專題02矩形的性質(zhì)與判定(原卷版+解析)(重點突圍)-【學霸滿分】2022-2023學年九年級數(shù)學上冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練(北師大版)

專題02矩形的性質(zhì)與判定考點一根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度考點二根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長考點三根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積考點四根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求動點中的最值問題考點五根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求折疊問題考點六根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定無刻度作圖考點一根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度例題：（2021·河南信陽·八年級期末）如圖，在中，對角線、相交于點O，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級）如圖，已知在△OAB中AO＝BO，分別延長AO，BO到點C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，連接AD，DC，CB．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）以AO，BO為一組鄰邊作平行四邊形AOBE，連接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度數(shù)．2．（2022·廣西·河池市宜州區(qū)教育局教學研究室八年級期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數(shù)．考點二根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長例題：（2022·山東菏澤·九年級期中）如圖，菱形的對角線、相交于點，是的中點，點、在上，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長．【變式訓(xùn)練】1．（2021·江西九江·九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，，，點P在BC邊上，點M在AD邊上，，點Q為AP的中點，當為直角三角形時，AP的長為__________．2．（2022·新疆·烏魯木齊市第六十八中學八年級期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DEAC且DE=AC，連接AE交OD于點F，連接OE、CE．(1)求證：四邊形OCED為矩形；(2)已知AB=2，DE=1，求OD的長．考點三根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積例題：（2022·云南昆明·三模）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC和BD相交于點O，點E是CD的中點，過點C作AC的垂線，與OE的延長線交于點F，連接FD．(1)求證：四邊形OCFD是矩形；(2)若四邊形ABCD的周長為，△AOB的周長為，求四邊形OCFD的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2022·上海·八年級專題練習）已知：如圖，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，點E、F是垂足．(1)聯(lián)結(jié)DE、FB，求證：四邊形DFBE是平行四邊形；(2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面積．2．（2022·江蘇·揚州市江都區(qū)實驗初級中學三模）已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，AE∥BD．(1)求證：四邊形AODE是矩形；(2)若AB＝2，DE＝1，求四邊形AODE的面積．考點四根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求動點中的最值問題例題：（廣東省珠海市鳳凰中學2021-2022學年八年級下學期期中數(shù)學試題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，對角線AC、BD相交于點O，點P是AD上一動點（不與A、D重合），過點P作AC和BD的垂線，垂足分別為E、F，則PE+PF的值是（

）A． B． C． D．3【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．2．（2022·重慶開州·八年級期中）如圖，在中，，，，是邊上的一個動點異于、兩點，過點分別作、邊的垂線，垂足分別為、，則最小值是______．考點五根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求折疊問題例題：（2022·廣東·深圳市光明區(qū)公明中學八年級期中）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，現(xiàn)將紙片折疊壓平，使A與C重合，設(shè)折痕為EF，則重疊部分△AEF的面積等于_____．【變式訓(xùn)練】1．（2022·青海西寧·二模）如圖，矩形AOBC的頂點A，B在坐標軸上，點C的坐標是（-10，8），點D在AC上，將沿BD翻折，點C恰好落在OA邊上點E處，則D點坐標是______．2．（2022·遼寧沈陽·二模）如圖，矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，過點F作交BE于點G，連接CG．(1)求證：四邊形CEFG是菱形；(2)若，，求四邊形CEFG的面積．考點六根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定無刻度作圖例題：（2022·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，在矩形和等腰中，邊和邊交于點，且.請僅用無刻度直尺按下列要求作圖.（保留作圖痕跡）(1)如圖1，在邊上找一點，使得；(2)如圖2，作邊的中點．【變式訓(xùn)練】1．（2021·江西·崇仁縣第二中學九年級期中）已知：矩形，點是的中點，點在上，請用無刻度尺畫圖：（1）在圖甲中，在邊上找一點，使；（2）在圖乙中：在邊上找一點，使．2．（2022·江蘇無錫·九年級期中）如圖，矩形ABCD中，AD＞AB，（如需畫草圖，請使用備用圖）(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）①在BC邊上取一點E，使AE＝BC；②在CD上作一點F，使點F到點D和點E的距離相等．(2)在（1）中，若AB＝6，AD＝10，則△AEF的面積＝．一、選擇題1．（2022·全國·八年級）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是AB，AO的中點，且．則EF的長度為（

）A．2 B．3 C．4 D．62．（2022·江蘇·八年級）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，折疊紙片使邊DC落在對角線DB上，折痕為DE，則的面積為（

）A．3 B．6 C．9 D．183．（2022·遼寧遼陽·一模）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝9cm，BC＝12cm，E為邊CD上一點，將△BCE沿BE所在的直線折疊，點C恰好落在AD邊上的點F處，過點F作FM⊥BE，垂足為點M，取AF的中點N，連接MN，則MN的長為（

）A．7cm B．7.5cm C．8cm D．8.5cm4．（2022·河南新鄉(xiāng)·八年級期中）如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．下列三種說法：①.四邊形EFGH一定是平行四邊形；②.若AC＝BD，則四邊形EFGH是菱形；③.若AC⊥BD，則四邊形EFGH是矩形．其中正確的是（

）A．① B．①② C．①③ D．①②③二、填空題5．（2022·廣東·雷州四中八年級期中）如圖，在矩形中，對角線，，則的長為______6．（2022·全國·九年級）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，對角線AC的長為5，作AC的垂直平分線交BC于點M，連接AM，則ABM的周長為_____．7．（2022·廣東·珠海市拱北中學八年級期中）如圖，矩形中，，將矩形沿著對角線折疊，點落在點處，過的中點作，交，于點，，且點恰好是的中點，則的長度=______．8．（2022·浙江寧波·八年級期中）如圖，矩形中，，，E為線段上一動點，作點B關(guān)于的軸對稱點F，連接，，G為中點．當D，F(xiàn)，E三點共線時，的長為___________；在E的整個運動過程中，C，G兩點距離的最小值為___________．三、解答題9．（2021·江蘇·常州市第二十四中學八年級期中）如圖，矩形ABCD中，點E在BC上，AE＝EC，分別在圖1和圖2中按要求僅用無刻度的直尺畫圖．（保留畫圖痕跡）（1）在圖1中，畫出∠DAE的平分線：（2）在圖2中，畫出∠AEC的平分線EF，交AD于點F，并說明理由．10．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)公明中學八年級期中）如圖，△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點，DG⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為G，F(xiàn)．(1)求證：四邊形DEFG為矩形；(2)若AB＝AC＝2，EF＝2，求CF的長．11．（2022·廣東·廣州市南武中學八年級期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，，．(1)求證：四邊形OBEC是矩形；(2)若，，求矩形OBEC的面積．12．（2022·山東青島·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，直線GH經(jīng)過點O，分別與BA、DC的延長線交于點G、H，與AD、CB交于點E、F．(1)求證：△BOG≌△DOH．(2)連接AH、CG，若GH＝GD，當點C位于DH的什么位置時，四邊形AHCG是矩形？請說明理由．13．（2022·北京朝陽·二模）如圖，在菱形ABCD中，O為AC，BD的交點，P，M，N分別為CD，OD，OC的中點．(1)求證：四邊形OMPN是矩形；(2)連接AP，若，，求AP的長．14．（2022·江蘇·八年級）如圖，平行四邊形中，對角線、相交于點，BE∥AC交的延長線于點，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．15．（2022·黑龍江大慶·二模）如圖，在中，，的垂直平分線分別與，及的延長線相交于點，，．點是中點，連結(jié)并延長到，且，連接，．(1)試判斷四邊形的形狀，說明理由；(2)當時，求的長．16．（2022·江蘇泰州·一模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝10，點E是AD上一點，且AE＝m（m是常數(shù)），作△BAE關(guān)于直線BE的對稱圖形△BFE，延長EF交直線BC于點G．(1)求證：EG＝BG；(2)若m＝2．①當AB＝6時，問點G是否與點C重合，并說明理由；②當直線BF經(jīng)過點D時，直接寫出AB的長；(3)隨著AB的變化，是否存在常數(shù)m，使等式BGAE＝AB2總成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．專題02矩形的性質(zhì)與判定考點一根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度考點二根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長考點三根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積考點四根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求動點中的最值問題考點五根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求折疊問題考點六根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定無刻度作圖考點一根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度例題：（2021·河南信陽·八年級期末）如圖，在中，對角線、相交于點O，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)矩形的判定得到四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)求出，代入求出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴故選：A．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，能根據(jù)矩形的性質(zhì)求出的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級）如圖，已知在△OAB中AO＝BO，分別延長AO，BO到點C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，連接AD，DC，CB．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）以AO，BO為一組鄰邊作平行四邊形AOBE，連接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）120°．【解析】【分析】（1）先說明四邊形ABCD是平行四邊形，可得AC＝2AO、BD＝2BO，進而得到AC=BD，即可說明四邊形ABCD是矩形；（2）如圖，連接OE與BD交于F，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得EO=AO，即△AEO是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】證：（1）∵OC＝AO，OD＝BO∴四邊形ABCD是平行四邊形∴AC＝2AO，BD＝2BO又∵AO＝BO∴AC＝BD∴四邊形ABCD是矩形；（2）如圖：連接OE與BD交于F∵四邊形AOBE是平行四邊形∴AE＝BO又∵AO＝BO∴AO＝AE∵CE⊥AE∴∠AEC＝90°∵OC＝OA∴OE＝AC＝AO∴OE＝AO＝AE∴△AOE是等邊三角形，∴∠OAE＝60°∵∠OAE＋∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點，靈活應(yīng)用所學知識并正確添加輔助線成為解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·廣西·河池市宜州區(qū)教育局教學研究室八年級期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②75°【解析】【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再證AC=BD，即可得出結(jié)論；（2）①先證明△ADE是等腰直角三角形，再證得，即可得出結(jié)論；②求出∠BDC=30°，得出∠DOE=75°，即可得出結(jié)果．(1)證明：∵AD∥BC，AD＝BC∴四邊形ABCD是平行四邊形

∴BD＝2OB

∵AC＝2OB∴AC＝BD∴四邊形ABCD是矩形(2)①證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AO＝DO

∵AE平分∠BAD∴∠DAE＝45°

∴∠DEA＝45∴DA＝DE

又∵∠OAE＝15°∴∠DAO＝∠DAE+∠OAE＝60°

∴DA＝DO＝AO∴DA＝DO＝DE

②解：，，．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點二根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長例題：（2022·山東菏澤·九年級期中）如圖，菱形的對角線、相交于點，是的中點，點、在上，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)2【解析】【分析】（1）先證明為的中位線，可得，再證明四邊形為平行四邊形，結(jié)合，從而可得結(jié)論；（2）先求解可得．再求解，，從而可得答案．(1)證明：∵四邊形為菱形，∴點為的中點，∵點為中點，∴為的中位線，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴平行四邊形為矩形．(2)解：∵點為的中點，，∴∵，，∴在中，．∵四邊形為菱形，∴，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴．故的長為2．【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記矩形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·江西九江·九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，，，點P在BC邊上，點M在AD邊上，，點Q為AP的中點，當為直角三角形時，AP的長為__________．【答案】4或或【解析】【分析】分當P為B重合時和當∠AQM=90°，當∠AMQ=90°時三種情況討論求解即可．【詳解】解：當P為B重合時，Q為AB的中點，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠QAM=90°，滿足△AMQ是直角三角形，∴此時AP=AB=4；當∠AQM=90°時，如圖1所示，連接MP，過點M作MN⊥BC于N，則四邊形ABNM是矩形，∴MN=AB=4，∠MNP=90°，BN=AM=5，∵Q為AP的中點，MQ⊥AP，∴MQ是線段AP的垂直平分線，∴AM=MP=5，∴，∴BP=2，∴，同理當∠AQM=90°時，如圖2所示，求得PN=3，∴BP=8，∴；當∠AMQ=90°時，如圖3所示，∵點P在BC上，∴的最大值即為P與C點重合時AC的長，即，∴長度的最大值為，∵，∴此種情況不成立；綜上所述，AP的長為4或或．故答案為：4或或．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．2．（2022·新疆·烏魯木齊市第六十八中學八年級期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DEAC且DE=AC，連接AE交OD于點F，連接OE、CE．(1)求證：四邊形OCED為矩形；(2)已知AB=2，DE=1，求OD的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)先證，即有DE＝OC，即有四邊形OCED都是平行四邊形，再結(jié)合AC⊥BD，即可證明四邊形OCED是矩形；（2）在Rt△OCD中利用勾股定理即可求出OD．(1)證明∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，AC⊥BD∵且DE，∴DE＝OC，又，∴四邊形OCED都是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形OCED是矩形；(2)∵四邊形OCED為矩形，DE＝1，∴OC＝DE＝1，∠COD＝90°，又∵四邊形ABCD是菱形，AB＝2，∴CD＝AB＝2，又∵∠COD＝90°，∴在Rt△OCD中，∴．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，掌握菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．考點三根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積例題：（2022·云南昆明·三模）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC和BD相交于點O，點E是CD的中點，過點C作AC的垂線，與OE的延長線交于點F，連接FD．(1)求證：四邊形OCFD是矩形；(2)若四邊形ABCD的周長為，△AOB的周長為，求四邊形OCFD的面積．【答案】(1)見解析(2)S矩形OCFD=2．【解析】【分析】（1）利用“角邊角”證明△ODE和△FCE全等；可得OD=FC，判斷出四邊形ODFC是平行四邊形，根據(jù)菱形的對角線互相垂直得出∠COD=90°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意求得AB=，OA+OB=3，利用完全平方公式變形求得OA?OB=2，推出OC?OD=2，根據(jù)矩形面積公式即可求解．(1)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵CF⊥AC，∴CF∥BD，∴∠ODE=∠FCE，∵E是CD中點，∴CE=DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；∴OD=FC，∵CF∥BD，∴四邊形OCFD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴∠COD=90°，∴四邊形OCFD是矩形；(2)解：∵四邊形ABCD的周長為4，∴4AB=4，AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴AB=，∠AOB=90°，∵△AOB的周長為，∴OA+OB+AB=，∴OA+OB=3，∴(OA+OB)2=32，∴OA2+OB2+2OA?OB=9，∵∠AOB=90°，OA2+OB2=AB2=()2=5，∴5+2OA?OB=9，∴OA?OB=2，∵OA=OC，OB=OD，∴OC?OD=2，∴S矩形OCFD=OC?OD=2．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定，完全平方公式，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知：如圖，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，點E、F是垂足．(1)聯(lián)結(jié)DE、FB，求證：四邊形DFBE是平行四邊形；(2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)12【解析】【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，AB∥CD，再證明BE∥DF，接著證明△ABE≌△CDF，從而得到BE＝DF，然后根據(jù)平行四邊形的判定方法得到結(jié)論；（2）矩形面積ABCD的面積=AC?DF，求出DF，AC即可求得矩形面積．(1)證明：如圖：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠EAB＝∠FCD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠DAF＝∠BCE，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS），∴AF＝CE，連接BD交AC于點O，∵AF＝FE＝2，∴AC＝BD＝6，又∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝DO＝3，在△ODF中，OD＝3，OF＝1，∠OFD＝90°，∴DF＝＝＝2，∴矩形ABCD的面積＝AC×DF＝6×2＝12．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．2．（2022·江蘇·揚州市江都區(qū)實驗初級中學三模）已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，AE∥BD．(1)求證：四邊形AODE是矩形；(2)若AB＝2，DE＝1，求四邊形AODE的面積．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可判斷出四邊形AODE是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，即∠AOD＝90°，繼而可判斷出四邊形AODE是矩形；（2）由菱形的性質(zhì)和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面積公式即可得出答案．(1)證明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四邊形AODE是矩形；(2)解：∵四邊形AODE是矩形，∴AO＝DE＝1，∵AB＝2，∴BO，∴OD＝BO，∴四邊形AODE的面積＝AO?OD＝1．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．考點四根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求動點中的最值問題例題：（廣東省珠海市鳳凰中學2021-2022學年八年級下學期期中數(shù)學試題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，對角線AC、BD相交于點O，點P是AD上一動點（不與A、D重合），過點P作AC和BD的垂線，垂足分別為E、F，則PE+PF的值是（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】【分析】連接OP．利用勾股定理求出AC，利用矩形的性質(zhì)得出，進而得出，再利用，聯(lián)立即可求出PE+PF的值．【詳解】解：如圖，連接OP．∵矩形ABCD中，AB=3，AD=4，∴，，由矩形的性質(zhì)知，，∴，又∵，∴，∴．故選A．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理及三角形面積公式，通過將PE和PF結(jié)合起來，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值為．故答案為：【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．2．（2022·重慶開州·八年級期中）如圖，在中，，，，是邊上的一個動點異于、兩點，過點分別作、邊的垂線，垂足分別為、，則最小值是______．【答案】【解析】【分析】首先證明四邊形是矩形，推出，根據(jù)垂線段最短即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，．在中，，，，，，，，四邊形是矩形，，當時，的值最小，最小值，故答案為：．【點睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．考點五根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求折疊問題例題：（2022·廣東·深圳市光明區(qū)公明中學八年級期中）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，現(xiàn)將紙片折疊壓平，使A與C重合，設(shè)折痕為EF，則重疊部分△AEF的面積等于_____．【答案】10【解析】【分析】要求重疊部分△AEF的面積，選擇AF作為底，高就等于AB的長；而由折疊可知∠AEF=∠CEF，由平行得∠CEF=∠AFE，代換后，可知AE=AF，問題轉(zhuǎn)化為在Rt△ABE中求AE的長，進而可得出△AEF的面積．【詳解】解：設(shè)AE＝x，由折疊可知，EC＝x，BE＝8－x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即42＋（8－x）2＝x2，解得：x＝5，由折疊可知∠AEF＝∠CEF，∵，∴∠CEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，即AE＝AF＝5，∴S△AEFAF×AB5×4＝10．故答案為：10．【點睛】本題考查的是圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對應(yīng)角相等．【變式訓(xùn)練】1．（2022·青海西寧·二模）如圖，矩形AOBC的頂點A，B在坐標軸上，點C的坐標是（-10，8），點D在AC上，將沿BD翻折，點C恰好落在OA邊上點E處，則D點坐標是______．【答案】（-10，3）【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及翻折性質(zhì)可知，CD=DE，BC=OA=BE=10，OB=AC=8，∠BDE=∠DBC，由勾股定理可知，OE=6，則AE=4，令CD=DE=x，則AD=8-x，在Rt中，，進而求出D點坐標．【詳解】解：在矩形AOBC中，點C的坐標是（-10，8），∴BC=OA=10，OB=AC=8，∠C=90°，由翻折性質(zhì)可知，CD=DE，BC=BE=10，∠C=∠BED=90°，在Rt中，由勾股定理可知，OE===6，∴AE=4，令CD=DE=x，則AD=8-x，在Rt中，，∴x=，解得x=5，∴，∴D（-10，3）故答案為：（-10，3）．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、翻折與勾股定理的運用以及求點的坐標，熟練掌握翻折的性質(zhì)并利用勾股定理求解是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧沈陽·二模）如圖，矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，過點F作交BE于點G，連接CG．(1)求證：四邊形CEFG是菱形；(2)若，，求四邊形CEFG的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得CE=EF，∠CEB=∠FEB，根據(jù)“SAS”易證△GEF≌△GEC，由全等三角形的性質(zhì)可得GF=GC，∠FGE=∠CGE，易證四邊形CEFG是平行四邊形，由CE=EF即可求證結(jié)論；（2）由勾股定理和折疊的性質(zhì)求得DF的長，設(shè)CE=x，由（1）結(jié)論在Rt△DEF中根據(jù)勾股定理列方程求解即可；(1)由折疊的性質(zhì)可得CE=EF，∠CEG=∠FEG，又GE=GE，∴△GEF≌△GEC（SAS），∴GF=GC，∠FGE=∠CGE，∵FG∥CD，∴∠FGE=∠CEG，∴∠CGE=∠CEG，∴EC=GC，∴GF=EC，∴四邊形CEFG是平行四邊形，又∵CE=EF，∴四邊形CEFG是菱形；(2)∵ABCD是矩形，AB=3，BC=5，∴BF=AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=90°，在Rt△ABF中，由勾股定理可得：∴，，設(shè)，則，在Rt△DEF中，，即，解得：，即，∴四邊形CEFG的面積．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考點六根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定無刻度作圖例題：（2022·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，在矩形和等腰中，邊和邊交于點，且.請僅用無刻度直尺按下列要求作圖.（保留作圖痕跡）(1)如圖1，在邊上找一點，使得；(2)如圖2，作邊的中點．【答案】(1)作法見解析；(2)作法見解析.【解析】【分析】（1）連接AC、BD，設(shè)AC與BD相交于點O，EC交AD相交于點G，連接GO并延長使之交BC于點M，則點M為所求.再運用矩形的性質(zhì)和三角形全等可得證明；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接FM，AM，設(shè)AM交BF于點H，連接OH并延長交AB于點N，則點N為所求，再運用矩形的判定和性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)可得證明.(1)解：連接AC、BD，設(shè)AC與BD相交于點O，EC交AD相交于點G，連接GO并延長使之交BC于點M，則點M為所求.因為矩形，所以，又，所以，所以，在與中，所以，所以AF=GD，又，所以，又矩形，所以BO=DO，在與中，所以，所以BM=GD，所以BM=AF.(2)解：在（1）的基礎(chǔ)上，連接FM，AM，設(shè)AM交BF于點H，連接OH并延長交AB于點N，則點N為所求，因為，所以四邊形ABMF是矩形，所以，所以點O在AB的垂直平分線上，因為，所以點H在AB的垂直平分線上，所以O(shè)H平分AB，所以點N是AB的中點.【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練地運用矩形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì).【變式訓(xùn)練】1．（2021·江西·崇仁縣第二中學九年級期中）已知：矩形，點是的中點，點在上，請用無刻度尺畫圖：（1）在圖甲中，在邊上找一點，使；（2）在圖乙中：在邊上找一點，使．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）連接交于點，連接并延長交于點，利用矩形的性質(zhì)可得，即可求解；（2）連接交于點，連接并延長、交于點，連接交于點，連接交于點，即可求解．【詳解】解：（1）連接交于點，連接并延長交于點由矩形的性質(zhì)可得，∴又∵∴∴（2）連接交于點，連接并延長、交于點，連接交于點連接交于點，如下圖：由題意可得：，又∵點是的中點∴為的中位線，∴∴，又∵∴平分∴∴又∵，∴∴又∵，∴∴∴由（1）的方法，可得∴【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并應(yīng)用矩形的性質(zhì)．2．（2022·江蘇無錫·九年級期中）如圖，矩形ABCD中，AD＞AB，（如需畫草圖，請使用備用圖）(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）①在BC邊上取一點E，使AE＝BC；②在CD上作一點F，使點F到點D和點E的距離相等．(2)在（1）中，若AB＝6，AD＝10，則△AEF的面積＝．【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)【解析】【分析】（1）①以A為圓心，BC的長為半徑畫弧與BC交于點E；②連接DE，作DE的垂直平分線與DC交于點F；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，得AE=AD，利用SSS證△AEF≌△ADF，得∠AEF=∠ADF=90°，利用勾股定理得BE=8,再得EC=2，利用勾股定理求出EF=，進而得出面積.(1)解：①如圖所示點E即為所求②如圖所示點F即為所求(2)解：連接EF，AF在矩形ABCD中AD=BC=10又AE＝BC∴AE=AD=10又DF=EF∴△AEF≌△ADF（SSS）∴∠AEF=∠ADF=90°在Rt△ABE中BE===8∴EC=BC-BE=2令DF=FE=x，則FC=6-x在Rt△FCE中FE2=∴x2=解得x=∴△AEF的面積為××10=故答案為：.【點睛】本題考查了等線段的截取，垂直平分線的畫法及性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，利用勾股定理求邊長等知識點，熟練地掌握基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.一、選擇題1．（2022·全國·八年級）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是AB，AO的中點，且．則EF的長度為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=BD=12，BO=DO=BD=6，再根據(jù)三角形中位線定理可得EF=BO=3．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD=12，∴BO=DO=BD=6，∵點E、F是AB，AO的中點，∴EF是△AOB的中位線，∴EF=BO=3，故選：B．【點睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，以及三角形中位線定理，關(guān)鍵是掌握矩形對角線相等且互相平分．2．（2022·江蘇·八年級）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，折疊紙片使邊DC落在對角線DB上，折痕為DE，則的面積為（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】C【解析】【分析】如圖，由折疊的性質(zhì)得∠BC′E=∠DC′E=∠C=90°，C′D=CD=6，由勾股定理得BD，得出C′B=4，設(shè)CE=C′E=x，則EB=8-x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出CE．再由三角形面積公式求解．【詳解】解：令折疊后點C在BD上的對應(yīng)點為點∵矩形ABCD折疊后CD邊落在BD上，∴∠BC′E=∠DC′E=∠C=90°，∵CD=AB=6，BC=AD=8，∴C′D=6，BD===10，∴C′B=BD-C′D=10-6=4，設(shè)CE=C′E=x，則EB=8-x，由勾股定理得：C′B2+C′E2=EB2∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，即CE=3，∴===9；故選：C．【點睛】此題考查了矩形與折疊的問題、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理．3．（2022·遼寧遼陽·一模）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝9cm，BC＝12cm，E為邊CD上一點，將△BCE沿BE所在的直線折疊，點C恰好落在AD邊上的點F處，過點F作FM⊥BE，垂足為點M，取AF的中點N，連接MN，則MN的長為（

）A．7cm B．7.5cm C．8cm D．8.5cm【答案】B【解析】【分析】連接AC，F(xiàn)C，求出AC，利用三角形的中位線定理解決問題即可．【詳解】解：連接AC，F(xiàn)C．由翻折的性質(zhì)可知，BE垂直平分線段CF，∵FM⊥BE，∴F,M，C共線，F(xiàn)M＝MC，∵AN＝FN，∴MN＝AC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝15（cm），∴MN＝AC＝7.5（cm），故選B．【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，添加輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題是解題的關(guān)鍵．4．（2022·河南新鄉(xiāng)·八年級期中）如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．下列三種說法：①.四邊形EFGH一定是平行四邊形；②.若AC＝BD，則四邊形EFGH是菱形；③.若AC⊥BD，則四邊形EFGH是矩形．其中正確的是（

）A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，EH=BD，EF=AC，根據(jù)平行四邊形、菱形、矩形的判定定理判斷即可．【詳解】解：∵點E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，∴，EH=BD，EF=AC，∴四邊形EHGF是平行四邊形，故①符合題意；若AC=BD，則EF=EH，∴平行四邊形EHGF是菱形，故②符合題意；若AC⊥BD，則EF⊥EH，∴平行四邊形EHGF是矩形，故③符合題意；故選：D．【點睛】本題考查的是中點四邊形，掌握三角形中位線定理、平行四邊形、菱形、矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2022·廣東·雷州四中八年級期中）如圖，在矩形中，對角線，，則的長為______【答案】4【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)得出OB=OD=4，再證明△AOB是等邊三角形，即可得出OB=AB=4．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD=8，∴OB=OD=4，OA=OC=4，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OB=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是證明出△AOB是等邊三角形．6．（2022·全國·九年級）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，對角線AC的長為5，作AC的垂直平分線交BC于點M，連接AM，則ABM的周長為_____．【答案】7【解析】【詳解】由勾股定理可求BC的長，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AM＝CM，可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴BC==4，∵AC的垂直平分線交BC于點M，∴AM＝CM，∴△ABM的周長＝AB+BM+AM＝AB+BC＝7，故答案為：7．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．7．（2022·廣東·珠海市拱北中學八年級期中）如圖，矩形中，，將矩形沿著對角線折疊，點落在點處，過的中點作，交，于點，，且點恰好是的中點，則的長度=______．【答案】【解析】【分析】延長與交于點，結(jié)合矩形性質(zhì)證明，得，在中由可求出，根據(jù)中位線性質(zhì)可得．【詳解】解：延長與交于點由矩形得，∵，

∴∴

設(shè)，則在中，由勾股定理知，即，解得：∵∴即又∵為中點∴為中位線∴故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)以及勾股定理．把問題轉(zhuǎn)化為利用勾股定理和中位線性質(zhì)來求線段長度是解題的關(guān)鍵．8．（2022·浙江寧波·八年級期中）如圖，矩形中，，，E為線段上一動點，作點B關(guān)于的軸對稱點F，連接，，G為中點．當D，F(xiàn)，E三點共線時，的長為___________；在E的整個運動過程中，C，G兩點距離的最小值為___________．【答案】

【解析】【分析】連接AF，取AD中點H，連接GH，GC，HC，設(shè)CE=x，由折疊的性質(zhì)可得AF=AB=3，BE=EF=4-x，∠AFE=∠B=90°，當點E、F、D三點共線時，Rt△AFD中由勾股定理可得DF，Rt△DCE中由勾股定理建立方程求解可得CE；由三角形中位線的性質(zhì)可得HG=AF，勾股定理求得HC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得當點G在直線HC上時，CG最小；【詳解】解：如圖，連接AF，取AD中點H，連接GH，GC，HC，四邊形ABCD是矩形，則AB=CD=3，AD=BC=4，∠B=90°，由折疊的性質(zhì)可得AF=AB=3，BE=EF，∠AFE=∠B=90°，設(shè)CE=x，則BE=EF=4-x，當點E、F、D三點共線時，AF⊥DE，Rt△AFD中，DF=，Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2，∴（+4-x）2=x2+9，-2（+4）x+23+8=9，解得：x=；∵H為AD中點，G為DF中點，∴HG為△DAF中位線，∴HG=AF=，Rt△DHC中，HC=，當點G不在直線HC上時，△GHC中，GC＞HC-HG，當點G在直線HC上時，GC=HC-HG，∴CG的最小值為；故答案為：，；【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，三角形中位線的性質(zhì)；此題綜合性較強，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．三、解答題9．（2021·江蘇·常州市第二十四中學八年級期中）如圖，矩形ABCD中，點E在BC上，AE＝EC，分別在圖1和圖2中按要求僅用無刻度的直尺畫圖．（保留畫圖痕跡）（1）在圖1中，畫出∠DAE的平分線：（2）在圖2中，畫出∠AEC的平分線EF，交AD于點F，并說明理由．【答案】（1）連接AC，則AC平分∠DAE；圖形見祥解；（2）連接AC，BD，交于點O，連接EO，則EO平分∠AEC．證明見詳解．【解析】【分析】(1)連接AC，再由矩形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可知AC是∠DAE的平分線；(2)連接AC，BD，交于點O，連接EO，由矩形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可知EO平分∠AEC的平分線．【詳解】（1）如圖所示，連接AC，則AC平分∠DAE；∵矩形ABCD中，∴AD∥CE，∴∠DAC=∠ACE，∵AE＝EC，∴∠EAC=∠ACE，∴∠EAC=∠DAC，∴AC平分∠DAE；（2）如圖所示，連接AC，BD，交于點O，連接EO，則EF平分∠AEC．∵四邊形ABCD是矩形，∴點O為AC中點，∴EO為△AEC的中線，∵AE=CE，∴EF為平分∠AEC．【點睛】本題主要考察了等腰三角形的性質(zhì)，矩形邊形的性質(zhì)，作圖-角的平分線等知識點，理解并記住它們是解題關(guān)鍵．10．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)公明中學八年級期中）如圖，△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點，DG⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為G，F(xiàn)．(1)求證：四邊形DEFG為矩形；(2)若AB＝AC＝2，EF＝2，求CF的長．【答案】(1)見解析(2)1【解析】【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)及平行線的判定可證得DE∥AC，EF∥DG，則可證得四邊形DEFG是平行四邊形，在利用可證得結(jié)論．（2）根據(jù)直角三角形斜邊的中線性質(zhì)可得DE＝AD，根據(jù)矩形的性質(zhì)，GF＝DE，利用勾股定理即可求解．(1)證明：∵點D是AB的中點，E點是BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴，∵DG⊥AC，EF⊥AC，∴，∴四邊形DEFG是平行四邊形，又∵，∴四邊形DEFG為矩形．(2)∵AB＝AC＝2，EF＝2，D點是BC的中點，∴DE＝ADAB，由（1）知，四邊形DEFG為矩形，則GF＝DE，在直角△ADG中，EF＝2，AD，由勾股定理得：∵AB＝AC＝2，F(xiàn)G＝ED，∴CF＝AC－AG－GF＝211．【點睛】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的判定、中位線的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定及矩形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·廣東·廣州市南武中學八年級期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，，．(1)求證：四邊形OBEC是矩形；(2)若，，求矩形OBEC的面積．【答案】(1)證明見解析(2)矩形OBEC的面積為【解析】【分析】（1）首先根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形OBEC是平行四邊形，再根據(jù)菱形性質(zhì)求出∠AOB=90°，最后根據(jù)矩形的判定推出即可；（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出OC的長，再根據(jù)矩形的面積公式即可解答．(1)證明：∵，，∴四邊形OBEC為平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴，∴，∴四邊形OBEC是矩形；(2)解：∵在中，，∴．∵四邊形ABCD是菱形，∴，∴矩形OBEC的面積為：．【點睛】本題考查了菱形性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定和矩形的面積公式，熟練掌握和運用特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．12．（2022·山東青島·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，直線GH經(jīng)過點O，分別與BA、DC的延長線交于點G、H，與AD、CB交于點E、F．(1)求證：△BOG≌△DOH．(2)連接AH、CG，若GH＝GD，當點C位于DH的什么位置時，四邊形AHCG是矩形？請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)點C為DH的中點時，四邊形AHCG是矩形，證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，再由全等三角形的判定定理可得證；（2）由（1）得，GO＝HO，由平行四邊形的性質(zhì)得，根據(jù)平行四邊形的判定可得證四邊形AHCG是平行四邊形，由等腰三角形的“三線合一得”，利用矩形的判定可得證．(1)證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以，所以在和中，，所以；(2)解：點C為DH的中點時，四邊形AHCG是矩形．理由如下：由（1）得，所以GO＝HO，又因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以，所以四邊形AHCG是平行四邊形，因為GH＝GD，點C為DH的中點，所以，所以，所以四邊形AHCG是矩形．【點睛】本題考查平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì).13．（2022·北京朝陽·二模）如圖，在菱形ABCD中，O為AC，BD的交點，P，M，N分別為CD，OD，OC的中點．(1)求證：四邊形OMPN是矩形；(2)連接AP，若，，求AP的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）由三角形中位線定理可得四邊形OMPN是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)即