專題22銳角三角函數(shù)篇(原卷版+解析)2

專題22銳角三角形函數(shù)考點(diǎn)一：銳角函數(shù)知識(shí)回顧知識(shí)回顧銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C=90°．①正弦：我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對(duì)邊除以斜邊＝。②余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝。③正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊＝。特殊角的銳角三角函數(shù)值特殊角30°45°60°1微專題微專題1．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．2．（2022?濱州）下列計(jì)算結(jié)果，正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．＝3 C．＝2 D．cos30°＝3．（2022?荊門）計(jì)算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．4．（2022?綏化）定義一種運(yùn)算：sin（α+β）＝sinα·cosβ+cosα·sinβ，sin（α﹣β）＝sinα·cosβ﹣cosα·sinβ．例如：當(dāng)α＝45°，β＝30°時(shí)，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為．5．（2022?廣東）sin30°＝．6．（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）第6題第9題A． B． C． D．37．（2022?揚(yáng)州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若b2＝ac，則sinA的值為．8．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為．9．（2022?通遼）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，則cos∠ADC的值為（）A． B． C． D．10．（2022?貴港）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cos∠BAC的值是（） B． C． D．考點(diǎn)二：解直角三角形知識(shí)回顧知識(shí)回顧直角三角形有關(guān)的性質(zhì)：①直角三角形的兩銳角互余。②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。③含30°的直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。④直角三角形的兩直角邊的成績(jī)等于斜邊乘以斜邊上的高線。⑤直角三角形的勾股定理。坡角，坡度（坡比）：①坡角：斜坡與水平面形成的夾角叫做坡角。②坡度（坡比）：坡面的鉛垂高度與水平寬度的比值叫做坡度或坡比。簡(jiǎn)單理解即為坡角的正切值。仰角與俯角：①仰角：向上看的視線與水平線構(gòu)成的夾角叫做仰角。②俯角：向下看的視線與水平線構(gòu)成的夾角叫做俯角。方向角：由方向＋角度構(gòu)成。微專題微專題11．（2022?廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（）第11題第12題A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米12．（2022?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．13．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長(zhǎng)為（）第13題第14題A．3 B．3 C．6 D．314．（2022?樂(lè)山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C． D．215．（2022?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，4），四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直線l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線l的解析式為（）第15題第18題A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+1216．（2022?西寧）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，則cosA＝．17．（2022?齊齊哈爾）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，則BC＝．18．（2022?連云港）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則sinA＝．19．（2022?長(zhǎng)春）如圖是長(zhǎng)春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場(chǎng)的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，AD垂直地面，垂足為點(diǎn)D，BC⊥AD，垂足為點(diǎn)C．設(shè)∠ABC＝α，下列關(guān)系式正確的是（）第19題第20題A．Sinα＝ B．sinα＝ C．sinα＝ D．sinα＝20．（2022?沈陽(yáng)）如圖，一條河的兩岸互相平行，為了測(cè)量河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測(cè)量得P，Q兩點(diǎn)間距離為m米，∠PQT＝α，則河寬PT的長(zhǎng)為（）A．msinα B．mcosα C．mtanα D．21．（2022?福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，則高AD約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）第21題第22題A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm22．（2022?金華）一配電房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，則房頂A離地面EF的高度為（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m23．（2022?棗莊）北京冬奧會(huì)開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，則tan∠ABE＝．第23題第24題24．（2022?綿陽(yáng)）如圖，測(cè)量船以20海里每小時(shí)的速度沿正東方向航行并對(duì)某海島進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量船在A處測(cè)得海島上觀測(cè)點(diǎn)D位于北偏東15°方向上，觀測(cè)點(diǎn)C位于北偏東45°方向上．航行半個(gè)小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得海島上觀測(cè)點(diǎn)C位于北偏西45°方向上，若CD與AB平行，則CD＝海里（計(jì)算結(jié)果不取近似值）．（2022?荊門）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向以50海里/小時(shí)的速度航行t小時(shí)后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的點(diǎn)B處，則t＝小時(shí)．26．（2022?黑龍江）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5：12的山坡上走1300米，此時(shí)小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，山高為（）米第26題第27題A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．50027．（2022?畢節(jié)市）如圖，某地修建的一座建筑物的截面圖的高BC＝5m，坡面AB的坡度為1：，則AB的長(zhǎng)度為（）A．10m B．10m C．5m D．5m28．（2022?十堰）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成45°角沿斜坡照下時(shí)，在斜坡上的樹影BC長(zhǎng)為m，則大樹AB的高為（）第28題第29題A．m（cosα﹣sinα） B．m（sinα﹣cosα） C．m（cosα﹣tanα） D．﹣29．（2022?柳州）如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα＝，堤壩高BC＝30m，則迎水坡面AB的長(zhǎng)度為m．30．（2022?濟(jì)南）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）第30題第31題A．28m B．34m C．37m D．46m31．（2022?貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹CD的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測(cè)得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若AB＝16m，則這棵樹CD的高度是（）A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m32．（2022?隨州）如圖，已知點(diǎn)B，D，C在同一直線的水平地面上，在點(diǎn)C處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點(diǎn)D處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為β，若CD＝α，則建筑物AB的高度為（）第32題第33題A． B． C． D．33．（2022?黃石）某校數(shù)學(xué)興趣小組開展“無(wú)人機(jī)測(cè)旗桿”的活動(dòng)：已知無(wú)人機(jī)的飛行高度為30m，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行至A處時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達(dá)B處，測(cè)得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為m．（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，結(jié)果按四舍五入保留一位小數(shù)）34．（2022?黔東南州）如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹AB，距樹12米處有一棟教學(xué)樓CD，為了安全，學(xué)校決定砍伐該樹，站在樓頂D處，測(cè)得點(diǎn)B的仰角為45°，點(diǎn)A的俯角為30°．小青計(jì)算后得到如下結(jié)論：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接從點(diǎn)A處砍伐，樹干倒向教學(xué)樓CD方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；④若第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓CD造成危害．其中正確的是．（填寫序號(hào)，參考數(shù)值：≈1.7，≈1.4）第34題第35題35．（2022?湖北）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點(diǎn)處測(cè)得乙建筑物D點(diǎn)的俯角α為45°，C點(diǎn)的俯角β為58°，BC為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，結(jié)果保留整數(shù)）．36．（2022?巴中）一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時(shí)與燈塔P的距離約為海里．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）第36題第37題37．（2022?黔西南州）如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計(jì)劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛．測(cè)得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向．A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的最短距離約是nmile．（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7，保留整數(shù)結(jié)果）38．（2022?岳陽(yáng)）喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟．丹丹在汨羅江國(guó)際龍舟競(jìng)渡中心廣場(chǎng)點(diǎn)P處觀看200米直道競(jìng)速賽．如圖所示，賽道AB為東西方向，賽道起點(diǎn)A位于點(diǎn)P的北偏西30°方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)P的北偏東60°方向上，AB＝200米，則點(diǎn)P到賽道AB的距離約為米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）．專題22銳角三角形函數(shù)考點(diǎn)一：銳角函數(shù)知識(shí)回顧知識(shí)回顧銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C=90°．①正弦：我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對(duì)邊除以斜邊＝。②余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝。③正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊＝。特殊角的銳角三角函數(shù)值特殊角30°45°60°1微專題微專題1．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故選：B．2．（2022?濱州）下列計(jì)算結(jié)果，正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．＝3 C．＝2 D．cos30°＝【分析】根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算法則對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用二次根式的乘法法則對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)立方根對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：A．（a2）＝a6，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．＝＝2，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．＝2，所以C選項(xiàng)符合題意；D．cos30°＝，所以D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．3．（2022?荊門）計(jì)算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．【分析】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案為：﹣1．4．（2022?綏化）定義一種運(yùn)算：sin（α+β）＝sinα·cosβ+cosα·sinβ，sin（α﹣β）＝sinα·cosβ﹣cosα·sinβ．例如：當(dāng)α＝45°，β＝30°時(shí)，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為．【分析】把15°看成是45°與30°的差，再代入公式計(jì)算得結(jié)論．【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案為：．5．（2022?廣東）sin30°＝．【分析】熟記特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可得出答案．【解答】解：sin30°＝．故答案為：．6．（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3【分析】根據(jù)OP∥AB，證明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根據(jù)P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵OP∥AB，∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故選：C．7．（2022?揚(yáng)州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若b2＝ac，則sinA的值為．【分析】根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式兩邊同時(shí)除以ac得：＝+1，令＝x，則有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），當(dāng)x＝時(shí)，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案為：．8．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系，即可得出答案．【解答】解：如圖所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sinA＝．故答案為：．9．（2022?通遼）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，則cos∠ADC的值為（）A． B． C． D．【分析】由格點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，由直角三角形的邊角關(guān)系以及圓周角定理可得答案．【解答】解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，又∵點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∴∠ADC＝∠ABC，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝＝cos∠ADC，故選：B．10．（2022?貴港）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cos∠BAC的值是（）A． B． C． D．【分析】延長(zhǎng)AC到D，連接BD，由網(wǎng)格可得AD2+BD2＝AB2，即得∠ADB＝90°，可求出答案．【解答】解：延長(zhǎng)AC到D，連接BD，如圖：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，故選：C．考點(diǎn)二：解直角三角形知識(shí)回顧知識(shí)回顧直角三角形有關(guān)的性質(zhì)：①直角三角形的兩銳角互余。②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。③含30°的直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。④直角三角形的兩直角邊的成績(jī)等于斜邊乘以斜邊上的高線。⑤直角三角形的勾股定理。坡角，坡度（坡比）：①坡角：斜坡與水平面形成的夾角叫做坡角。②坡度（坡比）：坡面的鉛垂高度與水平寬度的比值叫做坡度或坡比。簡(jiǎn)單理解即為坡角的正切值。仰角與俯角：①仰角：向上看的視線與水平線構(gòu)成的夾角叫做仰角。②俯角：向下看的視線與水平線構(gòu)成的夾角叫做俯角。方向角：由方向＋角度構(gòu)成。微專題微專題11．（2022?廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米【分析】直接根據(jù)∠A的正弦可得結(jié)論．【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，∵AB＝12米，∴BC＝12sinα（米）．故選：A．12．（2022?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．【分析】把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，則DE∥AB，由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．【解答】解：把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，如圖．則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE為直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故選：B．13．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．3 C．6 D．3【分析】根據(jù)BD＝2CD＝6，可得CD＝3，由tanC＝＝2，可得AD＝6，可得△ABD是等腰三角形，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解答】解：∵BD＝2CD＝6，∴CD＝3，BD＝6，∵tanC＝＝2，∴AD＝6，∴AB＝AD＝6故選：C．14．（2022?樂(lè)山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C． D．2【分析】過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，由銳角三角函數(shù)的定義可得5DE＝AB，再解直角三角形可求得AC的長(zhǎng)，利用勾股定理可求解AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求解AD的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，∴AE＝2DE，BE＝3DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，∴，解得AC＝，∴AB＝，∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝，故選：C．15．（2022?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，4），四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直線l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線l的解析式為（）A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12【分析】分別求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求經(jīng)過(guò)兩中心的直線即可得出結(jié)論．【解答】解：連接OB，AC，它們交于點(diǎn)M，連接AE，BF，它們交于點(diǎn)N，則直線MN為符合條件的直線l，如圖，∵四邊形OABC是矩形，∴OM＝BM．∵B的坐標(biāo)為（10，4），∴M（5，2），AB＝10，BC＝4．∵四邊形ABEF為菱形，BE＝AB＝10．過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，在Rt△BEG中，∵tan∠ABE＝，∴，設(shè)EG＝4k，則BG＝3k，∴BE＝＝5k，∴5k＝10，∴k＝2，∴EG＝8，BG＝6，∴AG＝4．∴E（4，12）．∵B的坐標(biāo)為（10，4），AB∥x軸，∴A（0，4）．∵點(diǎn)N為AE的中點(diǎn)，∴N（2，8）．設(shè)直線l的解析式為y＝ax+b，∴，解得：，∴直線l的解析式為y＝﹣2x+12，故選：D．16．（2022?西寧）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，則cosA＝．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出cosA即可．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝，所以cosA＝＝＝，故答案為：．17．（2022?齊齊哈爾）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，則BC＝．【分析】利用分類討論的思想方法，畫出圖形，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用勾股定理解答即可．【解答】解：①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB?sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3；②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB?sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；綜上，BC的長(zhǎng)為3+3或3﹣3．18．（2022?連云港）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則sinA＝．【分析】先構(gòu)造直角三角形，然后即可求出sinA的值．【解答】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，作CD⊥AB于點(diǎn)D，由圖可得：CD＝4a，AD＝3a，∴AC＝＝＝5a，∴sin∠CAB＝＝＝，故答案為：．19．（2022?長(zhǎng)春）如圖是長(zhǎng)春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場(chǎng)的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，AD垂直地面，垂足為點(diǎn)D，BC⊥AD，垂足為點(diǎn)C．設(shè)∠ABC＝α，下列關(guān)系式正確的是（）A．Sinα＝ B．sinα＝ C．sinα＝ D．sinα＝【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，由銳角三角函數(shù)的定義可知，sinα＝sin∠ABC＝，故選：D．20．（2022?沈陽(yáng)）如圖，一條河的兩岸互相平行，為了測(cè)量河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測(cè)量得P，Q兩點(diǎn)間距離為m米，∠PQT＝α，則河寬PT的長(zhǎng)為（）A．msinα B．mcosα C．mtanα D．【分析】根據(jù)垂直定義可得PT⊥PQ，然后在Rt△PQT中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：PT⊥PQ，∴∠APQ＝90°，在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，∴PT＝PQ?tanα＝mtanα（米），∴河寬PT的長(zhǎng)度是mtanα米，故選：C．21．（2022?福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，則高AD約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BD，根據(jù)角度的正切值可求出AD．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，∵∠ABC＝27°，∴tan∠ABC＝≈0.51，∴AD≈0.51×22＝11.22cm，故選：B．22．（2022?金華）一配電房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，則房頂A離地面EF的高度為（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得AD，．用AD+BE即可表示出房頂A離地面EF的高度．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖，∵它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC＝，∴AD＝BD?tanα＝3tanαm．∴房頂A離地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，故選：B．23．（2022?棗莊）北京冬奧會(huì)開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，則tan∠ABE＝．【分析】由正六邊形的性質(zhì)得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC＝60°，則∠ABE＝∠ABC＝30°，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接AB、BC、AC、BE，∵點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∴tan∠ABE＝tan30°＝，故答案為：．24．（2022?綿陽(yáng)）如圖，測(cè)量船以20海里每小時(shí)的速度沿正東方向航行并對(duì)某海島進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量船在A處測(cè)得海島上觀測(cè)點(diǎn)D位于北偏東15°方向上，觀測(cè)點(diǎn)C位于北偏東45°方向上．航行半個(gè)小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得海島上觀測(cè)點(diǎn)C位于北偏西45°方向上，若CD與AB平行，則CD＝海里（計(jì)算結(jié)果不取近似值）．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，根據(jù)題意可得：AB＝10海里，∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝45°，從而可得∠DAC＝30°，∠CAB＝45°，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝90°，然后在Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，設(shè)DE＝x海里，再在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長(zhǎng)，在Rt△DEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EC，DC的長(zhǎng)，最后根據(jù)AC＝5海里，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，由題意得：AB＝20×＝10（海里），∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAC＝∠FAC﹣∠FAD＝30°，∠CAB＝∠FAB﹣∠FAC＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，在Rt△ACB中，AC＝AB?sin45°＝10×＝5（海里），設(shè)DE＝x海里，在Rt△ADE中，AE＝＝＝x（海里），∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝45°，在Rt△DEC中，CE＝＝x（海里），DC＝＝＝x（海里），∵AE+EC＝AC，∴x+x＝5，∴x＝，∴DC＝x＝（5﹣5）海里，故答案為：（5﹣5）．（2022?荊門）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向以50海里/小時(shí)的速度航行t小時(shí)后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的點(diǎn)B處，則t＝小時(shí)．【分析】根據(jù)題意可得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，然后在Rt△APC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC，PC的長(zhǎng)，再在Rt△BCP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)，最后根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，在Rt△APC中，AC＝AP?cos45°＝100×＝50（海里），PC＝AP?sin45°＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，∴t＝＝（1+）小時(shí)，故答案為：（1+）．26．（2022?黑龍江）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5：12的山坡上走1300米，此時(shí)小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，山高為（）米A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．500【分析】設(shè)EF＝5x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出BF，根據(jù)勾股定理求出x，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度為5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，則EF＝500米，BF＝1200米，由題意可知，四邊形DCFE為矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，則DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故選：B．27．（2022?畢節(jié)市）如圖，某地修建的一座建筑物的截面圖的高BC＝5m，坡面AB的坡度為1：，則AB的長(zhǎng)度為（）A．10m B．10m C．5m D．5m【分析】由坡面AB的坡度為＝＝1：，可得AC＝5m，再根據(jù)勾股定理可得AB＝＝10m．【解答】解：∵坡面AB的坡度為＝＝1：，∴AC＝5m，∴AB＝＝10m．故選：A．28．（2022?十堰）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成45°角沿斜坡照下時(shí)，在斜坡上的樹影BC長(zhǎng)為m，則大樹AB的高為（）A．m（cosα﹣sinα） B．m（sinα﹣cosα） C．m（cosα﹣tanα） D．﹣【分析】過(guò)點(diǎn)C作水平地面的平行線，交AB的延長(zhǎng)線于D，根據(jù)正弦的定義求出BD，根據(jù)余弦的定義求出CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD，計(jì)算即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作水平地面的平行線，交AB的延長(zhǎng)線于D，則∠BCD＝α，在Rt△BCD中，BC＝m，∠BCD＝α，則BD＝BC?sin∠BCD＝msinα，CD＝BC?cos∠BCD＝mcosα，在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，則AD＝CD＝mcosα，∴AB＝AD﹣BD＝mcosα﹣msinα＝m（cosα﹣sinα），故選：A．29．（2022?柳州）如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα＝，堤壩高BC＝30m，則迎水坡面AB的長(zhǎng)度為m．【分析】直接利用坡角的定義結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【解答】解：∵sinα＝，堤壩高BC＝30m，∴sinα＝＝＝，解得：AB＝50．故答案為：50．30．（2022?濟(jì)南）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m【分析】根據(jù)題意得到AB⊥BC，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意可知：AB⊥BC，在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，∵tan∠ADB＝tan58°＝，∴BD＝≈（m），在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，∵CD＝70m，∴BC＝CD+BD＝（70+）m，∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m），解得：AB≈37m，答：該建筑物AB的高度約為37m．故選：C．31．（2022?貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹CD的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測(cè)得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若AB＝16m，則這棵樹CD的高度是（）A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m【分析】設(shè)AD＝x米，則BD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，然后在Rt△CDB中，利用銳角三角函數(shù)列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)AD＝x米，∵AB＝16米，∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴CD＝AD?tan45°＝x（米），在Rt△CDB中，∠B＝60°，∴tan60°＝＝＝，∴x＝24﹣8，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝24﹣8是原方程的根，∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，∴這棵樹CD的高度是8（3﹣）米，故選：A．32．（2022?隨州）如圖，已知點(diǎn)B，D，C在同一直線的水平地面上，在點(diǎn)C處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點(diǎn)D處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為β，若CD＝α，則建筑物AB的高度為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)AB＝x，在Rt△ABD中，tanβ＝，可得BD＝，則BC＝BD+CD＝a+，在Rt△ABC中，tanα＝，求解x即可．【解答】解：設(shè)AB＝x，在Rt△ABD中，tanβ＝，∴BD＝，∴BC＝BD+CD＝a+，在Rt△ABC中，tanα＝，解得x＝．故選：D．33．（2022?黃石）某校數(shù)學(xué)興趣小組開展“無(wú)人機(jī)測(cè)旗桿”的活動(dòng)：已知無(wú)人機(jī)的飛行高度為30m，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行至A處時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達(dá)B處，測(cè)得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為m．（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，結(jié)果按四舍五入保留一位小數(shù)）【分析】設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C，頂部為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交直線AB于點(diǎn)E．設(shè)DE＝xm，在Rt△BDE中，tan60°＝，解得BE＝x，則AE＝AB+BE＝（20+x）m，在Rt△ADE中，tan30°＝＝，解得x＝≈17.3，根據(jù)CD＝CE﹣DE可得出答案．【解答】解：設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C，頂部為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交直線AB于點(diǎn)E．則CE＝30m，AB＝20m，∠EAD＝30°，∠EBD＝60°，設(shè)DE＝xm，在Rt△BDE中，tan60°＝，解得BE＝x，則AE＝AB+BE＝（20+x）m，在Rt△ADE中，tan30°＝＝，解得x＝≈17.3，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝≈17.3是原方程的解，且符合題意，∴CD＝CE﹣DE＝12.7m．故答案為：12.7．34．（2022?黔東南州）如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹AB，距樹12米處有一棟教學(xué)樓CD，為了安全，學(xué)校決定砍伐該樹，站在樓頂D處，測(cè)得點(diǎn)B的仰角為45°，點(diǎn)A的俯角為30°．小青計(jì)算后得到如下結(jié)論：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接從點(diǎn)A處砍伐，樹干倒向教學(xué)樓CD方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；④若第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓CD造成危害．其中正確的是．（填寫序號(hào)，參考數(shù)值：≈1.7，≈1.4）【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，則AE＝DC，DE＝AC＝12米，在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE，DE的長(zhǎng)，從而求出CD的長(zhǎng)，即可判斷②；再在Rt△BED中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)，即可判斷①；通過(guò)比較AB與AD的長(zhǎng)，即可判斷③，計(jì)算出AB﹣8的值，再和AD的長(zhǎng)比較，即可判斷④．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，則AE＝DC，DE＝AC＝12米，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝DE?tan30°＝12×＝4（米），AD＝2AE＝8（米），∴CD＝AE＝4≈6.8（米），故②不正確；在Rt△BED中，BE＝DE?tan45°＝12（米），∴AB＝AE+BE＝12+4≈18.8（米），故①正確；∵AD＝8≈13.6（米），∴AB＞AD，∴若直接從點(diǎn)A處砍伐，樹干倒向教學(xué)樓CD方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響，故③正確；∵AB﹣8＝18.8﹣8＝10.8（米），∴10.8米＜13.6米，若第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓CD造成危害，故④正確；∴小青計(jì)算后得到如上結(jié)論，其中正確的是：①③④，故答案為：①③④．35．（2022?湖北）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點(diǎn)處測(cè)得乙建筑物D點(diǎn)的俯角α為45°，C點(diǎn)的俯角β為58°，BC為兩座