2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)（配湘教版）2.2.3 直線的一般式方程

2.2.3直線的一般式方程A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.若ac<0,bc<0,則直線ax+by+c=0的圖象只能是()2.點(diǎn)M(x0,y0)是直線Ax+By+C=0上的點(diǎn),則直線方程可表示為()A.A(x-x0)+B(y-y0)=0B.A(x-x0)-B(y-y0)=0C.B(x-x0)+A(y-y0)=0D.B(x-x0)-A(y-y0)=03.[2024甘肅高二階段練習(xí)]若直線mx+ny=2過點(diǎn)A(2,2),其中m,n是正實(shí)數(shù),則1m+2nA.3+2 B.3+22C.92 D.4.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(0,1),其傾斜角與直線x-4y+1=0的傾斜角互補(bǔ),則直線l的方程為()A.x+4y-4=0 B.4x+y-1=0C.x+4y+4=0 D.4x+y+1=05.(多選題)關(guān)于直線l:3x-y-1=0,下列說法正確的有()A.過點(diǎn)(3,-2) B.斜率為3C.傾斜角為π3D.在y軸上的截距為16.(多選題)對(duì)于直線l:x-my-1=0,下列說法錯(cuò)誤的是()A.直線l恒過定點(diǎn)(1,0)B.直線l斜率必定存在C.當(dāng)m=3時(shí),直線l的傾斜角為πD.當(dāng)m=2時(shí),直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為17.已知直線l的斜率是直線2x-3y+12=0的斜率的12,直線l在y軸上的截距是直線2x-3y+12=0在y軸上的截距的2倍,則直線l的方程為.8.在三角形ABC中,已知點(diǎn)A(4,0),B(-3,4),C(1,2).(1)求BC邊上中線的方程;(2)若某一直線過點(diǎn)B,且在x軸上截距是在y軸上截距的2倍,求該直線的一般式方程.B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.若點(diǎn)P(a+b,ab)在第二象限內(nèi),則直線bx+ay-ab=0不經(jīng)過的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10.把直線2x-3y+1=0向左平移2個(gè)單位長度后,再向下平移3個(gè)單位長度,所得的直線方程為()A.2x-3y+4=0B.2x-3y-12=0C.2x-3y-4=0D.2x-3y+6=011.已知直線l1,l2的方程分別為l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它們?cè)谧鴺?biāo)系中的位置如圖所示,則()A.b>0,d<0,a<cB.b>0,d<0,a>cC.b<0,d>0,a>cD.b<0,d>0,a<c12.已知直線Ax+By+C=0的斜率為5,且A-2B+3C=0,則該直線方程為()A.15x-3y-7=0B.15x+3y-7=0C.3x-15y-7=0D.3x+15y-7=013.(多選題)已知直線l的方程為ax+by-2=0,則下列判斷正確的是()A.若ab>0,則直線l的斜率小于0B.若b=0,a≠0,則直線l的傾斜角為90°C.直線l可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)D.若a=0,b≠0,則直線l的傾斜角為0°14.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在第一象限內(nèi),A(1,1),B(5,1),∠A=π4,∠B=π4,則直線AC的一般式方程為,BC的一般式方程為15.設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的方程;(2)若直線l不經(jīng)過第二象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.已知直線a1x+b1y+1=0和直線a2x+b2y+1=0都過點(diǎn)A(3,2),則過點(diǎn)P1(a1,b1)和點(diǎn)P2(a2,b2)的直線方程是()A.3x+2y-1=0 B.2x+3y+1=0C.3x-2y+1=0 D.3x+2y+1=017.若kxy-x+6y-3=0表示兩條直線,則實(shí)數(shù)k的值為()A.3 B.2 C.1 D.0

2.2.3直線的一般式方程1.C由ac<0,bc<0,得abc2>0,所以ab>0,則該直線的斜率k=-ab<0,故排除B,D;又與y軸的截距為-cb>0,故排除A.故選2.A由點(diǎn)M(x0,y0)在直線上得Ax0+By0+C=0,得C=-Ax0-By0,將C代入直線方程Ax+By+C=0,得A(x-x0)+B(y-y0)=0.故選A.3.B因?yàn)橹本€mx+ny=2過點(diǎn)A(2,2),所以2m+2n=2,由m和n都是正實(shí)數(shù),所以m+n=1,m>0,n>0,所以1m+2n=1m+2n(m+n)=1+2+n當(dāng)且僅當(dāng)nm=2mn,即m=2-1,n=所以1m+2n的最小值是3+224.A因?yàn)橹本€l的傾斜角與直線x-4y+1=0的傾斜角互補(bǔ),且直線x-4y+1=0的斜率為14,所以直線l的斜率為-14.又直線l過點(diǎn)(0,1),所以直線l的方程為y-1=-14x,即x+4y-4=0.5.BC當(dāng)x=3時(shí),3×3-y-1=0,解得y=2,所以直線l不經(jīng)過點(diǎn)(3,-2),故選項(xiàng)A由題得y=3x-1,所以直線l的斜率為3,故選項(xiàng)B正確;由B知直線l的斜率為3,又傾斜角的取值范圍是[0,π),所以直線l的傾斜角為π3,故選項(xiàng)C正確當(dāng)x=0時(shí),得y=-1,所以直線l在y軸上的截距為-1,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選BC.6.BC由直線方程可化為x-1=my,因此直線l恒過定點(diǎn)(1,0),故A正確;當(dāng)m=0時(shí),直線l斜率不存在,故B錯(cuò)誤;當(dāng)m=3時(shí),有y=33(x-1),即直線l的斜率為33,則直線l的傾斜角為π6,故當(dāng)m=2時(shí),直線l:x=2y+1,則直線l與x軸,y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0),0,-12,所以直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為14,故D正確.故選BC.7.x-3y+24=0由2x-3y+12=0知,該直線斜率為23,在y軸上截距為4,則直線l的斜率為13,在y軸上截距為8,所以直線l的方程為y=13x+8,整理得x-3y+248.解(1)線段BC中點(diǎn)為M(-1,3),所以直線AM的方程為y-03-0=x-4-故BC邊上中線的方程為3x+5y-12=0.(2)當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),設(shè)所求直線方程為y=kx,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線方程可得-3k=4,解得k=-43,故所求直線方程為y=-43x,即4x+3當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線方程為x2b+yb=1(b≠0),將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線方程得-32b+4b此時(shí),所求直線方程為x5+2y5=1,即x+2綜上所述,所求直線方程為4x+3y=0或x+2y-5=0.9.A由題意可得a+b<0,ab>0,因此,a,b均為負(fù)數(shù).由直線的方程bx+ay-ab=0可得直線的斜率k=-ba<0,在y軸上的截距為--aba=b<0,故直線不經(jīng)過第一象限.10.C將直線向左平移2個(gè)單位長度,可得2(x+2)-3y+1=2x-3y+5=0,再向下平移3個(gè)單位長度,可得2x-3(y+3)+5=2x-3y-4=0,因此所求直線方程為2x-3y-4=0.故選C.11.C由題圖,可知直線l1的斜率大于0,其在y軸上的截距小于0,所以-1a>0,-ba<0,解得a<0,b<0.直線l2的斜率大于0,其在y軸上的截距大于0,所以-1c>0,-dc>0,12.A∵直線Ax+By+C=0的斜率為5,∴-AB=5,即A=-5B又A-2B+3C=0,∴-5B-2B+3C=0,∴C=7B3,則Ax+By+C=0可化為-5Bx+By+7B3=0,即5x-y-73=0,整理得15x-3y-7=13.ABD對(duì)于A選項(xiàng),若ab>0,則直線l的斜率-ab<0,故A正確對(duì)于B選項(xiàng),若b=0,a≠0,則直線l的方程為x=2a,其傾斜角為90°,故B正確對(duì)于C選項(xiàng),將(0,0)代入ax+by-2=0中,顯然不成立,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),若a=0,b≠0,則直線l的方程為y=2b,其傾斜角為0°,故D正確故選ABD.14.x-y=0x+y-6=0由題意知,直線AC的傾斜角為∠A=π4,所以kAC=tanπ4=又直線AC過點(diǎn)A(1,1),所以直線AC的方程為y-1=1×(x-1),整理得x-y=0.同理可知,直線BC的傾斜角為π-∠B=3π4,所以kBC=tan3π又直線BC過點(diǎn)B(5,1),所以直線BC的方程為y-1=-1×(x-5),整理得x+y-6=0.15.解(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都為零,則a+1≠0,2-a=0,解得若a+1=0,解得a=-1,整理得y+3=0,不符合題意,舍去.若a≠-1且a≠2,原方程化為xa-2a+1+ya-2=1,令a-2a+1=a-2,即為a+綜上所述,直線l的方程為x+y+2=0或3x+y=0.(2)將直線的一般式方程化為斜截式,得y=-(a+1)x+a-2.∵直線l不經(jīng)過第二象限,∴-(a+1)≥0,a-2≤0,解得a≤-1.∴實(shí)數(shù)16.D(方法1)∵直線a1x+b1y+1=0和直線a2x+b2y+1=0都過點(diǎn)A(3,2),∴3a1+2b1+1=0,且3a2+2b2+1=0.∴過點(diǎn)P1(a1,b1)和點(diǎn)P2(a2,b2)的直線方程是3x+2y+1=0,故選D.(方法2)3a1+2b1+1=0,且3a2+2b2+1=0兩式相減可得3(a1-a2)+2(b1-b2)=0,由題意a1≠a2,因此k=b1-b2a1-a2=-32,所以直線的方程為y-b1=-32(x-a1)