專題01勾股定理中的最短路徑問題與翻折問題（五大題型）2

專題01勾股定理中的最短路徑問題與翻折問題（五大題型）重難點題型歸納【題型1與長方形有關(guān)的最短路徑問題】【題型2與圓柱有關(guān)的最短路徑問題】【題型3與臺階有關(guān)的最短路徑問題】【題型4將軍飲馬與最短路徑問題】【題型5幾何圖形中翻折、旋轉(zhuǎn)問題】【方法技巧】長方體最短路徑基本模型如下：幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解【題型1與長方體有關(guān)的最短路徑問題】【典例1】（2023?丹江口市模擬）如圖，地面上有一個長方體盒子，一只螞蟻在這個長方體盒子的頂點A處，盒子的頂點C′處有一小塊糖粒，螞蟻要沿著這個盒子的表面A處爬到C′處吃這塊糖粒，已知盒子的長和寬為均為20cm，高為30cm，則螞蟻爬行的最短距離為（）cm．A．10 B．50 C．10 D．70【答案】B【解答】解：分兩種情況：（其它情況與之重復(fù)）①當(dāng)螞蟻從前面和右面爬過去時，如圖1，連接AC′，在Rt△ACC′中，AB＝20+20＝40（cm），CC′＝30（m），根據(jù)勾股定理得：EC＝＝＝50（cm），②當(dāng)螞蟻從前面和上面爬過去時，如圖2，連接AC′，在Rt△ABC′中，BC′＝BB′+B′C′＝30+20＝50（cm），AB＝20（cm），根據(jù)勾股定理得：AC′＝＝＝10（cm）＞50（cm）；螞蟻爬行的最短距離為50cm．故選：B．【變式11】（2022秋?新都區(qū)期末）一個長方體盒子的長、寬、高分別為15cm，10cm，20cm，點B離點C的距離是5cm，一只螞蟻想從盒底的點A沿盒的表面爬到點B，螞蟻爬行的最短路程是（）A．10cm B．25cm C．5cm D．5cm【答案】B【解答】解：如圖所示，將長方體的正面與右側(cè)面展開在同一平面，那么AB＝＝25cm．故選：B．【變式12】（2023春?光澤縣期中）如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是（）A．5 B．25 C． D．35【答案】B【解答】解：將長方體展開，連接AB，根據(jù)兩點之間線段最短，（1）如圖，BD＝10+5＝15，AD＝20，由勾股定理得：AB＝＝25．（2）如圖，BC＝5，AC＝20+10＝30，由勾股定理得，AB＝．（3）只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；由于25＜5＜5，故選：B．【變式13】（2023春?靈丘縣月考）如圖，正方體的棱長為3cm，已知點B與點C之間的距離為1cm，一只螞蟻沿著正方體的表面從點A爬到點C，需要爬行的最短距離為（）?A． B．5cm C．4cm D．【答案】B【解答】解：如圖1，AC＝＝5（cm），如圖2，AC＝＝（cm），∴5＜∴需要爬行的最短距離為5cm．故選：B．【變式14】（2022秋?蓮湖區(qū)期末）如圖，正方體盒子的棱長為2，M為EH的中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于點B處，它想沿正方體的表面爬行到點M處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：如圖，連接BM，則線段BM的長就是螞蟻需爬行的最短路程，∵正方體的棱長為2，M是EH的中點，∴∠Q＝90°，MQ＝2，BQ＝1+2＝3，由勾股定理得BM＝＝＝，故選：C．【變式15】（2022秋?汝陽縣期末）如圖，在長為3，寬為2，高為1的長方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著長方體的表面爬行到頂點B，那么它爬行的最短路程是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進(jìn)行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面上面，由勾股定理得AB2＝（2+1）2+32＝18；（2）展開前面右面，由勾股定理得AB2＝（2+3）2+12＝26；（3）展開前面和左面，由勾股定理得AB2＝（3+1）2+22＝20．所以最短路徑的長為AB＝（cm）．故選：B．【變式17】（2022秋?平昌縣期末）如圖是一個長方體盒子，其長，寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點A，B處，不計線頭，細(xì)線的最短長度為（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【解答】解：如圖所示：連接AB′，則AB′即為所用的最短細(xì)線長，AA′＝4+2+4+2＝12，A′B′＝AB＝9，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝122+92＝225，則AB′＝15，故選：B．【變式18】（2023?隴縣三模）如圖，長方體的底面邊長分別為2厘米和4厘米，高為5厘米．若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為（）厘米．A．8 B．10 C．12 D．13【答案】D【解答】解：如圖所示：∵長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm．∴PA＝4+2+4+2＝12（cm），QA＝5cm，∴PQ＝＝13cm．故選：D．【變式110】（2022春?五華區(qū)期末）如圖，正方體的棱長為2cm，點B為一條棱的中點．螞蟻在正方體表面爬行，從點A爬到點B的最短路程是（）A．cm B．4cm C．cm D．5cm【答案】C【解答】解：如圖，它運動的最短路程AB＝＝（cm）．故選：C．【題型2與圓柱有關(guān)的最短路徑問題】【典例2】（2023春?防城區(qū)期中）如圖，一圓柱高BC＝12πcm，底面周長是16πcm，P為BC的中點，一只螞蟻從點A沿圓柱外壁爬到點P處吃食，要爬行的最短路程是（）A．12πcm B．11πcm C．10πcm D．9πcm【答案】C【解答】解：將圓柱沿點A所在母線展開，連接AP，由兩點之間線段最短可知，最短路程是AP的長．∵底面圓周長為16πcm，∴底面半圓弧長為8πcm，∵BC＝12πcm，P為BC的中點，∴）．根據(jù)勾股定理得：AP＝（cm）．故選：C．【變式21】（2023春?德州期中）如圖，圓柱形玻璃容器高18cm，底面圓的周長為48cm，在外側(cè)底部點A處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)頂端的點B處有一只蒼蠅，則蜘蛛捕獲蒼蠅所走的最短路線長度（）A．52cm B．30cm C． D．60cm【答案】B【解答】解：如圖所示，AB＝＝30（cm），答：蜘蛛捕獲蒼蠅所走的最短路線長度為30cm．故選：B．【變式22】（2023春?夏津縣期中）葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其莖蔓常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．如果把樹干看成圓柱體，它的底面周長是50cm，當(dāng)一段葛藤繞樹干盤旋2圈升高為2.4m時，這段葛藤的長是（）m．A．3 B．2.6 C．2.8 D．2.5【答案】B【解答】解：∵葛藤繞樹干盤旋2圈升高為2.4m，∴葛藤繞樹干盤旋1圈升高為1.2m，如圖所示：AC＝＝1.3m，∴這段葛藤的長＝2×1.3＝2.6m．故選：B．【變式23】（2023春?東港區(qū)校級月考）如圖所示，已知圓柱的底面周長為36，高AB＝5，P點位于圓周頂面處，小蟲在圓柱側(cè)面爬行，從A點爬到P點，然后再爬回C點，則小蟲爬行的最短路程為（）A．26 B．13+ C．13 D．2【答案】B【解答】解：如圖，小蟲爬行的最短路程＝AP+PC＝+＝+13．故選：B．【變式24】（2023春?富順縣校級月考）如圖，一個底面圓周長為24cm，高為9cm的圓柱體，一只螞蟻從距離上邊緣4cm的點A沿側(cè)面爬行到相對的底面上的點B所經(jīng)過的最短路線長為（）A．cm B．15cm C．14cm D．13cm【答案】D【解答】解：將圓柱體的側(cè)面展開，連接AB，如圖所示：由于圓柱體的底面周長為24cm，則BD＝24×＝12cm，又因為AD＝9﹣4＝5cm，所以AB＝＝13（cm），即螞蟻沿表面從點A到點B所經(jīng)過的最短路線長為13cm．故選：D．【變式35】（2022秋?蒲城縣期末）今年9月23日是第五個中國農(nóng)民豐收節(jié)，小彬用3D打印機(jī)制作了一個底面周長為20cm，高為20cm的圓柱糧倉模型．如圖BC是底面直徑，AB是高．現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼一圈彩色裝飾帶，使裝飾帶經(jīng)過A，C兩點（接頭不計），則裝飾帶的長度最短為（）A．20πcm B．40πcm C． D．【答案】D【解答】解：如圖，圓柱的側(cè)面展開圖為長方形，AC＝A'C，且點C為BB'的中點，∵AB＝20，BC＝20＝10，∴裝飾帶的長度＝2AC＝2＝20（cm），故選：D．【變式26】（2023春?宣化區(qū)期中）如圖，圓柱底面半徑為，高為18cm，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且點B在點A的正上方，用一根棉線從A點順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點，則這根棉線的長度最短為（）A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm【答案】C【解答】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的最短路線是AD→DE→EB；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分為3個小長方形，A沿著3個長方形的對角線運動到B的最短路線：AD+DE+EB；∵圓柱體地面半徑為cm，∴AC＝2π×＝8（cm），∵圓柱體的高h(yuǎn)＝18cm，∴CD＝h＝6cm，∴在Rt△ACD中，AD＝＝＝10（cm），∵AD＝DE＝EB，∴AD+DE+EB＝3AD＝30cm．故選：C．【變式27】（2023春?隨縣期末）如圖是學(xué)校藝術(shù)館中的柱子，高4.5m．為迎接藝術(shù)節(jié)的到來，工作人員用一條花帶從柱底向柱頂均勻地纏繞3圈，一直纏到起點的正上方為止．若柱子的底面周長是2m，則這條花帶至少需要7.5m．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：將圓柱表面切開展開呈長方形，則有螺旋線長為三個長方形并排后的長方形的對角線長∵圓柱高4.5米，底面周長2米，∴x2＝（2×3）2+4.52＝56.25所以，x＝7.5，∴花帶長至少是7.5m．故答案為：7.5．【題型3與臺階有關(guān)的最短路徑問題】【典例3】（2023春?連山區(qū)期末）如圖是樓梯的一部分，若AD＝2，BE＝1，AE＝3，一只螞蟻在A處發(fā)現(xiàn)C處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（）A． B．3 C． D．2【答案】D【解答】解：如圖，AC＝＝2，故選：D．【變式31】（2022春?郾城區(qū)期末）如圖，臺階階梯每一層高20cm，寬30cm，長50cm，一只螞蟻從A點爬到B點，最短路程是（）cm．A．10 B．50 C．120 D．130【答案】B【解答】解：如圖所示，∵它的每一級的高為20cm，寬30cm，長50cm，∴AB＝＝50（cm）．答：螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程是50cm，故選：B．【變式32】（2023春?西塞山區(qū)期中）如圖，在一個長為20m，寬為16m的矩形草地上放著一根長方體木塊，已知該木塊的較長邊和場地寬AD平行，橫截面是邊長為2m的正方形，一只螞蟻從點A處爬過木塊到達(dá)點C處需要走的最短路程是8m．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意可知，將木塊展開，相當(dāng)于是AB+2個正方形的寬，∴長為20+2×2＝24米；寬為16米．于是最短路徑為：＝8米．故答案為：8．【變式33】（2022秋?敘州區(qū)期末）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別是4米、0.7米、0.3米，A、B是這個臺階上兩個相對的頂點，A點處有一只螞蟻，它想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是5米．【答案】5．【解答】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為4，寬為（0.7+0.3）×3，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為x，由勾股定理得：x2＝42+[（0.7+0.3）×3]2＝25，解得x＝5（米），答：螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是5米，故答案為：5．【題型4將軍飲馬與最短路徑問題】【典例4】（2022秋?輝縣市校級期末）如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm．在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為（）cm．A．15 B． C．12 D．18【答案】A【解答】解：如圖所示，將圓柱沿過A的母線剪開，由題意可知，需在杯口所在的直線上找一點F，使AF+CF最小，故先作出A關(guān)于杯口所在直線的對稱點A'，連接A'C與杯口的交點即為F，此時AF+CF＝A'F+CF＝A'C，根據(jù)兩點之間線段最短，即可得到此時AF+CF最小，并且最小值為A'C的長度，如圖所示，延長過C的母線，過A'作A'D垂直于此母線于D，由題意可知，A'D＝18÷2＝9（cm），CD＝12﹣4+4＝12（cm），由勾股定理得：A'C＝＝15（cm），故螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cm，故選：A．【變式41】（2022春?吳江區(qū)期末）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則該螞蟻要吃到飯粒需爬行的最短路徑長是（）A．13cm B．3cm C．cm D．2cm【答案】A【解答】解：如圖：∵高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B＝＝＝13（cm）．故選：A．【變式42】（2023春?臨潼區(qū)期末）如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的A處有一滴蜜糖，在玻璃杯的內(nèi)壁，A的相對方向有一小蟲P，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是10厘米．【答案】此題考查了平面展開﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用勾股定理進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．【解答】解：如圖所示：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于杯口的對稱點A′，連接PA′，最短距離為PA'的長度，PA'＝＝＝10（厘米），最短路程為PA'＝10厘米．故答案為：10．【變式43】（2022秋?牡丹區(qū)月考）如圖是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5m的半圓，其邊緣AB＝CD＝20m．小明要在AB上選取一點E，能夠使他從點D滑到點E再滑到點C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約為（）（π取3）m．A．30 B．28 C．25 D．22【答案】C【解答】解：其側(cè)面展開圖如圖：作點C關(guān)于AB的對稱點F，連接DF，∵中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5m的半圓，∴BC＝πR＝2.5π≈7.5m，AB＝CD＝20m，∴CF＝15m，在Rt△CDF中，DF＝＝＝25（m），故他滑行的最短距離約為25m．故選：C．【變式44】（2022秋?雁峰區(qū)校級期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為11cm，底面周長為30cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的爬行最短路線長為（杯壁厚度不計）（）A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm【答案】B【解答】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，則AF+BF為螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離，即A′B的長度，∵A′B＝＝＝＝17（cm），∴螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為17cm，故選：B．【變式45】（2022秋?郫都區(qū)期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為22cm，底面周長為30cm，在杯內(nèi)壁離杯上沿3cm的點B處粘有一粒面包渣，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯底5cm與面包渣相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為25cm（杯壁厚度不計）．【答案】25．【解答】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作B關(guān)于EF的對稱點B′，∴B'D＝15cm，AD＝22﹣5+3＝20（cm），連接B′A，則B′A即為最短距離，B′A＝＝＝25（cm）．故答案為：25．【題型5幾何圖形中翻折、旋轉(zhuǎn)問題】【典例5】（2022秋?大東區(qū)校級期末）如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，設(shè)DE＝x，則AE＝8﹣x，∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，∴∠ABE＝∠C′DE，在Rt△ABE與Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE的長為5．故選：C．【變式51】（2022春?安鄉(xiāng)縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，點D為BC的中點，點E為AC邊上一動點，連接DE．將△CDE沿DE折疊，點C的對應(yīng)點為點C'．若△AEC'為直角三角形，則AE的長為或7．【答案】或7．【解答】解：如圖，當(dāng)∠AEC'＝90°時，則∠CEC'＝90°，∴∠CED＝∠C'ED＝45°，∴∠CDE＝45°，∴CE＝CD＝5，∴AE＝AC﹣CE＝12﹣5＝7；如圖，當(dāng)∠AC'E＝90°時，∵∠AC'E+∠DC'E＝90°+90°＝180°，∴點A，C'，D共線，∴AD＝＝13，∵C'E＝CE＝12﹣AE，AC'＝AD﹣C'D＝8，∴AE2＝（12﹣AE）2+82，∴AE＝；當(dāng)∠C'AE＝90°時，不存在，綜上所述，若△AEC為直角三角形，則AE的長為或7，故答案為：或7．【變式52】（2023春?長沙期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D′處，則重疊部分△AFC的面積為10．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：易證△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，設(shè)D′F＝x，則AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝?AF?BC＝10．故答案為：10．【變式53】（2022秋?綏德縣期中）如圖所示，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF與FC的長．（2）求EC的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵△ADE折疊后的圖形是△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．∵AD＝BC＝10cm，∴AF＝AD＝10cm．又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理，得AB2+BF2＝AF2∴82+BF2＝102，∴BF＝6cm，∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．（2）設(shè)EC的長為xcm，則DE＝（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，∴42+x2＝（8﹣x）2，即16+x2＝64﹣16x+x2，化簡，得16x＝48，∴x＝3，故EC的長為3cm．【變式54】（2020秋?海寧市期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D為BC上一點，將△ABD沿AD折疊至△AB′D，AB′交線段CD于點E．當(dāng)△B′DE是直角三角形時，點D到AB的距離等于0.6或1.5．【答案】0.6或1.5．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝，由折疊的性質(zhì)得，BD＝B'D，∵△B′DE是直角三角形，∴∠BDB'＝∠B'DE＝90°，∴△BDB'是等腰直角三角形，如圖所示，過D作DF⊥AB于F，連接BB'，∴∠ADC＝45°，∴DC＝AC＝3，∴BD＝BC﹣DC＝4﹣3＝1，∴DF＝，點E與點C重合時，△B′DE是直角三角形，∴∠B'ED＝90°，∴此時點D到AB的距離等于1.5，故答案為：0.6或1.5．【變式55】（2020?浙江自主招生）將一直徑為25cm的圓形紙片（如圖①）剪成如圖②所示形狀的紙片，再將紙片沿虛線折疊得到正方體形狀的紙盒（如圖③），則這樣的紙盒體積最大為125cm3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示．設(shè)正方體的棱長是acm．在直角三角形AOB中，OB＝，AB＝a，OA＝2a，根據(jù)勾股定理，得+4a2＝，解，得a＝±5（負(fù)值舍去）．則這樣的紙盒體積最大為53＝125cm3．故答案為125．【變式56】（2022秋?和平區(qū)期中