專題09分式方程(原卷版+解析)

專題09分式方程【專題目錄】技巧1：分式的意義及性質(zhì)的四種題型技巧2：分式運算的八種技巧技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范圍技巧4：分式求值的方法【題型】一、分式有意義的條件【題型】二、分式的運算【題型】三、分式的基本性質(zhì)【題型】四、解分式方程【題型】五、分式方程的解【題型】六、列分式方程【考綱要求】1、理解分式、最簡分式、最簡公分母的概念，掌握分式的基本性質(zhì)，能熟練地進行約分、通分．2、能根據(jù)分式的加、減、乘、除的運算法則解決計算、化簡、求值等問題，并掌握分式有意義、無意義和值為零的約束條件．3、理解分式方程的概念，會解可化為一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超過兩個)。4、了解解分式方程產(chǎn)生增根的原因，會檢驗和對分式方程出現(xiàn)的增根進行討論．【考點總結(jié)】一、分式分式的相關(guān)概念分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．有意義的條件因為0不能做除數(shù)，所以在分式eq\f(A,B)中，若B≠0，則分式eq\f(A,B)有意義；若B＝0，那么分式eq\f(A,B)沒有意義．值為0在分式eq\f(A,B)中，當(dāng)A＝0且B≠0時，分式eq\f(A,B)的值為0分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于零的整式，分式的值不變．用式子表示是：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)約分將分子、分母中的公因式約去，叫做分式的約分通分將幾個異分母的分式化為同分母的分式，這種變形叫分式的通分分式運算分式加減同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后相加減，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合運算在分式的加減乘除混合運算中，應(yīng)先算乘除，進行約分化簡后，再進行加減運算，遇到有括號的，先算括號里面的．運算結(jié)果必須是最簡分式或整式．【考點總結(jié)】二、分式方程分式方程定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程解法（1）解分式方程的基本思路：將分式方程化為整式方程.（2）常用方法：①去分母;②換元法.（3）去分母法的步驟：①去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;②解所得的整式方程;③驗根作答.（4）換元法的步驟：①設(shè)輔助未知數(shù);②得到關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程,求出輔助未知數(shù)的值;③把輔助未知數(shù)的值代回原式中,求出原來未知數(shù)的值;④檢驗作答.（5）解分式方程時,在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時,有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根(我們把這個根叫做方程的增根),所以解分式方程時要驗根.運用解分式方程應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意,找準等量關(guān)系,列出分式方程,最后要驗根【注意】1.約分前后分式的值要相等.2.約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式.3.約分是對分子、分母的整體進行的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個因式分式混合運算的運算運算順序：1.先把除法統(tǒng)一成乘法運算；2.分子、分母中能分解因式的多項式分解因式；3.確定分式的符號，然后約分；4.結(jié)果應(yīng)是最簡分式.【技巧歸納】技巧1：分式的意義及性質(zhì)的四種題型【類型】一、分式的識別1．在eq\f(3x,4x－2)，eq\f(－5,x2＋7)，eq\f(4x－2,5)，2m，eq\f(x2,π＋1)，eq\f(2m2,m)中，不是分式的式子有()A．1個B．2個C．3個D．4個2．從a－1，3＋π，2，x2＋5中任選2個構(gòu)成分式，共有________個．【類型】二、分式有無意義的條件3．若代數(shù)式eq\f(1,a－4)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)＝4B．a(chǎn)>4C．a(chǎn)<4D．a(chǎn)≠44．當(dāng)x＝________時，分式eq\f(x－1,x2－1)無意義．5．已知不論x為何實數(shù)，分式eq\f(3x＋5,x2－6x＋m)總有意義，試求m的取值范圍．【類型】三、分式值為正、負數(shù)或0的條件6．若eq\f(x＋2,x2－2x＋1)的值為正數(shù)，則x的取值范圍是()A．x＜－2B．x＜1C．x＞－2且x≠1D．x＞17．若分式eq\f(3x－4,2－x)的值為負數(shù)，則x的取值范圍是________．8．已知分式eq\f(a－1,a2－b2)的值為0，求a的值及b的取值范圍．【類型】四、分式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用9．下列各式正確的是()A.eq\f(a,b)＝eq\f(a2,b2)B.eq\f(a,b)＝eq\f(ab,a＋b)C.eq\f(a,b)＝eq\f(a＋c,b＋c)D.eq\f(a,b)＝eq\f(ab,b2)10．要使式子eq\f(1,x－3)＝eq\f(x＋2,x2－x－6)從左到右的變形成立，x應(yīng)滿足的條件是()A．x＞－2B．x＝－2C．x＜－2D．x≠－211．已知eq\f(x,4)＝eq\f(y,6)＝eq\f(z,7)≠0，求eq\f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)的值．12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求eq\f(x,|y＋z|)＋eq\f(y,|z＋x|)＋eq\f(z,|x＋y|)的值．技巧2：分式運算的八種技巧【類型】一、約分計算法1．計算：eq\f(a2＋6a,a2＋3a)－eq\f(a2－9,a2＋6a＋9).【類型】二、整體通分法2．計算：a－2＋eq\f(4,a＋2).【類型】三、順次相加法3．計算：eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1).【類型】四、換元通分法4．計算：(3m－2n)＋eq\f(（3m－2n）3,3m－2n＋1)－(3m－2n)2＋eq\f(2n－3m,3m－2n－1).【類型】五、裂項相消法eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(1,n（n＋1）)＝\f(1,n)－\f(1,n＋1)))5．計算：eq\f(1,a（a＋1）)＋eq\f(1,（a＋1）（a＋2）)＋eq\f(1,（a＋2）（a＋3）)＋…＋eq\f(1,（a＋99）（a＋100）).【類型】六、整體代入法6．已知eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,9)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,15)，求eq\f(abc,ab＋bc＋ac)的值．【類型】七、倒數(shù)求值法7．已知eq\f(x,x2－3x＋1)＝－1，求eq\f(x2,x4－9x2＋1)的值．【類型】八、消元法8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求eq\f(5x2＋2y2－z2,2x2－3y2－10z2)的值．技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范圍【類型】一、利用分式方程解的定義求字母的值1．已知關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x＋4)＝eq\f(m,x)與分式方程eq\f(3,2x)＝eq\f(1,x－1)的解相同，求m2－2m的值．【類型】二、利用分式方程有解求字母的取值范圍2．若關(guān)于x的方程eq\f(x－2,x－3)＝eq\f(m,x－3)＋2有解，求m的取值范圍．【類型】三、利用分式方程有增根求字母的值3．如果解關(guān)于x的分式方程eq\f(m,x－2)－eq\f(2x,2－x)＝1時出現(xiàn)增根，那么m的值為()A．－2B．2C．4D．－44．若關(guān)于x的方程eq\f(m,x2－9)＋eq\f(2,x＋3)＝eq\f(1,x－3)有增根，則增根是多少？并求方程產(chǎn)生增根時m的值．【類型】四、利用分式方程無解求字母的值5．若關(guān)于x的分式方程eq\f(x－a,x＋1)＝a無解，則a＝________.6．已知關(guān)于x的方程eq\f(x－4,x－3)－m－4＝eq\f(m,3－x)無解，求m的值．7．已知關(guān)于x的分式方程eq\f(x＋a,x－2)－eq\f(5,x)＝1.(1)若方程的增根為x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程無解，求a的值．技巧4：分式求值的方法【類型】一、直接代入法求值1．先化簡，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋1)＋\f(a＋2,a2－1)))÷eq\f(a,a－1)，其中a＝5.【類型】二、活用公式求值2．已知實數(shù)x滿足x2－5x＋1＝0，求x4＋eq\f(1,x4)的值．3．已知x＋y＝12，xy＝9，求eq\f(x2＋3xy＋y2,x2y＋xy2)的值．【類型】三、整體代入法求值4．已知eq\f(x,y＋z)＋eq\f(y,z＋x)＋eq\f(z,x＋y)＝1，且x＋y＋z≠0，求eq\f(x2,y＋z)＋eq\f(y2,z＋x)＋eq\f(z2,x＋y)的值．【類型】四、巧變形法求值5．已知實數(shù)x滿足4x2－4x＋1＝0，求2x＋eq\f(1,2x)的值．【類型】五、設(shè)參數(shù)求值6．已知eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,4)≠0，求eq\f(x2－y2＋2z2,xy＋yz＋xz)的值．【題型講解】【題型】一、分式有意義的條件例1、使得式子有意義的x的取值范圍是（）A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4【題型】二、分式的運算例2、分式化簡后的結(jié)果為（）A． B． C． D．【題型】三、分式的基本性質(zhì)例3、若=，則的值為（）A．5 B． C．3 D．【題型】四、解分式方程例4、方程的解是（）A． B． C． D．【題型】五、分式方程的解例5、關(guān)于x的分式方程﹣＝1有增根，則m的值（）【題型】六、列分式方程例6、隨著快遞業(yè)務(wù)的增加，某快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原來多投遞80件，若快遞公司的快遞員人數(shù)不變，求原來平均每人每周投遞快件多少件？設(shè)原來平均每人每周投遞快件件，根據(jù)題意可列方程為（）A． B．C． D．分式方程（達標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．（2022·廣西·富川瑤族自治縣教學(xué)研究室模擬預(yù)測）關(guān)于x的分式方程有解，則實數(shù)m應(yīng)滿足的條件是（

）A．m=-1 B．m≠-1 C．m=1 D．m≠12．（2022·海南省直轄縣級單位·二模）分式方程的解為（

）A． B．0 C．1 D．23．（2022·天津南開·二模）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．（2022·貴州貴陽·三模）計算的結(jié)果是（

）A．2 B．－2 C．1 D．－15．（2022·江蘇淮安·一模）若分式有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·四川省遂寧市第二中學(xué)校二模）分式方程的解為______．7．（2022·湖南懷化·模擬預(yù)測）計算﹣＝_____．三、解答題8．（2022·浙江麗水·一模）解方程：．分式方程（提升測評）一、單選題1．（2022·遼寧葫蘆島·一模）2022年北京冬奧會的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受國內(nèi)外朋友的喜愛．某特許零售店準備購進一批吉祥物銷售．已知用600元購進“冰墩墩”的數(shù)量與用500元購進“雪容融”數(shù)置相同，已知購進“冰墩墩”的單價比“雪容融”的單價多10元，設(shè)購進“冰墩墩”的單價為x元，則列出方程正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為（

）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或33．（2022·安徽·三模）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．（2022·湖北黃石·模擬預(yù)測）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)模擬預(yù)測）實數(shù)．則下列各式中比的值大的是（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·黑龍江黑龍江·三模）關(guān)于x的分式方程有解，則a的取值范圍是________．7．（2023·福建莆田·二模）已知非零實數(shù)a，b滿足，則的值等于__________．三、解答題8．（2022·重慶市育才中學(xué)二模）在剛剛過去的“五一”假期中，某超市為迎接“五一”小長假購物高潮，經(jīng)銷甲、乙兩種品牌的洗衣液．市場上甲種品牌洗衣液的進價比乙種品牌洗衣液的進價每瓶便宜10元，該超市用6000元購進的甲種品牌洗衣液與用8000元購進的乙種品牌洗衣液的瓶數(shù)相同．(1)求甲、乙兩種品牌的洗衣液的進價；(2)在銷售中，該超市決定將甲種品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但調(diào)查發(fā)現(xiàn)，乙種品牌的洗衣液每瓶售價50元時，每天可售出140瓶，并且當(dāng)乙種品牌的洗衣液每瓶售價每提高1元時，乙種品牌的洗衣液每天就會少售出2瓶，當(dāng)乙種品牌的洗衣液的每瓶售價為多少元時，兩種品牌的洗衣液每天的利潤之和可達到4700元？專題09分式方程【專題目錄】技巧1：分式的意義及性質(zhì)的四種題型技巧2：分式運算的八種技巧技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范圍技巧4：分式求值的方法【題型】一、分式有意義的條件【題型】二、分式的運算【題型】三、分式的基本性質(zhì)【題型】四、解分式方程【題型】五、分式方程的解【題型】六、列分式方程【考綱要求】1、理解分式、最簡分式、最簡公分母的概念，掌握分式的基本性質(zhì)，能熟練地進行約分、通分．2、能根據(jù)分式的加、減、乘、除的運算法則解決計算、化簡、求值等問題，并掌握分式有意義、無意義和值為零的約束條件．3、理解分式方程的概念，會解可化為一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超過兩個)。4、了解解分式方程產(chǎn)生增根的原因，會檢驗和對分式方程出現(xiàn)的增根進行討論．【考點總結(jié)】一、分式分式的相關(guān)概念分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．有意義的條件因為0不能做除數(shù)，所以在分式eq\f(A,B)中，若B≠0，則分式eq\f(A,B)有意義；若B＝0，那么分式eq\f(A,B)沒有意義．值為0在分式eq\f(A,B)中，當(dāng)A＝0且B≠0時，分式eq\f(A,B)的值為0分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于零的整式，分式的值不變．用式子表示是：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)約分將分子、分母中的公因式約去，叫做分式的約分通分將幾個異分母的分式化為同分母的分式，這種變形叫分式的通分分式運算分式加減同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后相加減，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合運算在分式的加減乘除混合運算中，應(yīng)先算乘除，進行約分化簡后，再進行加減運算，遇到有括號的，先算括號里面的．運算結(jié)果必須是最簡分式或整式．【考點總結(jié)】二、分式方程分式方程定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程解法（1）解分式方程的基本思路：將分式方程化為整式方程.（2）常用方法：①去分母;②換元法.（3）去分母法的步驟：①去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;②解所得的整式方程;③驗根作答.（4）換元法的步驟：①設(shè)輔助未知數(shù);②得到關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程,求出輔助未知數(shù)的值;③把輔助未知數(shù)的值代回原式中,求出原來未知數(shù)的值;④檢驗作答.（5）解分式方程時,在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時,有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根(我們把這個根叫做方程的增根),所以解分式方程時要驗根.運用解分式方程應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意,找準等量關(guān)系,列出分式方程,最后要驗根【注意】1.約分前后分式的值要相等.2.約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式.3.約分是對分子、分母的整體進行的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個因式分式混合運算的運算運算順序：1.先把除法統(tǒng)一成乘法運算；2.分子、分母中能分解因式的多項式分解因式；3.確定分式的符號，然后約分；4.結(jié)果應(yīng)是最簡分式.【技巧歸納】技巧1：分式的意義及性質(zhì)的四種題型【類型】一、分式的識別1．在eq\f(3x,4x－2)，eq\f(－5,x2＋7)，eq\f(4x－2,5)，2m，eq\f(x2,π＋1)，eq\f(2m2,m)中，不是分式的式子有()A．1個B．2個C．3個D．4個2．從a－1，3＋π，2，x2＋5中任選2個構(gòu)成分式，共有________個．【類型】二、分式有無意義的條件3．若代數(shù)式eq\f(1,a－4)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)＝4B．a(chǎn)>4C．a(chǎn)<4D．a(chǎn)≠44．當(dāng)x＝________時，分式eq\f(x－1,x2－1)無意義．5．已知不論x為何實數(shù)，分式eq\f(3x＋5,x2－6x＋m)總有意義，試求m的取值范圍．【類型】三、分式值為正、負數(shù)或0的條件6．若eq\f(x＋2,x2－2x＋1)的值為正數(shù)，則x的取值范圍是()A．x＜－2B．x＜1C．x＞－2且x≠1D．x＞17．若分式eq\f(3x－4,2－x)的值為負數(shù)，則x的取值范圍是________．8．已知分式eq\f(a－1,a2－b2)的值為0，求a的值及b的取值范圍．【類型】四、分式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用9．下列各式正確的是()A.eq\f(a,b)＝eq\f(a2,b2)B.eq\f(a,b)＝eq\f(ab,a＋b)C.eq\f(a,b)＝eq\f(a＋c,b＋c)D.eq\f(a,b)＝eq\f(ab,b2)10．要使式子eq\f(1,x－3)＝eq\f(x＋2,x2－x－6)從左到右的變形成立，x應(yīng)滿足的條件是()A．x＞－2B．x＝－2C．x＜－2D．x≠－211．已知eq\f(x,4)＝eq\f(y,6)＝eq\f(z,7)≠0，求eq\f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)的值．12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求eq\f(x,|y＋z|)＋eq\f(y,|z＋x|)＋eq\f(z,|x＋y|)的值．參考答案1．C點撥：eq\f(4x－2,5)，2m，eq\f(x2,π＋1)不是分式．2．6點撥：以a－1為分母，可構(gòu)成3個分式；以x2＋5為分母，可構(gòu)成3個分式，所以共可構(gòu)成6個分式．3．D4.±15．解：x2－6x＋m＝(x－3)2＋(m－9)．因為(x－3)2≥0，所以當(dāng)m－9＞0，即m＞9時，x2－6x＋m始終為正數(shù)，分式總有意義．6．C點撥：x2－2x＋1＝(x－1)2.因為分式的值為正數(shù)，所以x＋2＞0且x－1≠0.解得x＞－2且x≠1.7．x＞2或x＜eq\f(4,3)8．解：因為分式eq\f(a－1,a2－b2)的值為0，所以a－1＝0且a2－b2≠0.解得a＝1且b≠±1.9．D10.D11．解：設(shè)eq\f(x,4)＝eq\f(y,6)＝eq\f(z,7)＝k(k≠0)，則x＝4k，y＝6k，z＝7k.所以eq\f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)＝eq\f(4k＋2×6k＋3×7k,6×4k－5×6k＋4×7k)＝eq\f(37k,22k)＝eq\f(37,22).12．解：由x＋y＋z＝0，xyz≠0可知，x，y，z必為兩正一負或兩負一正．當(dāng)x，y，z為兩正一負時，不妨設(shè)x＞0，y＞0，z＜0，則原式＝eq\f(x,|－x|)＋eq\f(y,|－y|)＋eq\f(z,|－z|)＝1＋1－1＝1；當(dāng)x，y，z為兩負一正時，不妨設(shè)x＞0，y＜0，z＜0，則原式＝eq\f(x,|－x|)＋eq\f(y,|－y|)＋eq\f(z,|－z|)＝1－1－1＝－1.綜上所述，所求式子的值為1或－1.值的分式消元求值．技巧2：分式運算的八種技巧【類型】一、約分計算法1．計算：eq\f(a2＋6a,a2＋3a)－eq\f(a2－9,a2＋6a＋9).【類型】二、整體通分法2．計算：a－2＋eq\f(4,a＋2).【類型】三、順次相加法3．計算：eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1).【類型】四、換元通分法4．計算：(3m－2n)＋eq\f(（3m－2n）3,3m－2n＋1)－(3m－2n)2＋eq\f(2n－3m,3m－2n－1).【類型】五、裂項相消法eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(1,n（n＋1）)＝\f(1,n)－\f(1,n＋1)))5．計算：eq\f(1,a（a＋1）)＋eq\f(1,（a＋1）（a＋2）)＋eq\f(1,（a＋2）（a＋3）)＋…＋eq\f(1,（a＋99）（a＋100）).【類型】六、整體代入法6．已知eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,9)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,15)，求eq\f(abc,ab＋bc＋ac)的值．【類型】七、倒數(shù)求值法7．已知eq\f(x,x2－3x＋1)＝－1，求eq\f(x2,x4－9x2＋1)的值．【類型】八、消元法8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求eq\f(5x2＋2y2－z2,2x2－3y2－10z2)的值．參考答案1．解：原式＝eq\f(a（a＋6）,a（a＋3）)－eq\f(（a＋3）（a－3）,（a＋3）2)＝eq\f(a＋6,a＋3)－eq\f(a－3,a＋3)＝eq\f(9,a＋3).點撥：在分式的加減運算中，若分式的分子、分母是多項式，則首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能約分的先約分，然后再計算，這樣可簡化計算過程．2．解：原式＝eq\f(a－2,1)＋eq\f(4,a＋2)＝eq\f(a2－4,a＋2)＋eq\f(4,a＋2)＝eq\f(a2,a＋2).點撥：整式與分式相加減時，可以先將整式看成分母為1的式子，然后通分相加減．3．解：原式＝eq\f(x＋1,x2－1)＋eq\f(x－1,x2－1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(2x,x2－1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(2x（x2＋1）＋2x（x2－1）,（x2－1）（x2＋1）)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(4x3,x4－1)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(4x3（x4＋1）＋4x3（x4－1）,（x4－1）（x4＋1）)＝eq\f(8x7,x8－1).點撥：此類題在計算時，采用“分步通分相加”的方法，逐步遞進進行計算，達到化繁為簡的目的．在解題時既要看到局部特征，又要全局考慮．4．解：設(shè)3m－2n＝x，則原式＝x＋eq\f(x3,x＋1)－x2－eq\f(x,x－1)＝eq\f(x（x2－1）＋x3（x－1）－x2（x2－1）－x（x＋1）,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(－2x,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(4n－6m,（3m－2n＋1）（3m－2n－1）).5．解：原式＝eq\f(1,a)－eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,a＋1)－eq\f(1,a＋2)＋eq\f(1,a＋2)－eq\f(1,a＋3)＋…＋eq\f(1,a＋99)－eq\f(1,a＋100)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,a＋100)＝eq\f(100,a（a＋100）).點撥：對于分子是1，分母是相差為1的兩個整式的積的分式相加減，常用eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)進行裂項，然后相加減，這樣可以抵消一些項．6．解：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,9)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,15)，上面各式兩邊分別相加，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))×2＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,15)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(31,180).易知abc≠0，所以eq\f(abc,ab＋bc＋ac)＝eq\f(1,\f(1,c)＋\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(180,31).7．解：由eq\f(x,x2－3x＋1)＝－1，知x≠0，所以eq\f(x2－3x＋1,x)＝－1.所以x－3＋eq\f(1,x)＝－1.即x＋eq\f(1,x)＝2.所以eq\f(x4－9x2＋1,x2)＝x2－9＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(2)－11＝22－11＝－7.所以eq\f(x2,x4－9x2＋1)＝－eq\f(1,7).8．解：以x，y為主元，將已知的兩個等式化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－3y＝6z，,x＋2y＝7z.))解得x＝3z，y＝2z.因為xyz≠0，所以z≠0.所以原式＝eq\f(5×9z2＋2×4z2－z2,2×9z2－3×4z2－10z2)＝－13.點撥：此題無法直接求出x，y，z的值，因此需將三個未知數(shù)的其中一個作為常數(shù)，解關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組，然后代入待求值的分式消元求值．技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范圍【類型】一、利用分式方程解的定義求字母的值1．已知關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x＋4)＝eq\f(m,x)與分式方程eq\f(3,2x)＝eq\f(1,x－1)的解相同，求m2－2m的值．【類型】二、利用分式方程有解求字母的取值范圍2．若關(guān)于x的方程eq\f(x－2,x－3)＝eq\f(m,x－3)＋2有解，求m的取值范圍．【類型】三、利用分式方程有增根求字母的值3．如果解關(guān)于x的分式方程eq\f(m,x－2)－eq\f(2x,2－x)＝1時出現(xiàn)增根，那么m的值為()A．－2B．2C．4D．－44．若關(guān)于x的方程eq\f(m,x2－9)＋eq\f(2,x＋3)＝eq\f(1,x－3)有增根，則增根是多少？并求方程產(chǎn)生增根時m的值．【類型】四、利用分式方程無解求字母的值5．若關(guān)于x的分式方程eq\f(x－a,x＋1)＝a無解，則a＝________.6．已知關(guān)于x的方程eq\f(x－4,x－3)－m－4＝eq\f(m,3－x)無解，求m的值．7．已知關(guān)于x的分式方程eq\f(x＋a,x－2)－eq\f(5,x)＝1.(1)若方程的增根為x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程無解，求a的值．參考答案1．解：解分式方程eq\f(3,2x)＝eq\f(1,x－1)，得x＝3.經(jīng)檢驗，x＝3是該方程的解．將x＝3代入eq\f(2,x＋4)＝eq\f(m,x)，得eq\f(2,7)＝eq\f(m,3).解得m＝eq\f(6,7).∴m2－2m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))eq\s\up12(2)－2×eq\f(6,7)＝－eq\f(48,49).2．解：去分母并整理，得x＋m－4＝0.解得x＝4－m.∵分式方程有解，∴x＝4－m不能為增根．∴4－m≠3.解得m≠1.∴當(dāng)m≠1時，原分式方程有解．3．D4．解：因為原方程有增根，且增根必定使最簡公分母(x＋3)(x－3)＝0，所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．原方程兩邊同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.當(dāng)x＝3時，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；當(dāng)x＝－3時，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m＝12.綜上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.當(dāng)x＝3時，m＝6；當(dāng)x＝－3時，m＝12.點撥：只要令最簡公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再將增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相應(yīng)的m的值．5．1或－16．解：原方程可化為(m＋3)x＝4m＋8.由于原方程無解，故有以下兩種情形：(1)若整式方程無實根，則m＋3＝0且4m＋8≠0，此時m＝－3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，則eq\f(4m＋8,m＋3)＝3，解得m＝1.經(jīng)檢驗，m＝1是方程eq\f(4m＋8,m＋3)＝3的解．綜上所述，m的值為－3或1.7．解：原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.(1)因為原方程的增根為x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(2)因為原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.因為x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根為x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①當(dāng)3－a＝0，即a＝3時，整式方程(3－a)x＝10無解，則原分式方程也無解；②當(dāng)3－a≠0時，要使原方程無解，則由(2)知，a＝－2.綜上所述，a的值為3或－2.點撥：分式方程有增根時，一定存在使最簡公分母等于0的整式方程的解．分式方程無解是指整式方程的解使最簡公分母等于0或整式方程無解．技巧4：分式求值的方法【類型】一、直接代入法求值1．先化簡，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋1)＋\f(a＋2,a2－1)))÷eq\f(a,a－1)，其中a＝5.【類型】二、活用公式求值2．已知實數(shù)x滿足x2－5x＋1＝0，求x4＋eq\f(1,x4)的值．3．已知x＋y＝12，xy＝9，求eq\f(x2＋3xy＋y2,x2y＋xy2)的值．【類型】三、整體代入法求值4．已知eq\f(x,y＋z)＋eq\f(y,z＋x)＋eq\f(z,x＋y)＝1，且x＋y＋z≠0，求eq\f(x2,y＋z)＋eq\f(y2,z＋x)＋eq\f(z2,x＋y)的值．【類型】四、巧變形法求值5．已知實數(shù)x滿足4x2－4x＋1＝0，求2x＋eq\f(1,2x)的值．【類型】五、設(shè)參數(shù)求值6．已知eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,4)≠0，求eq\f(x2－y2＋2z2,xy＋yz＋xz)的值．參考答案1．解：原式＝[eq\f(2,a＋1)＋eq\f(a＋2,（a＋1）（a－1）)]·eq\f(a－1,a)＝eq\f(2（a－1）＋（a＋2）,（a＋1）（a－1）)·eq\f(a－1,a)＝eq\f(3,a＋1).當(dāng)a＝5時，eq\f(3,a＋1)＝eq\f(3,5＋1)＝eq\f(1,2).2．解：由x2－5x＋1＝0得x≠0，∴x＋eq\f(1,x)＝5.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(2)＝25.∴x2＋eq\f(1,x2)＝23.∴x4＋eq\f(1,x4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))eq\s\up12(2)－2＝232－2＝527點撥：在求解有關(guān)分式中兩數(shù)(或兩式)的平方和問題時，可考慮運用完全平方公式進行解答．3．解：eq\f(x2＋3xy＋y2,x2y＋xy2)＝eq\f(x2＋2xy＋y2＋xy,xy（x＋y）)＝eq\f(（x＋y）2＋xy,xy（x＋y）).因為x＋y＝12，xy＝9，所以eq\f(（x＋y）2＋xy,xy（x＋y）)＝eq\f(122＋9,9×12)＝eq\f(17,12).4．解：因為x＋y＋z≠0，所以等式的兩邊同時乘x＋y＋z，得eq\f(x（x＋y＋z）,y＋z)＋eq\f(y（x＋y＋z）,z＋x)＋eq\f(z（x＋y＋z）,x＋y)＝x＋y＋z，所以eq\f(x2,y＋z)＋eq\f(x（y＋z）,y＋z)＋eq\f(y2,z＋x)＋eq\f(y（z＋x）,z＋x)＋eq\f(z2,x＋y)＋eq\f(z（x＋y）,x＋y)＝x＋y＋z.所以eq\f(x2,y＋z)＋eq\f(y2,z＋x)＋eq\f(z2,x＋y)＋x＋y＋z＝x＋y＋z.所以eq\f(x2,y＋z)＋eq\f(y2,z＋x)＋eq\f(z2,x＋y)＝0.點撥：條件分式的求值，如需對已知條件或所求條件分式變形，必須依據(jù)題目自身的特點，這樣才能收到事半功倍的效果．條件分式的求值問題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體思想和轉(zhuǎn)化思想．5．解：∵4x2－4x＋1＝0，∴(2x－1)2＝0.∴2x＝1.∴2x＋eq\f(1,2x)＝1＋eq\f(1,1)＝2.6．解：設(shè)eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,4)＝k≠0，則x＝2k，y＝3k，z＝4k.所以eq\f(x2－y2＋2z2,xy＋yz＋xz)＝eq\f(（2k）2－（3k）2＋2（4k）2,2k·3k＋3k·4k＋2k·4k)＝eq\f(27k2,26k2)＝eq\f(27,26).【題型講解】【題型】一、分式有意義的條件例1、使得式子有意義的x的取值范圍是（）A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4【答案】D【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【詳解】解：使得式子有意義，則：4﹣x＞0，解得：x＜4即x的取值范圍是：x＜4故選D．【題型】二、分式的運算例2、分式化簡后的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)異分母分式相加減的運算法則計算即可．異分母分式相加減，先通分，再根據(jù)同分母分式相加減的法則計算．【詳解】解：故選：B．【題型】三、分式的基本性質(zhì)例3、若=，則的值為（）A．5 B． C．3 D．【答案】A【解析】因為=，所以4b=a-b．，解得a=5b，所以＝.故選A.【題型】四、解分式方程例4、方程的解是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，本題考察分式方程及其解法，根據(jù)方程解的意義，運用去分母，移項的方法，進行求解．【詳解】解：方程可化簡為經(jīng)檢驗是原方程的解故選D【題型】五、分式方程的解例5、關(guān)于x的分式方程﹣＝1有增根，則m的值（）A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3【答案】D【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，確定出m的值即可．【詳解】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故選：D．【題型】六、列分式方程例6、隨著快遞業(yè)務(wù)的增加，某快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原來多投遞80件，若快遞公司的快遞員人數(shù)不變，求原來平均每人每周投遞快件多少件？設(shè)原來平均每人每周投遞快件件，根據(jù)題意可列方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)原來平均每人每周投遞快件x件，則現(xiàn)在平均每人每周投遞快件（x+80）件，根據(jù)人數(shù)=投遞快遞總數(shù)量÷人均投遞數(shù)量，結(jié)合快遞公司的快遞員人數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)原來平均每人每周投遞快件x件，則現(xiàn)在平均每人每周投遞快件（x+80）件，根據(jù)快遞公司的快遞員人數(shù)不變列出方程，得：，故選：D．分式方程（達標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．（2022·廣西·富川瑤族自治縣教學(xué)研究室模擬預(yù)測）關(guān)于x的分式方程有解，則實數(shù)m應(yīng)滿足的條件是（

）A．m=-1 B．m≠-1 C．m=1 D．m≠1【答案】D【分析】解分式方程得：m+x-3=2-x即x=，由題意可知x≠2，即可得到m．【詳解】解：方程兩邊同時乘以2-x得：m+x-3=2-x,2x=5-m，x=∵分式方程有解∴2-x≠0，∴x≠2，即≠2，∴m≠1．故選D．【點睛】本題主要考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程有意義的條件是解題的關(guān)鍵．2．（2022·海南省直轄縣級單位·二模）分式方程的解為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】按照分式方程的解法求解判斷即可．【詳解】∵，去分母，得2=x+1，移項，得x=2-1=1，經(jīng)檢驗，x=1是原方程的根故選C．【點睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·天津南開·二模）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同分母分式的加法法則計算，約分得到最簡結(jié)果即可．【詳解】解：，故選：B．【點睛】本題主要考查了分式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運算順序和運算法則．4．（2022·貴州貴陽·三模）計算的結(jié)果是（

）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】C【分析】根據(jù)分式減法運算法則進行運算，化簡即可．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題考查了分式的減法，正確運算是解題關(guān)鍵，注意運算后需要約分化簡．5．（2022·江蘇淮安·一模）若分式有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母不為0即可得到．【詳解】要分式有意義，則，解得：．故選：B【點睛】本題考查分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·四川省遂寧市第二中學(xué)校二模）分式方程的解為______．【答案】x=-2【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母得：3x(x+1)-(x-1)=3(x+1)(x-1)，解得：x=-2，經(jīng)檢驗x=-2是分式方程的解，故答案為x=-2．【點睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．7．（2022·湖南懷化·模擬預(yù)測）計算﹣＝_____．【答案】1【分析】根據(jù)同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減計算即可．【詳解】解：﹣=故答案為：1．【點睛】本題考查分式的加減，解題關(guān)鍵是熟練掌握同分母分式相加減時分母不變，分子相加減，異分母相加減時，先通分變?yōu)橥帜阜质?，再加減．三、解答題8．（2022·浙江麗水·一模）解方程：．【答案】【分析】這是一道可化為一元一次方程的分式方程，根據(jù)解分式方程的一般步驟：去分母，轉(zhuǎn)化為求解整式方程，然后檢驗得到的解是否符合題意，最后得出結(jié)論．【詳解】兩邊同時乘以，得，去括號，得，化簡，得，檢驗：當(dāng)時，，原分式方程的解為．【點睛】此題考查可化為一元一次方程的分式方程，熟練掌握解分式方程的方法與步驟是解此題的關(guān)鍵，但是要特別注意：檢驗是不可少的環(huán)節(jié)．分式方程（提升測評）一、單選題1．（2022·遼寧葫蘆島·一模）2022年北京冬奧會的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受國內(nèi)外朋友的喜愛．某特許零售店準備購進一批吉祥物銷售．已知用600元購進“冰墩墩”的數(shù)量與用500元購進“雪容融”數(shù)置相同，已知購進“冰墩墩”的單價比“雪容融”的單價多10元，設(shè)購進“冰墩墩”的單價為x元，則列出方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)“冰墩敏”的銷售單價為x，則“雪容融”的銷售單價為（x-10）元，然后根據(jù)用600元購進“冰墩墩”的數(shù)量與用500元購進“雪容融”數(shù)置相同即可列出方程．【詳解】解：設(shè)“冰墩敏”的銷售單價為x，則“雪容融”的銷售單價為（x-10）元，根據(jù)題意，得。故選：D．