全等三角形基本模型綜合訓(xùn)練(五)(原卷版+解析)

全等三角形基本模型綜合訓(xùn)練（五）1．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則AD的長(zhǎng)可能是（）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，點(diǎn)P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點(diǎn)，且，．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（

）A． B．2 C．4 D．3．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長(zhǎng)為（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.54．如圖，O是正內(nèi)一點(diǎn)，，，．將線段以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)O與的距離為4B．C．S四邊形AOBO′ D．5．如圖，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延長(zhǎng)線交DE于G，下列結(jié)論：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正確的結(jié)論為（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④6．如圖所示，中，．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F．若，則__________．7．等腰直角三角形ABC中，，，且△ABC的面積為16，過(guò)點(diǎn)B作直線，點(diǎn)G是直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AG，將AG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段AH，連接BH，則線段BH的最小值為______．8．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到△AB'C'的位置，連接BC'，BC'的延長(zhǎng)線交AB'于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為_____．9．如圖，點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，E為直線上方的一點(diǎn)，且滿足，連接，以為腰，A為直角頂點(diǎn)作等腰，連接，當(dāng)最大，且最大值為時(shí)，則_________．10．如圖，在中，分別以、為邊向外作正方形、，連接、、、，若，則四邊形的面積__________．11．(1)【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；(2)【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，仍然滿足EF＝BE+FD，請(qǐng)寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程．12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限作等腰Rt．(1)如圖1，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)如圖2，若，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限作等腰Rt，連接，求證：；(3)如圖3，以為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第三象限作等腰Rt．連接，交軸于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．全等三角形基本模型綜合訓(xùn)練（五）1．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則AD的長(zhǎng)可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故選：B．2．如圖，點(diǎn)P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點(diǎn)，且，．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，的面積，故選：A．3．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長(zhǎng)為（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.5【答案】C【詳解】解：過(guò)作的平行線交于，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，∵CQ＝PA，∴在中和中，，≌，，于，是等邊三角形，，，，，，故選：C．4．如圖，O是正內(nèi)一點(diǎn)，，，．將線段以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)O與的距離為4 B．C．S四邊形AOBO′ D．【答案】D【詳解】解：如圖1，連接OO′，由題意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴，又∵∠OBO′＝60°，∴△OBO′是等邊三角形，∴OO′＝OB＝4．故A正確；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故B正確；S四邊形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42＝6+4，故C正確；如圖2將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到位置，同理可得，故D錯(cuò)誤；故選D．5．如圖，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延長(zhǎng)線交DE于G，下列結(jié)論：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正確的結(jié)論為（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【詳解】解：①如圖，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線交及的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC，，同理可得，，，又，，，故①正確②如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，，，，如圖，取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使得，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，又，，，，③如圖，由①可知，故不一定等于故③不正確④如圖，由②可知，，，，故④正確，綜上所述，故正確的有①②④故選B6．如圖所示，中，．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F．若，則__________．【答案】7【解析】【詳解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中，∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵，∴；故答案為：7．7．等腰直角三角形ABC中，，，且△ABC的面積為16，過(guò)點(diǎn)B作直線，點(diǎn)G是直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AG，將AG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段AH，連接BH，則線段BH的最小值為______．【答案】【詳解】如圖所示：連接CG．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，．∵，∴，即．在和中，，，∴要讓最小，也就是要最小，∴時(shí)，最?。撸?，∴∵，∴四邊形ABGC時(shí)矩形，∵，∴矩形ABGC是正方形．，∴．∵△ABC的面積為16，∴，解得：．∴．故答案為：8．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到△AB'C'的位置，連接BC'，BC'的延長(zhǎng)線交AB'于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為_____．【答案】【詳解】解：如圖，連接BB′，∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△AB′C′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等邊三角形，∴AB＝BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′＝∠B′BC′，延長(zhǎng)BC′交AB′于D，則BD⊥AB′，∵∠C＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝＝2=AB’，∴AD=∴BD＝，故答案為：9．如圖，點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，E為直線上方的一點(diǎn)，且滿足，連接，以為腰，A為直角頂點(diǎn)作等腰，連接，當(dāng)最大，且最大值為時(shí)，則_________．【答案】2【詳解】解：如圖1中，將線段CA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AH，連接CH，DC．∵∠DAE＝∠HAC＝90°，∴∠DAH＝∠EAC，∵DA＝EA，HA＝CA，∴△DAH≌△EAC（SAS），∴DH＝CE，∵CD≤DH＋CH，，∴當(dāng)D，C，H共線時(shí)，DC最大值=，如圖2中，設(shè)AC=x，則BC=CE=DH=x，CH=，∴+x=，解得：x=1，∴AB=2AC=2．故答案是：2．10．如圖，在中，分別以、為邊向外作正方形、，連接、、、，若，則四邊形的面積__________．【答案】18【詳解】解：連接FD，設(shè)CF與AD交于點(diǎn)M，CF與AB交于點(diǎn)N，如圖：∵四邊形ABFG、BCED是正方形，∴AB＝FB，CB＝DB，∠ABF＝∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠ABD＝∠CBF，在△ABD和△FBC中，，∴△ABD≌△FBC（SAS）；∴AD＝FC，∠BAD＝∠BFC，∴∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠CNA＝180°﹣(∠BFC+∠BNF)＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥CF，∵AD＝6，∴FC＝AD＝6，四邊形ACDF的面積．故答案為：18．11．(1)【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；(2)【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，仍然滿足EF＝BE+FD，請(qǐng)寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程．【答案】(1)；(2)成立，理由見解析；(3)，證明見解析【解析】(1)解：．理由：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)可判定，進(jìn)而得出，，再根據(jù)可判定，可得出．故答案為：；(2)解：仍成立，理由：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，，，又，，，，，，，；(3)解：．證明：如圖3，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得，連接，，，，又，，，，，，，，，，，即，．12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限作等腰Rt．(1)如圖1，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)如圖2，若，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限作等腰Rt，連接，求證：；(3)如圖3，以為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第三象限作等腰Rt．連接，交軸于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)點(diǎn)C（3，7）；(2)證明見詳解過(guò)程；(3)2．【解析】(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥y軸于H，∴∠CHB=∠ABC=∠AOB=90°，∴∠BCH+∠HBC=90°=∠HBC+∠ABO，∴∠ABO=∠BCH，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH（AAS），∴CH=OB=3，BH=AO=4，∴OH=7，點(diǎn)C（3，7），故答案為：（3，7）；(2)過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，∴∠EFD=∠BDE=∠BOD=90°，∴∠BDO+∠EDF=90°=∠BDO+∠DBO，∴∠DBO=∠EDF，在△BOD