山東省德州市德城區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE19-山東省德州市德城區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直線傾斜角的正切值等于切線斜率求解即可.【詳解】直線斜率為,故傾斜角的正切值,又,故.故選：A【點睛】本題主要考查了直線傾斜角與斜率的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題型.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再依據(jù)拋物線的性質(zhì)求出其準(zhǔn)線方程即可．【詳解】拋物線的方程可變?yōu)閤2=y故p=其準(zhǔn)線方程故答案為：B.【點睛】本題考查拋物線的簡潔性質(zhì)，解題關(guān)鍵是記準(zhǔn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，別誤認(rèn)為p=1，因看錯方程形式馬虎導(dǎo)致錯誤．3.已知空間向量，，且，則與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)得到，從而得到，再計算即可.【詳解】，因為，解得，即.所以.故選：B【點睛】本題主要考查空間向量的夾角計算，屬于簡潔題.4.已知平面的一個法向量為，則軸與平面所成的角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出軸的方向向量，代入向量的夾角公式，即可得解.【詳解】易知軸的方向向量為，解得：，，故選：B.【點睛】本題考查了向量法求線面角，在解題時留意線面角和向量所成角的關(guān)系，留意公式的正確應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為，跨徑為，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，以橋頂為坐標(biāo)原點，橋形的對稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的頂點坐標(biāo)是（0，0），并且過，利用待定系數(shù)法求即可．【詳解】以橋頂為坐標(biāo)原點，橋形的對稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可知，該拋物線經(jīng)過點，則，解得，故橋形對應(yīng)拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為.故選A．【點睛】本題考查拋物線的簡潔性質(zhì)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式的學(xué)問，留意建立數(shù)學(xué)模型，培育自己利用數(shù)學(xué)學(xué)問解決實際問題的實力，難度一般．6.等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，；則的實軸長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)C：－＝1．∵拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線為x＝－4，聯(lián)立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的實軸長為4．7.如圖所示，三棱柱全部棱長均相等，各側(cè)棱與底面垂直，，分別為棱，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】取的中點，構(gòu)造中位線，得到四邊形是平行四邊形，所以，找出角，再利用余弦定理得到答案.【詳解】如圖，取的中點，連接，，所以，，又，所以，,則四邊形是平行四邊形，所以，則異面直線與所成角為，令三棱柱各棱長為2，，，由余弦定理得，故選：A.【點睛】本題考查了異面直線所成角的求法，通過做平行線找到，再放在三角形中計算.8.點是直線上的動點，由點向圓作切線，則切線長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，要使切線長的最小，則必需點P到圓的距離最小，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求出切線長的最小值即可．詳解：∵圓，

∴圓心，半徑．

由題意可知，

點到圓的切線長最小時，直線．

∵圓心到直線的距離，

∴切線長的最小值為．

故選C．點睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及的學(xué)問有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離公式，以及勾股定理，嫻熟駕馭公式及定理是解本題的關(guān)鍵．二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知平面上一點M(5，0)，若直線上存在點P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（）A.y=x+1 B.y=2 C. D.y=2x+1【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)切割型直線的定義，由點M(5，0)到直線距離不大于4求解.【詳解】A.點M(5，0)到直線y=x+1的距離為：，故錯誤；B.點M(5，0)到直線y=2的距離為：，故正確；C.點M(5，0)到直線的距離為：，故正確；D.點M(5，0)到直線y=2x+1的距離為：，故錯誤；故選：BC【點睛】本題主要考查點到直線的距離以及存在問題，還考查了運算求解的實力，屬于基礎(chǔ)題.10.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）A.若向量，與空間隨意向量都不能構(gòu)成基底，則；B.若非零向量，，滿意，，則有；C.若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點共面；D.若向量，，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)空間向量基本定理，能作為基底的向量肯定是不共面的向量，由此分別分析選擇.【詳解】解：對于A：若向量，與空間隨意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個向量為共線向量，即，故A正確；對于B：若非零向量，，滿意，，則與不肯定共線，故B錯誤；對于C：若，，是空間的一組基底，且，則，即，可得到，，，四點共面，故C正確；對于D：若向量，，，是空間一組基底，則空間隨意一個向量，存在唯一實數(shù)組，使，則，，也是空間的一組基底.故選：ACD.【點睛】本題主要考查空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題型.11.已知雙曲線過點且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.的方程為 B.的離心率為C.曲線經(jīng)過的一個焦點 D.直線與有兩個公共點【答案】AC【解析】【分析】由雙曲線的漸近線為，設(shè)出雙曲線方程，代入已知點的坐標(biāo)，求出雙曲線方程推斷；再求出雙曲線的焦點坐標(biāo)推斷，；直線與雙曲線的漸近線的關(guān)系推斷．【詳解】對于A：由雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，把點代入，得，即．雙曲線的方程為，故正確；對于B：由，，得，雙曲線的離心率為，故錯誤；對于C：取，得，，曲線過定點，故正確；對于D：雙曲線的漸近線，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與有1個公共點，故不正確．故選：．12.如圖，在菱形中，，，將沿對角線翻折到位置，連結(jié)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）A.與平面所成的最大角為B.存在某個位置，使得C.當(dāng)二面角的大小為時，D.存在某個位置，使得到平面的距離為【答案】BC【解析】【分析】取的中點，得到，得出與平面所成的角為，可判定A錯誤；當(dāng)點在平面內(nèi)的投影為的重心點時，由平面，所以，可判定B正確；當(dāng)二面角的大小為時，平面平面，得到為直角三角形，可判定C正確；由點到的距離為，得到平面，可得，可判定D不正確.【詳解】對于A中，取的中點，連接，則，由題意可知和均為正三角形，由對稱性可知，在翻折的過程中，與平面所成的角為，當(dāng)時，為等邊三角形，此時，所以A錯誤；對于B中，當(dāng)點在平面內(nèi)的投影為的重心點時，有平面，，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以，所以B正確；對于C中，當(dāng)二面角的大小為時，平面平面，因為，所以，因平面平面，所以平面，所以,又，所以為直角三角形，所以，所以C正確；對于D中，因為點到的距離為，點到的距離為，所以若點到平面的距離為，則平面平面，平面平面，則有平面，可得，所以是等邊三角形，所以D不正確.故選：BC.【點睛】以空間中點、線、面位置關(guān)系的判定為命題的解題策略：1、對空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化條件理解不透導(dǎo)致錯誤；對面面平行判定定理的條件“面內(nèi)兩相交直線”相識不清導(dǎo)致錯解；2、對于空間中的垂直關(guān)系中確定線面垂直是關(guān)鍵，證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)，垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理合理轉(zhuǎn)化是證明垂直關(guān)系的基本思想.3、對于折疊問題要留意在折疊過程中形成的二面角和線面角概念及其應(yīng)用.三?填空題13.若圓與圓相切，則的值為_____【答案】或【解析】【分析】依據(jù)兩圓的方程，先得到圓心坐標(biāo)和半徑，由兩圓相切，探討內(nèi)切和外切兩種狀況，即可得出結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為；由整理得，則圓的圓心為，半徑為；因為兩圓相切，若兩圓外切，則有，即，解得；若兩圓內(nèi)切，則有或，即或（舍），解得.故答案為：或.【點睛】本題主要考查由兩圓相切求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.14.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)焦點在軸上的橢圓的方程的特征列出不等關(guān)系，求解不等關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】由題意得，解可得或；解可得或；綜上可得的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方程表示橢圓則有：；方程表示雙曲線則有：.15.正方體中，分別是的中點，則與直線所成角的大小為______；與對角面所成角的正弦值是__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為，計算，，對角面的一個法向量為，計算得到答案.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為，則，，，，故，.故，故與直線所成角的大小為.易知對角面的一個法向量為，設(shè)與對角面所成角為，故.故答案為：；.【點睛】本題考查了異面直線夾角，線面夾角，意在考查學(xué)生的計算實力和空間想象實力.16.已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是________．【答案】[2，＋∞)【解析】【分析】依據(jù)直線與漸進(jìn)線的關(guān)系得到，再計算離心率范圍得到答案.【詳解】過的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則其斜率為正的漸近線的傾斜角應(yīng)不小于的傾斜角已知的傾斜角是60°，從而，故.故答案為：[2，＋∞)【點睛】本題考查了雙曲線的離心率范圍，意在考查學(xué)生的計算實力.四?解答題：本大題共6個小題，17題10分，其余每題12分，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（1）若拋物線的焦點在直線上，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線與橢圓共焦點，且以為漸近線，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）解出直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，依據(jù)焦點坐標(biāo)設(shè)出拋物線的方程，即可求出；（2）寫出橢圓的焦點坐標(biāo)，依據(jù)焦點坐標(biāo)設(shè)出雙曲線的方程，再結(jié)合漸近線方程即可求出.【詳解】解：（1）直線與坐標(biāo)軸的交點為，①若焦點為，則拋物線開口向右，設(shè)方程為，由，得：，故方程為：；②若焦點為，則拋物線開口向下，設(shè)方程為，由，得：，故方程為：；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2），，橢圓的焦點坐標(biāo)為：，即雙曲線的焦點為：，設(shè)雙曲線的方程為，則，漸近線方程為，可得：，解得，，故雙曲線的方程為.18.已知，求：（1）；（2）與所成角的余弦值.【答案】(1)c＝(3，－2,2);(2).【解析】試題分析：（1）利用向量共線、垂直的條件，求出的值，即可求出；（2）分分別求出的坐標(biāo)，利用公式求出．試題解析：（1）因為a∥b，所以＝＝，解得x＝2,y＝－4，這時a＝(2,4,1)，b＝(－2,－4,－1)．又因為b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．（2）由（1）得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，設(shè)(a＋c)與(b＋c)所成角為θ，因此cosθ＝＝－.19.已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）求出兩直線交點，直線的斜率，即可求直線的方程；（2）利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.試題解析：（1）由已知得:,解得兩直線交點為，設(shè)直線的斜率為∵與垂直∴∵過點∴的方程為，即（2）設(shè)圓的半徑為，依題意，圓心到直線的距離為，則由垂徑定理得∴∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20.已知拋物線：上的點到其焦點的距離為2.（1）求的方程；并求其焦點坐標(biāo)；（2）過點且斜率為1的直線交拋物線于，兩點，求弦的長.【答案】（1）拋物線的方程為；焦點坐標(biāo)為；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知求出的值即得解；（2）由題得直線方程為，再聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用弦長公式求解.【詳解】（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由拋物線的定義可知：，解得，因此，拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為；（2）直線方程為，由得，設(shè)，，則，，.【點睛】方法點睛：求拋物線的弦長，一般先聯(lián)立直線和拋物線的方程，再利用弦長公式求解.21.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點在線段上，平面，，．（1）求證：為的中點；（2）求二面角的大?。唬?）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）設(shè)，的交點為，由線面平行性質(zhì)定理得，再依據(jù)三角形中位線性質(zhì)得為的中點．（2）先依據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，列方程組解各面法向量，依據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最終依據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關(guān)系求二面角大?。?）先依據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，列方程組解各面法向量，依據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最終依據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求線面角大小【詳解】（1）設(shè)，的交點為，連接．因為平面，平面平面，所以．因為是正方形，所以為的中點，所以為的中點．（2）取的中點，連接，．因為，所以．又平面平面，且平面，所以平面．因為平面，所以．因為是正方形，所以．如圖，建立空間直角坐標(biāo)