、

所以V'=±4/3--

916J9I6J

當(dāng)3〈/<2指時(shí)，U>0,當(dāng)2c</W3百時(shí)，V'<Q,

所以當(dāng)/=2?時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為竺，

3

又/=3時(shí)，V=—,1=3^/3時(shí)，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為‘，

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是「工，處.

_43一

故選：C.

[方法二]:基本不等式法

L—]3

由方法一故所以V=丸=2(6/2—丸2)力=[12—2丸)丸又讓><(12-2")+'+'=竺(當(dāng)且僅當(dāng)

33V'3V3[3J3

〃=4取到)，

當(dāng)〃4時(shí)，得”學(xué)，則嗑+"j第>1=7

當(dāng)/=3有時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)//=2+3=2,

22

正四棱錐體積匕=!。2丸=!]福；

x2=3故該正四棱錐體積的取

243

2764

值范圍是

T'T

8.C【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(l+x)—x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a,仇。的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

1Y

設(shè)/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因?yàn)閒'(x)=-----1=--——，

當(dāng)xe(—1,0)時(shí)，/,(%)>0,當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)/(x)<0,

所以函數(shù)/(x)=In(1+x)—%在(0,+8)單調(diào)遞減，在(—1,0)上單調(diào)遞增，

所以/[3]</(°)=0,所以山T―g<0,故g>lnT=—ln0.9,即Z?>c,

(1AQ1Q_±1±1

所以/一上</(°)=°，所以In二+—<°，故二<ei0，所以一ei°<—，

I10JV7101010109

故

[(x2—l)ex+1

設(shè)g(%)二+ln(l-x)(0<x<1),貝Ig'(x)=(x+l)ex+----=-----------

x—1x—1

令力(％)=e"(d+=e"+2x-l),

當(dāng)0<x〈&-1時(shí)，//(x)<0,函數(shù)/2(月=6*(必—1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)血—1<X<1時(shí)，"(x)>0,函數(shù)=+1單調(diào)遞增，

又入(0)=0,

所以當(dāng)o<x<J^-i時(shí)，〃(九)<0,

所以當(dāng)0<x<四一1時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)=xe*+ln(l—X)單調(diào)遞增，

所以g(O.l)>g(O)=O,即0.1e°」>—ln0.9,所以a〉c

故選：C.

方法二：比較法

解：a=0.Ie?！?/?=]1=-In。-0.1),

①Ina—ln/?=0.1+ln(l—0.1),

令/(%)=x+ln(l—X),XG(。,?！筣,

1—Y

則f'(x)=l-----=—L<0,

、'1-x1-x

故/(x)在(0,0可上單調(diào)遞減,

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina—ln/?<0,所以a<b；

②a-c=O.le°i+ln(l-0.1),

令g(x)=%e*+ln(l-x),xe(0,0.1],

貝Ug'(x)=xe，+L

、'e--1---x=----1---x----,

令Mx)=(l+x)(l—x)e“—1,所以k(%)=(1-％2—2x)e*>0,

所以Mx)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得出(切>左(0)>。，即g'(x)>o，

所以g(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得g(O.l)>g(O)=O,即a—c>0,所以a〉c.故c<a<〃.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.ABD【解析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接30、BG，因?yàn)椤?〃用，所以直線BQ與8。所成的角即為直線與所成的

角，

因?yàn)樗倪呅?6cle為正方形，則與C，3G，故直線BC1與所成的角為90。，A正確；

連接AC,因?yàn)锳用±平面BBiqC,BCiU平面BBGC,則\BX±BC1,

因?yàn)榕c。，3￡，4四6|C=耳，所以Be1，平面AgC,

又ACu平面4月。，所以5C1LC41，故B正確；

連接AC，設(shè)4￡門四。1=。，連接80,

因?yàn)?片，平面平面A片G2,則

因?yàn)镼O1用口,耳。B[B=B],所以Cp1平面BBRD,

所以NC/。為直線BC]與平面BBRD所成的角,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則cp=—,BCi=J5,sinZQBO=^-=-,

2BC12

所以，直線BG與平面BBQQ所成的角為30。，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镚CL平面ABCD,所以NC]3C為直線8C]與平面ABCD所成的角，易得/。d。=45°,故D正

確.故選：ABD

10.BC【解析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】因?yàn)?lt;[等)<^-^(a,beR),由x2+y2-xy=l可變形為，

(x+y)2_]=3孫V3廣；0],解得-2<x+y<2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-l時(shí)，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)

x=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B正確；

由必+V—肛=1可變形為+/)_1=呼<、，解得必+y2<2,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=±1時(shí)取等

號(hào)，所以c正確；

|+：/=1,設(shè)x--1-=cos0,^-y=sin6>,所以

因?yàn)閤2+y2-xv-l變形可得

i2521

%=cose+^rsin6,y=^rsin。,因此x2+y2=cos26^+—sin2^+-^=rsin^cos^=l+-^=sin2^-

」cos2e+L@+2sin(2，—工］/22所以當(dāng)x=",y=-且時(shí)滿足等式，但是V+VNI不成

3333(6)L33-3

立，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.ACD【解析】由|”|=|4欣|及拋物線方程求得A￥，乎]，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示

(f7A

出直線A5的方程，聯(lián)立拋物線求得3現(xiàn)，即可求出Q劇判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出

11

\337

\AB\=答即可判斷C選項(xiàng)；由。4?03<0,?MB<0求得ZAOB,ZAMB為鈍角即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,易得產(chǎn)仁,0,由|”|=|4以|可得點(diǎn)A在月以的垂直平分線上，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)為

夏If=2,代入拋物線可得y2=2p.2=3p2,則亞,?［,則直線A3的斜率為

2442（42）

aP

——=246,A正確；

3￡_￡

42

對(duì)于B,由斜率為2?可得直線A3的方程為》=+丁+微，聯(lián)立拋物線方程得/——、夕丁—/二。,

設(shè)8（Xi，x），則當(dāng)P+%

=2p-X],解得X]=g,

|0F|=1,B錯(cuò)誤;

鈍角，又/405+/4"8+/。4〃+/0郎/=360°,則NQ4"+NO6M<180°,D正確.

12.BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性

質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】［方法一］:對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究

對(duì)于/(%),因?yàn)?為偶函數(shù)，所以=+即①，所

3

以"3—x)=/(x),所以關(guān)于x=：對(duì)稱，則/(—1)=/(4),故C正確;

對(duì)于g(x),因?yàn)間(2+尤)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2—x),g(4—x)=g(x),所以g(x)關(guān)于％=2對(duì)稱,

由①求導(dǎo)，和g(x)=/'(%)

-gf|-xj=gf-j+xj,所以g(3—%)+g(x)=O,所以g(x)關(guān)于g，o］對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽,

所以gf|j=O,結(jié)合g(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，從而周期T=4xb-|j=2,所以

(2),故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)/(九)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)

/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.

故選：BC.

［方法二］:【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.

由方法一知g(x)周期為2,關(guān)于x=2對(duì)稱，故可設(shè)g(x)=cos(7ix),則/(x)=—sin(7ix)+c,顯然A,

兀

D錯(cuò)誤，選BC.

故選：BC.［方法三］:

因?yàn)?［g—2x］,g(2+x)均為偶函數(shù),

所以/[9一2x]=/[g+2x）即x[=/1T+x]，g（2+x）=g（2—%），

所以〃3r）=〃x）g（4-x）=g（x）,則〃T）=〃4）,故C正確;

3

函數(shù)/(%),g(%)的圖象分別關(guān)于直線x=5,x=2對(duì)稱,

又g(為)=r(x),且函數(shù)“X)可導(dǎo),

所以8|1^=0，8(3_》)=_且(》)，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g[_￡|=g[a=O，g(T)=g⑴=_g(2)，故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)/(%)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)〃x)+C(。為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定/(%)的函數(shù)

值，故A錯(cuò)誤.

故選：BC.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該

題的通性通法；

方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.160【解析】求出二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)，令x的指數(shù)為6即可求出.

【詳解】的展開式的通項(xiàng)為(+]=墨(2巧61(￡|=26-?.產(chǎn)-"，

令18—4廠=6,解得廠=3,

所以V的系數(shù)是23。；=160.

故答案為：160.

「131

14.【解析】首先求出點(diǎn)A關(guān)于y=a對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)，即可得到直線/的方程，根據(jù)圓心到直線

的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】解:4(—2,3)關(guān)于y=a對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為4(—2,2a—3),5(0,a)在直線y=a上，

Z7一§

所以A'B所在直線即為直線/,所以直線/為y=——x+a,即(a—3)x+2y—2a=0；

-2

圓C:(x+3y+(y+2)2=l,圓心C(—3,—2),半徑r=l,

依題意圓心到直線I的距離d=「[?<1,

"3丫+22

,,、13「131

即(5—5a><(a—3)2+22,解得一<aK—,即ae；

32132_

「131

故答案為：

32

15.(0,1)【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得占+%=0,結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得

|AM|=忸N|=Jl+e2*2.岡，化簡(jiǎn)即可得解.

1一e*,x<0/、-ex,x<0

【詳解】由題意，f（x）=\ex-l\=<，貝k(x)=

ex-l,x>0''ex,x>0

所以點(diǎn)4（芯,1一e&）和點(diǎn)網(wǎng)出，/2-1）,左AM=一e點(diǎn)左BN=統(tǒng)，

x

所以—c''e"=—1,Xj+x0=0,

x,xxx

所以AM:y-l+e=—e'^x—x^,M(O,e'x}—e'+］),

所以|=Jx；+(e&x，~=Vl+e2'Y|?㈤，

同理忸N|=Jl+e2*憶］，

|AM|_Jl+e2x「|xJ_/l+e2x>11+e2X1

所以網(wǎng)=后n=］用％=4用石小e(O,l).

故答案為：（0,1）

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:

解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件西+々=0,消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得解.

22

16.13【解析】利用離心率得到橢圓的方程為蘇=1,BP3X2+4/-12C2=0,根據(jù)離心率得到直

線AK的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線QE的斜率，寫出直線。石的方程：x=y/3y-c,代入

粗圓方程3爐+4/-12。2=0,整理化簡(jiǎn)得到：13y2—60cy—9/=0,利用弦長(zhǎng)公式求得c=一,得

8

〃=2。=一，根據(jù)對(duì)稱性將八4。石的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為△gOE的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為4〃=13.

42

U1丫2V2

【詳解】,橢圓的離心率為e=/=a,a=2c,b2=a2-c2=3c2,/.橢圓的方程為2+色=1，即

3/+4/_12。2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為耳，右焦點(diǎn)為工，如圖所示，

7T

4月=小。6=°,。=2°,:./4&0=3，」.八4耳鳥為正三角形，；過耳且垂直于4層的直線與。交于

D,E兩點(diǎn)，為線段人工的垂直平分線，，直線。石的斜率為走，斜率倒數(shù)為G，直線。石的方

3

程：x=6y—c,代入橢圓方程3/+4/—12,2=0,整理化簡(jiǎn)得到：13/-6^cy-9c2=0,

^I]^IJ^A=(6A/3C)2+4X13X9C2=62X16XC2,

*同=/+(如2|%一句=2><噂=2>6>4>5=6,

:.c=—,得o=2c=U

84

DE為線段Ag的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，4。=。6,&￡=%,;.44。￡的周長(zhǎng)等于^耳。￡的周

長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到△gOE周長(zhǎng)為

|理|+但閭+1。同=|。閭+|即|+1￡)周+1環(huán)|=|￡>片|+1￡>閭+1環(huán)|+1%|=2?+2a=4a=13

故答案為：13.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

"（"+1）；（2）見解析【解析】（i）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得&=i+』（〃-1）="2

17.(1)an

2%33

n+2\a("+2)/仇+1)ai

得至塢=--L^L,利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)“22時(shí)，an=Sn-S,i上，進(jìn)而

33

得：&="1,利用累乘法求得4n（n+］）

12,檢驗(yàn)對(duì)于"=1也成立，得到｛4｝的通項(xiàng)公式

a“_in-1

n(n+\\

（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到工+工+1

+—=2|1-,進(jìn)而證得.

anIn+1

v

【詳解】(1),,6=1,S]=%=1,「.’=1,

ax

Q1

又'是公差為一的等差數(shù)列，

bJ3

.?巴=1+4—1)=9,.6=("2M

V7

an333

.?.當(dāng)“22時(shí)，S“1=5+1)%,

3

e_(〃+2)4(〃+l)a..i

dn-l_

整理得：(〃-1)為二(〃+1)4T，

即

/-i〃T

Qadn_\1

an—x—x...x—x——

a\a2an-2an-\

134nn+ln(n+l)

=IX—X—X...X-----------X-----------=------------

I2n—2n—l2

顯然對(duì)于〃二I也成立，

/,{??}的通項(xiàng)公式an="：+l)；

2I

⑵—=

〃(〃+1)n+l

兀'6+13一

18.(I)B=_；(II)【解析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角

32'5

的三角函數(shù)值即可確定角B的大??；

（II）方法二：結(jié)合（I）的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角

形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得cosA+cosB+cosC的取值范圍.

【詳解】（I）

［方法一］:余弦定理

2_3a2宜

由2bsinA-6a,得sin2A=即I—COS2A=

*2_2

結(jié)合余弦定cosA=:，

2bc

?（b2+c2-a2\3a2

I2bc）4b2

即4Z?2C2-b4-c4-a4-2b2c2+2b2a2+2c2a2=3a2c2,

即a4+b4+c4+a2c2-2a2b?-2ble1=0,

即a4+Z?4+c4+2a2c2-2a2b2-2b2c2-ere1,

即（〃+c2—=（團(tuán)）2,

△ABC為銳角三角形，.II+02—82>o,

a2+c~-b=etc,

所以cos5="一+小―》1

lac2

7T

又B為人鉆。的一個(gè)內(nèi)角，故8=—.

3

［方法二］【最優(yōu)解工正弦定理邊化角

由2Z?sinA=JGQ,結(jié)合正弦定理可得：2sinBsinA=J^sinA,，sinB=

2

jr

△ABC為銳角三角形，故8=2.

3

(II)［方法一］：余弦定理基本不等式

JT

因?yàn)?=—,并利用余弦定理整理得尸=I+c2—ac,

3

即3ac=(a+c)2-b2.

結(jié)合acW［旨］,得乎K2.

由臨界狀態(tài)(不妨取4=四)可知巴二=6.

2b

a+c

而,ABC為銳角三角形，所以>73.

b

由余弦定理得cosA+cosB+cosC="c?"十』十"十】一」

2bc22ab

222a+C

b=a+c-ac,代入化簡(jiǎn)得cosA+cos3+cosC=▲+1

2b

"A/3+13-

故cosA+cosB+cosC的取值范圍是

252'

［方法二］【最優(yōu)解］恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)

結(jié)合（1）的結(jié)論有:

cosA+cosB+cosC=cosA+—+cos

2

=cosA」cosA+電sinJW

sinA+-cosA+-

222222

71

=sinA+^+1

62

0<-7l-A<-

32兀,兀兀.712兀

由＜/可得:—<A<—,—<A+—<——，

兀6236一3

QC<A4<—

2

則sinA+^卜,1,sin(A+(+:13

222

即cosA+cosB+cosC的取值范圍是

【整體點(diǎn)評(píng)】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得I+02—^2=ac,

運(yùn)算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三

種方法中，方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡(jiǎn)，運(yùn)算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡(jiǎn)

潔明快，確定為最優(yōu)解.

19.（1）、份；（2）—【解析】（1）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、。。所在直線分別為x、外z軸建

立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)6C=2a,由已知條件得出求出a的值，即可得出的長(zhǎng)；

（2）求出平面上4M、？8暇的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】（1）［方法一］：空間坐標(biāo)系+空間向量法

平面A3CD,四邊形ABCD為矩形，不妨以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、OP所在直線分別為x、

y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

設(shè)BC=2a,則￡＞（0,0,0）、P（0,0,l）＞B（2a,l,0）＞M（a,l,0）.A（2a,0,0）,

則PB=（2a,l,-l）,AM=（-a,1,0）,

PB±AM,則=—2/+l=0,解得a=J,故BC=2a=日

2

［方法二］【最優(yōu)解工幾何法+相似三角形法

如圖，連結(jié)應(yīng)）.因?yàn)榈酌鍭BCD,且AMu底面ABC。，所以PD1.AM.

又因?yàn)镻D=P,所以AM,平面PBD.

又或）u平面？BD,所以

從而ZADB+ZDAM=90°.

因?yàn)殂@+NZMM=90°,所以NA4AB=NADB.

ADBA

所以△ADBsAfi4M,于是—=——.

ABBM

所以,8。2=1.所以BC=8.

2

［方法三］:幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)應(yīng)）交AM于點(diǎn)N.

p

由［方法二］知AM，QB.

ANDA2

在矩形ABC。中，有NDANsgMN,所以」=——=2,即AN=—AM.

MNBM3

令3。=2/。>0）,因?yàn)?為BC的中點(diǎn)，則?W=/,￡>5=J4底+1,AM=J/+i

由Sao"=gDA-AB=gr>3-A7V,得f,解得』=g,所以BC=2f=點(diǎn).

(2)［方法一］【最優(yōu)解工空間坐標(biāo)系+空間向量法

設(shè)平面A4M的法向量為機(jī)=(X］，X，zJ,則AM=--,1,0,AP=(-A0,l),

I2)

f6

由《211取可得加=(J5,1,2),

m-AP=—y［lxx+Z］=0

設(shè)平面的法向量為〃=(々,％，22)，3"=--,0,0=

、2)

由《22取為=1，可得〃二(。/,1)，

n?BP———%+z2=0

m-n_3_3A/14

cos（冽,〃）=

|m|-|n|V7x^214

A/70

所以，sin（九〃）=Jl-cos2（加,〃）

-7^

因此，二面角A—PM—6的正弦值為二一.

14

［方法二］:構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCD—AgGA，聯(lián)結(jié)入耳，4與，交點(diǎn)記為H,由于AB］gJ_BC,所以

AH，平面ABC。］.過H作QM的垂線，垂足記為G.

聯(lián)結(jié)AG,由三垂線定理可知AG±D}M,

故NAGH為二面角A——5的平面角.

易證四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為0的正方形，聯(lián)結(jié)

=3口陷,HG,S皿HM=S正方形ABCD]—~~^MCDt

由等積法解得〃G=2叵

10

在RtZ\AHG中，AH;昱,HG=^^~,由勾股定理求得AG=叵.

2105

所以，sin/AGH=膽=叵,即二面角—5的正弦值為場(chǎng).

AG1414

【整