山東省德州市德城區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE19-山東省德州市德城區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直線傾斜角的正切值等于切線斜率求解即可.【詳解】直線斜率為,故傾斜角的正切值,又,故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線傾斜角與斜率的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題型.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再依據(jù)拋物線的性質(zhì)求出其準(zhǔn)線方程即可．【詳解】拋物線的方程可變?yōu)閤2=y故p=其準(zhǔn)線方程故答案為：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)，解題關(guān)鍵是記準(zhǔn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，別誤認(rèn)為p=1，因看錯(cuò)方程形式馬虎導(dǎo)致錯(cuò)誤．3.已知空間向量，，且，則與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)得到，從而得到，再計(jì)算即可.【詳解】，因?yàn)?，解得，?所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的夾角計(jì)算，屬于簡(jiǎn)潔題.4.已知平面的一個(gè)法向量為，則軸與平面所成的角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出軸的方向向量，代入向量的夾角公式，即可得解.【詳解】易知軸的方向向量為，解得：，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量法求線面角，在解題時(shí)留意線面角和向量所成角的關(guān)系，留意公式的正確應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為，跨徑為，則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，以橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋形的對(duì)稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），并且過，利用待定系數(shù)法求即可．【詳解】以橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋形的對(duì)稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可知，該拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，故橋形對(duì)應(yīng)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選A．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式的學(xué)問，留意建立數(shù)學(xué)模型，培育自己利用數(shù)學(xué)學(xué)問解決實(shí)際問題的實(shí)力，難度一般．6.等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)C：－＝1．∵拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線為x＝－4，聯(lián)立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的實(shí)軸長(zhǎng)為4．7.如圖所示，三棱柱全部棱長(zhǎng)均相等，各側(cè)棱與底面垂直，，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】取的中點(diǎn)，構(gòu)造中位線，得到四邊形是平行四邊形，所以，找出角，再利用余弦定理得到答案.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，所以，，又，所以，,則四邊形是平行四邊形，所以，則異面直線與所成角為，令三棱柱各棱長(zhǎng)為2，，，由余弦定理得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的求法，通過做平行線找到，再放在三角形中計(jì)算.8.點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)向圓作切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，要使切線長(zhǎng)的最小，則必需點(diǎn)P到圓的距離最小，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求出切線長(zhǎng)的最小值即可．詳解：∵圓，

∴圓心，半徑．

由題意可知，

點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)最小時(shí)，直線．

∵圓心到直線的距離，

∴切線長(zhǎng)的最小值為．

故選C．點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及的學(xué)問有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及勾股定理，嫻熟駕馭公式及定理是解本題的關(guān)鍵．二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知平面上一點(diǎn)M(5，0)，若直線上存在點(diǎn)P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（）A.y=x+1 B.y=2 C. D.y=2x+1【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)切割型直線的定義，由點(diǎn)M(5，0)到直線距離不大于4求解.【詳解】A.點(diǎn)M(5，0)到直線y=x+1的距離為：，故錯(cuò)誤；B.點(diǎn)M(5，0)到直線y=2的距離為：，故正確；C.點(diǎn)M(5，0)到直線的距離為：，故正確；D.點(diǎn)M(5，0)到直線y=2x+1的距離為：，故錯(cuò)誤；故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離以及存在問題，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.10.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）A.若向量，與空間隨意向量都不能構(gòu)成基底，則；B.若非零向量，，滿意，，則有；C.若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點(diǎn)共面；D.若向量，，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)空間向量基本定理，能作為基底的向量肯定是不共面的向量，由此分別分析選擇.【詳解】解：對(duì)于A：若向量，與空間隨意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個(gè)向量為共線向量，即，故A正確；對(duì)于B：若非零向量，，滿意，，則與不肯定共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，是空間的一組基底，且，則，即，可得到，，，四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D：若向量，，，是空間一組基底，則空間隨意一個(gè)向量，存在唯一實(shí)數(shù)組，使，則，，也是空間的一組基底.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題型.11.已知雙曲線過點(diǎn)且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.的方程為 B.的離心率為C.曲線經(jīng)過的一個(gè)焦點(diǎn) D.直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】由雙曲線的漸近線為，設(shè)出雙曲線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出雙曲線方程推斷；再求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)推斷，；直線與雙曲線的漸近線的關(guān)系推斷．【詳解】對(duì)于A：由雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，把點(diǎn)代入，得，即．雙曲線的方程為，故正確；對(duì)于B：由，，得，雙曲線的離心率為，故錯(cuò)誤；對(duì)于C：取，得，，曲線過定點(diǎn)，故正確；對(duì)于D：雙曲線的漸近線，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與有1個(gè)公共點(diǎn)，故不正確．故選：．12.如圖，在菱形中，，，將沿對(duì)角線翻折到位置，連結(jié)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）A.與平面所成的最大角為B.存在某個(gè)位置，使得C.當(dāng)二面角的大小為時(shí)，D.存在某個(gè)位置，使得到平面的距離為【答案】BC【解析】【分析】取的中點(diǎn)，得到，得出與平面所成的角為，可判定A錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為的重心點(diǎn)時(shí)，由平面，所以，可判定B正確；當(dāng)二面角的大小為時(shí)，平面平面，得到為直角三角形，可判定C正確；由點(diǎn)到的距離為，得到平面，可得，可判定D不正確.【詳解】對(duì)于A中，取的中點(diǎn)，連接，則，由題意可知和均為正三角形，由對(duì)稱性可知，在翻折的過程中，與平面所成的角為，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，此時(shí)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為的重心點(diǎn)時(shí)，有平面，，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以B正確；對(duì)于C中，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，平面平面，因?yàn)?，所以，因平面平面，所以平面，所?又，所以為直角三角形，所以，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，所以若點(diǎn)到平面的距離為，則平面平面，平面平面，則有平面，可得，所以是等邊三角形，所以D不正確.故選：BC.【點(diǎn)睛】以空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定為命題的解題策略：1、對(duì)空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化條件理解不透導(dǎo)致錯(cuò)誤；對(duì)面面平行判定定理的條件“面內(nèi)兩相交直線”相識(shí)不清導(dǎo)致錯(cuò)解；2、對(duì)于空間中的垂直關(guān)系中確定線面垂直是關(guān)鍵，證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)，垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理合理轉(zhuǎn)化是證明垂直關(guān)系的基本思想.3、對(duì)于折疊問題要留意在折疊過程中形成的二面角和線面角概念及其應(yīng)用.三?填空題13.若圓與圓相切，則的值為_____【答案】或【解析】【分析】依據(jù)兩圓的方程，先得到圓心坐標(biāo)和半徑，由兩圓相切，探討內(nèi)切和外切兩種狀況，即可得出結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為；由整理得，則圓的圓心為，半徑為；因?yàn)閮蓤A相切，若兩圓外切，則有，即，解得；若兩圓內(nèi)切，則有或，即或（舍），解得.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查由兩圓相切求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.14.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)焦點(diǎn)在軸上的橢圓的方程的特征列出不等關(guān)系，求解不等關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】由題意得，解可得或；解可得或；綜上可得的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方程表示橢圓則有：；方程表示雙曲線則有：.15.正方體中，分別是的中點(diǎn)，則與直線所成角的大小為______；與對(duì)角面所成角的正弦值是__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，計(jì)算，，對(duì)角面的一個(gè)法向量為，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，，，，故，.故，故與直線所成角的大小為.易知對(duì)角面的一個(gè)法向量為，設(shè)與對(duì)角面所成角為，故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角，線面夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和空間想象實(shí)力.16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是________．【答案】[2，＋∞)【解析】【分析】依據(jù)直線與漸進(jìn)線的關(guān)系得到，再計(jì)算離心率范圍得到答案.【詳解】過的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則其斜率為正的漸近線的傾斜角應(yīng)不小于的傾斜角已知的傾斜角是60°，從而，故.故答案為：[2，＋∞)【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.四?解答題：本大題共6個(gè)小題，17題10分，其余每題12分，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（1）若拋物線的焦點(diǎn)在直線上，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且以為漸近線，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）解出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的方程，即可求出；（2）寫出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出雙曲線的方程，再結(jié)合漸近線方程即可求出.【詳解】解：（1）直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，①若焦點(diǎn)為，則拋物線開口向右，設(shè)方程為，由，得：，故方程為：；②若焦點(diǎn)為，則拋物線開口向下，設(shè)方程為，由，得：，故方程為：；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2），，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，即雙曲線的焦點(diǎn)為：，設(shè)雙曲線的方程為，則，漸近線方程為，可得：，解得，，故雙曲線的方程為.18.已知，求：（1）；（2）與所成角的余弦值.【答案】(1)c＝(3，－2,2);(2).【解析】試題分析：（1）利用向量共線、垂直的條件，求出的值，即可求出；（2）分分別求出的坐標(biāo)，利用公式求出．試題解析：（1）因?yàn)閍∥b，所以＝＝，解得x＝2,y＝－4，這時(shí)a＝(2,4,1)，b＝(－2,－4,－1)．又因?yàn)閎⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．（2）由（1）得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，設(shè)(a＋c)與(b＋c)所成角為θ，因此cosθ＝＝－.19.已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）若圓的圓心為點(diǎn)，直線被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）求出兩直線交點(diǎn)，直線的斜率，即可求直線的方程；（2）利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.試題解析：（1）由已知得:,解得兩直線交點(diǎn)為，設(shè)直線的斜率為∵與垂直∴∵過點(diǎn)∴的方程為，即（2）設(shè)圓的半徑為，依題意，圓心到直線的距離為，則由垂徑定理得∴∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20.已知拋物線：上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2.（1）求的方程；并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng).【答案】（1）拋物線的方程為；焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知求出的值即得解；（2）由題得直線方程為，再聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由拋物線的定義可知：，解得，因此，拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）直線方程為，由得，設(shè)，，則，，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求拋物線的弦長(zhǎng)，一般先聯(lián)立直線和拋物線的方程，再利用弦長(zhǎng)公式求解.21.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)在線段上，平面，，．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求二面角的大??；（3）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）設(shè)，的交點(diǎn)為，由線面平行性質(zhì)定理得，再依據(jù)三角形中位線性質(zhì)得為的中點(diǎn)．（2）先依據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解各面法向量，依據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最終依據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求二面角大?。?）先依據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解各面法向量，依據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最終依據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求線面角大小【詳解】（1）設(shè)，的交點(diǎn)為，連接．因?yàn)槠矫?，平面平面，所以．因?yàn)槭钦叫?，所以為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)．（2）取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)?，所以．又平面平面，且平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)槭钦叫?，所以．如圖，建立空間直角坐標(biāo)