專(zhuān)題03分式和分式方程（講義）（原卷版）中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專(zhuān)題03分式和分式方程1．了解分式和最簡(jiǎn)分式的概念；2．能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分；3．能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除運(yùn)算；4．能解可化為一元一次方程的分式方程；5．能夠根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出可化為一元一次方程的分式方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理?？键c(diǎn)1：分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1．分式：一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注：分式中的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當(dāng)時(shí)，分式才有意義.2.分式的基本性質(zhì)（M為不等于0的整式）.

3．最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒(méi)有的分式叫做最簡(jiǎn)分式.如果分子、分母中含有，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn).考點(diǎn)2：分式的運(yùn)算1．約分：利用分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母中的約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.2．通分：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘以，不改變分式的值，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．3．基本運(yùn)算法則分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類(lèi)似,具體運(yùn)算法則如下:（1）加減運(yùn)算QUOTE；同分母的分式相加減，分母，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.（2）乘法運(yùn)算，其中是整式，.兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的作為的分子，把分母相乘的作為的分母.（3）除法運(yùn)算，其中是整式，.兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母后，與被除式.（4）乘方運(yùn)算分式的乘方，把分子、分母分別乘方.

4.分式的混合運(yùn)算順序先算，再算，最后，有先算里面的.考點(diǎn)3：分式方程1．分式方程的概念分母中含有的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為方程．3．分式方程的增根問(wèn)題增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會(huì)出現(xiàn)不適合原方程的根增根.注：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根．驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解.考點(diǎn)4：分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類(lèi)似，但要稍復(fù)雜一些．解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解.【題型1：分式的概念和性質(zhì)】【典例1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）使分式有意義的x的取值范圍是．1．（2023·江蘇鹽城·景山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·?？既＃┤舴质接幸饬x，則x的取值范圍是．3．（2023·江蘇泰州·校考三模）下列等式成立的是(

)A． B．C． D．4．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）先化簡(jiǎn)再求值：，其中是方程的一個(gè)根．【題型2：分式的運(yùn)算】【典例2】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）課堂上，老師提出了下面的問(wèn)題：已知，，，試比較與的大小．小華：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較與的大?。∪A：∵，∴．老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…(1)請(qǐng)用“作差法”完成老師提出的問(wèn)題．(2)比較大?。篲_________．（填“”“”或“”）1．（2023·江蘇揚(yáng)州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知，其中A、B為常數(shù)，那么的值為．2.（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）比較大小：．（用“”、“”或“”填空）3．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）計(jì)算：(1)(2)4．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）已知，，證明：．【題型3：解分式方程】【典例3】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）（1）解方程：；（2）解不等式組：1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且2．（2023·江蘇泰州·校考三模）方程的解為．3．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┓质椒匠痰慕馐牵?．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┙夥匠蹋海绢}型4：分式方程的應(yīng)用】【典例4】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）某校舉行“二十大知識(shí)學(xué)習(xí)競(jìng)賽”活動(dòng)，老師讓班長(zhǎng)小華到商店購(gòu)買(mǎi)筆記本作為獎(jiǎng)品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價(jià)均為整數(shù)）．(1)若班長(zhǎng)小華在甲商店購(gòu)買(mǎi)，他發(fā)現(xiàn)用240元購(gòu)買(mǎi)硬面筆記本與用195元購(gòu)買(mǎi)軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價(jià)．(2)若班長(zhǎng)小華在乙商店購(gòu)買(mǎi)硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件（軟面筆記本單價(jià)不變）：一次購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量少于30本，按原價(jià)售出；不少于30本按軟面筆記本的單價(jià)售出．班長(zhǎng)小華打算購(gòu)買(mǎi)本硬面筆記本（為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購(gòu)買(mǎi)5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用相同，求乙商店硬面筆記本的原價(jià)．1．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）某學(xué)校打算購(gòu)買(mǎi)甲乙兩種不同類(lèi)型的筆記本．已知甲種類(lèi)型筆記本的單價(jià)比乙種類(lèi)型的要便宜元，且用元購(gòu)買(mǎi)的甲種類(lèi)型的數(shù)量與用元購(gòu)買(mǎi)的乙種類(lèi)型的數(shù)量一樣，求甲乙兩種類(lèi)型筆記本的單價(jià)．2．（2023·江蘇泰州·?？级＃┦姓?jì)劃對(duì)城區(qū)道路進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同完成，已知甲隊(duì)的工作效率是乙隊(duì)工作效率的倍，甲隊(duì)改造米的道路比乙隊(duì)改造同樣長(zhǎng)的道路少用天，求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天能改造道路的長(zhǎng)度分別是多少米？3．（2016·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）某服裝加工廠計(jì)劃加工400套運(yùn)動(dòng)服，在加工完160套后，采用了新技術(shù)，工作效率比原計(jì)劃提高了，結(jié)果共用了18天完成全部任務(wù)．求原計(jì)劃每天加工多少套運(yùn)動(dòng)服．4．（2023·江蘇鹽城·?？既＃┠彻举?gòu)買(mǎi)了一批A，B型芯片，其中A型芯片的單價(jià)比B型芯片的單價(jià)少9元，已知該公司用312元購(gòu)買(mǎi)A型芯片的條數(shù)與用420元購(gòu)買(mǎi)B型芯片的條數(shù)相等．(1)求該公司購(gòu)買(mǎi)的A，B型芯片的單價(jià)各是多少元？(2)若兩種芯片共購(gòu)買(mǎi)了150條，且購(gòu)買(mǎi)的總費(fèi)用為4350元，求購(gòu)買(mǎi)了多少條A型芯片？1．若分式的值為0，則的值是（

）A． B．0 C．3 D．2．分式與的最簡(jiǎn)公分母是（）A． B． C． D．3．下列各式是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．4．將分式約分時(shí)，分子分母同時(shí)除以（

）A． B． C． D．5．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．6．隨著自主研發(fā)能力的增強(qiáng)，我國(guó)在制造芯片最重要也是最艱難的技術(shù)上有了新突破——光刻機(jī)，將在年交付第一臺(tái)工藝的國(guó)產(chǎn)沉浸式光刻機(jī)，其中數(shù)據(jù)（即）用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．7．把分式中的值都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則分式的值（

）．A．不變 B．變?yōu)樵瓉?lái)的2倍 C．變?yōu)樵瓉?lái)的 D．不能確定8．分式方程的解是（

）A． B． C． D．9．伴隨2023城市自然行動(dòng)——“1864大熊貓巡展”在長(zhǎng)沙站的正式啟動(dòng)，湖南省地質(zhì)博物館迅速成了巡展的熱門(mén)打卡地．某學(xué)校九年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校的湖南省地質(zhì)博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車(chē)先走，過(guò)了后，其余學(xué)生乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車(chē)的速度是騎車(chē)學(xué)生速度的2倍，求騎車(chē)學(xué)生的速度．若設(shè)騎車(chē)學(xué)生的速度為，則可列方程為（

）A． B． C． D．10．若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．211．計(jì)算的結(jié)果是．12．計(jì)算：13．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．14．解方程(1)(2)15．2022年11月20日，卡塔爾世界杯盛大開(kāi)幕，活潑靈動(dòng)的吉祥物“拉伊卜”吸引了全世界的目光，一時(shí)間“拉伊卜”玩偶供不應(yīng)求．某公司的兩個(gè)車(chē)間負(fù)責(zé)生產(chǎn)“拉伊卜”玩偶，已知甲車(chē)間每天生產(chǎn)玩偶的數(shù)量是乙車(chē)間的1.5倍，甲車(chē)間生產(chǎn)600個(gè)玩偶比乙車(chē)間生產(chǎn)800個(gè)玩偶少用1天．求甲、乙兩車(chē)間每天各生產(chǎn)玩偶多少個(gè)？1．下列各式從左到右變形正確的是（

）A． B．C．D．2．若關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且3．若分式方程有增根，則a的值是（

）A． B．0 C．0或 D．0或24．已知，則的值為（

）A． B． C．2025 D．20205．如果關(guān)于的一元二次方程兩個(gè)根為，那么方程的兩個(gè)根和系數(shù)有如下關(guān)系：，若是關(guān)于的一元二次方程的兩根，已知，則的值是（

）A． B． C．4 D．6．若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是．7．一組學(xué)生春游，預(yù)計(jì)共需要費(fèi)用120元，后來(lái)又有2人參加進(jìn)來(lái)，總費(fèi)用不變，于是每人可少攤3元，若設(shè)原來(lái)這組學(xué)生人數(shù)為x，那么可列方程為．8．如果，那么．9．已知：，則．10．若已知（其中為常數(shù)），則．11．解方程：(1)；(2)．12．某學(xué)校決定購(gòu)買(mǎi)A，B兩種的亞運(yùn)會(huì)紀(jì)念徽章作為“校園讀書(shū)節(jié)”活動(dòng)獎(jiǎng)品，已知A種比B種每件多20元，預(yù)算資金為1600元．(1)其中700元購(gòu)買(mǎi)A種徽章，其余資金購(gòu)買(mǎi)B種徽章，且購(gòu)買(mǎi)B種的數(shù)量是A種的3倍．求A，B兩種徽章的單價(jià)．(2)購(gòu)買(mǎi)當(dāng)日，正逢“十一”大促銷(xiāo)，所有商品均按原價(jià)八折銷(xiāo)售，學(xué)校調(diào)整了購(gòu)買(mǎi)方案：在不超過(guò)預(yù)算資金的前提下，準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A，B兩種徽章共120件；問(wèn)最多購(gòu)買(mǎi)A種徽章的多少件？13．觀察下面的計(jì)算：①，，即為；②，，即為；③，，即為；④，，即為；(1)根據(jù)上面的計(jì)算，請(qǐng)你寫(xiě)出第9個(gè)的等式即為；(2)根據(jù)上面的計(jì)算，請(qǐng)你猜想第n個(gè)的等式即為；(3)請(qǐng)你證明你的猜想．14．閱讀理解題．我們定義：如果兩個(gè)分式與的差為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為正數(shù)，則稱(chēng)是的“雅中式”，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為關(guān)于的“雅中值”．如分式，，，則是的“雅中式”，關(guān)于的“雅中值”為2．(1)已知分式，，判斷是否為的“雅中式”．若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是，請(qǐng)求出關(guān)于的“雅中值”．(2)已知分式，，是的“雅中式”，且關(guān)于的“雅中值”是1，為整數(shù)，且的值也為整數(shù)，求所代表的代數(shù)式及所有符合條件的的值．15．【閱讀理解】在比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小時(shí)，解決策略一般是利用“作差法”，即要比較代數(shù)式，的大小，只要作出差，若，則；若，則；若，則．【解決問(wèn)題】（1）若，則______0（填“”“”或“”）；（2）已知，，當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由；（3）小王和小張的加油習(xí)慣不同，小王每次加300元的油（油箱未加滿），而小張每次都把油箱加滿．現(xiàn)實(shí)生活中油價(jià)常有變動(dòng)，現(xiàn)以兩次加油為例來(lái)研究，設(shè)第一次油價(jià)為元/升，第二次油價(jià)為元/升．①小王兩次加油的平均單價(jià)為_(kāi)_____元/升，小張兩次加油的平均單價(jià)為_(kāi)_____元/升（用含，的代數(shù)式表示，化簡(jiǎn)結(jié)果）；②請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷，小王和小張的兩種加油方式中，哪種平均單價(jià)更低？1．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）若代數(shù)式的值是0，則實(shí)數(shù)x的值是（

）A． B．0 C．1 D．22．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）若，下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．3．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．（2019·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）小明15元買(mǎi)售價(jià)相同的軟面筆記本，小麗用24元買(mǎi)售價(jià)相同的硬面筆記本(兩人的錢(qián)恰好用完)，已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴3元，且小明和小麗買(mǎi)到相同數(shù)量的筆記本，設(shè)軟面筆記本每本售價(jià)為元，根據(jù)題意可列出的方程為(

)A． B． C． D．5．（2013·江蘇宿遷·中考真題）方程的解是A．x=﹣1 B．x=0 C．x=1 D．x=26．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．7．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）溶度積是化學(xué)中沉淀的溶解平衡常數(shù)．常溫下的溶度積約為，將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．8．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是．9．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）方程的解是．10．（2019·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是