專題16反比例函數(shù)與幾何圖形綜合問題(重點(diǎn)突圍)(原卷版+解析)

專題16反比例函數(shù)與幾何圖形綜合問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一反比例函數(shù)中K值的幾何意義】 1【考向二反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】 8【考向三反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】 15【考向四反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】 22【考向五反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】 32【考向六反比例函數(shù)與圓的綜合問題】 42【直擊中考】【考向一反比例函數(shù)中K值的幾何意義】例題：（2022·遼寧盤錦·校考一模）如圖，點(diǎn)、為反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)、分別作軸，軸，垂足分別為、，連接、、，線段交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，的值為____________．【變式訓(xùn)練】1．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）如圖，若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，軸于B，且的面積為3，則k的值為______．2．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，已知A是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，交x軸于點(diǎn)C，，，的面積為，則_______．3．（2022·黑龍江綏化·?？级＃┤鐖D，在中，平分，，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，若的面積為9，則的值為___________．4．（2023秋·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，的面積為，則的值為______．5．（2023·重慶黔江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖像依次是和，設(shè)點(diǎn)在上，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若四邊形的面積為5，則______．6．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·校考一模）如圖，矩形與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖像交于點(diǎn)，反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖像交于點(diǎn)，連接．若四邊形的面積為3，則__________．【考向二反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】例題：（2022·江西撫州·校考二模）如圖，在等腰三角形AOB中，AO=AB，點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，已知OA=5，OB=6．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)過點(diǎn)A作AP垂直O(jiān)A，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)C．①求直線AC的解析式；②求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），△ABO是等邊三角形，點(diǎn)B在第一象限，反比例函數(shù)y＝的圖像經(jīng)過點(diǎn)B．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)D，若以A，O，B，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請直接寫出D的坐標(biāo)．2．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB與△ACD是等邊三角形，邊OA，AC在x軸上，點(diǎn)B，D在第一象限．反比例函數(shù)y=(x>0)的圖像經(jīng)過邊OB的中點(diǎn)M與邊AD的中點(diǎn)N，已知等邊△OAB的邊長為4．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求等邊△ACD的邊長．3．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABO的直角頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2），點(diǎn)B在x軸上，將△ABO向右平移得到△DEF，使點(diǎn)D恰好在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．(1)求m的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求DF所在直線的表達(dá)式；(3)若該反比例函數(shù)圖象與直線DF的另一交點(diǎn)為點(diǎn)G，求S△EFG．【考向三反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】例題：（2022春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖像和矩形都在第一象限，平行于軸，且，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若將矩形向下平移，矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)A、恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)的圖像上，請求出矩形的平移距離和的值．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的兩邊BC＝4，CD＝6，E是CD的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣6，0），求k的值；（2）連接AE，若AF＝AE，求反比例函數(shù)的表達(dá)式．2．（2023春·遼寧大連·九年級(jí)專題練習(xí)）已知、為雙曲線上兩點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)分別為，，分別過、作軸、軸的垂線，垂足分別為、，交點(diǎn)為．(1)若矩形的面積為，求的值；(2)隨著a的取值的不同，兩點(diǎn)不斷運(yùn)動(dòng)，判斷能否為邊的中點(diǎn)，同時(shí)為中點(diǎn)？請說明理由；(3)矩形能否成為正方形？若能，求出此時(shí)的值及正方形的邊長，若不能，說明理由．3．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，分別落在x軸和y軸上，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在y軸上，得到，與相交于點(diǎn)F，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．(1)求k的值．(2)連接，則圖中是否存在與相似的三角形？若存在，請把它們一一找出來，并選其中一種進(jìn)行證明；若不存在，請說明理由．(3)點(diǎn)M在直線上，N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【考向四反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】例題：（2022·江蘇常州·常州實(shí)驗(yàn)初中校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）．（1）求的值及AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）將這個(gè)菱形沿軸正方向平移，當(dāng)頂點(diǎn)D落在反比例函數(shù)圖象上時(shí)，求菱形平移的距離．【變式訓(xùn)練】1．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)在軸上，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線：與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求該反比例函數(shù)的解析式及的值；(2)判斷點(diǎn)是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．2．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是菱形，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)C．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)D在邊上，且，過點(diǎn)D作軸，交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．3．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)，連接OA、OD、OC、AC，四邊形OACD為菱形．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．（2022春·湖北恩施·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在y軸上，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，m），直線CD：y1＝ax＋b與雙曲線：y2＝交于C，P兩點(diǎn)．(1)求雙曲線y2的函數(shù)關(guān)系式及m的值；(2)判斷點(diǎn)B是否在雙曲線上，并說明理由；(3)若BA的延長線與雙曲線y2＝交于另一點(diǎn)E，連接CE，DE，請直接寫出△CDE的面積．【考向五反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】例題：（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，OA=2，OB=4．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若將正方形ABCD沿x軸向右平移得到正方形A′B′C′D′，當(dāng)點(diǎn)D′在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，請求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)B′是否在該反比例函數(shù)的圖象上，說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·湖北恩施·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2），頂點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象分別交BC、BA于E、F，連接OE、CF交于M，△OEC的面積等于1．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求四邊形OAFM的面積．2．（2022·山東濟(jì)南·?？家荒＃┤鐖D，四邊形OABC為正方形，反比例函數(shù)的圖象過AB上一點(diǎn)E，BE=2，．(1)求k的值．(2)反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點(diǎn)D，直線y=ax+b過點(diǎn)D及線段AB的中點(diǎn)F，探究直線OF與直線DF的位置關(guān)系，并證明．(3)點(diǎn)P是直線OF上一點(diǎn)，當(dāng)PD＋PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形AOBC是的正方形，D為BC中點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB所在的直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，A點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），過點(diǎn)D的反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象與邊AC交于E點(diǎn)，F(xiàn)是線段OB上的一動(dòng)點(diǎn)．

備用圖(1)求k的值并直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)若AD平分∠CAF，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若△AFD的面積為S1，△AFO的面積為S2．若S1：S2=3：2，判斷四邊形AEFO的形狀．并說明理由．4．（2022春·江蘇蘇州·八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，已知點(diǎn)、，點(diǎn)、在第二象限內(nèi)．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)_________；(2)將正方形以每秒2個(gè)單位的速度沿軸向右平移秒，若存在某一時(shí)刻，使在第一象限內(nèi)點(diǎn)、兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)、正好落在某反比例函數(shù)的圖像上，請求出此時(shí)的值以及這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；(3)在（2）的情況下，問是否存在軸上的點(diǎn)和反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，使得以、、、四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考向六反比例函數(shù)與圓的綜合問題】例題：（2022春·廣東佛山·九年級(jí)佛山市華英學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(-4，n)是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A、B作直線．(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接線段MA，交⊙P于點(diǎn)Q，若，求點(diǎn)M坐標(biāo)；(3)直線AB經(jīng)過平移后，與⊙P相切，直接寫出平移后的直線表達(dá)式．【變式訓(xùn)練】1．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線，且與的外接圓相切，與雙曲線在第二象限內(nèi)的圖象交于、兩點(diǎn)．（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)和的半徑；（2）求直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）求的面積．2．（2021·廣東深圳·深圳市羅湖區(qū)翠園初級(jí)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝(x＜0)上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B在y軸正半軸上，PA＝PB，OA、OB的長是方程t2－16t＋48＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且OA＞OB，點(diǎn)C是線段PB延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABC的外接圓⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)是D．（1）求k的值；（2）當(dāng)圓心M在y軸上時(shí)，請判斷四邊形PAMB的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)圓心M在y軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，則P、Q兩點(diǎn)之間的距離達(dá)到最大值時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．專題16反比例函數(shù)與幾何圖形綜合問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一反比例函數(shù)中K值的幾何意義】 1【考向二反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】 8【考向三反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】 15【考向四反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】 22【考向五反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】 32【考向六反比例函數(shù)與圓的綜合問題】 42【直擊中考】【考向一反比例函數(shù)中K值的幾何意義】例題：（2022·遼寧盤錦·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)、為反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)、分別作軸，軸，垂足分別為、，連接、、，線段交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，的值為____________．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，，，，根據(jù)三角形的面積公式可得出，由此即可求出值．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出、點(diǎn)的坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）如圖，若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，軸于B，且的面積為3，則k的值為______．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，結(jié)合圖像的分布計(jì)算即可．【詳解】設(shè)，則，，∵的面積為3，∴，解得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三角形面積確定反比例函數(shù)比例系數(shù)k，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，已知A是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，交x軸于點(diǎn)C，，，的面積為，則_______．【答案】【分析】過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，根據(jù)題意結(jié)合圖形及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，再由三角形面積求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，如圖所示．∵，∴，∴．又∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查反比例函數(shù)與三角形面積及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．（2022·黑龍江綏化·?？级＃┤鐖D，在中，平分，，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，若的面積為9，則的值為___________．【答案】【分析】先利用面積關(guān)系得到，利用k的幾何意義得到，再利用得到對應(yīng)邊的關(guān)系進(jìn)一步轉(zhuǎn)化即可得到k得值．【詳解】解：過點(diǎn)作，，過點(diǎn)作，平分，，，，的面積為9，，，，，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知：，，，，，，，，，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是能作出輔助線構(gòu)造出相似三角形，能利用面積關(guān)系建立方程進(jìn)行求解．4．（2023秋·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，的面積為，則的值為______．【答案】6【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式可得，進(jìn)而得出，由系數(shù)的幾何意義可得答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，，．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．5．（2023·重慶黔江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖像依次是和，設(shè)點(diǎn)在上，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若四邊形的面積為5，則______．【答案】8【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義：、、，由圖形可知，根據(jù)四邊形的面積為5，得到，從而得到答案．【詳解】解：：；：，點(diǎn)在上，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，、、，四邊形的面積為5，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的幾何意義，根據(jù)題中圖像，數(shù)形結(jié)合得到圖形面積關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．6．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？家荒＃┤鐖D，矩形與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖像交于點(diǎn)，反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖像交于點(diǎn)，連接．若四邊形的面積為3，則__________．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，與原點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形面積等于，數(shù)形結(jié)合可以得到，根據(jù)圖像均在第一象限可知，再由四邊形的面積為3，得到，即可得到答案．【詳解】解：矩形OABC與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖像交于點(diǎn)，由反比例函數(shù)中的幾何意義知，，矩形OABC與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖像交于點(diǎn)，由反比例函數(shù)中的幾何意義知，，四邊形的面積為3，由圖可知，，即，解得，，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)中的幾何意義的應(yīng)用，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合，將所求代數(shù)式準(zhǔn)確用的幾何意義對應(yīng)的圖形面積表示出來是解決問題的關(guān)鍵．【考向二反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】例題：（2022·江西撫州·校考二模）如圖，在等腰三角形AOB中，AO=AB，點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，已知OA=5，OB=6．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)過點(diǎn)A作AP垂直O(jiān)A，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)C．①求直線AC的解析式；②求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為y=(x＞0)；(2)①直線AC的解析式為y=-x+；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可解決問題；（2）①利用相似三角形的判定和性質(zhì)求得CD，即可求得C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式；②解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．（1）解：作AD⊥OB于D，∵AO=AB，OA=5，OB=6．∴OD=BD=3，∴AD==4，∴A（3，4），把A（3，4）代入y=(x＞0)，可得k=12，∴反比例函數(shù)的解析式為y=(x＞0)；（2）解：①∵AC⊥OA，∴△OAC是直角三角形，∵AD⊥OC，∴∠OAD+∠DAC=90°，∠OAD+∠DOA=90°，∴∠DAC=∠DOA，∴Rt△DAC∽R(shí)t△DOA，∴，∴AD2=OD?CD，即16=3?CD，∴CD=，∴OC=OD+CD=，∴C（，0），∴設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b，把A、C的坐標(biāo)代入得，，解得，∴直線AC的解析式為y=-x+；②解得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求得A的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），△ABO是等邊三角形，點(diǎn)B在第一象限，反比例函數(shù)y＝的圖像經(jīng)過點(diǎn)B．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)D，若以A，O，B，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請直接寫出D的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝(2)（1，﹣）或（﹣1，）或（3，）．【分析】（1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入解析式可得出反比例函數(shù)的解析式；（2）由題意可知△ABO是等邊三角形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，需要分三種情況：當(dāng)OA為對角線，當(dāng)OB為對角線，當(dāng)AB為對角線，利用平行四邊形的性質(zhì)可直接得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．（1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖，∵△ABO是等邊三角形，A（2，0），∴OA＝OB＝AB＝2，∠BOA＝∠BAO＝60°，∴OE＝AE＝1，BE＝，∴B（1，），∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)B（1，）．∴k＝．∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．（2）若以A，O，B，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，需要分三種情況：①當(dāng)OA為對角線，有xO+xA＝xB+xD，yO+yA＝y(tǒng)B+yD，∵O（0，0），A（2，0），B（1，），∴0+2＝1+xD，0+0＝+yD，∴xD＝1，yD＝﹣．∴D（1，﹣）．②當(dāng)OB為對角線，有xO+xB＝xA+xD，yB+yO＝y(tǒng)D+yA，∵O（0，0），A（2，0），B（1，），∴0+1＝2+xD，+0＝0+yD，∴xD＝﹣1，yD＝．∴D（﹣1，）．③當(dāng)AB為對角線，有xA+xB＝xO+xD，yA+yB＝y(tǒng)O+yD，∵O（0，0），A（2，0），B（1，），∴2+1＝0+xD，0+＝0+yD，∴xD＝3，yD＝．∴D（3，）．綜上，若以A，O，B，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣）或（﹣1，）或（3，）．【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)與判定，分類討論思想等知識(shí)，解題關(guān)鍵是進(jìn)行正確的分類討論，并根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出方程．2．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB與△ACD是等邊三角形，邊OA，AC在x軸上，點(diǎn)B，D在第一象限．反比例函數(shù)y=(x>0)的圖像經(jīng)過邊OB的中點(diǎn)M與邊AD的中點(diǎn)N，已知等邊△OAB的邊長為4．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求等邊△ACD的邊長．【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=；(2)等邊△ACD的邊長為．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及M是OB的中點(diǎn)，通過作垂線構(gòu)造直角三角形可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而確定k的值；（2）設(shè)AD=CD=AC=4a，同理求得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a+4，a），代入y=，解方程求解即可．（1）解：∵等邊△OAB，∴AB=BO=AO=4，∠ABO=∠BOA=∠OAB=60°，∵點(diǎn)M是OB的中點(diǎn)，∴OM=BM=2，過點(diǎn)M作MF⊥OA，垂足為F，在Rt△OFM中，∠OMF=90°-60°=30°，OM=2，∴OF=1，F(xiàn)M=，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，），代入y=得：k=，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=；（2）解：過點(diǎn)N作NE⊥OA，垂足為E，∵等邊△ADC，∴AD=CD=AC，∠ADC=∠DCA=∠CAD=60°，∴設(shè)AD=CD=AC=4a，∵點(diǎn)N是AD的中點(diǎn)，∴AN=DN=2a，同理，得：AE=a，NE=a，∴OE=a+4，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a+4，a），代入y=得：a(a+4)=，整理得：a2+4a-1=0，解得：a=或(負(fù)值，舍去)，∴等邊△ACD的邊長為．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)的關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABO的直角頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2），點(diǎn)B在x軸上，將△ABO向右平移得到△DEF，使點(diǎn)D恰好在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．(1)求m的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求DF所在直線的表達(dá)式；(3)若該反比例函數(shù)圖象與直線DF的另一交點(diǎn)為點(diǎn)G，求S△EFG．【答案】(1)(2)直線的解析式為：(3)【分析】（1）如圖，過作于利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得從而可得m的值，再由平移的性質(zhì)可得D的縱坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可得D的坐標(biāo)；（2）由可得等腰直角三角形向右平移了6個(gè)單位，則再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；（3）先聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式求解G的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，過作于為等腰直角三角形，即由平移的性質(zhì)可得：即（2）由等腰直角三角形向右平移了6個(gè)單位，設(shè)為解得：∴直線的解析式為：（3）如圖，延長FD交反比例函數(shù)于G，連結(jié)，解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)問題，一元二次方程的解法，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟練是求解G的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．【考向三反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】例題：（2022春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖像和矩形都在第一象限，平行于軸，且，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若將矩形向下平移，矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)A、恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)的圖像上，請求出矩形的平移距離和的值．【答案】(1)B（1，3），C（3，3），D（3，4）(2)平移的距離為，【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，即可得出答案；（2）設(shè)矩形平移后A的坐標(biāo)是（1，4?x），C的坐標(biāo)是（3，3?x），得出k＝1（4?x）＝3（3?x），求出x，即可得出矩形平移后A、C的坐標(biāo)A（1，），C（3，），從而求得平移距離與．（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，x軸，且AB＝1，AD＝2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），∴AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∴B（1，3），C（3，3），D（3，4）；（2）解：設(shè)矩形平移后A的坐標(biāo)是（1，4?x），C的坐標(biāo)是（3，3?x），∵A、C落在反比例函數(shù)的圖像上，∴k＝1（4?x）＝3（3?x），解得x＝，即矩形平移后A（1，），C（3，），∴平移的距離＝，．【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、矩形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形的變化?平移，熟知反比例函數(shù)圖像上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的兩邊BC＝4，CD＝6，E是CD的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣6，0），求k的值；（2）連接AE，若AF＝AE，求反比例函數(shù)的表達(dá)式．【答案】（1）k＝﹣6；（2）y＝﹣．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣6，0），BC＝4，CD＝6，E是CD的中點(diǎn)，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而求得k；（2）根據(jù)AF＝AE，結(jié)合（1）利用勾股定理可得AE＝5，進(jìn)而得BF＝1，設(shè)點(diǎn)E（a，3），得點(diǎn)F（a﹣4，1），利用列方程即可求得a，進(jìn)而求得反比例函數(shù)的表達(dá)式．【詳解】解：（1）點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣6，0），∴OB＝6，∵BC＝4，∴OC＝2，∵CD＝6，E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE＝3，∴E（﹣2，3），∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，∴k＝﹣6；（2）如圖，連接AE，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝4，∵DE＝CD＝3，根據(jù)勾股定理，得AE＝＝5，∵AF＝AE＝5，∴BF＝AB-AF＝1，設(shè)點(diǎn)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，3）則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a﹣4，1），∵E，F(xiàn)兩點(diǎn)在函數(shù)y＝的圖象上，∴a﹣4＝3a，解得a＝﹣2，∴E（﹣2，3）∴k＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的解析式，熟練使用是解題的關(guān)鍵2．（2023春·遼寧大連·九年級(jí)專題練習(xí)）已知、為雙曲線上兩點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)分別為，，分別過、作軸、軸的垂線，垂足分別為、，交點(diǎn)為．(1)若矩形的面積為，求的值；(2)隨著a的取值的不同，兩點(diǎn)不斷運(yùn)動(dòng)，判斷能否為邊的中點(diǎn)，同時(shí)為中點(diǎn)？請說明理由；(3)矩形能否成為正方形？若能，求出此時(shí)的值及正方形的邊長，若不能，說明理由．【答案】(1)(2)能，理由見解析(3)能，，正方形的邊長為，祥見解析【分析】（1）用含的代數(shù)式表示、，因?yàn)榫匦蔚拿娣e，得出含的方程即可；（2）當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，即，計(jì)算驗(yàn)證此時(shí)是否為中點(diǎn)即可；（3）當(dāng)矩形為正方形，即，用含的代數(shù)式表示、建立含方程，求解檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：因?yàn)?、橫坐標(biāo)分別為，，所以，，由矩形的面積為得：即，解得：．（2）解：若為邊的中點(diǎn)，根據(jù)題意有：，解得，，則的坐標(biāo)為，此時(shí)的橫坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)為，即，而，即是中點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)為邊的中點(diǎn)同時(shí)是中點(diǎn)．（3）解：若矩形為正方形，則，因?yàn)?，，，整理得：，，（舍去），故時(shí)矩形為正方形，正方形邊長為．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵要掌握用代數(shù)的方法解決幾何問題技巧，把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程求解問題．3．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，分別落在x軸和y軸上，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在y軸上，得到，與相交于點(diǎn)F，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．(1)求k的值．(2)連接，則圖中是否存在與相似的三角形？若存在，請把它們一一找出來，并選其中一種進(jìn)行證明；若不存在，請說明理由．(3)點(diǎn)M在直線上，N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，，，，；證明見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)矩形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，再由相似三角形的判定和性質(zhì)得出點(diǎn)F的坐標(biāo)為，代入解析式求解即可；（2）根據(jù)題意得出相似三角形，再由相似三角形的判定證明即可；（3）由（2）及正方形的判定得當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，分兩種情況分析：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)F上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)F下方時(shí)，分別利用全等三角形的判定和性質(zhì)確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，，．∵是旋轉(zhuǎn)得到的，∴，∴，∴，∴，即，解得，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為．∵的圖象經(jīng)過點(diǎn)F，∴，解得．（2），，，．選．證明：∵點(diǎn)G在AB上，∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為8，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，∴．∵，，，∴，，∴，，∴．∵，∴．（3）由（2）知，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)F上方時(shí)，如圖所示：過點(diǎn)M作軸，交于點(diǎn)L，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)，∵，，，∵點(diǎn)G的坐標(biāo)為，∴設(shè)點(diǎn)，∴，，解得：，；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)F下方時(shí)，如圖所示：過點(diǎn)M作軸，交延長線于點(diǎn)L，同理可得，∴，∴，∴點(diǎn)，∵，，，∵點(diǎn)G的坐標(biāo)為，∴設(shè)點(diǎn)，∴，，解得：，，綜上可得：點(diǎn)N的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的確定，相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【考向四反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】例題：（2022·江蘇常州·常州實(shí)驗(yàn)初中?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）．（1）求的值及AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）將這個(gè)菱形沿軸正方向平移，當(dāng)頂點(diǎn)D落在反比例函數(shù)圖象上時(shí)，求菱形平移的距離．【答案】（1），；（2）菱形ABCD平移的距離為．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3），即可得出DE的長以及DO的長，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出k的值；（2）根據(jù)D′F′的長度即可得出D′點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求出OF′的長，即可得出答案．【詳解】（1）作DE⊥BO，DF⊥軸于點(diǎn)F，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4,3）∴FO=4，DF=3∴DO=5∴AD=5∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（4,8）∴∴由菱形的性質(zhì)得到B（0,5）設(shè)直線AB的方程為：，則解得AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式：（2）∵將菱形ABCD向右平移，當(dāng)點(diǎn)D落在反比例函數(shù)的圖像上∴DF=3，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3∴∴∴∴菱形ABCD平移的距離為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及菱形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出A點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)在軸上，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線：與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求該反比例函數(shù)的解析式及的值；(2)判斷點(diǎn)是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．【答案】(1)，(2)點(diǎn)在該反比例函數(shù)的圖象上，理由見解答【分析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以代入點(diǎn)坐標(biāo)即可求出雙曲線的函數(shù)關(guān)系式，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，代入即可求出的值；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入中，得，反比例函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入中，得；（2）解：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，，，，，由?）知雙曲線的解析式為；，點(diǎn)在雙曲線上．【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是菱形，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)C．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)D在邊上，且，過點(diǎn)D作軸，交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)（，）；【分析】（1）過點(diǎn)B作BF⊥y軸，垂足為F，設(shè)點(diǎn)A為（0，m），根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出解析式；（2）作DG⊥x軸，CH⊥x軸，垂足分別為G、H，先證明△ODG∽△OCH，求出，，然后得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，過點(diǎn)B作BF⊥y軸，垂足為F，如圖：∵四邊形是菱形，設(shè)點(diǎn)A為（0，m），∴，∵點(diǎn)B為，∴，，在直角△ABF中，由勾股定理，則，即，解得：，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，把點(diǎn)C代入，得，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：作DG⊥x軸，CH⊥x軸，垂足分別為G、H，如圖，∵，∴，∵DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴，，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，∵軸，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，∴，解得，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）；【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的作出輔助線，從而進(jìn)行解題．3．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)，連接OA、OD、OC、AC，四邊形OACD為菱形．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為y＝x＋1；反比例函數(shù)的解析式為y＝；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?3，?2）或（5，6）．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可知A、D關(guān)于x軸對稱，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，把A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入兩函數(shù)解析式可求得k1和k2值；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，可求得菱形面積，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a＋1），根據(jù)條件可得到關(guān)于a的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．（1）解：如圖，連接AD，交x軸于點(diǎn)E，∵四邊形AODC是菱形，∴AD⊥OA，AE＝DE，EC＝OE，∵D（1，?2），∴OE＝1，ED＝2，∴AE＝DE＝2，EC＝OE＝1，∴A（1，2），將A（1，2）代入直線y＝k1x＋1可得k1＋1＝2，解得k1＝1，將A（1，2）代入反比例函數(shù)y＝可得2＝，解得：k2＝2；∴一次函數(shù)的解析式為y＝x＋1；反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）∵OC＝2OE＝2，AD＝2DE＝4，∴S菱形OACD＝OC?AD＝4，∵S△OAP＝S菱形OACD，∴S△OAP＝2，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a＋1），AB與y軸相交于F，則F（0，1），∴OF＝1，∵S△OAF×1×1＝，當(dāng)P在A的左側(cè)時(shí)，S△FOP＝（-a）?OF＝-a＝S△OAP?S△OAF＝2?＝，∴a＝?3，a＋1＝?2，∴P（?3，?2），當(dāng)P在A的右側(cè)時(shí)，S△FOP＝a?OF＝a＝S△OAP＋S△OAF＝2＋＝，∴a＝5，a＋1＝6，∴P（5，6），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?3，?2）或（5，6）．【點(diǎn)睛】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握反比例函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．（2022春·湖北恩施·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在y軸上，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，m），直線CD：y1＝ax＋b與雙曲線：y2＝交于C，P兩點(diǎn)．(1)求雙曲線y2的函數(shù)關(guān)系式及m的值；(2)判斷點(diǎn)B是否在雙曲線上，并說明理由；(3)若BA的延長線與雙曲線y2＝交于另一點(diǎn)E，連接CE，DE，請直接寫出△CDE的面積．【答案】(1)y2＝；m=2(2)點(diǎn)B在雙曲線上，理由見解析(3)2【分析】（1）連接AC，BD相交于點(diǎn)E，先求出E（2，），從而求出點(diǎn)D（0，），B（4，），則有，計(jì)算求解的值，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出反比例函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得到答案；（3）求出直線AB的解析式，從而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可得到．【詳解】（1）解：連接AC，BD相交于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是菱形，∴DE＝BE，AE＝CE，AC⊥BD，∵A（2，0），C（2，m），∴E（2，），軸，∴BD⊥y軸，∴點(diǎn)D（0，），B（4，），∵點(diǎn)C（2，m），D（0，），P（4，1）在直線CD上，∴，解得：m=2，a=，b=1，∴點(diǎn)C（2，2），∵點(diǎn)C在雙曲線y2＝上，∴k＝2×2＝4，∴雙曲線的函數(shù)關(guān)系式為y2＝，；（2）解：由（1）知，m＝2，B（4，），∴B（4，1），由（1）知雙曲線的解析式為y2＝；∵4×1＝4，∴點(diǎn)B在雙曲線上；（3）解：設(shè)直線AB的解析式為，∴，解得，∴直線AB的解析式為，聯(lián)立得，解得或，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，-2），由（1）得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），∴E、C關(guān)于原點(diǎn)對稱，即CE經(jīng)過點(diǎn)O，OD=1，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何綜合，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．【考向五反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】例題：（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，OA=2，OB=4．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若將正方形ABCD沿x軸向右平移得到正方形A′B′C′D′，當(dāng)點(diǎn)D′在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，請求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)B′是否在該反比例函數(shù)的圖象上，說明理由．【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為y=；(2)B′（6，4），點(diǎn)B′在該反比例函數(shù)的圖象上．理由見解析【分析】（1）通過證明△AOB≌△BMC求出C的坐標(biāo)，代入y=，利用待定系數(shù)法求出k；（2）證明△AOB≌△DEA，求得D（6，2），根據(jù)平移的性質(zhì)得到D′的縱坐標(biāo)為2，再根據(jù)平移的性質(zhì)得B′（6，4），即可判斷點(diǎn)B′在該反比例函數(shù)的圖象上．【詳解】（1）解：過點(diǎn)C作CM⊥y軸于M，由正方形的性質(zhì)可知AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠CBM，∴∠BAO=∠CBM，在△AOB和△BMC中，，∴△AOB≌△BMC（AAS），∴OA=BM=2，OB=CM=4，∴OM=2+4=6，∴C（4，6），∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過正方形頂點(diǎn)C，∴k=4×6=24．∴反比例函數(shù)的解析式為y=；（2）解：點(diǎn)B′在該反比例函數(shù)的圖象上．理由如下：過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，同(1)可證△AOB≌△DEA（AAS），∴DE=OA=2，AE=OB=4，∴OE=2+4=6，∴D（6，2），∵將正方形ABCD沿x軸向右平移得到正方形A′B′C′D′，∴D′的縱坐標(biāo)為2，∴2=，解得x=12，∴D′（12，2），∵12-6=6，即將正方形ABCD沿x軸向右平移6個(gè)長度單位得到正方形A′B′C′D′，∵OB=4，∴B（0，4），∴根據(jù)平移的性質(zhì)得：B′（6，4），∵6×4=24=k．∴點(diǎn)B′在該反比例函數(shù)的圖象上．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平移的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·湖北恩施·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2），頂點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象分別交BC、BA于E、F，連接OE、CF交于M，△OEC的面積等于1．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求四邊形OAFM的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)可得反比例函數(shù)的解析式；（2）首先求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)利用待定系數(shù)法求出OE和CF的關(guān)系式，聯(lián)立方程組可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式可得答案．【詳解】（1）解：由題意知C（0，2），OC＝2，∵△OEC的面積等于1，即×OC×EC＝1，∴EC＝1，∴E（1，2），且在反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象上，∴2=，求得k＝2，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）由F在的圖象上，求得F（2，1），設(shè)OE為y＝k1x，由（1）知E（1，2），求得k1＝2，即OE為y＝2x．設(shè)CF為y＝k2x+b，由（1）知C（0，2），F(xiàn)（2，1），得，解得：，即CF為y＝?x+2．聯(lián)立得，解得：，∴M（，），∴S△CEM＝×1×(2?)＝，∴SOAFM＝SOABC?2S△OEC+S△CEM＝2×2?2×1+＝．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)E的坐標(biāo)并得到反比例函數(shù)的關(guān)系式是解題關(guān)鍵．2．（2022·山東濟(jì)南·校考一模）如圖，四邊形OABC為正方形，反比例函數(shù)的圖象過AB上一點(diǎn)E，BE=2，．(1)求k的值．(2)反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點(diǎn)D，直線y=ax+b過點(diǎn)D及線段AB的中點(diǎn)F，探究直線OF與直線DF的位置關(guān)系，并證明．(3)點(diǎn)P是直線OF上一點(diǎn)，當(dāng)PD＋PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)48(2)OF⊥DF，見解析(3)【分析】（1）設(shè)AE=3x，則OE=5x，由勾股定理得AO=4x，則3x+2=4x，求出x即可求點(diǎn)E坐標(biāo)為（6，8），再由E點(diǎn)坐標(biāo)即可求k值；（2）求出D（8，6），證明△AOF∽△BFD，則∠AOF=∠BFD，可得∠OFD=180°-（∠AFO+∠BFD）=90°，即可得到OF⊥DF；（3）延長DF交y軸于點(diǎn)G，連接CG交OF于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求作點(diǎn)，證明△AFG≌△BFD（AAS），得到OF為線段DG的垂直平分線，C（8，0），G（0，10），求出直線CG解析式為y=-x+10，直線OF為y=2x，聯(lián)立，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）證明：∵四邊形OABC是正方形，∴AO=AB，∠OAB=90°，∵，設(shè)AE=3x，則OE=5x，由勾股定理得AO=4x，∴3x+2=4x，∴x=2，∴AE=3x=6，AO=4x=8，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（6，8），∴k=6×8=48；（2）解：OF⊥DF，理由如下：將x=8代入y=得y=6，∴D（8，6），∴BD=BC-CD=8-6=2，∵點(diǎn)F是線段AB的中點(diǎn)，∴AF=BF=4，∵，∠OAF=∠FBD=90°，∴△AOF∽△BFD，∴∠AOF=∠BFD，∴∠AFO+∠BFD=∠AFO+∠AOF=90°，∴∠OFD=180°-（∠AFO+∠BFD）=90°，∴OF⊥DF；（3）（3）延長DF交y軸于點(diǎn)G，連接CG交OF于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求作點(diǎn)，∵四邊形OABC為正方形，∠AFG=∠BFD，AF=BF，∴△AFG≌△BFD（AAS），∴AG=BD=2，GF=DF，由（2）得OF⊥DF，∴OF為線段DG的垂直平分線，∴PD＋PC的最小值=PG＋PC=CG，∵OC=OA=8，∴C（8，0），G（0，10），設(shè)直線CG解析式為y=mx+n，代入C（8，0），G（0，10），得，解得，∴設(shè)直線OF為y=ax，代入F（4，8），∴a=2，∴y=2x，聯(lián)立直線OF、CG得，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形AOBC是的正方形，D為BC中點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB所在的直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，A點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），過點(diǎn)D的反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象與邊AC交于E點(diǎn)，F(xiàn)是線段OB上的一動(dòng)點(diǎn)．

備用圖(1)求k的值并直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)若AD平分∠CAF，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若△AFD的面積為S1，△AFO的面積為S2．若S1：S2=3：2，判斷四邊形AEFO的形狀．并說明理由．【答案】(1)k＝8，E（2，4）(2)（3，0）(3)四邊形AOFE是矩形，理由見解析【分析】（1）求出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而可得k的值，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）延長AD交x軸于G點(diǎn)，證明△BDG≌△CDA（AAS），求出OG＝8，然后設(shè)OF＝m，則AF＝FG＝8－m，在Rt△OAF中根據(jù)勾股定理列方程求出m即可；（3）設(shè)△AFG的面積的為s3，可得s3＝2s1，進(jìn)而可得s3：s2＝3：1，則FG：FO＝3：1，求出FO，根據(jù)矩形的判定定理可得結(jié)論．（1）解：∵A點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），∴C點(diǎn)坐標(biāo)（4，4），∵D為BC中點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)（4，2），∴k＝4×2＝8，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，當(dāng)y＝時(shí)，x＝2，∴E（2，4）；（2）解：延長AD交x軸于G點(diǎn)，如圖1，∵AC∥OB，∴∠DAC＝∠BGD，又∵CD＝BD，∠C＝∠DBG＝90°，∴△BDG≌△CDA（AAS），∴BG＝AC＝4，∴OG＝OB＋BG＝8，∵DA平分∠CAF，∴∠CAD＝∠GAF，∴∠GAF＝∠DGB，∴AF＝FG，設(shè)OF＝m，則AF＝FG＝8－m，∵OA2＋OF2＝AF2，∴42＋m2＝（8－m）2，∴m＝3

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；（3）解：四邊形AEFO是矩形．理由：如圖1，設(shè)△AFG的面積的為s3，∵AD＝DG，∴s3＝2s1，∵S1：S2＝3：2，∴s3：s2＝3：1，∴FG：FO＝3：1，∵OG＝8，∴FO＝OG＝2，∵AE＝2，∴FO＝AE，又∵FO∥AE，∴四邊形AEFO是平行四邊形，∵∠AOF＝90°，∴四邊形AEFO是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定以及矩形的判定等知識(shí)，通過作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·江蘇蘇州·八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，已知點(diǎn)、，點(diǎn)、在第二象限內(nèi)．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)_________；(2)將正方形以每秒2個(gè)單位的速度沿軸向右平移秒，若存在某一時(shí)刻，使在第一象限內(nèi)點(diǎn)、兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)、正好落在某反比例函數(shù)的圖像上，請求出此時(shí)的值以及這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；(3)在（2）的情況下，問是否存在軸上的點(diǎn)和反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，使得以、、、四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(﹣3，1)(2)，(3)存在，或或【分析】對于（1），先求出OA=6，OG=7，DG=3，再判斷△DGA≌△AHB，得DG=AH=3，BH=AG=1，即可得出答案；對于（2），先根據(jù)運(yùn)動(dòng)表示出點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而求出k，t，即可得出結(jié)論；對于（3），先求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再分三種情況討論，利用平行四邊形的對角線互相平分建立方程求出解，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）過點(diǎn)B，D作BH⊥x軸，DG⊥x軸交于點(diǎn)H，G，∵點(diǎn)A（-6，0），D（-7，3），∴OA=6，OG=7，DG=3，∴AG=OG-OA=1．∵∠DAG+∠BAH=90°，∠DAG+∠GDA=90°，∴∠GDA=∠BAH．又∠DGA=∠AHB=90°，AD=AB，∴△DGA≌△AHB，∴DG=AH=3，BH=AG=1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-3，1）；（2）由（1），得點(diǎn)B（-3，1），D（-7，3），∴運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，點(diǎn)，．設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為，∵點(diǎn)，在反比例函數(shù)圖象上，∴，解得，k=6，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為；（3）存在，理由：由（2）知，點(diǎn)，，，∴，，反比例函數(shù)關(guān)系式為，設(shè)點(diǎn)Q，點(diǎn)P（0，s）．以點(diǎn)PQ四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴①當(dāng)PQ與是對角線時(shí)，∴，，解得，，∴，；②當(dāng)與是對角線時(shí)，∴，，解得，，∴，；③當(dāng)與是對角線時(shí)，∴，，解得，，∴，．綜上所述：或或．【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于反比例函數(shù)的綜合題目，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【考向六反比例函數(shù)與圓的綜合問題】例題：（2022春·廣東佛山·九年級(jí)佛山市華英學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(-4，n)是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A、B作直線．(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接線段MA，交⊙P于點(diǎn)Q，若，求點(diǎn)M坐標(biāo)；(3)直線AB經(jīng)過平移后，與⊙P相切，直接寫出平移后的直線表達(dá)式．【答案】(1)；(2)點(diǎn)；(3)兩條切線的表達(dá)式為和.【分析】（1）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再證明線段AB是⊙P直徑，過P作軸于N，可證△ANP∽△AOB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）由題意得△AOK為等腰直角三角形，求出直線AK