專題03分式和分式方程（講義）（原卷版）中考數(shù)學一輪復習

專題03分式和分式方程1．了解分式和最簡分式的概念；2．能利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分；3．能進行簡單的分式加、減、乘、除運算；4．能解可化為一元一次方程的分式方程；5．能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出可化為一元一次方程的分式方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型，能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理?？键c1：分式的有關概念及性質(zhì)1．分式：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注：分式中的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當時，分式才有意義.2.分式的基本性質(zhì)（M為不等于0的整式）.

3．最簡分式：分子與分母沒有的分式叫做最簡分式.如果分子、分母中含有，要進行約分化簡.考點2：分式的運算1．約分：利用分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子和分母中的約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.2．通分：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘以，不改變分式的值，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．3．基本運算法則分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似,具體運算法則如下:（1）加減運算QUOTE；同分母的分式相加減，分母，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.（2）乘法運算，其中是整式，.兩個分式相乘，把分子相乘的作為的分子，把分母相乘的作為的分母.（3）除法運算，其中是整式，.兩個分式相除，把除式的分子和分母后，與被除式.（4）乘方運算分式的乘方，把分子、分母分別乘方.

4.分式的混合運算順序先算，再算，最后，有先算里面的.考點3：分式方程1．分式方程的概念分母中含有的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的關鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為方程．3．分式方程的增根問題增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著的條件，當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根增根.注：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根．驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解.考點4：分式方程的應用列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題類似，但要稍復雜一些．解題時應抓住“找等量關系、恰當設未知數(shù)、確定主要等量關系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進行求解.【題型1：分式的概念和性質(zhì)】【典例1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）使分式有意義的x的取值范圍是．1．（2023·江蘇鹽城·景山中學校考模擬預測）函數(shù)的圖象位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·?？既＃┤舴质接幸饬x，則x的取值范圍是．3．（2023·江蘇泰州·校考三模）下列等式成立的是(

)A． B．C． D．4．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）先化簡再求值：，其中是方程的一個根．【題型2：分式的運算】【典例2】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）課堂上，老師提出了下面的問題：已知，，，試比較與的大?。∪A：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較與的大?。∪A：∵，∴．老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…(1)請用“作差法”完成老師提出的問題．(2)比較大?。篲_________．（填“”“”或“”）1．（2023·江蘇揚州·?？寄M預測）已知，其中A、B為常數(shù)，那么的值為．2.（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）比較大?。海ㄓ谩啊?、“”或“”填空）3．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學?？寄M預測）計算：(1)(2)4．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）已知，，證明：．【題型3：解分式方程】【典例3】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）（1）解方程：；（2）解不等式組：1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）關于x的方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且2．（2023·江蘇泰州·校考三模）方程的解為．3．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┓质椒匠痰慕馐牵?．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┙夥匠蹋海绢}型4：分式方程的應用】【典例4】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）某校舉行“二十大知識學習競賽”活動，老師讓班長小華到商店購買筆記本作為獎品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價均為整數(shù)）．(1)若班長小華在甲商店購買，他發(fā)現(xiàn)用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價．(2)若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件（軟面筆記本單價不變）：一次購買的數(shù)量少于30本，按原價售出；不少于30本按軟面筆記本的單價售出．班長小華打算購買本硬面筆記本（為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同，求乙商店硬面筆記本的原價．1．（2023·江蘇徐州·?？寄M預測）某學校打算購買甲乙兩種不同類型的筆記本．已知甲種類型筆記本的單價比乙種類型的要便宜元，且用元購買的甲種類型的數(shù)量與用元購買的乙種類型的數(shù)量一樣，求甲乙兩種類型筆記本的單價．2．（2023·江蘇泰州·?？级＃┦姓媱潓Τ菂^(qū)道路進行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊共同完成，已知甲隊的工作效率是乙隊工作效率的倍，甲隊改造米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用天，求甲、乙兩個工程隊每天能改造道路的長度分別是多少米？3．（2016·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）某服裝加工廠計劃加工400套運動服，在加工完160套后，采用了新技術，工作效率比原計劃提高了，結(jié)果共用了18天完成全部任務．求原計劃每天加工多少套運動服．4．（2023·江蘇鹽城·?？既＃┠彻举徺I了一批A，B型芯片，其中A型芯片的單價比B型芯片的單價少9元，已知該公司用312元購買A型芯片的條數(shù)與用420元購買B型芯片的條數(shù)相等．(1)求該公司購買的A，B型芯片的單價各是多少元？(2)若兩種芯片共購買了150條，且購買的總費用為4350元，求購買了多少條A型芯片？1．若分式的值為0，則的值是（

）A． B．0 C．3 D．2．分式與的最簡公分母是（）A． B． C． D．3．下列各式是最簡分式的是（

）A． B． C． D．4．將分式約分時，分子分母同時除以（

）A． B． C． D．5．下列運算正確的是（

）A． B． C． D．6．隨著自主研發(fā)能力的增強，我國在制造芯片最重要也是最艱難的技術上有了新突破——光刻機，將在年交付第一臺工藝的國產(chǎn)沉浸式光刻機，其中數(shù)據(jù)（即）用科學記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．7．把分式中的值都擴大為原來的2倍，則分式的值（

）．A．不變 B．變?yōu)樵瓉淼?倍 C．變?yōu)樵瓉淼?D．不能確定8．分式方程的解是（

）A． B． C． D．9．伴隨2023城市自然行動——“1864大熊貓巡展”在長沙站的正式啟動，湖南省地質(zhì)博物館迅速成了巡展的熱門打卡地．某學校九年級學生去距學校的湖南省地質(zhì)博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了后，其余學生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，求騎車學生的速度．若設騎車學生的速度為，則可列方程為（

）A． B． C． D．10．若關于x的分式方程有增根，則m的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．211．計算的結(jié)果是．12．計算：13．先化簡，再求值：，其中．14．解方程(1)(2)15．2022年11月20日，卡塔爾世界杯盛大開幕，活潑靈動的吉祥物“拉伊卜”吸引了全世界的目光，一時間“拉伊卜”玩偶供不應求．某公司的兩個車間負責生產(chǎn)“拉伊卜”玩偶，已知甲車間每天生產(chǎn)玩偶的數(shù)量是乙車間的1.5倍，甲車間生產(chǎn)600個玩偶比乙車間生產(chǎn)800個玩偶少用1天．求甲、乙兩車間每天各生產(chǎn)玩偶多少個？1．下列各式從左到右變形正確的是（

）A． B．C．D．2．若關于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且3．若分式方程有增根，則a的值是（

）A． B．0 C．0或 D．0或24．已知，則的值為（

）A． B． C．2025 D．20205．如果關于的一元二次方程兩個根為，那么方程的兩個根和系數(shù)有如下關系：，若是關于的一元二次方程的兩根，已知，則的值是（

）A． B． C．4 D．6．若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是．7．一組學生春游，預計共需要費用120元，后來又有2人參加進來，總費用不變，于是每人可少攤3元，若設原來這組學生人數(shù)為x，那么可列方程為．8．如果，那么．9．已知：，則．10．若已知（其中為常數(shù)），則．11．解方程：(1)；(2)．12．某學校決定購買A，B兩種的亞運會紀念徽章作為“校園讀書節(jié)”活動獎品，已知A種比B種每件多20元，預算資金為1600元．(1)其中700元購買A種徽章，其余資金購買B種徽章，且購買B種的數(shù)量是A種的3倍．求A，B兩種徽章的單價．(2)購買當日，正逢“十一”大促銷，所有商品均按原價八折銷售，學校調(diào)整了購買方案：在不超過預算資金的前提下，準備購買A，B兩種徽章共120件；問最多購買A種徽章的多少件？13．觀察下面的計算：①，，即為；②，，即為；③，，即為；④，，即為；(1)根據(jù)上面的計算，請你寫出第9個的等式即為；(2)根據(jù)上面的計算，請你猜想第n個的等式即為；(3)請你證明你的猜想．14．閱讀理解題．我們定義：如果兩個分式與的差為常數(shù)，且這個常數(shù)為正數(shù)，則稱是的“雅中式”，這個常數(shù)稱為關于的“雅中值”．如分式，，，則是的“雅中式”，關于的“雅中值”為2．(1)已知分式，，判斷是否為的“雅中式”．若不是，請說明理由；若是，請求出關于的“雅中值”．(2)已知分式，，是的“雅中式”，且關于的“雅中值”是1，為整數(shù)，且的值也為整數(shù)，求所代表的代數(shù)式及所有符合條件的的值．15．【閱讀理解】在比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小時，解決策略一般是利用“作差法”，即要比較代數(shù)式，的大小，只要作出差，若，則；若，則；若，則．【解決問題】（1）若，則______0（填“”“”或“”）；（2）已知，，當時，比較與的大小，并說明理由；（3）小王和小張的加油習慣不同，小王每次加300元的油（油箱未加滿），而小張每次都把油箱加滿．現(xiàn)實生活中油價常有變動，現(xiàn)以兩次加油為例來研究，設第一次油價為元/升，第二次油價為元/升．①小王兩次加油的平均單價為______元/升，小張兩次加油的平均單價為______元/升（用含，的代數(shù)式表示，化簡結(jié)果）；②請通過計算判斷，小王和小張的兩種加油方式中，哪種平均單價更低？1．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）若代數(shù)式的值是0，則實數(shù)x的值是（

）A． B．0 C．1 D．22．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）若，下列計算正確的是（

）A． B． C． D．3．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．（2019·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）小明15元買售價相同的軟面筆記本，小麗用24元買售價相同的硬面筆記本(兩人的錢恰好用完)，已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴3元，且小明和小麗買到相同數(shù)量的筆記本，設軟面筆記本每本售價為元，根據(jù)題意可列出的方程為(

)A． B． C． D．5．（2013·江蘇宿遷·中考真題）方程的解是A．x=﹣1 B．x=0 C．x=1 D．x=26．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）計算：．7．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）溶度積是化學中沉淀的溶解平衡常數(shù)．常溫下的溶度積約為，將數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為．8．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）化簡的結(jié)果是．9．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）方程的解是．10．（2019·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）關于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是