專題12.3全等三角形（章節(jié)復(fù)習(xí)考點(diǎn)講練）學(xué)生版

20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)同步專題熱點(diǎn)難點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)專題12.3全等三角形（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點(diǎn)講練）知識(shí)點(diǎn)01：全等三角形的判定與性質(zhì)一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（其他對(duì)應(yīng)元素也相等，如對(duì)應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等知識(shí)點(diǎn)02：全等三角形的證明思路知識(shí)點(diǎn)03：角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.知識(shí)點(diǎn)04：全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切巍⑺倪呅?、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5)對(duì)頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長(zhǎng)中線法；(3)作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).【典例分析】（2023春?明水縣期中）已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周長(zhǎng)為12cm，面積為6cm2，則△DEF的周長(zhǎng)為12cm，面積為6cm2．【思路點(diǎn)撥】利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【規(guī)范解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴△ABC與△DEF的面積相等，周長(zhǎng)相等，∵△ABC的周長(zhǎng)為12cm，面積為6cm2，∴△DEF的周長(zhǎng)為12cm，面積為6cm2，故答案為12，6．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，記住全等三角形的面積相等，周長(zhǎng)相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練11】（2022秋?興城市期末）如圖，△ABC≌△DEC，∠A＝40°，∠B＝70°，∠ACE＝30°，則∠DCA的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式訓(xùn)練12】（2022秋?平橋區(qū)期末）如圖，N，C，A三點(diǎn)在同一直線上，N，B，M三點(diǎn)在同一直線上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM的度數(shù)等于（）A．10° B．20° C．30° D．40°【變式訓(xùn)練13】（2023春?尉氏縣月考）如圖，在銳角三角形ABC中，F(xiàn)、G分別是AB、AC上的點(diǎn)，△ACF≌△ADF，△ABG≌△AEG，且DF∥BC∥GE，BG、CF交于點(diǎn)H，若∠BAC＝40°，則∠BHC的度數(shù)是．【變式訓(xùn)練14】（2023春?渭濱區(qū)期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）如圖（1），當(dāng)t＝或時(shí)，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【變式訓(xùn)練15】（2022秋?句容市期末）如圖，已知△ABC≌△DEB，點(diǎn)E在AB上，DE與AC相交于點(diǎn)F．（1）當(dāng)DE＝8，BC＝5時(shí)，求線段AE的長(zhǎng)；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC與∠AFD的度數(shù)．【典例分析】（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于E．AD與BE交于F，若BF＝AC，求證：△ADC≌△BDF．【思路點(diǎn)撥】求出∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，根據(jù)AAS推出兩三角形全等即可．【規(guī)范解答】證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC+∠AEF+∠AFE＝180°，∠BDF+∠BFD+∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS）．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【變式訓(xùn)練21】（2023春?和平縣期末）如圖，已知AD是△ABC的中線，E、F分別是AD和AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BF∥CE，連接BF，CE，下列說(shuō)法中：①BD＝CD；②△BDF≌△CDE；③∠BAF+∠ABC＝∠CDE；④CE＝AE．正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【變式訓(xùn)練22】（2023春?渭南期末）在學(xué)習(xí)完“探索三角形全等的條件”一節(jié)后，一同學(xué)總結(jié)出很多全等三角形的模型，他設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題給同桌解決：如圖，做一個(gè)“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足夠長(zhǎng)，PA⊥AB于A，QB⊥AB于點(diǎn)B，點(diǎn)M從B出發(fā)向A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從B出發(fā)向Q運(yùn)動(dòng)，使M，N運(yùn)動(dòng)的速度之比3：4，當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一瞬間同時(shí)停止，此時(shí)在射線AP上取點(diǎn)C，使△ACM與△BMN全等，則線段AC的長(zhǎng)為（）A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm【變式訓(xùn)練23】（2023春?余江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)C在直線l上．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在三角形邊上沿A→C→B的路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿B→C→A的路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和Q分別以1單位/秒和2單位/秒的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若有一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)要繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直到兩點(diǎn)都到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)才能停止．在某時(shí)刻，分別過(guò)P和Q作PE⊥l于點(diǎn)E，QF⊥l于點(diǎn)F，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于2或或12秒時(shí)，△PEC與△CFQ全等．【變式訓(xùn)練24】（2023春?高州市期末）已知：如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t的值為秒時(shí)，△ABP和△DCE全等．【變式訓(xùn)練25】（2023春?紫金縣期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，且BE＝CF．點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足AC∥BD，AE∥DF．求證：△EAC≌△FDB．【典例分析】（2023春?臨渭區(qū)期中）如圖所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)A在BC上，且AE＝CF．求證：Rt△ABE≌Rt△CBF．【思路點(diǎn)撥】先判斷△ABC為等腰直角三角形得到AB＝CB，然后根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△CBF．【規(guī)范解答】證明：∵CB⊥AB，∴∠ABC＝∠FBC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝CB，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了直角三角形全等的判定：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．【變式訓(xùn)練31】（2022春?古田縣校級(jí)月考）下面說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（）（1）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等．（2）有兩條邊對(duì)應(yīng)相等的等腰直角三角形全等．（3）一條斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．（4）兩邊及其一邊上的高也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式訓(xùn)練32】（2023春?張店區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，為了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的條件是（不添加字母和輔助線）．【變式訓(xùn)練33】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DF，若要用“斜邊直角邊（H．L．）”直接證明Rt△ABC≌Rt△DFE，則還需補(bǔ)充條件：．【變式訓(xùn)練34】（2022春?任城區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分別過(guò)B、C向過(guò)A的直線作垂線，垂足分別為E、F．（1）如圖①過(guò)A的直線與斜邊BC不相交時(shí)，求證：EF＝BE+CF；（2）如圖②過(guò)A的直線與斜邊BC相交時(shí)，其他條件不變，若BE＝10，CF＝3，求：FE長(zhǎng)．【典例分析】（2023春?云夢(mèng)縣期中）如圖所示，等腰直角三角形ABC的斜邊BC＝2，頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，B在y軸正半軸上，C在x軸正半軸上，現(xiàn)沿x軸正半軸將△ABC按順時(shí)針?lè)较蚍D(zhuǎn)，則第10次翻轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意找到循環(huán)次數(shù)，根據(jù)勾股定求出直角邊，即可得到答案．【規(guī)范解答】解：∵等腰直角三角形ABC的斜邊BC＝2，∴，由圖象可得：圖形3次一循環(huán)，∵10÷3＝3.....1，∴，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查圖形規(guī)律，勾股定理，解題的關(guān)鍵是找到圖形的循環(huán)規(guī)律．【變式訓(xùn)練41】（2023春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，6），作BA⊥x軸，BC⊥y軸，垂足分別為A、C，點(diǎn)D為線段OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB、BC上沿A→B→C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OP＝CD時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（6，1） B．（6，3） C．（3，3） D．（6，3）或（3，6）【變式訓(xùn)練42】（2023春?高碑店市校級(jí)月考）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于點(diǎn)M，關(guān)于結(jié)論Ⅰ，Ⅱ，下列判斷正確的是（）結(jié)論Ⅰ：AC＝BD；結(jié)論Ⅱ：∠CMD＞∠CODA．Ⅰ對(duì)，Ⅱ錯(cuò) B．Ⅰ錯(cuò)，Ⅱ?qū)?C．1，Ⅱ都對(duì) D．Ⅰ，Ⅱ都錯(cuò)【變式訓(xùn)練43】（2023春?萊州市期末）如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)（不與A，D重合），則AB﹣ACPB﹣PC（填“＞”、“＜”或“＝”）．【變式訓(xùn)練44】（2022秋?商水縣期末）添加輔助線是很多同學(xué)感覺(jué)比較困難的事情．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一點(diǎn)，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面積．同學(xué)們可以先思考一下…，小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在BD上截取BF＝DE，（如圖2）．同學(xué)們，根據(jù)小穎的提示，聰明的你可以求得△BDE的面積為．【變式訓(xùn)練45】（2023?肥城市校級(jí)模擬）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．【變式訓(xùn)練46】（2022秋?龍巖期末）閱讀下題及證明過(guò)程．已知：如圖，AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，求證：∠BAP＝∠CAP．證明：∵AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，PA＝PA，∴△PAB≌△PAC第一步，∴∠BAP＝∠CAP第二步．上面的證明過(guò)程是否正確？若正確，請(qǐng)寫出每一步推理的依據(jù)；若不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)在哪一步，并寫出你認(rèn)為正確的證明過(guò)程．【典型例題】（2023春?建平縣期末）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合．則兩堵木墻之間的距離DE是（）A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm【思路點(diǎn)撥】由題意易得∠ADC＝∠CEB＝90°，則有∠BCE＝∠DAC，進(jìn)而可證△ADC≌△CEB，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形全等的判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練51】（2022秋?靈寶市校級(jí)期末）如圖，是小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時(shí)秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝2.5m．樂(lè)樂(lè)在蕩秋千過(guò)程中，當(dāng)秋千擺動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，測(cè)得點(diǎn)A到BD的距離AC＝1.5m，點(diǎn)A到地面的距離AE＝1.5m，當(dāng)他從A處擺動(dòng)到A'處時(shí)，若A'B⊥AB，A'到BD的距離是．【變式訓(xùn)練52】（2023?信陽(yáng)二模）如圖，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），則當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，△ACP與△BPQ有可能全等．【變式訓(xùn)練53】（2023春?六盤水期中）為了解學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，某校老師在八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，設(shè)置了這樣的問(wèn)題：因?yàn)槌靥羶啥薃，B的距離無(wú)法直接測(cè)量，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)方案測(cè)量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：甲：如圖1，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，連接BO并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測(cè)出DC的長(zhǎng)即可；乙：如圖2，先確定直線AB，過(guò)點(diǎn)B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點(diǎn)C，最后測(cè)量BC的長(zhǎng)即可．甲、乙兩個(gè)同學(xué)的方案是否可行？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練54】（2023?懷化三模）如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是1.5m的相同長(zhǎng)方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻ABCD和EFGH，點(diǎn)P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求證：△ABP≌△PEF；（2）求BE的長(zhǎng)．【典型例題】（2022秋?龍巖期末）如圖，OC平分∠AOB，CP⊥OB于點(diǎn)P，CP＝3，點(diǎn)Q在OA上，OQ＝6，則△OCQ的面積為（）A． B．6 C．9 D．18【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于D，利用角平分線的性質(zhì)求得CD＝CP＝3，再根據(jù)三角形面積公式求解．【規(guī)范解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于D，如圖，∵CP⊥OB，CD⊥OA，OC平分∠AOB，∴CD＝CP＝3，∴，故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形面積，作輔助線CD⊥OA于D是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練61】（2023春?南海區(qū)校級(jí)期中）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，點(diǎn)E是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PE的最小值為cm．【變式訓(xùn)練62】（2023春?巴州區(qū)期中）如圖，點(diǎn)O是直線EF上一點(diǎn)，射線OA，OB，OC在直線EF的上方，射線OD在直線EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．（1）若∠DOF＝40°，求∠AOB的度數(shù)；（2）若OA平分∠BOE，求∠DOF的度數(shù)．【變式訓(xùn)練63】（2023春?鄆城縣期中）如圖，已知△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)交BC于D，OH⊥BC于H，OH＝5cm，點(diǎn)O到AB的距離為cm．【變式訓(xùn)練64】（2022秋?寧波期末）如圖，在△ABC中，∠A＝75°，∠ABC＝45