6.5相似三角形的性質(zhì)

6.5相似三角形的性質(zhì)【推本溯源】1.回顧相似三角形的判定兩角對應(yīng)相等，兩邊成比例及其夾角相等，三邊成比例ABFDEABFDE由題意得所以，,它們的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方。3.驗(yàn)證猜想如果△ABC∽△A′B′C′相似比為k，那么k， 于是，，，所以，如圖，△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是對應(yīng)高．AA′AA′C′B′C′B′DD’CDD’CB∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B＝∠_B′___，∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠_A′D′B′_＝90°，∴△ABD∽△_A′D′B′______，∴＝__k__，k*k=k2所以相似三角形周長之比等于相似比，同理可得，相似多邊形周長之比等于相似比；相似三角形面積之比等于相似比的平方，同理可得，相似多邊形面積之比等于相似比的平方。4.在證明相似三角形面積的比等于相似比的平方過程中，我們發(fā)現(xiàn)相似三角形對應(yīng)高之比等于相似比，那么對應(yīng)中線、對應(yīng)的角平分線之比呢？探究一（中線）：C′A′C′A′D′B′CABD∵∵∴K,∵AD和A′D′分別是▲ABC和▲A′B′C′的中線∴BC,B′C′,∴K∴K∴▲ABD~▲A′B′D′∴K結(jié)論：相似三角形對應(yīng)中線的比等于__相似比_________．探究二（角平分線）：CABDCABDC′A′D′B′∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠_B′A′C′______，∠B＝__B′_______．∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線，∴∠BAC，∠B′A′C′;∴∠BAD＝∠_B′A′D′_，∴△ABD∽△_A′B′D_′_，∴k．結(jié)論：相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于___相似比________．一般地，如果△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，點(diǎn)D、D'分別在BC、B'C'上，且，那么。你能類比剛才的方法說理嗎？總結(jié)：相似三角形對應(yīng)____線段____的比等于相似比．C5.射影定理：母子三角形CRt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：①AD2=BD?DC；②AB2=BD?BC；AC2=CD?BC．【解惑】例1：已知，若對應(yīng)邊，則它們的周長比等于（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用相似三角形的周長比等于相似比，即可得出答案．【詳解】∵，即相似比為根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比，故周長比為故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．例2：如圖，，，，則為（

）A．8 B． C． D．10【答案】C【分析】根據(jù)的比，可得的比，利用面積比是相似比的平方，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴相似比為，即，，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了形似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握面積比是相似比的平方．例3：已知兩個(gè)相似三角形對應(yīng)角平分線的比為，且這兩個(gè)三角形的一對對應(yīng)高之差為，則這兩個(gè)三角形對應(yīng)高的長分別為___________．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形對應(yīng)角平分線的比為，∴對應(yīng)的高的比為，設(shè)高分別為，∵對應(yīng)高之差為，∴，解得，，∴兩個(gè)三角形對應(yīng)高分別是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊高的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．例4：如圖，在矩形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，若將沿翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，則的長為________．

【答案】【分析】根據(jù)題意可得，在根據(jù)勾股定理求出，由折疊可知，于是，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)得，因此，根據(jù)同角的余角相等得，以此可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出的長，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，

∵四邊形為矩形，∴，∵，E是的中點(diǎn)，∴，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，

∴，即，∴，∴．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)推理論證出是解題關(guān)鍵．例5：如圖，在和中，，．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定，即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，即可．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，∴．（2）由（1）得，，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．【摩拳擦掌】1．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，，若，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由相似三角形的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：∵，，∴，即；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似的性質(zhì)是關(guān)鍵．2．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，點(diǎn)D、E分別在的邊BA、CA的延長線上，且，連接DE，下列判斷：①；②；③．其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．只有③ D．①②③【答案】C【分析】結(jié)合已知條件用兩邊夾角證明三角形相似，注意對應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得解．【詳解】如圖，，∴∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)；注意對應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若兩個(gè)相似三角形周長的比為，則這兩個(gè)三角形對應(yīng)邊的比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似三角形的對應(yīng)邊比即可解答．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形周長的比為，∴相似三角形的對應(yīng)邊比為，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的周長比等于相似三角形的對應(yīng)邊比，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·寧夏吳忠·校考二模）如圖，在C中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，若，則與的比值為____________．

【答案】【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例．5．（2023春·遼寧阜新·九年級阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，為邊上的一點(diǎn)，且，若的面積為4，那么的面積為__________．【答案】16【分析】通過證明，得到相似比，由相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，則相似比為，∴，∵的面積為4，∴的面積為16，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·廣西柳州·九年級?？茧A段練習(xí)）若，相似比為，則對應(yīng)周長的比值是__________．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形性質(zhì)，即周長比等于對應(yīng)的相似比，即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵，相似比為，∴對應(yīng)周長的比值是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形性質(zhì)，利用相似三角形基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在三角形紙片中，，，，若沿的垂直平分線線前下，則的長為___________．

【答案】【分析】勾股定理求得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】在中，，，，∴，∵是的垂直平分線，∴，，∴，又∵，∴∴,∴解得：,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，證明是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，動點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)沿射線方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動，連接．過點(diǎn)作的平行線交射線于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動時(shí)間為t（不考慮、、在一條直線上的情況）．

(1)填空：當(dāng)___________時(shí)，，此時(shí)___________；(2)當(dāng)與相似時(shí)，求t的值．【答案】(1)2；2(2)t的值為2或4或．【分析】（1）證明，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）由，利用相似三角形的性質(zhì)求得，分當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的左邊和點(diǎn)F在點(diǎn)B的右邊時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∵，即：，∴，∵，∴，∴，即：，解得：；故答案為：2；2；（2）解：由得，又∵，∴，∴，即，∴，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的左邊時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)：，即，解得：，；當(dāng)時(shí)：有，即，解得：；當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的右邊時(shí)，即時(shí)，，

當(dāng)時(shí)：，即，解得：(負(fù)值已舍)；綜上，t的值為2或4或．【點(diǎn)睛】此題考查了相似圖形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，兩點(diǎn)分別在的邊和上，，若直線把分成面積相等的兩部分，求的值．

【答案】【分析】首先根據(jù)判定∽，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，，，∽，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)．10．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．

(1)證明：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義得出，根據(jù)等角的余角相等，得出，結(jié)合公共角，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵是斜邊上的高．∴，∴，∴又∵∴，（2）∵∴，又∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．11．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在梯形中，點(diǎn)F，E分別在線段，上，且，

(1)求證：(2)若，求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的全等的判定可得，然后根據(jù)全等的三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，．（2）證明：，，，即，在和中，，，，由（1）已證：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【知不足】1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，，若的長度為6，則的長度為（

）

A．4 B．9 C．12 D．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形的邊長比等于相似比是解決此題的關(guān)鍵.2．（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，則（

）

A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)，得到兩對內(nèi)錯(cuò)角相等，再利用相似三角形的判定得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵，∴，，∴，∴，即，∴解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．3．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)F．若，則__________．

【答案】【分析】四邊形是平行四邊形，則，可證明，得到，由進(jìn)一步即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河南信陽·校考三模）如圖，正方形的邊長為5，是邊上的一動點(diǎn)，將正方形沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，過點(diǎn)作折痕的平行線，分別交正方形的邊于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方），若，則的長為___________．

【答案】2或【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，由折疊的性質(zhì)，得到，求解即可；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，證明．由相似三角形的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題意，可知需分以下兩種情況進(jìn)行討論．①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接，如圖1所示．設(shè)，則．∵正方形中，∴，即，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．由折疊的性質(zhì)，可知，，．∴，．∴．∵，∴，解得．∴；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，分別延長交于點(diǎn)，連接，如圖2所示．同理，可得．設(shè)，則．∴．∵，∴．∴，即，解得或（不合題意，舍去）．經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解．∴．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的長為2或．

故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中所給條件找出三角形相似的條件以及分類討論．6．（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學(xué)?？既＃┤鐖D，在矩形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，將沿著翻折得到，交于點(diǎn)H，延長，相交于點(diǎn)G，若，，則_____，_____．

【答案】【分析】連接，根據(jù)翻折的性質(zhì)以及矩形的基本性質(zhì)，求出，然后在和中，利用勾股定理求解得出，最后利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出，即可得出．【詳解】解：如圖所示，連接，

由題意，，，，∴，，∴，∴，，∴，在中，，設(shè)，則，在中，，在中，，∴，解得：，∴，∴，∵，，∴，∴，即：，∴，∴，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的折疊問題，包括相似三角形的判定與性質(zhì)等，掌握矩形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)等是解題關(guān)鍵．7．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的邊平行于軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對角線的延長線經(jīng)過原點(diǎn)，且，若矩形的面積是8，則的值為___________．

【答案】6【分析】延長交x軸于點(diǎn)F，設(shè)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)可求得矩形的長與寬，再由矩形的面積即可求和k的值．【詳解】解：延長交x軸于點(diǎn)F，如圖，由點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，則設(shè)，∵矩形的邊平行于軸，，，∴軸，，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，即，∴，故答案為：6．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，其中相似三角形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．8．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，對角線與相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）可證，從而可證四邊形是菱形，即可得證；（2）可求，再證，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，．（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）在四邊形中，，平分，，點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)F為邊中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)聯(lián)結(jié)，與交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）如圖，過作于，則，證明，，而，可得，從而可得答案；（2）連接，交于，證明，，可得，可得，證明，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，過作于，則，

∵平分，，∴，，∵，，∴，，∵，∴，而，，∴，∴；（2）連接，交于，∵點(diǎn)F為邊中點(diǎn)，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是解本題的關(guān)鍵．10．（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，E為上一點(diǎn)，把沿翻折，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)長為．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到，結(jié)合圖形利用角之間的互余關(guān)系推出，從而根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)推出，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而結(jié)合線段之間的和差關(guān)系利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，沿翻折得到，，，，，；（2）解：，，，在中，，，由（1）可得：，，即，解得，故長為．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【一覽眾山小】1．（2022秋·廣西柳州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，若，則（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】先求出，再證明即可得到．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，分別交于點(diǎn)M，N．若，，，則的長為（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意證明出，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵∴∴∴，即∴解得．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和3．（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖，E、F是矩形的邊上的兩點(diǎn)，相交于點(diǎn)O，已知面積為8，面積為2，四邊形的面積為5，則四邊形的面積為（

）

A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】如圖所示，過點(diǎn)O作分別交于G、H，證明得到，設(shè)，則，根據(jù)三角形面積公式得到，則，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)O作分別交于G、H，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形中，，，垂足為E，，點(diǎn)P、Q分別在上，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，證明，則，得，解得，在中，由勾股定理列方程得到，則，，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，連接，則當(dāng)、P、Q三點(diǎn)在一條線上時(shí)，最小，由垂線段最短可知當(dāng)時(shí)，最小，即可得到的最小值．【詳解】解：設(shè)，則，∵四邊形為矩形，且，∴，∴，，∴,∴，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理可得，即，解得，∴，，如圖，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，連接，則，，

∴是等邊三角形，∵，∴當(dāng)、P、Q三點(diǎn)在一條線上時(shí)，最小，由垂線段最短可知當(dāng)時(shí)，最小，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江杭州·?？既＃┤鐖D，已知是等邊三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在上，，同時(shí)平分和，則_____，BD的長是_____．

【答案】【分析】根據(jù)同時(shí)平分和得到，，再由，證明，由三角形全等性質(zhì)，，再根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論，根據(jù)和是等邊三角形，證明，設(shè)，利用三角形相似比構(gòu)建方程求解即可．【詳解】同時(shí)平分和得到，，，，，，又，故答案為：是等邊三角形，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，利用方程思想并掌握相似三角形的相似比等與三角形對應(yīng)邊的比是解題的關(guān)鍵．6．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為________．

【答案】5【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，利用勾股定理求得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證、是等腰直角三角形，可得，再由，得，證明，可得，即，再由，求得，從而求得，，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，∵，，，∴，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，故答案為：5．

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．7．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，D，E分別是的邊，的中點(diǎn)，若的面積為1，則四邊形的面積等于_______．

【答案】3【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，，從而證出，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出的面積，最后根據(jù)即可解答．【詳解】解：∵D，E分別是的邊，的中點(diǎn)，∴，，∴∴∵的面積為1，∴的面積為4，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形中位線的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握三角形中位線的性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．8．（2023春·福建福州·九年級?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形中，，D是邊上一點(diǎn)，連接．

(1)在線段確定一點(diǎn)E，連接，使得．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接，若D是的中點(diǎn)，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作交于點(diǎn)，由于，所以；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，設(shè)，則，，，利用為等腰直角三角形得到，，所以，，，再證明，利用相似比得到，，接著證明，利用相似比求出，，則，然后利用勾股定理計(jì)算出，從而可計(jì)算的值．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求；

（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，設(shè)，為等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，，，，，，，，，，，即，解得，，，，，即，解得，，，在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．9．（2023·浙江杭州·?？既＃┤鐖D，已知，是延長線上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若面積為，求的面積．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）要證，需找出兩組對應(yīng)角相等，利用平行四邊形的對角相等，再利用，可得一對內(nèi)錯(cuò)角相等，則可證；（2）由，根據(jù)相似比，求出的面積，可求出四邊形的面積，同理可根據(jù)，可求出的面積，由此可求出的面積．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握以上知識的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.10．（2023年吉林省四平市三校中考三模數(shù)學(xué)試題）在中，，分別為，上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．

(1)設(shè)的面積為，的面積為，且．①如圖①，連接．若，求證：；②如圖②，若，，求的值．(2)如圖③，若，，，，直接寫出的值．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①由可證，即可證，可進(jìn)一步推出結(jié)論；②連接，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．可證，推出，設(shè)，則，則可分別求出，的長，即可求出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作，且，連接，，構(gòu)造平行四邊形，證，推出，證明再證明為直角三角形，且可求出其三邊的比，即可求出的值．【詳解】（1）解：①，，．，，即．又，，．如圖②，連接，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

，，又，，．又，，，，設(shè)，則，．（2）如答圖（2），過點(diǎn)作，且，連接，，

則四邊形為平行四邊形．，．，，．又，，，即．，．，設(shè)，，則在中，．，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能夠通過作出合適的輔助線構(gòu)造相似三角形，并且能夠靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)．11．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形，點(diǎn)E在延長線上，點(diǎn)F在延長線上，過點(diǎn)F作交的延長線于點(diǎn)H，連結(jié)交于點(diǎn)G，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得出，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，即可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)，得出，設(shè)，則，，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出等式，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，即．（2）∵，∴，∴．∵，∴．設(shè)，∵，∴，，∴，解得，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇淮安·校考三模）如圖，已知正方形，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，連接．

(1)請用尺規(guī)作圖的方法在線段上求作一點(diǎn)F，使得(不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)在（1）的條件下，若，則的長為______．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)F，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，即可證得．（2）先用勾股定理求出，再證明，從而得到，繼而得解．【詳解】（1）解：如圖：過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求的點(diǎn)，

補(bǔ)充證明過程如下：四邊形是正方形，，，，．（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∴，又∵，∴，又由作圖可知：，∴，∴∵，∴，∴，即∴，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖—過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，四邊形的內(nèi)角和定理，勾股