專題11二次函數(shù)與矩形、菱形的存在性問題(知識解讀)(原卷版+解析)

專題11二次函數(shù)與矩形、菱形的存在性問題（知識解讀）【專題說明】二次函數(shù)為載體的矩形存在性問題是近年來中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高．【解題思路】考點(diǎn)1矩形存在性問題1.矩形的判定:（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形；（3）有三個(gè)角為直角的四邊形．2.題型分析矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式：（AC為對角線時(shí)）因此在矩形存在性問題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè)．下：（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)．思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，再確定第4個(gè)點(diǎn)．對“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用．【例題】已知A（1，1）、B（4，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．解：點(diǎn)C滿足以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點(diǎn)C有在點(diǎn)C的基礎(chǔ)上，借助點(diǎn)的平移思路，可迅速得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．思路2：先平行，再矩形當(dāng)AC為對角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為矩形：其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．考點(diǎn)2菱形存在性問題菱形的判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．2．坐標(biāo)系中的菱形：有3個(gè)等式，故菱形存在性問題點(diǎn)坐標(biāo)最多可以有3個(gè)未知量，與矩形相同．3．解題思路：（1）思路1：先等腰，再菱形在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn)．（2）思路2：先平行，再菱形設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的存在性要求列出“”（AC、BD為對角線），再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組．方法總結(jié)：菱形有一個(gè)非常明顯的特點(diǎn)：任意三個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形必然是等腰三角形。【典例分析】【考點(diǎn)1矩形的存在性問題】【典例1】（2022?魚峰區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點(diǎn)，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形ABCM為矩形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【變式1-1】（2022?隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x＝﹣1，且OA＝OC，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)M為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P，M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)P及其對應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式1-2】（遼陽）如圖，直線y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，與直線y＝x﹣3交于點(diǎn)E（8，5），且與x軸交于C，D兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)2菱形的存在性問題】【典例2】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長；（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式2-1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求b、c的值；（2）點(diǎn)P（m，n）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作x軸的垂線交直線l：y＝x于點(diǎn)Q．①當(dāng)0＜m＜3時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線l：y＝x的距離最大時(shí)m的值；②是否存在m，使得以點(diǎn)O、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請說明理由；若存在，請求出m的值．【變式2-2】綜合與探究如圖，拋物線y＝x2+2x﹣6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．（1）求A、B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線AC，BC的函數(shù)表達(dá)式．（2）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線l，交線段AC于點(diǎn)D．①試探究：在直線l上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；②設(shè)拋物線的對稱軸與直線l交于點(diǎn)M，與直線AC交于點(diǎn)N．當(dāng)S△DMN＝S△AOC時(shí)，請直接寫出DM的長．【變式2-3】如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸，交直線AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①若點(diǎn)P僅在線段AO上運(yùn)動(dòng)，如圖，求線段MN的最大值；②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專題11二次函數(shù)與矩形、菱形的存在性問題（知識解讀）【專題說明】二次函數(shù)為載體的矩形存在性問題是近年來中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高．【解題思路】考點(diǎn)1矩形存在性問題1.矩形的判定:（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形；（3）有三個(gè)角為直角的四邊形．2.題型分析矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式：（AC為對角線時(shí)）因此在矩形存在性問題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè)．下：（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)．思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，再確定第4個(gè)點(diǎn)．對“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用．【例題】已知A（1，1）、B（4，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．解：點(diǎn)C滿足以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點(diǎn)C有在點(diǎn)C的基礎(chǔ)上，借助點(diǎn)的平移思路，可迅速得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．思路2：先平行，再矩形當(dāng)AC為對角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為矩形：其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．考點(diǎn)2菱形存在性問題菱形的判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．2．坐標(biāo)系中的菱形：有3個(gè)等式，故菱形存在性問題點(diǎn)坐標(biāo)最多可以有3個(gè)未知量，與矩形相同．3．解題思路：（1）思路1：先等腰，再菱形在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn)．（2）思路2：先平行，再菱形設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的存在性要求列出“”（AC、BD為對角線），再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組．方法總結(jié)：菱形有一個(gè)非常明顯的特點(diǎn)：任意三個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形必然是等腰三角形?！镜淅治觥俊究键c(diǎn)1矩形的存在性問題】【典例1】（2022?魚峰區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點(diǎn)，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形ABCM為矩形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣4，6）【解答】解：（1）把A（0，﹣2），B（4，0）代入拋物線y＝x2+bx+c，得，解得：，∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；（2）存在．過點(diǎn)C作AB的平行線，過點(diǎn)A作BC的平行線，兩條直線相較于M，則M即為所求．在y＝﹣2x+8中，令x＝0，則y＝8，∴C（0，8），∵A（0，﹣2），B（4，0），∴AB2＝42+22＝20，BC2＝42+82＝80，AC2＝102＝100，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°，∵CM∥AB，AM∥BC，∴四邊形ABCM是矩形，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，則，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x﹣2，∵CM∥AB，∴直線CM的解析式為y＝x+8，∵AM∥BC，∴直線BC的解析式為y＝﹣2x﹣2，聯(lián)立方程組，解得：，∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣4，6）．【變式1-1】（2022?隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x＝﹣1，且OA＝OC，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)M為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P，M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)P及其對應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）當(dāng)m＝﹣時(shí)，S的值最大，最大值為，此時(shí)P（﹣，）；（3）P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．【解答】解：（1）∵拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，拋物線交x軸于點(diǎn)A，B（1，0），∴A（﹣3，0），∴OA＝OC＝3，∴C（0，3），∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），把（0，3）代入拋物線的解析式，得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如圖（2）中，連接OP．設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3），S＝S△PAO+S△POC+S△OBC，＝×3×（﹣m2﹣2m+3）××3×（﹣m）+×1×3＝（﹣m2﹣3m+4）＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S的值最大，最大值為，此時(shí)P（﹣，）；（3）存在，理由如下：如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，四邊形PMCN是矩形，此時(shí)P（﹣1，4），N（0，4）；如圖3﹣2中，當(dāng)四邊形PMCN是矩形時(shí)，設(shè)M（﹣1，n），P（t，﹣t2﹣2t+3），則N（t+1，0），由題意，，解得，消去n得，3t2+5t﹣10＝0，解得t＝，∴P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．【變式1-2】（遼陽）如圖，直線y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，與直線y＝x﹣3交于點(diǎn)E（8，5），且與x軸交于C，D兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2，8）或（﹣16，29）．【解答】解：（1）直線y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，則A（3，0）B（0，﹣3），把B、E點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)方程，解得：拋物線的解析式y(tǒng)＝x2﹣x﹣3…①，則：C（6，0）；（2）存在．①當(dāng)BC為矩形對角線時(shí)，矩形BP′CQ′所在的位置如圖所示，設(shè)：P′（m，n），n＝m2﹣m﹣3…③，P′C所在直線的k1＝，P′B所在的直線k2＝，則：k1?k2＝﹣1…④，③、④聯(lián)立得：＝0，解得：m＝0或6，這兩個(gè)點(diǎn)分別和點(diǎn)B、C重合，與題意不符，故：這種情況不存在，舍去．②當(dāng)BC為矩形一邊時(shí)，情況一：矩形BCQP所在的位置如圖所示，直線BC所在的方程為：y＝x﹣3，則：直線BP的k為﹣2，所在的方程為y＝﹣2x﹣3…⑤，聯(lián)立①⑤解得點(diǎn)P（﹣4，5），則Q（2，8），情況二：矩形BCP″Q″所在的位置如圖所示，此時(shí)，P″在拋物線上，其坐標(biāo)為：（﹣10，32），Q″坐標(biāo)為（﹣16，29）．故：存在矩形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2，8）或（﹣16，29）．【考點(diǎn)2菱形的存在性問題】【典例2】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長；（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，BC是定值，∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長最?。鐖D1，點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸l對稱，連接AC交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．∵AP＝BP，∴△PBC周長的最小值是AC+BC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），∴AC＝3，BC＝．∴△PBC周長的最小值是：3+．拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+c，將A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，∴P（1，2）；（3）存在．設(shè)P（1，t），Q（m，n）∵A（3，0），C（0，3），則AC2＝32+32＝18，AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，∵四邊形ACPQ是菱形，∴分三種情況：以AP為對角線或以AC為對角線或以CP為對角線，①當(dāng)以AP為對角線時(shí)，則CP＝CA，如圖2，∴t2﹣6t+10＝18，解得：t＝3±，∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），∵四邊形ACPQ是菱形，∴AP與CQ互相垂直平分，即AP與CQ的中點(diǎn)重合，當(dāng)P1（1，3﹣）時(shí)，∴＝，＝，解得：m＝4，n＝﹣，∴Q1（4，﹣），當(dāng)P2（1，3+）時(shí)，∴＝，＝，解得：m＝4，n＝，∴Q2（4，），②以AC為對角線時(shí)，則PC＝AP，如圖3，∴t2﹣6t+10＝t2+4，解得：t＝1，∴P3（1，1），∵四邊形APCQ是菱形，∴AC與PQ互相垂直平分，即AC與CQ中點(diǎn)重合，∴＝，＝，解得：m＝2，n＝2，∴Q3（2，2），③當(dāng)以CP為對角線時(shí)，則AP＝AC，如圖4，∴t2+4＝18，解得：t＝±，∴P4（1，），P5（1，﹣），∵四邊形ACQP是菱形，∴AQ與CP互相垂直平分，即AQ與CP的中點(diǎn)重合，∴＝，＝，解得：m＝﹣2，n＝3，∴Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣），綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．【變式2-1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求b、c的值；（2）點(diǎn)P（m，n）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作x軸的垂線交直線l：y＝x于點(diǎn)Q．①當(dāng)0＜m＜3時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線l：y＝x的距離最大時(shí)m的值；②是否存在m，使得以點(diǎn)O、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請說明理由；若存在，請求出m的值．【解答】解：（1）由二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），得：，解得：，∴y＝x2﹣2x﹣3，∴b＝﹣2，c＝﹣3．（2）①∵點(diǎn)P（m，n）在拋物線上y＝x2﹣2x﹣3，∴P（m，m2﹣2m﹣3），∴PQ＝m﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m+3＝﹣（m﹣）2+，∵過P作x軸的垂線交直線l：y＝x于點(diǎn)Q，∴Q（m，m），設(shè)點(diǎn)P到直線y＝x的距離為h，∵直線y＝x是一三象限的角平分線，∴PQ＝h，∴當(dāng)P點(diǎn)到直線l：y＝x的距離最大時(shí)，PQ取得最大值，∴當(dāng)m＝時(shí)，PQ有最大值，∴當(dāng)P點(diǎn)到直線l：y＝x的距離最大時(shí)，m的值為．②∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，∴x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵OC∥PQ，且以點(diǎn)O、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴PQ＝OC，又∵OC＝3，PQ＝|﹣m2+3m+3|，∴3＝|﹣m2+3m+3|，解得：m1＝0，m2＝3，m3＝，m4＝，當(dāng)m1＝0時(shí)，PQ與OC重合，菱形不成立，舍去；當(dāng)m2＝3時(shí)，P（3，0），Q（3，3），此時(shí)，四邊形OCPQ是平行四邊形，OQ＝，∴OQ≠OC，平行四邊形OCPQ不是菱形，舍去；當(dāng)m3＝時(shí)，Q（，），此時(shí)，四邊形OCQP是平行四邊形，OQ＝，∴CQ≠OC，平行四邊形OCPQ不是菱形，舍去；當(dāng)m4＝時(shí)，Q（，），此時(shí)，四邊形OCQP是平行四邊形，OQ＝，∴OQ≠OC，平行四邊形OCPQ不是菱形，舍去；綜上所述：不存在m，使得以點(diǎn)O、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．【變式2-2】綜合與探究如圖，拋物線y＝x2+2x﹣6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．（1）求A、B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線AC，BC的函數(shù)表達(dá)式．（2）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線l，交線段AC于點(diǎn)D．①試探究：在直線l上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；②設(shè)拋物線的對稱軸與直線l交于點(diǎn)M，與直線AC交于點(diǎn)N．當(dāng)S△DMN＝S△AOC時(shí)，請直接寫出DM的長．【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝2，∴A（﹣6，0），B（2，0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x﹣6，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝3x﹣6；（2）①存在：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，∵DE∥BC，∴當(dāng)DE＝BC時(shí)，以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，分兩種情況：如圖，當(dāng)BD＝BC時(shí)，四邊形BDEC為菱形，∴BD2＝BC2，∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），∵點(diǎn)D向左移動(dòng)2各單位長度，向下移動(dòng)6個(gè)單位長度得到點(diǎn)E，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣6，﹣8）；如圖，當(dāng)CD＝CB時(shí)，四邊形CBED為菱形，∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，2﹣6），∵點(diǎn)D向右移動(dòng)2個(gè)單位長度，向上移動(dòng)6個(gè)單位長度得到點(diǎn)E，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2﹣2，2）；綜上，存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；②設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵A（﹣6，0），B（2，0），∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2，∵直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝3x﹣6，直線l∥BC，∴設(shè)直線l的解析式為y＝3x+b，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)（m，﹣m﹣6），∴b＝﹣4m﹣6，∴M（﹣2，﹣4m﹣12），∵拋物線的對稱軸與直線AC交于點(diǎn)N．∴