專題33概率(原卷版+解析)

專題33概率【專題目錄】技巧1：概率應(yīng)用的四種求法技巧2：利用概率判斷游戲規(guī)則的公平性【題型】一、判斷事件發(fā)生可能性的大小【題型】二、簡(jiǎn)單概率計(jì)算【題型】三、用列舉法求概率【題型】四、判斷游戲公平性【題型】五、用頻率估計(jì)概率【考綱要求】1.了解事件的有關(guān)概念及分類．2.理解概率的概念，并會(huì)用列表、畫樹狀圖法求簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率．3.學(xué)會(huì)用頻率估計(jì)概率，并會(huì)用概率解決實(shí)際問(wèn)題.【考點(diǎn)總結(jié)】一、事件的有關(guān)概念1．必然事件：在現(xiàn)實(shí)生活中一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件．2．不可能事件：在現(xiàn)實(shí)生活中一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件．3．不確定事件：在現(xiàn)實(shí)生活中，有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件稱為不確定事件．4．分類：事件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(確定事件\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(必然事件,不可能事件)),不確定事件))【考點(diǎn)總結(jié)】二、用列舉法求概率1．在不確定事件中，一件事發(fā)生的可能性大小叫做這個(gè)事件的概率．2．適用條件：(1)可能出現(xiàn)的結(jié)果為有限多個(gè)；(2)各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等．3．求法：(1)利用列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果；(2)弄清我們關(guān)注的是哪個(gè)或哪些結(jié)果；(3)求出關(guān)注的結(jié)果數(shù)與所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)的比值，即關(guān)注事件的概率．【考點(diǎn)總結(jié)】三、利用頻率估計(jì)概率1．適用條件：當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果不是有限個(gè)或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等．2．方法：進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)事件發(fā)生的頻率越來(lái)越靠近一個(gè)常數(shù)時(shí)，該常數(shù)就可認(rèn)為是這個(gè)事件發(fā)生的概率．【考點(diǎn)總結(jié)】四、概率的應(yīng)用概率是和實(shí)際結(jié)合非常緊密的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以對(duì)生活中的某些現(xiàn)象作出評(píng)判，如解釋摸獎(jiǎng)，配紫色，評(píng)判游戲活動(dòng)的公平性，數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)的可能性等等，還可以對(duì)某些事件作出決策．【技巧歸納】技巧1：概率應(yīng)用的四種求法【類型】一：用公式法求概率1．一個(gè)不透明的袋中裝有5個(gè)黃球，13個(gè)黑球和22個(gè)紅球，它們除顏色外都相同．(1)求從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率；(2)現(xiàn)從袋中取出若干個(gè)黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率不小于eq\f(1,3)，問(wèn)至少取出了多少個(gè)黑球？【類型】二：用列表法求概率2．某校為了解九年級(jí)學(xué)生近兩個(gè)月“推薦書目”的閱讀情況，隨機(jī)抽取了該年級(jí)的部分學(xué)生，調(diào)查了他們每人“推薦書目”的閱讀本數(shù)．設(shè)每名學(xué)生的閱讀本數(shù)為n，并按以下規(guī)定分為四檔：當(dāng)n＜3時(shí)，為“偏少”；當(dāng)3≤n＜5時(shí)，為“一般”；當(dāng)5≤n＜8時(shí)，為“良好”；當(dāng)n≥8時(shí)，為“優(yōu)秀”．將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：閱讀本數(shù)n/本123456789人數(shù)/人126712x7y1請(qǐng)根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題：(第2題)(1)分別求出統(tǒng)計(jì)表中的x，y的值；(2)估計(jì)該校九年級(jí)400名學(xué)生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)；(3)從被調(diào)查的“優(yōu)秀”檔次的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生介紹讀書體會(huì)，請(qǐng)用列表或畫樹形圖的方法求抽取的2名學(xué)生中有1名閱讀本數(shù)為9的概率．【類型】三：用畫樹形圖法求概率3．體育課上，小明、小強(qiáng)、小華三人在踢足球，足球從一人傳到另一人就記為踢一次．(1)如果從小強(qiáng)開始踢，經(jīng)過(guò)兩次踢球后，足球踢到了小華處的概率是多少？(2)如果踢三次后，球踢到了小明處的可能性最小，應(yīng)從誰(shuí)開始踢？請(qǐng)說(shuō)明理由．【類型】四：用頻率估算法求概率4．一只不透明的袋子中裝有4個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字2，3，4，x，這些球除數(shù)字外都相同．甲、乙兩人每次同時(shí)從袋中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，并計(jì)算摸出的這兩個(gè)球上數(shù)字之和．記錄后都將球放回袋中攪勻，進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)．試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：摸球總次數(shù)1020306090120180240330450“和為7”出現(xiàn)的頻數(shù)19142426375882109150“和為7”出現(xiàn)的頻率0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33解答下列問(wèn)題：(1)如果試驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，試估計(jì)出現(xiàn)“和為7”的概率；(2)根據(jù)(1)，若x是不等于2，3，4的自然數(shù)，試求x的值．技巧2：利用概率判斷游戲規(guī)則的公平性【類型】一：利用概率判斷摸球游戲的公平性1．在一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四個(gè)球，除數(shù)字不同外，球沒(méi)有任何區(qū)別，每次試驗(yàn)前先攪拌均勻．(1)若從中任取一球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的概率為多少？(2)若從中任取一球(不放回)，再?gòu)闹腥稳∫磺?，?qǐng)用畫樹形圖或列表格的方法求出兩個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．(3)若設(shè)計(jì)一種游戲方案：從中任取兩球，兩個(gè)球上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為1時(shí)甲勝，否則乙勝，請(qǐng)問(wèn)這種游戲方案對(duì)甲、乙雙方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【類型】二：利用概率判斷轉(zhuǎn)盤游戲的公平性2．如圖是一個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被平均分成4等份，即被分成4個(gè)大小相等的扇形，4個(gè)扇形分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后任其自由停止，每次指針落在每一扇形的機(jī)會(huì)均等(若指針恰好落在分界線上則重轉(zhuǎn))．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：89274041】(1)圖中標(biāo)有“1”的扇形至少繞圓心旋轉(zhuǎn)________度能與標(biāo)有“4”的扇形的起始位置重合；(2)現(xiàn)有一本故事書，姐妹倆商定通過(guò)轉(zhuǎn)盤游戲定輸贏(贏的一方先看)，游戲規(guī)則是：姐妹倆各轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，兩次轉(zhuǎn)動(dòng)后，若指針?biāo)干刃紊系臄?shù)字之積為偶數(shù)，則姐姐贏；若指針?biāo)干刃紊系臄?shù)字之積為奇數(shù)，則妹妹贏．這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)利用樹形圖或列表法說(shuō)明理由．(第2題)【類型】三：利用概率判斷統(tǒng)計(jì)事件的公平性3．近年來(lái)，我國(guó)持續(xù)的大面積的霧霾天氣讓環(huán)境和健康問(wèn)題成為焦點(diǎn)，為了調(diào)查學(xué)生對(duì)霧霾天氣知識(shí)的了解程度，某校在學(xué)生中作了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個(gè)等級(jí)；A.非常了解；B.比較了解；C.基本了解；D.不了解．根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如圖所示的不完整的三種統(tǒng)計(jì)圖表．(第3題)對(duì)霧霾天氣了解程度的統(tǒng)計(jì)表：對(duì)霧霾天氣的了解程度百分比A.非常了解5%B.比較了解15%C.基本了解45%D.不了解n請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表，回答下列問(wèn)題：(1)本次參與調(diào)查的學(xué)生共有________人，n＝________；(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中D部分扇形所對(duì)應(yīng)的圓心角是________度；(3)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果，學(xué)校準(zhǔn)備開展關(guān)于霧霾的知識(shí)競(jìng)賽，某班要從“非常了解”程度的小明和小剛中選一人參加，現(xiàn)設(shè)計(jì)了如下游戲來(lái)確定，具體規(guī)則是：把四個(gè)完全相同的乒乓球標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4，然后放到一個(gè)不透明的袋中，一個(gè)人先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，另一個(gè)人再?gòu)氖Ｏ碌娜齻€(gè)球中隨機(jī)摸出一個(gè)球．若摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明去，否則小剛?cè)ィ?qǐng)用樹形圖或列表法說(shuō)明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平．【題型講解】【題型】一、判斷事件發(fā)生可能性的大小例1、下列事件是必然事件的是（）A．任意一個(gè)五邊形的外角和為540°B．拋擲一枚均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)為50次C．13個(gè)人參加一個(gè)集會(huì)，他們中至少有兩個(gè)人的出生月份是相同的D．太陽(yáng)從西方升起例2、下列事件中是不可能事件的是()A．守株待兔 B．甕中捉鱉 C．水中撈月 D．百步穿楊【題型】二、簡(jiǎn)單概率計(jì)算例3、一個(gè)不透明的口袋中有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，則摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．例4、四張背面完全相同的卡片，正面分別印有等腰三角形、圓、平行四邊形、正六邊形，現(xiàn)在把它們的正面向下，隨機(jī)的擺放在桌面上，從中任意抽出一張，則抽到的卡片正面是中心對(duì)稱圖形的概率是（）A． B． C． D．1例5、已知電流在一定時(shí)間段內(nèi)正常通過(guò)電子元件“”的概率是0.5；則在一定時(shí)間段內(nèi)，由該元件組成的圖示電路A、B之間，電流能夠正常通過(guò)的概率是（）A．0.75 B．0.625 C．0.5 D．0.25例6、現(xiàn)有4條線段，長(zhǎng)度依次是2、4、6、7，從中任選三條，能組成三角形的概率是（）A． B． C． D．【題型】三、用列舉法求概率例7、不透明的袋子中裝有兩個(gè)小球，上面分別寫著“1”，“2”，除數(shù)字外兩個(gè)小球無(wú)其他差別．從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄其數(shù)字，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄其數(shù)字，那么兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率是（）A． B． C． D．例8、將一個(gè)籃球和一個(gè)足球隨機(jī)放入三個(gè)不同的籃子中，則恰有一個(gè)籃子為空的概率為（）A． B． C． D．例9、現(xiàn)有兩個(gè)不透明的袋子，一個(gè)裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，另一個(gè)裝有1個(gè)黃球、2個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同，從兩個(gè)袋子中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率是（）A． B． C． D．【題型】四、判斷游戲公平性例10、小偉和小梅兩位同學(xué)玩擲骰子的游戲，兩人各擲一次均勻的骰子，以擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值判斷輸贏．若所得數(shù)值等于，，，則小偉勝：若所得數(shù)值等于，，，則小梅勝（1）請(qǐng)利用表格分別求出小偉、小梅獲勝的概率（2）判斷上述游戲是否公平．如果公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不公平，請(qǐng)利用上表修改游戲規(guī)則，以確保游戲的公平性【題型】五、用頻率估計(jì)概率例11、為慶祝建黨99周年，某校八年級(jí)（3）班團(tuán)支部為了讓同學(xué)們進(jìn)一步了解中國(guó)科技的發(fā)展，給班上同學(xué)布置了一項(xiàng)課外作業(yè)，從選出的以下五個(gè)內(nèi)容中任選部分內(nèi)容進(jìn)行手抄報(bào)的制作：、“北斗衛(wèi)星”：、“時(shí)代”；、“智軌快運(yùn)系統(tǒng)”；、“東風(fēng)快遞”；、“高鐵”．統(tǒng)計(jì)同學(xué)們所選內(nèi)容的頻數(shù)，繪制如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則選擇“時(shí)代”的頻率是（）A．0.25 B．0.3 C．25 D．30例12、為了解某地區(qū)九年級(jí)男生的身高情況，隨機(jī)抽取了該地區(qū)1000名九年級(jí)男生的身高數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下．身高人數(shù)60260550130根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)結(jié)果，隨機(jī)抽取該地區(qū)一名九年級(jí)男生，估計(jì)他的身高不低于的概率是（）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87例13、如圖①所示，平整的地面上有一個(gè)不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，將不規(guī)則圖案圍起來(lái)，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地朝長(zhǎng)方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長(zhǎng)方形區(qū)域外不計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果），他將若干次有效實(shí)驗(yàn)的結(jié)果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，由此他估計(jì)不規(guī)則圖案的面積大約為（）A． B． C． D．概率（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．下列所給的事件中，是必然事件的是（

）A．某校的300名學(xué)生中，至少有2名學(xué)生的生日是同一天．B．正方形的對(duì)角線互相垂直C．某抽獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率是，那么連續(xù)抽10次，必然會(huì)中獎(jiǎng)．D．2023年的元旦順德會(huì)下雪．2．縣氣象站天氣預(yù)報(bào)稱，明天千島湖鎮(zhèn)的降水概率為，下列理解正確的是（）A．明天千島湖鎮(zhèn)下雨的可能性較大B．明天千島湖鎮(zhèn)有的地方會(huì)下雨C．明天千島湖鎮(zhèn)全天有的時(shí)間會(huì)下雨D．明天千島湖鎮(zhèn)一定會(huì)下雨3．下列成語(yǔ)所描述的事件屬于不可能事件的是（

）A．守株待兔 B．水中撈月 C．水滴石穿 D．百發(fā)百中4．如圖，電路圖上有4個(gè)開關(guān)A、B、C、D和1個(gè)小燈泡，同時(shí)閉合開關(guān)A、B或同時(shí)閉合開關(guān)C、D都可以使小燈泡發(fā)光，下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個(gè)事件是隨機(jī)事件的是（）A．只閉合4個(gè)開關(guān) B．只閉合3個(gè)開關(guān) C．只閉合2個(gè)開關(guān) D．閉合1個(gè)開關(guān)5．袋子中裝有個(gè)紅球、個(gè)綠球，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，是綠球的概率為（

）A． B． C． D．6．如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被等分成個(gè)扇形區(qū)域，并涂上了相應(yīng)的顏色，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向紅色區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．7．某校舉行春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，需要在初一年級(jí)選取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有名同學(xué)報(bào)名參加．現(xiàn)從這名同學(xué)中隨機(jī)選取一名志愿者，則被選中的這名同學(xué)恰好是初一（3）班同學(xué)的概率是（

）A． B． C． D．8．宋代程顥的《秋月》有四句古詩(shī)如下：①空水澄鮮一色秋；②白云紅葉兩悠悠；③清溪流過(guò)碧山頭；④隔斷紅塵三十里這四句古詩(shī)的順序被打亂了，敏敏想把這四句古詩(shī)調(diào)整為正確位置，則她第一次就調(diào)整正確的可能性是（）A． B． C． D．9．下列事件是隨機(jī)事件的是（）A．打開電視，正在播放《中國(guó)機(jī)長(zhǎng)》B．白發(fā)三千丈，緣愁似個(gè)長(zhǎng)C．離離原上草，一歲一枯榮D．鈍角三角形的內(nèi)角和大于二、填空題10．某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊成績(jī)記錄如下：射擊次數(shù)20801002004008001000射中九環(huán)以上次數(shù)186882166330664832射中九環(huán)以上的頻率0.900.850.820.830.8250.830.832根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“中九環(huán)以上”的概率約是_______.（精確到0.01）11．如圖，若隨機(jī)閉合開關(guān)，，中的兩個(gè)，則能讓兩燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為______三、解答題12．某校為了解九年級(jí)男同學(xué)的體育考試準(zhǔn)備情況，隨機(jī)抽取部分男同學(xué)進(jìn)行了米跑步測(cè)試．按照成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個(gè)等級(jí)，學(xué)校繪制了如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖．(1)根據(jù)給出的信息，補(bǔ)全兩幅統(tǒng)計(jì)圖；(2)該校九年級(jí)有名男生，請(qǐng)估計(jì)成績(jī)達(dá)到良好及以上等級(jí)的有多少名？(3)某班甲、乙兩位成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)被選中參加即將舉行的學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)米比賽．預(yù)賽分別為三組進(jìn)行，選手由抽簽確定分組．甲、乙兩人恰好分在同一組的概率是多少？13．某學(xué)校準(zhǔn)備組織學(xué)生參加唱歌、舞蹈、書法、朗誦活動(dòng)，為了解學(xué)生的參與情況，該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行“你愿意參加哪一項(xiàng)活動(dòng)”（必選且只選一種）的問(wèn)卷調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：(1)本次抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)為______，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“舞蹈”對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為______．(2)若該校有1400名學(xué)生，估計(jì)選擇參加“書法”的有多少人？(3)學(xué)校準(zhǔn)備從推薦的4位同學(xué)（兩男兩女）中隨機(jī)選取兩人當(dāng)正式活動(dòng)的主持人，利用畫樹狀圖法或列表法求選取的兩人恰為一男一女的概率．概率（提升測(cè)評(píng)）一、單選題1．將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在白色區(qū)域的概率為(

)A． B． C． D．2．活動(dòng)課上，小林、小軍、小強(qiáng)3位同學(xué)和其他6位同學(xué)一起進(jìn)行3人制籃球賽，他們將9人隨機(jī)抽簽分成三組，則小林、小軍、小強(qiáng)三人恰好分在3個(gè)不同組的概率是（

）A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)D在的邊上，連接，點(diǎn)P的位置如圖所示，在圖中隨機(jī)選擇一個(gè)三角形，則點(diǎn)P在選擇的三角形內(nèi)部的概率是（

）A． B． C． D．14．現(xiàn)有3包同一品牌的餅干，其中2包已過(guò)期，隨機(jī)抽取2包，2包都過(guò)期的概率是（

）A． B． C． D．5．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，若隨意拋出一粒石子在這個(gè)圓面上，則石子落在正方形ABCD內(nèi)概率是（

）A． B． C． D．6．孔明給弟弟買了一些糖果，放到一個(gè)不透明的袋子里，這些糖果除了口味和外包裝的顏色外其余都相同，袋子里各種口味糖果的數(shù)量統(tǒng)計(jì)如圖所示，他讓弟弟從袋子里隨機(jī)摸出一顆糖果．則弟弟恰好摸到蘋果味糖果的概率是（

）．A． B． C． D．7．在一個(gè)不透明的口袋中裝有個(gè)紅球和若干個(gè)白球，他們除顏色外其他完全相同．通過(guò)多次摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，則口袋中白球可能有（）A．1個(gè) B．1個(gè) C．1個(gè) D．1個(gè)8．4件外觀相同的產(chǎn)品中只有1件不合格，現(xiàn)從中一次抽取2件進(jìn)行檢測(cè)，抽到的兩件產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品合格而另一件產(chǎn)品不合格的概率是(

)A． B． C． D．9．如圖，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機(jī)閉合開關(guān)，，中的兩個(gè)，能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為（

）A． B． C． D．10．有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成如圖所示的幾個(gè)扇形，游戲者同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，游戲者就配成了紫色，下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出藍(lán)色的概率一樣大B．如果A轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么B轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出藍(lán)色的可能性變小了C．先轉(zhuǎn)動(dòng)A轉(zhuǎn)盤再轉(zhuǎn)動(dòng)B轉(zhuǎn)盤和同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，游戲者配成紫色的概率不同D．游戲者配成紫色的概率為二、填空題11．現(xiàn)有張正面分別標(biāo)有數(shù)字，，，的不透明卡片，它們除了數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機(jī)抽取一張，將該卡片上的數(shù)字記為，放回后再洗勻并隨機(jī)抽取一張，將該卡片上的數(shù)字記為，則滿足方程的解是負(fù)數(shù)的概率為________．12．如圖，A、B是正方形網(wǎng)格中的兩個(gè)格點(diǎn)，在格點(diǎn)上任意放置點(diǎn)C，恰好能使的面積為1的概率是______．三、解答題13．為增強(qiáng)學(xué)生愛(ài)國(guó)意識(shí)，激發(fā)愛(ài)國(guó)情懷，某校9月開展了“喜迎二十大、永遠(yuǎn)跟黨走、奮進(jìn)新征程”主題教育活動(dòng)，活動(dòng)方式有：A.主題征文，B.書法繪畫，C.紅歌傳唱，D.經(jīng)典誦讀．為了解最受學(xué)生喜愛(ài)的活動(dòng)方式，現(xiàn)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)參與此次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是_______，扇形統(tǒng)計(jì)圖中A部分圓心角的度數(shù)是_______；(2)學(xué)校從1班，2班，3班，4班中隨機(jī)選取兩個(gè)班參加“紅歌傳唱”的活動(dòng)，求恰好選中2班和3班的概率．14．某校為落實(shí)“雙減”工作，增強(qiáng)課后服務(wù)的吸引力，充分用好課后服務(wù)時(shí)間，為學(xué)有余力的學(xué)生拓展學(xué)習(xí)空間，成立了5個(gè)活動(dòng)小組（每位學(xué)生只能參加一個(gè)活動(dòng)小組）：．音樂(lè)；．體育；．美術(shù)；．閱讀；．人工智能．為了解學(xué)生對(duì)以上活動(dòng)的參與情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：(1)①此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了______名學(xué)生；②補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；③扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角______度；(2)若該校有2800名學(xué)生，估計(jì)該校參加組（閱讀）的學(xué)生人數(shù)；(3)學(xué)校計(jì)劃從組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人參加市青少年機(jī)器人競(jìng)賽，請(qǐng)用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率．專題33概率【專題目錄】技巧1：概率應(yīng)用的四種求法技巧2：利用概率判斷游戲規(guī)則的公平性【題型】一、判斷事件發(fā)生可能性的大小【題型】二、簡(jiǎn)單概率計(jì)算【題型】三、用列舉法求概率【題型】四、判斷游戲公平性【題型】五、用頻率估計(jì)概率【考綱要求】1.了解事件的有關(guān)概念及分類．2.理解概率的概念，并會(huì)用列表、畫樹狀圖法求簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率．3.學(xué)會(huì)用頻率估計(jì)概率，并會(huì)用概率解決實(shí)際問(wèn)題.【考點(diǎn)總結(jié)】一、事件的有關(guān)概念1．必然事件：在現(xiàn)實(shí)生活中一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件．2．不可能事件：在現(xiàn)實(shí)生活中一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件．3．不確定事件：在現(xiàn)實(shí)生活中，有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件稱為不確定事件．4．分類：事件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(確定事件\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(必然事件,不可能事件)),不確定事件))【考點(diǎn)總結(jié)】二、用列舉法求概率1．在不確定事件中，一件事發(fā)生的可能性大小叫做這個(gè)事件的概率．2．適用條件：(1)可能出現(xiàn)的結(jié)果為有限多個(gè)；(2)各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等．3．求法：(1)利用列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果；(2)弄清我們關(guān)注的是哪個(gè)或哪些結(jié)果；(3)求出關(guān)注的結(jié)果數(shù)與所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)的比值，即關(guān)注事件的概率．【考點(diǎn)總結(jié)】三、利用頻率估計(jì)概率1．適用條件：當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果不是有限個(gè)或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等．2．方法：進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)事件發(fā)生的頻率越來(lái)越靠近一個(gè)常數(shù)時(shí)，該常數(shù)就可認(rèn)為是這個(gè)事件發(fā)生的概率．【考點(diǎn)總結(jié)】四、概率的應(yīng)用概率是和實(shí)際結(jié)合非常緊密的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以對(duì)生活中的某些現(xiàn)象作出評(píng)判，如解釋摸獎(jiǎng)，配紫色，評(píng)判游戲活動(dòng)的公平性，數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)的可能性等等，還可以對(duì)某些事件作出決策．【技巧歸納】技巧1：概率應(yīng)用的四種求法【類型】一：用公式法求概率1．一個(gè)不透明的袋中裝有5個(gè)黃球，13個(gè)黑球和22個(gè)紅球，它們除顏色外都相同．(1)求從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率；(2)現(xiàn)從袋中取出若干個(gè)黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率不小于eq\f(1,3)，問(wèn)至少取出了多少個(gè)黑球？【類型】二：用列表法求概率2．某校為了解九年級(jí)學(xué)生近兩個(gè)月“推薦書目”的閱讀情況，隨機(jī)抽取了該年級(jí)的部分學(xué)生，調(diào)查了他們每人“推薦書目”的閱讀本數(shù)．設(shè)每名學(xué)生的閱讀本數(shù)為n，并按以下規(guī)定分為四檔：當(dāng)n＜3時(shí)，為“偏少”；當(dāng)3≤n＜5時(shí)，為“一般”；當(dāng)5≤n＜8時(shí)，為“良好”；當(dāng)n≥8時(shí)，為“優(yōu)秀”．將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：閱讀本數(shù)n/本123456789人數(shù)/人126712x7y1請(qǐng)根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題：(第2題)(1)分別求出統(tǒng)計(jì)表中的x，y的值；(2)估計(jì)該校九年級(jí)400名學(xué)生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)；(3)從被調(diào)查的“優(yōu)秀”檔次的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生介紹讀書體會(huì)，請(qǐng)用列表或畫樹形圖的方法求抽取的2名學(xué)生中有1名閱讀本數(shù)為9的概率．【類型】三：用畫樹形圖法求概率3．體育課上，小明、小強(qiáng)、小華三人在踢足球，足球從一人傳到另一人就記為踢一次．(1)如果從小強(qiáng)開始踢，經(jīng)過(guò)兩次踢球后，足球踢到了小華處的概率是多少？(2)如果踢三次后，球踢到了小明處的可能性最小，應(yīng)從誰(shuí)開始踢？請(qǐng)說(shuō)明理由．【類型】四：用頻率估算法求概率4．一只不透明的袋子中裝有4個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字2，3，4，x，這些球除數(shù)字外都相同．甲、乙兩人每次同時(shí)從袋中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，并計(jì)算摸出的這兩個(gè)球上數(shù)字之和．記錄后都將球放回袋中攪勻，進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)．試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：摸球總次數(shù)1020306090120180240330450“和為7”出現(xiàn)的頻數(shù)19142426375882109150“和為7”出現(xiàn)的頻率0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33解答下列問(wèn)題：(1)如果試驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，試估計(jì)出現(xiàn)“和為7”的概率；(2)根據(jù)(1)，若x是不等于2，3，4的自然數(shù)，試求x的值．答案1．解：(1)P(摸出一個(gè)球是黃球)＝eq\f(5,5＋13＋22)＝eq\f(1,8).(2)設(shè)取出了x個(gè)黑球，則放入了x個(gè)黃球，由題意得eq\f(5＋x,5＋13＋22)≥eq\f(1,3)，解得x≥eq\f(25,3).∵x為正整數(shù)，∴x最小取9.則至少取出了9個(gè)黑球．2．解：(1)由題中圖表可知被調(diào)查學(xué)生中“一般”檔次的有13人，所占比例是26%，所以共調(diào)查的學(xué)生數(shù)是13÷26%＝50(人)，則調(diào)查學(xué)生中“良好”檔次的人數(shù)為50×60%＝30(人)，所以x＝30－(12＋7)＝11，y＝50－(1＋2＋6＋7＋12＋11＋7＋1)＝3.(2)由樣本數(shù)據(jù)可知“優(yōu)秀”檔次所占的比例是eq\f(3＋1,50)＝0.08＝8%.所以，估計(jì)該校九年級(jí)400名學(xué)生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)為400×8%＝32(人)．(3)用A，B，C表示閱讀本數(shù)是8的學(xué)生，用D表示閱讀本數(shù)是9的學(xué)生，列表如下：ABCDA(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)由列表可知，共有12種等可能的情況，其中所抽取的2名學(xué)生中有1名閱讀本數(shù)為9的有6種．所以，抽取的2名學(xué)生中有1名閱讀本數(shù)為9的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).3．解：(1)畫樹形圖如圖：[第3(1)題]∴P(足球踢到小華處)＝eq\f(1,4).(2)應(yīng)從小明開始踢．理由如下，畫樹形圖如圖：[第3(2)題]若從小明開始踢，P(踢到小明處)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，同理，若從小強(qiáng)開始踢，P(踢到小明處)＝eq\f(3,8)，若從小華開始踢，P(踢到小明處)＝eq\f(3,8).故應(yīng)從小明開始踢．4．解：(1)出現(xiàn)“和為7”的概率約為0.33；(2)列表如下：甲和乙234x2/562＋x35/73＋x467/4＋xxx＋2x＋3x＋4/由表格可知，一共有12種等可能的結(jié)果，由(1)可知，出現(xiàn)“和為7”的概率約為0.33，∴“和為7”出現(xiàn)的次數(shù)約為0.33×12＝3.96≈4.若2＋x＝7，則x＝5，符合題意，若3＋x＝7，則x＝4，不合題意．若4＋x＝7，則x＝3，不合題意．∴x＝5.技巧2：利用概率判斷游戲規(guī)則的公平性【類型】一：利用概率判斷摸球游戲的公平性1．在一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四個(gè)球，除數(shù)字不同外，球沒(méi)有任何區(qū)別，每次試驗(yàn)前先攪拌均勻．(1)若從中任取一球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的概率為多少？(2)若從中任取一球(不放回)，再?gòu)闹腥稳∫磺?，?qǐng)用畫樹形圖或列表格的方法求出兩個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．(3)若設(shè)計(jì)一種游戲方案：從中任取兩球，兩個(gè)球上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為1時(shí)甲勝，否則乙勝，請(qǐng)問(wèn)這種游戲方案對(duì)甲、乙雙方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【類型】二：利用概率判斷轉(zhuǎn)盤游戲的公平性2．如圖是一個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被平均分成4等份，即被分成4個(gè)大小相等的扇形，4個(gè)扇形分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后任其自由停止，每次指針落在每一扇形的機(jī)會(huì)均等(若指針恰好落在分界線上則重轉(zhuǎn))．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：89274041】(1)圖中標(biāo)有“1”的扇形至少繞圓心旋轉(zhuǎn)________度能與標(biāo)有“4”的扇形的起始位置重合；(2)現(xiàn)有一本故事書，姐妹倆商定通過(guò)轉(zhuǎn)盤游戲定輸贏(贏的一方先看)，游戲規(guī)則是：姐妹倆各轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，兩次轉(zhuǎn)動(dòng)后，若指針?biāo)干刃紊系臄?shù)字之積為偶數(shù)，則姐姐贏；若指針?biāo)干刃紊系臄?shù)字之積為奇數(shù)，則妹妹贏．這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)利用樹形圖或列表法說(shuō)明理由．(第2題)【類型】三：利用概率判斷統(tǒng)計(jì)事件的公平性3．近年來(lái)，我國(guó)持續(xù)的大面積的霧霾天氣讓環(huán)境和健康問(wèn)題成為焦點(diǎn)，為了調(diào)查學(xué)生對(duì)霧霾天氣知識(shí)的了解程度，某校在學(xué)生中作了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個(gè)等級(jí)；A.非常了解；B.比較了解；C.基本了解；D.不了解．根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如圖所示的不完整的三種統(tǒng)計(jì)圖表．(第3題)對(duì)霧霾天氣了解程度的統(tǒng)計(jì)表：對(duì)霧霾天氣的了解程度百分比A.非常了解5%B.比較了解15%C.基本了解45%D.不了解n請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表，回答下列問(wèn)題：(1)本次參與調(diào)查的學(xué)生共有________人，n＝________；(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中D部分扇形所對(duì)應(yīng)的圓心角是________度；(3)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果，學(xué)校準(zhǔn)備開展關(guān)于霧霾的知識(shí)競(jìng)賽，某班要從“非常了解”程度的小明和小剛中選一人參加，現(xiàn)設(shè)計(jì)了如下游戲來(lái)確定，具體規(guī)則是：把四個(gè)完全相同的乒乓球標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4，然后放到一個(gè)不透明的袋中，一個(gè)人先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，另一個(gè)人再?gòu)氖Ｏ碌娜齻€(gè)球中隨機(jī)摸出一個(gè)球．若摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明去，否則小剛?cè)ィ?qǐng)用樹形圖或列表法說(shuō)明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平．答案1．解：(1)∵不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四個(gè)球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的是2與4，∴從中任取一球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).(2)畫樹形圖如圖：(第1題)∵共有12種等可能的結(jié)果，兩個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4種情況，∴兩個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).(3)∵兩個(gè)球上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為1的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6種情況，∴P(甲勝)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，P(乙勝)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).∴P(甲勝)＝P(乙勝)，∴這種游戲方案對(duì)甲、乙雙方公平．2．解：(1)90(2)列表如下：12341(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)由表可知共有16種等可能的結(jié)果，且指針?biāo)干刃紊系臄?shù)字之積為偶數(shù)的有12種，奇數(shù)的有4種，則指針?biāo)干刃紊系臄?shù)字之積為偶數(shù)的概率是eq\f(12,16)＝eq\f(3,4)，指針?biāo)干刃紊系臄?shù)字之積為奇數(shù)的概率是eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)，則游戲不公平．3．解：(1)400；35%(2)126(3)調(diào)查的結(jié)果為D等級(jí)的人數(shù)為：400×35%＝140，故補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，[第3(3)題](4)由題意可得，畫樹形圖如圖所示，[第3(4)題]∴P(數(shù)字和為奇數(shù))＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，P(數(shù)字和為偶數(shù))＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).故游戲規(guī)則不公平．【題型講解】【題型】一、判斷事件發(fā)生可能性的大小例1、下列事件是必然事件的是（）A．任意一個(gè)五邊形的外角和為540°B．拋擲一枚均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)為50次C．13個(gè)人參加一個(gè)集會(huì)，他們中至少有兩個(gè)人的出生月份是相同的D．太陽(yáng)從西方升起【答案】C【提示】事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件．【詳解】解：A．任意一個(gè)五邊形的外角和等于540，屬于不可能事件，不合題意；B．投擲一枚均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)為50次是隨機(jī)事件，不合題意；C.13個(gè)人參加一個(gè)集會(huì)，他們中至少有兩個(gè)人的出生月份是相同的，屬于必然事件，符合題意；D．太陽(yáng)從西方升起，屬于不可能事件，不合題意；故選：C．例2、下列事件中是不可能事件的是()A．守株待兔 B．甕中捉鱉 C．水中撈月 D．百步穿楊【答案】C【提示】不可能事件是一定不會(huì)發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可判斷．【詳解】解：A、守株待兔，不一定就能達(dá)到，是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)不符合；B、甕中捉鱉是必然事件，故選項(xiàng)不符合；C、水中撈月，一定不能達(dá)到，是不可能事件，選項(xiàng)不符合；D、百步穿楊，未必達(dá)到，是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)不符合；故選C.【題型】二、簡(jiǎn)單概率計(jì)算例3、一個(gè)不透明的口袋中有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，則摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【提示】隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．【詳解】解：摸到紅球的概率為：．

故選D．例4、四張背面完全相同的卡片，正面分別印有等腰三角形、圓、平行四邊形、正六邊形，現(xiàn)在把它們的正面向下，隨機(jī)的擺放在桌面上，從中任意抽出一張，則抽到的卡片正面是中心對(duì)稱圖形的概率是（）A． B． C． D．1【答案】C【提示】由四張質(zhì)地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分別畫有等腰三角形、圓、平行四邊形、正六邊形四個(gè)圖案．中心對(duì)稱圖形的是圓、平行四邊形，正六邊形，直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：∵四張質(zhì)地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分別畫有等腰三角形、圓、平行四邊形、正六邊形四個(gè)圖案．中心對(duì)稱圖形的是圓、平行四邊形，正六邊形，

∴從中任意抽出一張，則抽出的卡片正面圖案是中心對(duì)稱圖形的概率為：．

故選：C．例5、已知電流在一定時(shí)間段內(nèi)正常通過(guò)電子元件“”的概率是0.5；則在一定時(shí)間段內(nèi)，由該元件組成的圖示電路A、B之間，電流能夠正常通過(guò)的概率是（）A．0.75 B．0.625 C．0.5 D．0.25【答案】A【提示】根據(jù)題意，某一個(gè)電子元件不正常工作的概率為0.5，可得兩個(gè)元件同時(shí)不正常工作的概率為0.25，進(jìn)而由概率的意義可得一定時(shí)間段內(nèi)AB之間電流能夠正常通過(guò)的概率．【詳解】解：根據(jù)題意，電流在一定時(shí)間段內(nèi)正常通過(guò)電子元件的概率是0.5，

即某一個(gè)電子元件不正常工作的概率為0.5，則兩個(gè)元件同時(shí)不正常工作的概率為0.25；故在一定時(shí)間段內(nèi)AB之間電流能夠正常通過(guò)的概率為=0.75，故選A.例6、現(xiàn)有4條線段，長(zhǎng)度依次是2、4、6、7，從中任選三條，能組成三角形的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【提示】從四條線段中任意選取三條，找出所有的可能，以及能構(gòu)成三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率．【詳解】解：從長(zhǎng)度分別為2、4、6、7的四條線段中任選三條有如下4種情況：2、4、6；2、4、7；

2、6、7；4、6、7；其中能構(gòu)成三角形的有2、6、7；4、6、7這兩種情況，

所以能構(gòu)成三角形的概率是，

故選：B．【題型】三、用列舉法求概率例7、不透明的袋子中裝有兩個(gè)小球，上面分別寫著“1”，“2”，除數(shù)字外兩個(gè)小球無(wú)其他差別．從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄其數(shù)字，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄其數(shù)字，那么兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【提示】先根據(jù)題意畫出樹狀圖，再利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：所以共4種情況：其中滿足題意的有兩種，所以兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率是故選C．例8、將一個(gè)籃球和一個(gè)足球隨機(jī)放入三個(gè)不同的籃子中，則恰有一個(gè)籃子為空的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰有一個(gè)籃子為空的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】解：三個(gè)不同的籃子分別用A、B、C表示，根據(jù)題意畫圖如下：共有9種等可能的情況數(shù)，其中恰有一個(gè)籃子為空的有6種，則恰有一個(gè)籃子為空的概率為．故選：A．例9、現(xiàn)有兩個(gè)不透明的袋子，一個(gè)裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，另一個(gè)裝有1個(gè)黃球、2個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同，從兩個(gè)袋子中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【提示】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到兩個(gè)球顏色相同的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算可得．【詳解】解：列表如下：黃紅紅紅（黃，紅）（紅，紅）（紅，紅）紅（黃，紅）（紅，紅）（紅，紅）白（黃，白）（紅，白）（紅，白）由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中摸出的兩個(gè)球顏色相同的有4種結(jié)果，所以摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率為．故選：B．【題型】四、判斷游戲公平性例10、小偉和小梅兩位同學(xué)玩擲骰子的游戲，兩人各擲一次均勻的骰子，以擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值判斷輸贏．若所得數(shù)值等于，，，則小偉勝：若所得數(shù)值等于，，，則小梅勝（1）請(qǐng)利用表格分別求出小偉、小梅獲勝的概率（2）判斷上述游戲是否公平．如果公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不公平，請(qǐng)利用上表修改游戲規(guī)則，以確保游戲的公平性【答案】（1）P（小偉勝）＝，P（小梅勝）＝；（2）游戲不公平；修改為：兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為1，2，則小偉勝；否則小梅勝．【提示】（1）利用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，并求出小偉勝、小梅勝的概率；（2）依據(jù)獲勝的概率判斷游戲的公平性，修改規(guī)則時(shí)，利用差的絕對(duì)值的形式，使兩人獲勝的概率相等即可．【詳解】解：（1）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：表中總共有36種可能的結(jié)果，每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，“差的絕對(duì)值”為0，1，2共有24種，“差的絕對(duì)值”為3，4，5的共有12種，∴P（小偉勝）＝＝，P（小梅勝）＝＝，答：小偉勝的概率是，小梅勝的概率是；（2）∵≠，∴游戲不公平；根據(jù)表格中“差的絕對(duì)值”的不同情況，要使游戲公平，即兩人獲勝的概率相等，于是修改為：兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為1，2，則小偉勝；否則小梅勝，這樣小偉、小梅獲勝的概率均為．【題型】五、用頻率估計(jì)概率例11、為慶祝建黨99周年，某校八年級(jí)（3）班團(tuán)支部為了讓同學(xué)們進(jìn)一步了解中國(guó)科技的發(fā)展，給班上同學(xué)布置了一項(xiàng)課外作業(yè)，從選出的以下五個(gè)內(nèi)容中任選部分內(nèi)容進(jìn)行手抄報(bào)的制作：、“北斗衛(wèi)星”：、“時(shí)代”；、“智軌快運(yùn)系統(tǒng)”；、“東風(fēng)快遞”；、“高鐵”．統(tǒng)計(jì)同學(xué)們所選內(nèi)容的頻數(shù)，繪制如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則選擇“時(shí)代”的頻率是（）A．0.25 B．0.3 C．25 D．30【答案】B【提示】先計(jì)算出八年級(jí)（3）班的全體人數(shù)，然后用選擇“5G時(shí)代”的人數(shù)除以八年級(jí)（3）班的全體人數(shù)即可．【詳解】由圖知，八年級(jí)（3）班的全體人數(shù)為：（人）選擇“5G時(shí)代”的人數(shù)為：30人∴選擇“時(shí)代”的頻率是：故選：B．例12、為了解某地區(qū)九年級(jí)男生的身高情況，隨機(jī)抽取了該地區(qū)1000名九年級(jí)男生的身高數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下．身高人數(shù)60260550130根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)結(jié)果，隨機(jī)抽取該地區(qū)一名九年級(jí)男生，估計(jì)他的身高不低于的概率是（）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87【答案】C【提示】先計(jì)算出樣本中身高不低于170cm的頻率，然后根據(jù)利用頻率估計(jì)概率求解．【詳解】解：樣本中身高不低于170cm的頻率，

所以估計(jì)抽查該地區(qū)一名九年級(jí)男生的身高不低于170cm的概率是0.68．

故選：C．例13、如圖①所示，平整的地面上有一個(gè)不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，將不規(guī)則圖案圍起來(lái)，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地朝長(zhǎng)方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長(zhǎng)方形區(qū)域外不計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果），他將若干次有效實(shí)驗(yàn)的結(jié)果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，由此他估計(jì)不規(guī)則圖案的面積大約為（）A． B． C． D．【答案】B【提示】本題分兩部分求解，首先假設(shè)不規(guī)則圖案面積為x，根據(jù)幾何概率知識(shí)求解不規(guī)則圖案占長(zhǎng)方形的面積大??；繼而根據(jù)折線圖用頻率估計(jì)概率，綜合以上列方程求解．【詳解】假設(shè)不規(guī)則圖案面積為x，由已知得：長(zhǎng)方形面積為20，根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：，當(dāng)事件A實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時(shí)，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率估計(jì)值，故由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為0.35，綜上有：，解得．故選：B．概率（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．下列所給的事件中，是必然事件的是（

）A．某校的300名學(xué)生中，至少有2名學(xué)生的生日是同一天．B．正方形的對(duì)角線互相垂直C．某抽獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率是，那么連續(xù)抽10次，必然會(huì)中獎(jiǎng)．D．2023年的元旦順德會(huì)下雪．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)必然事件的概念，即可求解．【詳解】解：A、某校的300名學(xué)生中，至少有2名學(xué)生的生日是同一天，是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意；B、正方形的對(duì)角線互相垂直，是必然事件，故本選項(xiàng)符合題意；C、某抽獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率是，那么連續(xù)抽10次，必然會(huì)中獎(jiǎng)，是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意；D、2023年的元旦順德會(huì)下雪，是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)必然事件的概念的理解，熟練掌握必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是解題的關(guān)鍵．2．縣氣象站天氣預(yù)報(bào)稱，明天千島湖鎮(zhèn)的降水概率為，下列理解正確的是（）A．明天千島湖鎮(zhèn)下雨的可能性較大B．明天千島湖鎮(zhèn)有的地方會(huì)下雨C．明天千島湖鎮(zhèn)全天有的時(shí)間會(huì)下雨D．明天千島湖鎮(zhèn)一定會(huì)下雨【答案】A【分析】概率是表示事件發(fā)生可能性大小的量，據(jù)此解得此題即可．【詳解】解：千島湖鎮(zhèn)明天下雨概率是，表示千島湖鎮(zhèn)明天下雨的可能性很大，但不是將有的地方下雨，不是的時(shí)間下雨，也不是明天肯定下雨，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查概率，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵．3．下列成語(yǔ)所描述的事件屬于不可能事件的是（

）A．守株待兔 B．水中撈月 C．水滴石穿 D．百發(fā)百中【答案】B【分析】根據(jù)必然事件就是一定發(fā)生的事件逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、守株待兔是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；B、水中撈月是不可能事件，故該選項(xiàng)符合題意；C、水滴石穿是必然事件，故該選項(xiàng)不符合題意；D、百發(fā)百中是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，電路圖上有4個(gè)開關(guān)A、B、C、D和1個(gè)小燈泡，同時(shí)閉合開關(guān)A、B或同時(shí)閉合開關(guān)C、D都可以使小燈泡發(fā)光，下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個(gè)事件是隨機(jī)事件的是（）A．只閉合4個(gè)開關(guān) B．只閉合3個(gè)開關(guān) C．只閉合2個(gè)開關(guān) D．閉合1個(gè)開關(guān)【答案】C【分析】根據(jù)題意分別判斷能否發(fā)光，進(jìn)而判斷屬于什么事件即可．【詳解】解：A、閉合4個(gè)開關(guān)，小燈泡一定會(huì)發(fā)光，是必然事件，不符合題意；B、只閉合3個(gè)開關(guān)，小燈泡一定會(huì)發(fā)光，是必然事件，不符合題意；C、只閉合2個(gè)開關(guān)，小燈泡可能發(fā)光也可能不發(fā)光，是隨機(jī)事件，符合題意；D、只閉合1個(gè)開關(guān)，小燈泡不會(huì)發(fā)光，屬于不可能事件，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件的分類，正確判斷小燈泡能否發(fā)光是解題的關(guān)鍵．5．袋子中裝有個(gè)紅球、個(gè)綠球，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，是綠球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)概率公式直接計(jì)算即可求解．【詳解】解：袋子中裝有個(gè)紅球、個(gè)綠球，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，是綠球的概率為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．6．如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被等分成個(gè)扇形區(qū)域，并涂上了相應(yīng)的顏色，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向紅色區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先確定在圖中紅色區(qū)域的面積在整個(gè)面積中占的比例，根據(jù)這個(gè)比例即可求出指針指向紅色區(qū)域的概率．【詳解】解：圓被等分成份，其中紅色部分占份，落在陰影區(qū)域的概率．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查幾何概率問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)概率相應(yīng)的面積與總面積之比解答．7．某校舉行春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，需要在初一年級(jí)選取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有名同學(xué)報(bào)名參加．現(xiàn)從這名同學(xué)中隨機(jī)選取一名志愿者，則被選中的這名同學(xué)恰好是初一（3）班同學(xué)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：這名同學(xué)中隨機(jī)選取一名志愿者，共有6種等可能出現(xiàn)的情況，其中被選中的這名同學(xué)恰好是初一（3）班同學(xué)出現(xiàn)的情況共2種，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查概率．熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵．8．宋代程顥的《秋月》有四句古詩(shī)如下：①空水澄鮮一色秋；②白云紅葉兩悠悠；③清溪流過(guò)碧山頭；④隔斷紅塵三十里這四句古詩(shī)的順序被打亂了，敏敏想把這四句古詩(shī)調(diào)整為正確位置，則她第一次就調(diào)整正確的可能性是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題是排序古詩(shī)相當(dāng)于簡(jiǎn)單隨機(jī)事件中的“不放回”事件，求出總的可能為24，第一次調(diào)整可能占其中一種，第一次就調(diào)整正確的可能性大小是．【詳解】解：這首詩(shī)四句隨機(jī)排列的順序共有24種情況：①②③④，①②④③，①③②④，①④②③，①④③②，②①③④，②①④③，②③①④，②③④①，②④①③，②④③①，①②③④，④②①③，③①②④，③①④②，③②①④，③②④①，③④①②，③④②①，④①②③，④①③②，④②①③，④②③①，④③①②，④③②①因?yàn)檫@24種情況出現(xiàn)的可能性大小相等，正確的順序只有一種④②①③，故第一次就調(diào)整正確的可能性大小是．故答案選：C【點(diǎn)睛】本題是考查等可能概型的概率計(jì)算公式計(jì)算概率，熟練掌握簡(jiǎn)單隨機(jī)事件概率的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．當(dāng)出現(xiàn)可能結(jié)果多種時(shí)，用樹狀圖輔助列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．9．下列事件是隨機(jī)事件的是（）A．打開電視，正在播放《中國(guó)機(jī)長(zhǎng)》B．白發(fā)三千丈，緣愁似個(gè)長(zhǎng)C．離離原上草，一歲一枯榮D．鈍角三角形的內(nèi)角和大于【答案】A【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的意義，事件發(fā)生的可能性大小判斷即可得到答案．【詳解】解：A、打開電視，正在播放《中國(guó)機(jī)長(zhǎng)》，是隨機(jī)事件，符合題意，選項(xiàng)正確；B、白發(fā)三千丈，緣愁似個(gè)長(zhǎng)，是不可能事件，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、離離原上草，一歲一枯榮，是必然事件，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、鈍角三角形的內(nèi)角和大于，是不可能事件，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件的意義，正確理解隨機(jī)事件的意義是解題關(guān)鍵．二、填空題10．某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊成績(jī)記錄如下：射擊次數(shù)20801002004008001000射中九環(huán)以上次數(shù)186882166330664832射中九環(huán)以上的頻率0.900.850.820.830.8250.830.832根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“中九環(huán)以上”的概率約是_______.（精確到0.01）【答案】0.83【分析】根據(jù)大量的試驗(yàn)結(jié)果穩(wěn)定在0.83左右即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵從頻率的波動(dòng)情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.83附近，∴這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中九環(huán)以上”的概率是0.83．故答案為：0.83．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是利用頻率估計(jì)概率，熟知大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率是解答此題的關(guān)鍵．11．如圖，若隨機(jī)閉合開關(guān)，，中的兩個(gè)，則能讓兩燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為______【答案】【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結(jié)果和能讓兩盞燈泡同時(shí)發(fā)光的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：列表如下：（，）（，）（，）（，）（，）（，）由表格可知一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中能讓兩燈泡同時(shí)發(fā)光的結(jié)果數(shù)有2種，∴能讓兩燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．三、解答題12．某校為了解九年級(jí)男同學(xué)的體育考試準(zhǔn)備情況，隨機(jī)抽取部分男同學(xué)進(jìn)行了米跑步測(cè)試．按照成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個(gè)等級(jí)，學(xué)校繪制了如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖．(1)根據(jù)給出的信息，補(bǔ)全兩幅統(tǒng)計(jì)圖；(2)該校九年級(jí)有名男生，請(qǐng)估計(jì)成績(jī)達(dá)到良好及以上等級(jí)的有多少名？(3)某班甲、乙兩位成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)被選中參加即將舉行的學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)米比賽．預(yù)賽分別為三組進(jìn)行，選手由抽簽確定分組．甲、乙兩人恰好分在同一組的概率是多少？【答案】(1)圖示見(jiàn)詳解(2)名(3)【分析】（1）根據(jù)良好的人數(shù)與百分比可求出總?cè)藬?shù)，合格人數(shù)，以及合格的百分比，優(yōu)秀的百分比，由此即可求解；（2）計(jì)算出良好及以上的百分比，由此即可求解；（3）用樹狀圖表示出所有可能的結(jié)果，再找出甲、乙兩人恰好分在同一組的結(jié)果，根據(jù)概率計(jì)算公式即可求解．【詳解】（1）解：調(diào)查的總?cè)藬?shù)為（人），∴合格等級(jí)的人數(shù)為（人），∴合格等級(jí)人數(shù)所占的百分比為，優(yōu)秀等級(jí)人數(shù)所占的百分比為，∴統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，（2）解：（名），∴估計(jì)成績(jī)達(dá)到良好及以上等級(jí)的有名．（3）解：畫樹狀圖如下所示，共有種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲、乙兩人恰好分在同一組的結(jié)果數(shù)為，∴甲、乙兩人恰好分在同一組的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖，概率的計(jì)算的綜合，掌握數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)中樣本容量，樣本百分比的關(guān)系，根據(jù)概率估算總體的知識(shí)，概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．13．某學(xué)校準(zhǔn)備組織學(xué)生參加唱歌、舞蹈、書法、朗誦活動(dòng)，為了解學(xué)生的參與情況，該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行“你愿意參加哪一項(xiàng)活動(dòng)”（必選且只選一種）的問(wèn)卷調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：(1)本次抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)為______，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“舞蹈”對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為______．(2)若該校有1400名學(xué)生，估計(jì)選擇參加“書法”的有多少人？(3)學(xué)校準(zhǔn)備從推薦的4位同學(xué)（兩男兩女）中隨機(jī)選取兩人當(dāng)正式活動(dòng)的主持人，利用畫樹狀圖法或列表法求選取的兩人恰為一男一女的概率．【答案】(1)200人，(2)人(3)【分析】（1）先求出抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再求出參加“舞蹈”的抽樣學(xué)生的人數(shù)，即可求解；（2）用總?cè)藬?shù)乘以參加“書法”的人數(shù)所占的百分比，即可求解；（3）根據(jù)題意，列出表格，再根據(jù)概率公式計(jì)算，即可求解．【詳解】（1）解：抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)為，參加“舞蹈”的抽樣學(xué)生有（人），扇形統(tǒng)計(jì)圖中“舞蹈”對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為．（2）解：選擇參加“書法”的有（人）．（3）解：記兩名男生分別為，兩名女生分別為，列表如下：由列表可得共有12種等可能結(jié)果，其中恰好選取一男一女的結(jié)果有8種，∴選取的兩人恰為一男一女的概率．【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，利用樹狀圖或列表法求概率，根據(jù)題意，準(zhǔn)確從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．概率（提升測(cè)評(píng)）一、單選題1．將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在白色區(qū)域的概率為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A發(fā)生時(shí)涉及的圖形面積÷一次試驗(yàn)涉及的圖形面積，因?yàn)檫@是幾何概率．【詳解】解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為a，過(guò)作于，過(guò)作于，如圖所示：正六邊形的內(nèi)角為，在中，，則，，在中，，則，則灰色部分面積為，白色區(qū)域面積為，所以正六邊形面積為兩部分面積之和為，飛鏢落在白色區(qū)域的概率，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率，熟練掌握幾何概率模型及簡(jiǎn)單概率公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．活動(dòng)課上，小林、小軍、小強(qiáng)3位同學(xué)和其他6位同學(xué)一起進(jìn)行3人制籃球賽，他們將9人隨機(jī)抽簽分成三組，則小林、小軍、小強(qiáng)三人恰好分在3個(gè)不同組的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意列出樹狀圖得出所有等情況數(shù)，符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：記三組分別為A，B，C，畫樹狀圖如下：所以所有的等可能的情況數(shù)有27種，符合條件的情況數(shù)有6種，所以小林、小軍、小強(qiáng)三人恰好分在3個(gè)不同組的概率是故選B【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．如圖，點(diǎn)D在的邊上，連接，點(diǎn)P的位置如圖所示，在圖中隨機(jī)選擇一個(gè)三角形，則點(diǎn)P在選擇的三角形內(nèi)部的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】先找到圖中一共有3個(gè)三角形，再找到符合要求的三角形有2個(gè)，即可求出概率．【詳解】解：∵圖干圖形中，三角形有、、，則點(diǎn)P在、內(nèi)部∴P（點(diǎn)P在選擇的三角形內(nèi)部的概率）=故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4．現(xiàn)有3包同一品牌的餅干，其中2包已過(guò)期，隨機(jī)抽取2包，2包都過(guò)期的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，2包都過(guò)期的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把1包不過(guò)期的餅干記為A，2包已過(guò)期的餅干記為B、C，畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結(jié)果，兩包都過(guò)期的結(jié)果有2種，∴兩包都不過(guò)期的概率為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，若隨意拋出一粒石子在這個(gè)圓面上，則石子落在正方形ABCD內(nèi)概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在這個(gè)圓面上隨意拋一粒豆子，落在圓內(nèi)每一個(gè)地方是均等的，因此計(jì)算出正方形和圓的面積，利用幾何概率的計(jì)算方法解答即可．【詳解】解：∵設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，∴⊙O的半徑為，∴S圓＝×（a）2，S正方形＝a2，∴在這個(gè)圓面上隨意拋一粒豆子，則豆子落在正方形ABCD內(nèi)的概率是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概率的意義：一般地，對(duì)于古典概型，如果試驗(yàn)的基本事件為n，隨機(jī)事件A所包含的基本事件數(shù)為m，我們就用來(lái)描述事件A出現(xiàn)的可能性大小，稱它為事件A的概率，記作P（A），即有P（A）＝．6．孔明給弟弟買了一些糖果，放到一個(gè)不透明的袋子里，這些糖果除了口味和外包裝的顏色外其余都相同，袋子里各種口味糖果的數(shù)量統(tǒng)計(jì)如圖所示，他讓弟弟從袋子里隨機(jī)摸出一顆糖果．則弟弟恰好摸到蘋果味糖果的概率是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖得到弟弟摸到的所有可能數(shù)和摸到蘋果味糖果的可能數(shù)，然后運(yùn)用概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：弟弟摸到的所有可能數(shù)為3+3+5+4=15，摸到蘋果味糖果的可能數(shù)4所以弟弟恰好摸到蘋果味糖果的概率是．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)與概率中概率的求法，確定弟弟摸到的所有可能數(shù)和摸到蘋果味糖果的可能數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．7．在一個(gè)不透明的口袋中裝有個(gè)紅球和若干個(gè)白球，他們除顏色外其他完全相同．通過(guò)多次摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，則口袋中白球可能有（）A．1個(gè) B．1個(gè) C．1個(gè) D．1個(gè)【答案】D【分析】由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近得出口袋中得到紅色球的概率，進(jìn)而求出白球個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)白球個(gè)數(shù)為：x個(gè)，∵摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在25%左右，∴口袋中得到紅色球的概率為25%，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)x=12是原方程的根，故白球的個(gè)數(shù)為12個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，根據(jù)大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率得出是解題關(guān)鍵．8．4件外觀相同的產(chǎn)品中只有1件不合格，現(xiàn)從中一次抽取2件進(jìn)行檢測(cè)，抽到的兩件產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品合格而另一件產(chǎn)品不合格的概率是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)合格產(chǎn)品記為，，，不合格產(chǎn)品記為B，然后畫樹狀圖先找出所有等可能性的結(jié)果數(shù)，找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】設(shè)三件合格產(chǎn)品記為，，，不合格產(chǎn)品記為B，畫出樹狀圖如下：由上可得，一共有12種等可能性，其中抽到的兩件產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品合格而另一件產(chǎn)品不合格的可能性有6種，∴抽到的兩件產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品合格而另一件產(chǎn)品不合格的概率為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，熟練掌握列表法或樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵．9．如圖，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機(jī)閉合開關(guān)，，中的兩個(gè)，能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能讓兩個(gè)