專題10.4分式方程（知識(shí)解讀）

專題10.4分式方程（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解解分式方程的基本思路和解法．2.掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法．3.體會(huì)解分式方程過(guò)程中的化歸思想．4.結(jié)合利用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫實(shí)際問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的一種重要數(shù)學(xué)模型【知識(shí)點(diǎn)梳理】考點(diǎn)1：分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.注意：分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.考點(diǎn)2：分式方程的解法解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.考點(diǎn)3：分式方程應(yīng)用類型一：工程問(wèn)題類型二：行程問(wèn)題類型三：銷售問(wèn)題類型四：方案問(wèn)題【典例分析】【考點(diǎn)1分式方程定義】【典例1】（2022春?方城縣期中）給出下列方程：，，，，其中分式方程的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：根據(jù)分式方程的定義可知：分式方程有＝2，＝，共有2個(gè)．故選：B．【變式11】（2021秋?魚臺(tái)縣期末）下列方程中不是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、分母中含未知數(shù)，是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；B、分母中含未知數(shù)，是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；C、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，故此選項(xiàng)符合題意；D、分母中含未知數(shù)，是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式12】（2021秋?西峰區(qū)期末）下列關(guān)于x的方程是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：選項(xiàng)A、B、D是整式方程，不符合題意；選項(xiàng)C，是分式方程，符合題意；故選：C．【典例2】（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）解方程：（1）；（2）＝1．【解答】解：（1）﹣1＝，方程兩邊都乘x﹣2，得4x﹣（x﹣2）＝﹣3，解得：x＝﹣，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣時(shí)，x﹣2≠0，所以x＝﹣是原方程的解，即原方程的解是x＝﹣；（2）﹣＝1，﹣＝1，方程兩邊都乘（x+3）（x﹣3），得x（x+3）﹣18＝（x+3）（x﹣3），解得：x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝3是增根，即原分式方程無(wú)解．【變式21】（2022春?洪澤區(qū)期末）解方程：﹣＝1．【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），整理得：x2+2x﹣5x+10＝x2﹣2x，解得：x＝10，檢驗(yàn)：把x＝10代入得：x（x﹣2）≠0，∴分式方程的解為x＝10．【變式22】（2022春?海州區(qū)期末）解分式方程：（1）；（2）．【解答】解：（1）兩邊乘（x﹣3）（3x﹣1），得2（3x﹣1）＝3（x﹣3），解得：x＝﹣，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣時(shí)，（x﹣3）（3x﹣1）≠0，所以x＝﹣是原方程的解．（2）方程兩邊同乘（x﹣1）（x+1），得（x+1）2﹣4＝x2﹣1．解得：x＝1，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，（x﹣1）（x+1）＝0，所以x＝1是增根，原方程無(wú)解．【變式23】（2022春?連云港期末）解分式方程：（1）；（2）．【解答】解：（1），﹣＝4，方程兩邊都乘2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3），解得：x＝1，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，2x﹣3≠0，所以x＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1；（2），﹣＝，方程兩邊都乘3（3x﹣1），得1﹣3x＝2（3x﹣1），解得：x＝，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝時(shí)，3（3x﹣1）＝0，所以x＝增根，即原方程無(wú)解．【考點(diǎn)3分式方程應(yīng)用類型】類型一工程問(wèn)題【典例3】（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）某工程隊(duì)承擔(dān)了修建地鐵兩個(gè)站點(diǎn)間2400米的隧道工程任務(wù)，由于采用了新技術(shù)，現(xiàn)在每個(gè)月比原計(jì)劃多掘進(jìn)了180米，因而比原計(jì)劃提前3個(gè)月完成任務(wù)．（1）求完成此項(xiàng)工程原計(jì)劃每個(gè)月掘進(jìn)多少米？（2）如果每天的施工費(fèi)用為2.5萬(wàn)元，那么該工程隊(duì)現(xiàn)在完成此項(xiàng)工程共需多少萬(wàn)元？（每個(gè)月按30天算）【解答】解：（1）設(shè)完成此項(xiàng)工程原計(jì)劃每個(gè)月掘進(jìn)x米，則現(xiàn)在每個(gè)月掘進(jìn)（x+180）米．根據(jù)題意，得：﹣＝3，整理，得：x2+180x﹣144000＝0．解得：x1＝﹣480，x2＝300．經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝﹣480，x2＝300都是原方程的解，但x1＝﹣480不符合題意，舍去．答：完成此項(xiàng)工程原計(jì)劃每個(gè)月掘進(jìn)300米．（2）×2.5×30＝375（萬(wàn)元）．答：該工程隊(duì)現(xiàn)在完成此項(xiàng)工程共需375萬(wàn)元．【變式31】（2022春?漣水縣期末）某校為美化校園環(huán)境，計(jì)劃對(duì)面積為1200m2的區(qū)域進(jìn)行綠化，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來(lái)完成．已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化的面積的1.5倍，并且在獨(dú)立完成面積為360m2區(qū)域的綠化時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用2天．求甲、乙兩工程隊(duì)每天能綠化的面積分別是多少m2？【解答】解：設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是xm2，則甲工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是1.5xm2，依題意，得：，解得：x＝60，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原方程的解．∴1.5x＝90．答：甲工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是90m2，乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是60m2．【變式32】（2022春?瑤海區(qū)期末）某建工集團(tuán)下有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)，現(xiàn)中標(biāo)承建一段公路，若甲、乙兩工程隊(duì)合做20天可完成；若讓兩隊(duì)合做15天后，剩下的工程由甲隊(duì)獨(dú)做，還需15天才能完成．（1）甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天？（2）如果甲工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)10000元，乙工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)26000元，此項(xiàng)工程若由甲工程隊(duì)先獨(dú)做若干天后，乙工程隊(duì)再加入共同完成剩下的工程，則甲工程隊(duì)至少要獨(dú)做多少天，才能使施工費(fèi)不超過(guò)680000元？【解答】解：（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，由題意得：×15+＝1，解得：x＝60，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原方程的解，且符合題意，∵﹣＝﹣＝，∴乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要30天，答：甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需60天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要30天；（2）設(shè)甲工程隊(duì)要獨(dú)做a天，乙工程隊(duì)做了b天，由題意得：+＝1，整理得：a+3b＝60，∴b＝20﹣a，∵施工費(fèi)不超過(guò)680000元，∴10000（a+b）+26000b≤680000，∴10000（a+20﹣a）+26000（20﹣a）≤680000，解得：a≥20，答：甲工程隊(duì)至少要獨(dú)做20天．【變式33】（2022?桂林模擬）為了進(jìn)一步豐富市民的休閑生活，某區(qū)政府決定在漓江沿岸擴(kuò)建5400米綠道并進(jìn)行招標(biāo)，根據(jù)招標(biāo)結(jié)果，該工程由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與建設(shè)．已知：甲工程隊(duì)每天完成的工程量是乙隊(duì)的1.2倍，甲隊(duì)單獨(dú)完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)完成少用10天．（1）求乙隊(duì)每天能完成多少米？（2）若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作20天后，剩余工程由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成，求乙工程隊(duì)還需多少天？【解答】解：（1）設(shè)乙隊(duì)每天能完成x米．則甲工程隊(duì)每天完成1.2x米，由題意可得：，解得：x＝90，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝90是原方程的解，且符合題意．答：乙隊(duì)每天能完成90米；（2）設(shè)乙工程隊(duì)還需y天．由題意可得：1.2×90×20+90（20+y）＝5400，解得：y＝16，答：乙工程隊(duì)還需16天．類型二行程問(wèn)題【典例4】（2021?北碚區(qū)校級(jí)開學(xué)）小李從A地出發(fā)去相距4.5千米的B地上班，他每天出發(fā)的時(shí)間都相同．第一天步行去上班結(jié)果遲到了5分鐘．第二天騎自行車去上班結(jié)果早到10分鐘．已知騎自行車的速度是步行速度的1.5倍．（1）求小李步行的速度和騎自行車的速度；（2）有一天小李騎自行車出發(fā)，出發(fā)1.5千米后自行車發(fā)生故障．小李立即跑步去上班（耽誤時(shí)間忽略不計(jì)）為了至少提前5分鐘到達(dá)．則跑步的速度至少為多少千米每小時(shí)？【解答】解：（1）設(shè)小李步行的速度為x千米/小時(shí)，則騎自行車的速度為1.5x千米/小時(shí)，由題意得：﹣＝+，解得：x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原方程的解，則1.5x＝9，答：小李步行的速度為6千米/小時(shí)，則騎自行車的速度為9千米/小時(shí)；（2）小李騎自行車出發(fā)1.5千米所用的時(shí)間為1.5÷9＝（小時(shí)），小李每天出發(fā)的時(shí)間都相同，距離上班的時(shí)間為：4.5÷9+10÷60＝（小時(shí)），設(shè)小李跑步的速度為m千米/小時(shí)，由題意得：1.5+（﹣﹣）m≥4.5，解得：m≥7.2，答：小李立即跑步去上班（耽誤時(shí)間忽略不計(jì)）為了至少提前5分鐘到達(dá)．則跑步的速度至少為7.2千米每小時(shí)．【變式41】（2012?山西模擬）列方程或方程組解應(yīng)用題：為響應(yīng)低碳號(hào)召，肖老師上班的交通方式由自駕車改為騎自行車，肖老師家距學(xué)校15千米，因?yàn)樽择{車的速度是騎自行車速度的4倍，所以肖老師每天比原來(lái)早出發(fā)45分鐘，才能按原時(shí)間到校，求肖老師騎自行車每小時(shí)走多少千米．【解答】列方程或方程組解應(yīng)用題：解：設(shè)肖老師騎自行車每小時(shí)走x千米．根據(jù)題意得：，解得x＝15，經(jīng)檢驗(yàn)x＝15是原方程的解，并符合實(shí)際意義，答：肖老師騎自行車每小時(shí)走15千米．【變式42】（2021?揚(yáng)州模擬）近年來(lái)，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線A為全程25km的普通道路，路線B包含快速通道，全程30km，走路線B比走路線A平均速度提高50%，時(shí)間節(jié)省6min，求走路線B的平均速度．【解答】解：設(shè)走路線A的平均速度為xkm/h，則走路線B的平均速度為（1+50%）xkm/h，依題意，得：﹣＝，解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解，且符合題意，∴（1+50%）x＝75．答：走路線B的平均速度為75km/h．【變式43】（2021秋?正定縣期中）學(xué)校新到一批理、化、生實(shí)驗(yàn)器材需要整理，若實(shí)驗(yàn)管理員李老師一人單獨(dú)整理需要40分鐘完成，現(xiàn)在李老師與工人王師傅共同整理20分鐘后，李老師因事外出，王師傅再單獨(dú)整理了20分鐘才完成任務(wù)．（1）王師傅單獨(dú)整理這批實(shí)驗(yàn)器材需要多少分鐘？（2）學(xué)校要求王師傅的工作時(shí)間不能超過(guò)30分鐘，要完成整理這批器材，李老師至少要工作多少分鐘？【解答】解：（1）設(shè)王師傅單獨(dú)整理這批實(shí)驗(yàn)器材需要x分鐘，則王師傅的工作效率為，由題意，得：20（+）+20×＝1，解得：x＝80，經(jīng)檢驗(yàn)得：x＝80是原方程的根．答：王師傅單獨(dú)整理這批實(shí)驗(yàn)器材需要80分鐘．（2）設(shè)李老師要工作y分鐘，由題意，得：（1﹣）÷≤30，解得：y≥25．答：李老師至少要工作25分鐘．類型三銷售問(wèn)題【典例5】（泰安）某服裝店購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種款型時(shí)尚T恤衫，甲種款型共用了7800元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的1.5倍，甲種款型每件的進(jìn)價(jià)比乙種款型每件的進(jìn)價(jià)少30元．（1）甲、乙兩種款型的T恤衫各購(gòu)進(jìn)多少件？（2）商店進(jìn)價(jià)提高60%標(biāo)價(jià)銷售，銷售一段時(shí)間后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店決定對(duì)乙款型按標(biāo)價(jià)的五折降價(jià)銷售，很快全部售完，求售完這批T恤衫商店共獲利多少元？【解答】解：（1）設(shè)乙種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)x件，則甲種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)1.5x件，依題意有+30＝，解得x＝40，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是原方程的解，且符合題意，1.5x＝60．答：甲種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)60件，乙種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)40件；（2）＝160，160﹣30＝130（元），130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2）＝4680+1920﹣640＝5960（元）答：售完這批T恤衫商店共獲利5960元．【變式51】（2022春?濟(jì)陽(yáng)區(qū)期末）某商場(chǎng)在“六一”兒童節(jié)來(lái)臨之際用3000元購(gòu)進(jìn)A、B兩種玩具1100個(gè)，購(gòu)買A玩具與購(gòu)買B玩具的費(fèi)用相同．已知A玩具的單價(jià)是B玩具單價(jià)的1.2倍．（1）求A、B兩種玩具的單價(jià)各是多少？（2）若計(jì)劃用不超過(guò)7000元的資金再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種玩具共2600個(gè)，已知A、B兩種玩具的進(jìn)價(jià)不變，求A種玩具最多能購(gòu)進(jìn)多少個(gè)？【解答】解：（1）設(shè)B種玩具的單價(jià)為x元，則A種玩具的單價(jià)為1.2x元，由題意得：+＝1100，解得：x＝2.5，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2.5是原方程的解，且符合題意，∴1.2x＝3，答：A種玩具的單價(jià)是3元，B種玩具的單價(jià)是2.5元；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種玩具m個(gè)，則購(gòu)進(jìn)B種玩具（2600﹣m）個(gè)，由題意得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000，∴A種玩具最多能購(gòu)進(jìn)1000個(gè)，答：A種玩具最多能購(gòu)進(jìn)1000個(gè)．【變式52】（2022?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）2022年2月6日晚，中國(guó)女足在第20屆亞洲杯決賽中以3：2逆轉(zhuǎn)奪冠！全國(guó)各地紙起了一股學(xué)女足精神的熱潮．某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買一批足球，第一次用8000元購(gòu)進(jìn)A類足球若干個(gè)，第二次又用5000元購(gòu)進(jìn)B類足球，購(gòu)進(jìn)數(shù)量比第一次多了30個(gè)，已知A類足球的單價(jià)是B類足球單價(jià)的2.5倍．求B類足球的單價(jià)是多少元？【解答】解：設(shè)B類足球的單價(jià)是x元，則A類足球的單價(jià)是2.5x元，根據(jù)題意得：﹣＝30，解得：x＝60，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是分式方程的解，且符合題意，答：B類足球的單價(jià)是60元．【變式53】（2022春?遼陽(yáng)期末）“雙減”政策背景下，某校為增加學(xué)生的課外活動(dòng)時(shí)間，現(xiàn)決定增購(gòu)兩種體育器材：跳繩和毽子，已知跳繩的單價(jià)比毽子的單價(jià)多3元，用800元購(gòu)買的跳繩數(shù)量和用500元購(gòu)買的鍵子數(shù)量相同．（1）求跳繩和毽子的單價(jià)分別是多少元？（2）如果學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買跳繩和毽子共80個(gè)，總費(fèi)用不超過(guò)460元，那么最多能買多少個(gè)跳繩？【解答】解：（1）設(shè)毽子的單價(jià)為x元，則跳繩的單價(jià)為（x+3）元，依題意，得：＝，解得：x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝5是原方程的解，且符合題意，∴x+3＝8．答：跳繩的單價(jià)為8元，毽子的單價(jià)為5元；（2）設(shè)跳繩能買y根，則毽子能買（80﹣y）個(gè)，依題意，得：8y+5（80﹣y）≤460，解得：y≤20，答：最多可購(gòu)買20根跳繩．類型四方案問(wèn)題【典例6】（2021春?桐城市期末）某社區(qū)準(zhǔn)備建造A，B兩類攤位共80個(gè)，每個(gè)A類攤位的占地面積比每個(gè)B類攤位的占地面積多2平方米，建A類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類攤位每平方米的費(fèi)用為30元，用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個(gè)數(shù)的．（1）求每個(gè)B類攤位占地面積．（2）要求建A類攤位的數(shù)量不少于26個(gè)，且建造兩類攤位的總費(fèi)用不超過(guò)18320元．①共有哪幾種建造方案？②最少費(fèi)用是元．【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)B類攤位占地面積為x平方米，則每個(gè)A類攤位占地面積為（x+2）平方米，依題意得：＝×，解得：x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原方程的解，且符合題意．答：每個(gè)B類攤位占地面積為6平方米．（2）每個(gè)A類攤位的建造費(fèi)用為40×（6+2）＝320（元），每個(gè)B類攤位的建造費(fèi)用為30×6＝180（元）．①設(shè)建造m個(gè)A類攤位，則建造（80﹣m）個(gè)B類攤位，依題意得：，解得：26≤m≤28．又∵m為整數(shù)，∴m可以為26，27，28，∴共有3種建造方案，方案1：建造26個(gè)A類攤位，54個(gè)B類攤位；方案2：建造27個(gè)A類攤位，53個(gè)B類攤位；方案3：建造28個(gè)A類攤位，52個(gè)B類攤位．②建造方案1所需費(fèi)用為320×26+180×54＝8320+9720＝18040（元）；建造方案2所需費(fèi)用為320×27+180×53＝8640+9540＝18180（元）；建造方案3所需費(fèi)用為320×28+180×52＝8960+9360＝18320（元）．∵18040＜18180＜18320，∴最少費(fèi)用是18040元．故答案為：18040．【變式61】（2021?龍馬潭區(qū)模擬）某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進(jìn)價(jià)與一件乙種玩具的進(jìn)價(jià)的和為40元，用90元購(gòu)進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購(gòu)進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同．（1）求每件甲種、乙種玩具的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，商場(chǎng)決定此次進(jìn)貨的總資金不超過(guò)1000元，求商場(chǎng)共有幾種進(jìn)貨方案？【解答】解：設(shè)甲種玩具進(jìn)價(jià)x元/件，則乙種玩具進(jìn)價(jià)為（40﹣x）元/件，＝x＝15，經(jīng)檢驗(yàn)x＝15是原方程的解．∴40﹣x＝25．甲，乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種玩具y件，則購(gòu)進(jìn)乙種玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜24．因?yàn)閥是整數(shù)，甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，∴y取20，21，22，23，共有4種方案．【變式62】（2021?龍門縣模擬）為了創(chuàng)建全國(guó)衛(wèi)生城市，某社區(qū)要清理一個(gè)衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾，租用甲、乙兩車運(yùn)送，兩車各運(yùn)12趟可完成