專(zhuān)題02勾股定理的證明的運(yùn)用（題型與解法）（原卷版）

專(zhuān)題02勾股定理的證明的運(yùn)用勾股定理現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一，也是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的定理之一，我們需要理解并掌握以下四種常見(jiàn)的證明方法，圖形雖然不同，但用到的證明方法都是“面積法”.（一）趙爽弦圖以、為直角邊，以為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于．把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀．∵，∴．∵，∴，∴是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，它的面積等于．∵，．∴是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，它的面積等于．∴．∴．（二）劉徽證明方法——青朱出入圖如圖劉徽證法證法如下：.化簡(jiǎn)得：.（三）畢達(dá)哥拉斯證明方法如圖1，將長(zhǎng)方形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到長(zhǎng)方形A’BC’D’.其中：AB=a，AD=b，BD=c.如圖：連接BD、BD’、DD’.在△DCB和△BA’D’中，∵AB=BA’，∠C=∠BA’D’=90°，BC=A’D’∴△ABD≌△C’D’B（SAS）∴BD=BD’，∠DBC=∠A’D’B∵∠A’BD+∠A’D’B=90°∴∠DBD’=90°即△DBD’為等腰直角三角形.由題意可知：即：化簡(jiǎn)得：畢達(dá)哥拉斯圖形還有其它幾種變形，如圖2，圖3所示.圖2圖3圖2證法如下：大正方形面積=四個(gè)直角三角形面積和+小正方形面積即：.化簡(jiǎn)得：.圖3是由圖2變化位置而來(lái)，證法與圖2一致.題型：勾股定理與面積問(wèn)題如圖所示，以QUOTE為直徑分別向外作半圓，若QUOTES1=S1=10，S3=8，則S2=如圖所示，以QUOTE為直徑分別向外作正方形，若QUOTES1=S1=26，S3=18，則S2=如圖所示，以QUOTE為直徑分別向外分別作等邊三角形，若QUOTES1=S1=16，S3=10，則S2=如圖所示，以QUOTE為直徑分別向外分別作半圓，若AB=3，AC=4，BC=5，則S陰= .如圖，分別以直角三角形的三條邊為邊向外作正方形，然后分別以三個(gè)正方形的中心為圓心，正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑作圓，記三個(gè)圓的面積分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3之間的關(guān)系是()A．S1＋S2＞S3 B．S1＋S2＝S3C．S1＋S2＜S3 D．無(wú)法確定中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展.如圖14，用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形解決問(wèn)題：如果大正方形的面積是10，小正方形的面積是2，求(a+b)2的值.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積為如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是（）A.9B.10C.11D.12如圖17所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)是中線(xiàn)AD上的兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是()

圖17A.6

B.12

C.24

D.30

勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感. 圖18 圖19他驚喜的發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖18或圖19擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明.下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程：

將兩個(gè)全等的直角三角形按圖18所示擺放，其中∠DAB＝90°.求證：a2＋b2＝c2.證明:連接DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b－a.

∵S四邊形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝QUOTEb2＋QUOTEab，

又∵S四邊形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝QUOTEc2＋QUOTEa(b－a)，

∴QUOTEb2＋QUOTEab＝QUOTEc2＋QUOTEa(b－a).

∴a2＋b2＝c2.

請(qǐng)參照上述證法，利用圖19完成證明.

將兩個(gè)全等的直角三角形按圖19所示擺放，其中∠DAB＝90°.求證：a2＋b2＝c2.在直線(xiàn)l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+2S2+2S3+S4=________.如圖是小明為學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)文化節(jié)設(shè)計(jì)的標(biāo)志，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各邊為邊作三個(gè)正方形，點(diǎn)G落在HI上，若AC+BC＝6，空白部分面積為10.5，則陰影部分面積為．1．下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（

）個(gè)A．4 B．3 C．2 D．12．在證明勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)給出如圖所示兩種方案，則方案正確的是（

）A．甲對(duì) B．乙對(duì) C．兩人都對(duì) D．兩人都不對(duì)3．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”．現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個(gè)圖形就是驗(yàn)證勾股定理的兩種方法，在驗(yàn)證著名的勾股定理過(guò)程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為“無(wú)字證明”．在驗(yàn)證過(guò)程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．函數(shù)思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想C．分類(lèi)思想 D．方程思想4．下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)5．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱(chēng)之為“商高定理”．三國(guó)時(shí)代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》勾股定理作出了詳細(xì)注釋?zhuān)⒔o出了另外一種證明．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A．B．C． D．6．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．57．下面是一些中外數(shù)學(xué)家與他們?cè)跀?shù)學(xué)發(fā)展史上所作出的偉大成就．a(chǎn)．笛卡爾；b．趙爽；c．楊輝；d．萊布尼茨；①用“勾股圓方圖”證明勾股定理；②楊輝三角；③建立微積分理論；④創(chuàng)建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)思想．其中匹配正確的一項(xiàng)是（

）A．a(chǎn)③；b①；c②；d④ B．a(chǎn)④；b①；c②；d③C．a(chǎn)④；b②；c①；d③ D．a(chǎn)③；b④；c②；d①8．我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李銳借助三個(gè)正方形用出入相補(bǔ)證明了勾股定理，如圖，設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)分別是，斜邊的長(zhǎng)為c，作三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A，C，E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.若，四邊形與面積之和為13.5，則正方形的面積為_(kāi)______________.9．小明將4個(gè)全等的直角三角形（其中兩直角邊長(zhǎng)分別是，）拼成如圖所示的五邊形，則五邊形的面積表示為_(kāi)__________．10．素有“千古第一定理”之稱(chēng)的勾股定理，它是人類(lèi)第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類(lèi)最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測(cè)地的第一個(gè)定理，它導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它使數(shù)學(xué)由測(cè)量計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C．在中國(guó)，也被稱(chēng)為“商高定理”，西方則稱(chēng)其為“畢達(dá)哥拉斯定理”，幾千年來(lái)，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見(jiàn)，現(xiàn)有四名網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線(xiàn)）能證明勾股定理的網(wǎng)友是________（填寫(xiě)數(shù)字序號(hào)即可）．11．綜合與實(shí)踐：小明制作了2張如圖①的紙片，其中四邊形、均為正方形，他把其中的一張紙片沿對(duì)稱(chēng)軸把它剪開(kāi)，然后把對(duì)稱(chēng)軸一側(cè)的部分，沿翻折，再繞著的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這樣就形成了如圖②的圖形．(1)在圖②中，請(qǐng)先判斷與的數(shù)量關(guān)系，再說(shuō)明理由．(2)圖①圖形的面積可以表示為_(kāi)_____．圖②圖形的面積可以表示為_(kāi)_____．從而得數(shù)學(xué)等式：______，化簡(jiǎn)證得定理______．(3)在圖②中，，，連接，求圖②中的長(zhǎng)．12．計(jì)算圖1的面積，把圖1看作一個(gè)大正方形，它的面積是，如果把圖1看作是由2個(gè)長(zhǎng)方形和2個(gè)小正方形組成的，它的面積為，由此得到：．(1)如圖2，正方形是由四個(gè)邊長(zhǎng)分別是a，b的長(zhǎng)方形和中間一個(gè)小正方形組成的，用不同的方法對(duì)圖2的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______（用a，b表示）(2)已知：兩數(shù)x，y滿(mǎn)足，，求的值．(3)如圖3，正方形的邊長(zhǎng)是c，它由四個(gè)直角邊長(zhǎng)分別是a，b的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組成的，對(duì)圖3的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______．（用a，b，c表示，結(jié)果化到最簡(jiǎn)）13．勾股定理是人類(lèi)早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．(1)證明勾股定理?yè)?jù)傳當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯借助如圖所示的兩個(gè)圖驗(yàn)證了勾股定理，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)其中的道理．(2)應(yīng)用勾股定理①應(yīng)用場(chǎng)景1——在數(shù)軸上畫(huà)出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)．如圖1，在數(shù)軸上找出表示4的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)垂直于，在上取點(diǎn)，使，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的數(shù)是______．②應(yīng)用場(chǎng)景2——解決實(shí)際問(wèn)題．如圖2，鄭州某公園有一秋千，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時(shí)，水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，求繩索的長(zhǎng)．14．勾股定理是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理（以下圖形均滿(mǎn)足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足的有______個(gè)；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷、、的關(guān)系______．15．（1）用如圖所示的兩個(gè)大小完全相同的長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形拼成了一個(gè)世界數(shù)學(xué)年會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案．①利用圖②證明：②若拼成的大正方形面為169，小正方形的面積為49，求值．（2）若利用圖①拼成如圖③圖形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．在（1）中②的條件下，則___________．16．我們運(yùn)用圖中大正方形的面積可表示為，也可表示為，即，由此推導(dǎo)出一個(gè)重要的結(jié)論，，這個(gè)重要的結(jié)論就是著名的“勾股定理”．這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)“無(wú)字證明”．(1)請(qǐng)你用圖（II）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)直角三角形的較大的直角邊長(zhǎng)都為a，較小的直角邊長(zhǎng)都為b，斜邊長(zhǎng)都為c）(2)請(qǐng)你用圖（III）提供的圖形組合成一個(gè)新的圖形，使組合成的圖形的面積表達(dá)式能夠驗(yàn)證．畫(huà)出圖形并做適當(dāng)標(biāo)注．(3)請(qǐng)你自己設(shè)計(jì)一個(gè)組合圖形，使它的面積能驗(yàn)證：，畫(huà)出圖形并做適當(dāng)標(biāo)注．17．綜合與實(shí)踐．勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿(mǎn)著魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．(1)我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個(gè)全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”．在中，，若，，，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說(shuō)明．(2)業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者向常春在年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的和按如圖2所示的方式放置，，，，．請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說(shuō)明．(提示：連接，)18．用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)正方形，它是美麗的弦圖，其中四個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為．(1)結(jié)合圖①，求證：；(2)如圖②，將這四個(gè)全等的直角三角形無(wú)縫隙無(wú)重疊地拼接在一起，得到圖形．若該圖形的周長(zhǎng)為48，．求該圖形的面積．19．我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)長(zhǎng)方形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)關(guān)的正方形（如圖1），這個(gè)長(zhǎng)方形稱(chēng)為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿(mǎn)足關(guān)系式，稱(chēng)為勾股定理．愛(ài)動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形（如圖2），也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過(guò)程．20．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第117頁(yè)的部分內(nèi)容．把兩個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上，利用此圖的面積表示式證明勾股定理．(1)請(qǐng)結(jié)合圖，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程；(2)如圖，在等腰直角三角形中，，，是射線(xiàn)上一點(diǎn)，以為直角邊在邊的右側(cè)作，使，．過(guò)點(diǎn)，作于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則___________．21．勾股定理是解決直角三角形很重要的數(shù)學(xué)定理．這個(gè)定理的證明的方法很多，也能解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題．請(qǐng)按要求作答：(1)用語(yǔ)言敘述勾股定理；(2)選擇圖1、圖2、圖3中一個(gè)圖形來(lái)驗(yàn)證勾股定理；(3)利用勾股定理來(lái)解決下列問(wèn)題：如圖4，一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為8，寬為3，高為5．在長(zhǎng)方體的底面上一點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃長(zhǎng)方體上A與點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，則螞蟻需要沿長(zhǎng)方體表面爬行的最短路程是多少?（畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由）22．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第117頁(yè)的部分內(nèi)容．(1)請(qǐng)結(jié)合圖①，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程；(2)如圖②，在等腰直角三角形中，，，P是射線(xiàn)BC上一點(diǎn)，以為直角邊在邊的右側(cè)作，使，．過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，則___________．23．綜合與實(shí)踐美麗的弦圖中蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．(1)如圖1，弦圖中包含了一大一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖1，試驗(yàn)證勾股定理；(2)如圖2，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（實(shí)線(xiàn)）的周長(zhǎng)為24，，求該飛鏢狀圖案的面積；(3)如圖3，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，若，求的值．24．在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖(I)驗(yàn)證它的正確性：圖中大正方形的面積可表示為：，也可表示為：，即由此推出勾股定理，這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)“無(wú)字證明”．(1)請(qǐng)你用圖(Ⅱ)(2002年國(guó)際數(shù)字家大會(huì)會(huì)標(biāo))的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理(其中四個(gè)直角三角形全等)；(2)請(qǐng)你用(Ⅲ)提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證25．綜合與實(shí)踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿(mǎn)著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡(jiǎn)便得結(jié)論．這里用兩種求法來(lái)表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱(chēng)之為“雙求法”．【方法運(yùn)用】千百年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長(zhǎng)分別為，，，，顯然．(1)請(qǐng)用，，分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請(qǐng)利用“雙求法”解決下面的問(wèn)題：如圖3，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得，則邊上的高為_(kāi)_____．(3)如圖4，在中，是邊上的高，，，，設(shè)，求的值．26．勾股定理是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅弦圖”（如圖1），后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①請(qǐng)敘述勾股定理．②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理，圖1與圖2都是由四個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成，圖3是由兩個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成（以下圖形均滿(mǎn)足證明勾股定理所需的條件）(2)如圖4，以直角三角形的三邊為直徑向外部作半圓，請(qǐng)寫(xiě)出、和的數(shù)量關(guān)系：___________．27．2000多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頻感興趣，不但因?yàn)檫@個(gè)定理重要、基本還因?yàn)檫@個(gè)定理貼近人們的生活實(shí)際所以很多人都探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn)，如圖2是將圖1中的直角三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移得到的正方形．(1)請(qǐng)你利用圖2證明勾股定理；(2)如圖3，以為直徑畫(huà)圓O，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，判斷直線(xiàn)與⊙的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若，則圖3中陰影部分的面積為_(kāi)___________（用含a的式子表示）28．閱讀材料，回答問(wèn)題：(1)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》（如圖）有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五．”這句話(huà)的意思是：“如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為和，那么斜邊的長(zhǎng)為．”上述記載表明了：在中，如果，，，，那么，，，三者之間的數(shù)量關(guān)系是_____．(2)對(duì)于這個(gè)數(shù)量關(guān)系，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)“趙爽弦圖”（如圖，它是由八個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)正方形），利用面積法進(jìn)行了證明．參考趙爽的思路，將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整：證明：，，_____，且_____=_____，，整理得，_____．(3)如圖，把矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，如果，，求的長(zhǎng)．29．背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿(mǎn)著魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明精彩粉呈，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．小試牛刀：把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a，b，c．顯然，，，請(qǐng)用a，b，c分別表示出梯形、四邊形、的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：(1)________，__________，___________，則它們滿(mǎn)足的關(guān)系式為_(kāi)__________