專題16.3二次根式的加減（舉一反三）（人教版）

專題16.3二次根式的加減【八大題型】【人教版】TOC\o"13"\h\u【題型1同類二次根式的判斷】 1【題型2求同類二次根式中的參數(shù)】 3【題型3二次根式的加減運(yùn)算】 4【題型4二次根式的混合運(yùn)算】 6【題型5已知字母的值化簡(jiǎn)求值】 7【題型6已知條件式化簡(jiǎn)求值】 9【題型7二次根式的新定義運(yùn)算】 11【題型8二次根式的應(yīng)用】 12【知識(shí)點(diǎn)1同類二次根式】把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．①同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng)；②幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡(jiǎn)之前，被開方數(shù)完全可以互不相同；③判斷兩個(gè)二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同．【題型1同類二次根式的判斷】【例1】（2022春?西華縣期末）下列各組二次根式中，化簡(jiǎn)后可以合并的是（）A．3與32 B．6與12 C．5與75 D．12與27【分析】化簡(jiǎn)二次根式，判斷被開方數(shù)是否相同即可得出答案．【解答】解：A選項(xiàng)，3與42不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，6與23不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，5與53不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)，23與33是同類二次根式，可以合并，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式11】（2022春?郯城縣期中）下列根式中，與6x不是同類二次根式的是（）A．x6 B．6x C．16x【分析】根據(jù)同類二次根式的概念進(jìn)行分析排除，即幾個(gè)最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)相同，則它們是同類二次根式．【解答】解：A、x6=1B、6x=1C、16x=1D、6+x與6x不是同類二次根式，故選：D．【變式12】（2022春?肥城市期中）若兩個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后被開方數(shù)相同，則稱這樣的二次根式為同類二次根式，那么下列各組二次根式，不是同類二次根式的一組是（）A．8與32 B．45與20 C．27與75 D．24與80【分析】幾個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．根據(jù)定義逐個(gè)判斷可知答案為D【解答】解：∵24=26，80=4∵5≠6，∴24與80不是同類二次根式，故選：D．【變式13】（2022春?河西區(qū)校級(jí)月考）下列各式中與a+b是同類二次根式的是（）A．1a(a+b)2 B．133(a+b)【分析】根據(jù)同類二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A、1a(a+b)B、133(a+b)=C、a+b2=2a+2bD、9a+b=3故選：D．【題型2求同類二次根式中的參數(shù)】【例2】（2022春?懷遠(yuǎn)縣期中）已知二次根式?x?2（1）求使得該二次根式有意義的x的取值范圍；（2）已知?x?2為最簡(jiǎn)二次根式，且與52為同類二次根式，求【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件得出x﹣2≥0，求出不等式的解集即可；（2）先求出52=1210【解答】解：（1）要使?x?2有意義，必須x即x≥2，所以使得該二次根式有意義的x的取值范圍是x≥2；（2）52所以x﹣2＝10，解得：x＝12，這兩個(gè)二次根式的積為?10【變式21】（2022秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）如果最簡(jiǎn)二次根式3a+8與12?a是同類二次根式，那么3a的值為3．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式及同類二次根式概念作答．【解答】解：由題意得3a+8＝12﹣a，解得a＝1，當(dāng)a＝1時(shí)3a=故答案為：3．【變式22】（2022春?西華縣期末）先閱讀下面的解題過程，再回答后面的問題：如果16(2m+n)和m?n?1m+7在二次根式的加減運(yùn)算中可以合并成一項(xiàng)，求m、n解：因?yàn)?6(2m+n)與m?n?1m+7所以m?n?1=216(2m+n)=m+7即解得m=問：（1）以上解是否正確？答不正確．（2）若以上解法不正確，請(qǐng)給出正確解法．【分析】（1）要知道，同類二次根式是化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同，故要分兩種情況討論．（2）分兩種情況討論：被開方數(shù)相同和化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同．【解答】解：（1）不正確；（2）∵16(2m+n)與m?n?1m+7∴m?n?1=22m+n=m+7或m?n?1=216(2m+n)=m+7解得m=5n=2或m=5547故答案為：不正確．【變式23】（2022春?孟村縣期中）若最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11（1）求x，y的值；（2）求x2【分析】（1）根據(jù)同類二次根式的定義：①被開方數(shù)相同；②均為二次根式；列方程解組求解；（2）根據(jù)x，y的值和算術(shù)平方根的定義即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意知3x?10=22x+y?5=x?3y+11解得：x=4y=3（2）當(dāng)x＝4、y＝3時(shí)，x2【知識(shí)點(diǎn)2二次根式的加減法則】二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．【題型3二次根式的加減運(yùn)算】【例3】（2022春?普蘭店區(qū)期中）計(jì)算：（1）18（2）7a8a?4【分析】（1）首先化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而利用二次根式加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（2）首先化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而利用二次根式加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）18＝32?4＝0（2）7a8a＝7a×22a?4a2×2a4a＝14a2a?a2a+7＝20a2a．【變式31】（2022春?高密市校級(jí)月考）計(jì)算：（1）0.25+925（2）0.01?1100（3）45【分析】（1）先去絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)數(shù)的開方法則計(jì)算出各數(shù)，再由有理數(shù)的加減法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)數(shù)的開方法則計(jì)算出各數(shù)，再由有理數(shù)的加減法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先把各式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：（1）原式＝0.5+35＝1.9；（2）原式＝0.1?1＝﹣0.01；（3）原式＝45+35?22＝75+22【變式32】（2022秋?浦東新區(qū)期中）化簡(jiǎn)：8ab?b2ab?ab【分析】本題較簡(jiǎn)單，分別將各二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可．【解答】解：原式＝22ab=2ab【變式33】（2022秋?浦東新區(qū)期末）計(jì)算下列各式：（1）5（2）12（3）27a（4）23【分析】先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可．【解答】解：（1）原式=5?=?2（2）原式＝23?2=4（3）原式＝33a=11（4）原式＝2xx+6xy+＝xx+7xy【題型4二次根式的混合運(yùn)算】【例4】（2022春?安慶期末）計(jì)算：（1）48÷3+215×（2）（?12）﹣2﹣（﹣1）【分析】（1）先利用二次根式的乘除法則運(yùn)算，再利用完全平方公式計(jì)算，然后合并即可；（2）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪和二次根式的性質(zhì)計(jì)算．【解答】解：（1）原式=48÷3+215＝4+26?11﹣4＝﹣7﹣26；（2）原式＝4﹣1×1﹣4+5＝4﹣1﹣4+5＝4．【變式41】（2022春?岳池縣期中）計(jì)算：2×63+（3?2）【分析】利用乘法公式展開，化簡(jiǎn)后合并同類二次根式即可．【解答】解：2×63+（3?2）＝2+3﹣43+4﹣2+2＝7﹣23【變式42】（2022春?天心區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（20+5+（2）18?92?3+【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法則計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）原式各項(xiàng)后，計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝（4+1+5）?8?5=3（2）原式＝32?322?（1+2）+1+（2?1）=【變式43】（2022秋?昌江區(qū)校級(jí)期末）（a+b?aba+b）÷（【分析】先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的分式分別通分，然后分解因式并約分．【解答】解：原式==a+b=a+b=?a【題型5已知字母的值化簡(jiǎn)求值】【例5】（2022秋?如東縣期末）已知x＝1?3，求代數(shù)式（4+23）x2+（1?3）x+8【分析】將x＝1?3【解答】解：當(dāng)x＝1?3原式＝（4+23）×（1?3）2+（1?3）2＝（4+23）×（4﹣23）+4﹣23+8＝16﹣12+4﹣23+8＝8+63．【變式51】（2022秋?楊浦區(qū)期中）計(jì)算與求值．已知a=12+3【分析】首先關(guān)鍵a的值求得1a=2+3，a﹣1＝1?3＜【解答】解：∵a=1∴a＝2?3∴1a=2+3，a∴a=(a?1＝a﹣1+＝1?3+＝3．【變式52】（2022春?容縣校級(jí)月考）已知a＝2，b＝3，求式子a3【分析】根據(jù)題目中a、b的值可以求得所求式子的值，本題得以解決．【解答】解：∵a＝2，b＝3，a3=aab＝（a﹣1+ab）ab＝（2﹣1+2×3）×＝76．【變式53】（2022秋?天河區(qū)校級(jí)月考）已知x=12021?2020，則xA．0 B．1 C．2020 D．2021【分析】把已知的條件進(jìn)行分母有理化，再把所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【解答】解：∵x=1∴x=2021∴x6﹣22020=x4(x2=x4=x4=x＝x?=2021=2020故選：C．【題型6已知條件式化簡(jiǎn)求值】【例6】（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）已知x?ba=2?x?ab，且a+【分析】解方程得出x＝2，再分母有理化，化簡(jiǎn)得出原式＝4x+2，最后代入求出即可．【解答】解：x?ba=2b（x﹣b）＝2ab﹣a（x﹣a），bx+ax＝（a+b）2，∵a+b＝2，∴2x＝4，∴x＝2，∴x+1=(＝x+1﹣2x(x+1)+x+x+1+2x(x+1)＝4x+2＝4×2+2＝10．【變式61】（2022春?陽信縣期中）已知x?69?x=x?69?x，且x為奇數(shù)，求（1+【分析】先根據(jù)二次根式的乘除法則求出x的值，再把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，把x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵x?69?x∴x?6≥09?x＞0解得6≤x＜9．又∵x是奇數(shù)，∴x＝7．∴（1+x）?x＝（1+x）(x?1)(x?4)＝（1+x）x?4∴當(dāng)x＝7時(shí)，原式＝（1+7）7?4＝26．【變式62】（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）若三個(gè)正數(shù)a，b，c滿足a+4ab+3b﹣2bc?c＝0，則a+【分析】直接將原式湊成平方差公式，即可得出答案正數(shù)．【解答】解：a+4ab+3b﹣2bc?(a∵a，b，c是正數(shù)，∴a+2∴a+∴a+故答案為：1．【變式63】（2022春?芝罘區(qū)期末）若實(shí)數(shù)a，b滿足（a+b）（a+b?【分析】求出（a+b）2﹣2（a+b）﹣3＝0，再分解因式（a+b?【解答】解：∵實(shí)數(shù)a，b滿足（a+b）（∴（a+b）2﹣2（∴（a+b?∵a+∴a+∴a+故答案為：3．【題型7二次根式的新定義運(yùn)算】【例7】（2022春?鄖陽區(qū)期中）對(duì)于任意的正數(shù)m，n定義運(yùn)算*為：m*n=m?n(m≥n)m【分析】結(jié)合有理數(shù)的大小比較和新定義運(yùn)算法則及二次根式的加減法運(yùn)算法則先算小括號(hào)里面的，然后再算加法．【解答】解：∵3＞2，8＜12，∴原式＝（3?2）+（=3?2+2＝33+故答案為：33+【變式71】（2022春?江岸區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b作新定義：a@b＝ab，a※b＝ab，在此定義下，計(jì)算：（43?32）@12?（75?4【分析】利用新定義：a@b＝ab，a※b＝ab求解即可．【解答】解：（43?32）@12?＝（233?62）×23＝（4﹣32）﹣3＝1﹣32．故答案為：1﹣32．【變式72】（2022秋?內(nèi)江期末）我們規(guī)定運(yùn)算符號(hào)“△”的意義是：當(dāng)a＞b時(shí)，a△b＝a+b；當(dāng)a≤b時(shí)，a△b＝a﹣b，其它運(yùn)算符號(hào)的意義不變，計(jì)算：（3△2）﹣（23△32）＝?3+42【分析】根據(jù)已知將原式化簡(jiǎn)進(jìn)而求出即可．【解答】解：∵當(dāng)a＞b時(shí)，a△b＝a+b；當(dāng)a≤b時(shí)，a△b＝a﹣b，3＞2，23＜∴（3△2）﹣（23△32）=3+2?（2=?3+4故答案為：?3+4【變式73】（2011秋?廈門期末）若a+b＝2，則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)．（1）3與﹣1是關(guān)于1的平衡數(shù)，5?2與﹣3+2（2）若（m+3）×（1?3）＝﹣5+33，判斷m+3【分析】（1）根據(jù)所給的例子，可得出平衡數(shù)的求法，由此可得出答案．（2）根據(jù)所給的等式，解出m的值，進(jìn)而再代入判斷即可．【解答】解：（1）由題意得，3+（﹣1）＝2，5?2+（﹣3∴3與﹣1是關(guān)于1的平衡數(shù)，5?2與﹣3+（2）不是．∵（m+3）×（1?＝m?3m+又∵（m+3）×（1?3）＝﹣5+3∴m?3m+3?∴m?3m＝﹣2+23即m（1?3）＝﹣2（1?∴m＝﹣2．∴（m+3）+（5?＝（﹣2+3）+（5?＝3，∴（﹣2+3）與（5?【題型8二次根式的應(yīng)用】【例8】（2022春?定州市校級(jí)月考）2016年6月4日葫蘆島日?qǐng)?bào)報(bào)道，南票區(qū)住建局已全面加大城鎮(zhèn)園林綠化力度，組織環(huán)衛(wèi)工作人員加緊開展9000m2的草坪種植，切實(shí)掀起了綠化城區(qū)的熱潮．若環(huán)衛(wèi)工人在一塊長(zhǎng)方形的土地上種植草坪，已知該長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)為243m、寬為128m．（1）求該長(zhǎng)方形土地的周長(zhǎng)；（2）若在該長(zhǎng)方形土地上種植造價(jià)為每平方米2元的草坪，求在該長(zhǎng)方形土地上全部種植草坪的總費(fèi)用（提示：6≈【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)＝（長(zhǎng)+寬）×2，可以解答本題；（2）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬和造價(jià)為每平方米2元的草坪，可以求得在該長(zhǎng)方形土地上全部種植草坪的總費(fèi)用．【解答】解：（1）由題意可得，該長(zhǎng)方形土地的周長(zhǎng)是：（243+128）×2=(9即該長(zhǎng)方形土地的周長(zhǎng)是(183+16（2）由題意可得，在該長(zhǎng)方形土地上全部種植草坪的總費(fèi)用是：243×128×2=93即在該長(zhǎng)方形土地上全部種植草坪的總費(fèi)用352.8元．【變式81】（2022春?岱岳區(qū)期末）在一個(gè)邊長(zhǎng)為（23+35）cm的正方形的內(nèi)部挖去一個(gè)長(zhǎng)為（23+10）cm，寬為（6【分析】用大正方形的面積減去長(zhǎng)方形的面積即可求出剩余部分的面積．【解答】解：剩余部分的面積為：（23+35）2﹣（23+10）（6?5）＝（12+1215+45）﹣（62?215+215【變式82】（2022春?廣豐區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記p=a+b+c2，那么這個(gè)三角形的面積S如圖，在△ABC中，a＝9，b＝7，c