14.4全等三角形的判定（分層練習(xí)）2

14.4全等三角形的判定（分層練習(xí)）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022春·上海寶山·七年級?？茧A段練習(xí)）不能確定兩個三角形全等的條件是()A．三邊對應(yīng)相等 B．兩邊及其夾角相等C．兩角和任一邊對應(yīng)相等 D．三個角對應(yīng)相等【答案】D【分析】判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，做題時要結(jié)合各選項的已知條件逐個進行驗證．【詳解】A、三條邊對應(yīng)相等，符合SSS，能判定三角形全等，不符合題意；B、兩邊及其夾角對應(yīng)相等，符合SAS，能判定三角形全等，不符合題意；C、兩角和任一邊對應(yīng)相等，符合ASA或AAS，能判定三角形全等，不符合題意；D、三個角對應(yīng)相等，滿足AAA，不能判定三角形全等，符合題意．故選D．2．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如下，給定三角形的六個元素中的三個元素，畫出的三角形的形狀和大小完全確定的是（）①三邊；②兩角及其中一角的對邊；③兩邊及其夾角；④兩邊及其中一邊的對角．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．【詳解】解：∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，∴根據(jù)SSS定理可知能作出唯一三角形，故①符合題意，根據(jù)AAS定理可知能作出唯一三角形，故②符合題意，根據(jù)SAS定理可知能作出唯一三角形，故③符合題意，根據(jù)已知兩邊及其中一邊的對角不能作出唯一三角形，故④不符合題意，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，熟記全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.3．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知點、、、在同一條直線上，，，，如果，，那么的長等于（）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【詳解】由平行線的性質(zhì)得到，，證得，得到，進而得到，即可得出，代入數(shù)據(jù)即可得到答案．解：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．證得是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）下列說法中不正確的是（）A．各有一個角為130°，且底邊相等的兩個等腰三角形全等B．各有一個角為50°，且底邊相等的兩個等腰三角形全等C．各有一個角為50°，且其所對的直角邊相等的兩個直角三角形全等D．各有一個角為50°，且有斜邊相等的兩個直角三角形全等【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法進行判斷即可．【詳解】A．各有一個角為130°，則兩個等腰三角形的底角必為25°，再加上底邊相等根據(jù)ASA可證得兩個等腰三角形一定全等；故本選項正確；B．各有一個角為50°，則這個角既可以是底角也可以是頂角，當一個等腰三角形以50°為頂角，另一個等腰三角形以50°為底角時，這兩個三角形的三個內(nèi)角分別為：65°、65°、50°和50°、50°、80°，顯然此時兩個三角形不全等；故本選項錯誤；C．各有一個角為50°，且其所對的直角邊相等的兩個直角三角形，符合兩三角形全等的判定定理“AAS”；故本選項正確；D．各有一個角為50°，且有斜邊相等的兩個直角三角形，符合“AAS”，可判斷兩個直角三角形全等；故本選項正確．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵.5．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）下列不能作為判定△ABC≌△DEF的條件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠EC．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可．【詳解】A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，可以利用SAS判定△ABC≌△DEF，故A不符合題意；B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，可以利用ASA判定△ABC≌△DEF，故B不符合題意；C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，不能利用SSA判定△ABC≌△DEF，故C符合題意；D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E，可以利用AAS判定△ABC≌△DEF，故D不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．6．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）若干個正六邊形拼成的圖形中，下列三角形與△ACD全等的有（）A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）結(jié)合圖形進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圖象可知△ACD和△ADE全等，理由是：∵根據(jù)圖形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC，在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SSS），故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．7．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，已知AB＝AC，∠DAB＝∠DAC，那么判定△ABD≌△ACD的依據(jù)是（）A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS【答案】D【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定方法，可以寫出相應(yīng)的全等三角形，并寫出判定依據(jù)．【詳解】解：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標有、、、的四塊），你認為將其中的哪一些塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶（

）A．第塊 B．第塊 C．第塊 D．第塊【答案】B【分析】本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對應(yīng)三角形全等判定的條件進行驗證．【詳解】解：、、塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)?，只有第塊有完整的兩角及夾邊，符合，滿足題目要求的條件，是符合題意的．故選：B．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，看這塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定．判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、．二、填空題9．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知，要使≌成立，還需填加一個條件，那么這個條件可以是__________．（只需寫出一個即可）【答案】【分析】添加條件，根據(jù)“邊邊邊”判定三角形全等即可解題．【詳解】解：理由：在和中，，．故答案為（答案不唯一）．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．10．（2021春·上海徐匯·七年級上海市民辦華育中學(xué)校考期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊），你認為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶第_____塊．【答案】2【分析】本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對應(yīng)三角形全等判定的條件進行驗證．【詳解】解：1、3、4塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)?，只有?塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，滿足題目要求的條件，是符合題意的．故答案為：2．【點睛】本題考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．11．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，∠B＝∠E，AD＝CF，使△ABC≌△DEF，請?zhí)硪粋€條件可以是___．【答案】∠A＝∠EDF或∠ACB＝∠F【分析】根據(jù)已知提供的一邊一角條件，再添加一個角相等即可．【詳解】解：∵AD＝CF，∴AC＝DF，∵∠B＝∠E，再添加∠A＝∠EDF或∠ACB＝∠F，即可證明△ABC≌△DEF，故答案為：∠A＝∠EDF或∠ACB＝∠F（答案不唯一）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是明確已知提供的條件，熟記全等三角形的判定定理．12．（2021春·上海青浦·七年級?？计谀┤鐖D，點D、E是線段AB、AC上的兩點，且AB＝AC．再添加一個條件可以使得△ACE≌△ACD，你添加的條件是______．（只需填一種情況）【答案】AB＝AD（答案不唯一）【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理即可求解．【詳解】解：添加AE＝AD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），故答案為AE＝AD（答案不唯一）【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC和△BAD中，因為AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_____＝_____，根據(jù)“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．【答案】

BC

AD【分析】因為夾∠ABC的兩邊分別為AB的BC，所以再加上BC＝AD，得△ABC≌△BAD（SAS）．【詳解】解：∵AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，∴再加上BC＝AD，∴△ABC≌△BAD（SAS）．故答案為：①BC；②AD．【點評】本題考查了全等三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握三角形全等的判定方法是關(guān)鍵，三角形全等的判定方法是：①SSS②SAS③ASA④AAS．14．（2022春·七年級單元測試）如圖，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，EF=6，BG=3，DH=4，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是______．【答案】50【分析】易證△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形DEFH的面積和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面積，即可解題．【詳解】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，∴∠BAG=∠AEF，∵在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG（AAS），同理△BCG≌△CDH，∴AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，∵梯形DEFH的面積=（EF+DH）?FH=80，S△AEF=S△ABG=AF?AE=9，S△BCG=S△CDH=CH?DH=6，∴圖中實線所圍成的圖形的面積S=802×92×6=50，故答案為：50．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，小明把一塊三角形的玻璃片打碎成三塊，現(xiàn)要到玻璃店去配一塊完全相同的玻璃片，那么最省事的辦法是帶_________去．【答案】③【分析】根據(jù)全等三角形的判定可即可求解．【詳解】解：第①塊和第②塊都沒有保留完整的邊，而全等三角形的判定定理中，至少存在一條邊，第③塊保留了一邊邊和兩個角，則利用ASA判定定理可得到一個全等三角形，進而可帶③去，故答案為：③．【點睛】本題考查了全等三角形的條件，解題的關(guān)鍵是需要注意的是只靠一個角或兩條邊不能等得到全等．16．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，還需要添加一個條件是_______．（寫出一個即可）【答案】BE=CE（答案不唯一）【分析】根據(jù)∠1=∠2可知∠AEB=∠AEC，判斷△ABD≌△ACD，已知的條件是：∠AEB=∠AEC，，AE=AE，根據(jù)全等三角形的判定定理即可確定．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，判斷△ABD≌△ACD，已知的條件是：∠AEB=∠AEC，AE=AE，因而根據(jù)SAS可以添加條件：BE=CE；根據(jù)AAS可以添加條件：∠B=∠C；根據(jù)ASA可以添加條件∶∠BAE=∠CAE．故答案為：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，正確理解判定方法是關(guān)鍵．三、解答題17．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，點C、E、B、F在同一直線上，，，，求證：≌．【答案】見解析.【分析】先由CE=BF，可得BC=EF，繼而利用SAS可證明結(jié)論．【詳解】解：，，即，又，，在和中，，≌．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS，ASA，HL，注意SSA、AAA不能判定三角形的全等．18．（2020秋·上海黃浦·七年級上海市民辦立達中學(xué)?？计谀┤鐖D，BD、CE分別是△ABC的高，在BD上取BN=AC，在射線CE上截取點M使得CM=BA，（1）補全下來說明△AMC和△NAB全等的過程及理由.解：∵BD、CE分別是△ABC的高（已知）∴∠AEC=∠ADB=90°（三角形高的意義）∵∠AEC+∠EAC+∠ACE=180°，∠ADB+∠DAB+∠ABD=180°（）∴（等式性質(zhì)）在△AMC和△NAB中AC=NB（已知）∠MCA=∠ABN（已證）CM=BA（已知）∴△AMC≌△NAB（）（2）猜想AM和AN有什么關(guān)系？（請直接回答，不需要寫出證明過程）【答案】（1）三角形內(nèi)角和定理；SAS（2）AM=AN【分析】（1）按照題目中給出的過程補充理由即可；（2）由△AMC≌△NAB可證明AM=AN【詳解】（1）三角形內(nèi)角和定理；SAS（2）∵△AMC≌△NAB∴AM=AN【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.19．（2022春·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，AC與BD相交于E，且AC＝BD(1)請?zhí)砑右粋€條件能說明BC＝AD，這個條件可以是：或；(2)請你選擇（1）中你所添加的一個條件，說明BC＝AD的理由．【答案】(1)∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB或∠BCA＝∠ADB或CE＝DE或BE＝AE(2)見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形判定條件添加一個滿足題意的條件即可；（2）選CE＝DE或者∠A＝∠B均可，利用SAS或AAS證明三角形全等，即可得出結(jié)論．(1)解：∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB或∠BCA＝∠ADB或CE＝DE或BE＝AE，(2)方法一：選∠A＝∠B在△FCA和△FDB中，，∴△FCA≌△FDB，∴FC＝FD，F(xiàn)A＝FB，∴FB﹣FC＝FA﹣FD，

即BC＝AD，方法二：選CE＝DE，∵AC＝BD，又∵CE＝DE，∴AC﹣CE＝BD﹣DE，即AE＝BE，在△BCE和△ADE中，，∴△BCE≌△ADE，∴BC＝AD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，是開放型題目，答案不唯一，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC與△CEB全等嗎？為什么？【答案】全等，證明見解析【分析】由∠ABC＝∠ACB，根據(jù)角平分線的定義得到，∠DBC＝∠ECB，再利用ASA判定△BDC≌△CEB．【詳解】解：△BDC與△CEB全等，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，在△BDC與△CEB中，，∴△BDC≌△CEB（ASA）．【點睛】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．21．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC與△CEB全等嗎？為什么？解：因為BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB（已知），所以∠DBC＝（

），∠ECB＝（

）．由∠ABC＝∠ACB（已知），所以∠DBC＝∠ECB（

）．在△BDC與△CEB中，，（

），（

）．所以△BDC≌△CEB（ASA）．【答案】∠ABC；∠ACB；等量代換；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共邊；∠ACB＝∠ABC；已知【分析】根據(jù)角平分線的定義可證得∠DBC＝∠ECB，再證明△BDC≌△CEB．【詳解】解：△BDC與△CEB全等，因為BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB（已知），所以∠DBC＝（∠ABC），∠ECB＝（∠ACB），由∠ABC＝∠ACB（已知），所以∠DBC＝∠ECB（等量代換），在△BDC與△CEB中，，所以△BDC≌△CEB（ASA），故答案為：∠ABC；∠ACB；等量代換；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共邊；∠ACB＝∠ABC；已知．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．22．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知AF與BE相交于點O，C、D分別是AF與BE上的兩點，EF∥AB，并且∠A+∠ACD＝180°．(1)請說明CD∥EF的理由；(2)分別連結(jié)CE、DF，若OE＝OF，請說明△ECD≌△FDC的理由．【答案】(1)理由見解析；(2)理由見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)就即可；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出CF＝DE，進而利用SAS證明全等即可．(1)∵∠A+∠ACD＝180°，∴，∵，∴．(2)∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵，∴∠OEF＝∠ODC，∠OFE＝∠OCD，∴∠ODC＝∠OCD，∴OC＝OD，∴OC+OF＝OD+OE，即CF＝DE，在△ECD和△FDC中，，∴△ECD≌△FDC（SAS）．【點睛】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法解答．23．（2022春·上?！て吣昙壣贤飧街行？计谀┤鐖D，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且滿足BE＝CD，∠1＝∠2，試說明△ABC是等腰三角形的理由．【答案】理由見解析【分析】易證∠ACD=∠ABE，即可證明△ABE≌△ACD，可得AB=AC，從而得結(jié)論．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠ACD+∠A=∠ABE+∠A，即∠ACD=∠ABE，在△ABE和△ACD中，

，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定，本題中利用三角形的外角性質(zhì)證明∠ACD=∠ABE是解題的關(guān)鍵．24．（2022春·上海寶山·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D．(1)求證：AE＝CD；(2)若AC＝12cm，求BD的長【答案】(1)見解析(2)BD=6cm．【分析】（1）利用角角邊證明△DBC≌△ECA即可；（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的長．【詳解】（1）證明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，在△DBC和△ECA中，∵，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE=CD；（2）解：∵△CDB≌△AEC，∴BD=CE，∵AE是BC邊上的中線，∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．∴BD=6cm．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．【能力提升】一、單選題1．（2022春·上海楊浦·七年級校考期末）如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④．其中能使≌的條件有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一判斷即可解答．【詳解】解：①，，，和不一定全等，故①不符合題意；②，，，≌，故②符合題意；③，，，，，≌，故③符合題意；④，，，≌，故④符合題意；所以，增加上列條件，其中能使≌的條件有個，故選：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，在中，，垂足為點D．下列條件中，不一定能推得與全等的條件是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用全等三角形的判定定理分析即可．【詳解】A．，可以推出≌，故不符合題意；B．，可以推出≌，故不符合題意；C．，不可以推出≌，故符合題意；D．，可以推出≌，故不符合題意；故選C．【點睛】本題考查全等三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．3．（2022春·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，已知MANC，MBND，且MB＝ND，則△MAB≌△NCD的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根據(jù)已知與判定方法，用排除法進行分析．【詳解】解：由，可得，∠A＝∠DCN，∠ABM＝∠D，又∵MB＝ND，∴此時的條件是兩角一邊，且角為一邊的對角，符合AAS判定．故選：C．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，根據(jù)題意選擇合適的方法是解答本題的關(guān)鍵.4．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，已知點D、E分別在AB、AC上，BE與CD相交于點F，AB＝AC，∠C＝∠B，有3個結(jié)論：（1）∠AEB＝∠ADC；（2）∠A+∠EFD＝180°；（3）CE＝BD，其中一定正確的（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】（1）通過證得△AEB≌△ADC，即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，只有在CD⊥AB，BE⊥AC時，∠A+∠EFD＝180°才成立；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得AD＝AE，進而即可證得結(jié)論．【詳解】解：（1）在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（ASA），∴∠AEB＝∠ADC，故（1）正確；（2）∵∠EFD＝∠CEF+∠C，∴∠A+∠EFD＝∠CEF+∠A+∠C＝∠CEF+∠BDF，∵∠AEB＝∠ADC，∴∠CEF＝∠BDF，若∠A+∠EFD＝180°，則∠CEF＝∠BDF＝90°，故只有在CD⊥AB，BE⊥AC時，∠A+∠EFD＝180°才成立，故（2）錯誤；（3）∵△AEB≌△ADC，∴AD＝AE，∵AB＝AC，∴CE＝BD，故（3）正確；綜上，3個結(jié)論中一定正確的是（1）（3）兩個，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．5．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，點B、D、C、F在同一條直線上，AB∥EF，AB＝EF．補充下列一個條件后，仍無法判定△ABC與△DEF全等的是（）A．∠A＝∠E B．BD＝CF C．AC∥DE D．AC＝DE【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可．【詳解】解：∵AB∥EF，∴∠B＝∠F，A、添加∠A＝∠E，利用ASA能判定△ABC與△DEF全等，不符合題意；B、添加BD＝CF，得出BC＝FD，利用SAS能判定△ABC與△DEF全等，不符合題意；C、添加AC∥DE，得出∠ACB＝∠EDF，利用AAS能判定△ABC與△DEF全等，不符合題意；D、添加AC＝DE，不能判定△ABC與△DEF全等，符合題意；故選：D．【點睛】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定方法解答．6．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）下列四組三角形中，一定是全等三角形的是（）A．三個內(nèi)角分別對應(yīng)相等的兩個三角形B．兩條邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形C．兩條邊和其中一個角對應(yīng)相等的兩個三角形D．兩條邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形【答案】B【分析】選項A、C、D畫出不符合的圖形即可；選項B，畫出圖形，延長BD到E，使BD＝DE，連接CE，延長B′D′到E′，使B′D′＝D′E′，連接C′E′，根據(jù)全等三角形的判定推出△ABD≌△CED，△A′B′D′≌△C′E′D′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABD＝∠E，CE＝AB，∠AB′D′′＝∠E′，C′E′＝A′B′，求出CE＝C′E′，根據(jù)全等三角形的判定推出△BCE≌△B′C′E′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠E＝∠E′，∠EBC＝∠E′B′C′，求出∠ABC＝∠A′B′C′，根據(jù)全等三角形的判定推出△ABC≌△A′B′C′即可．【詳解】解：選項A，如圖所示：在△ADE和△ABC中，∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，但是△ADE和△ABC不全等，故本選項不符合題意；選項B，如圖：AB＝A′B′，BC＝B′C′，BD是邊AC上的中線，B'D'是A'C'上的中線，延長BD到E，使BD＝DE，連接CE，延長B′D′到E′，使B′D′＝D′E′，連接C′E′，∵BD是△ABC的中線，B′D′是△A′B′C′的中線，∵AD＝CD，A′D′＝C′D′，BE＝B′E′，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴∠ABD＝∠E，CE＝AB，同理∠AB′D′′＝∠E′，C′E′＝A′B′，∵AB＝A′B′，∴CE＝C′E′，在△BCE和△B′C′E′中，，∴△BCE≌△B′C′E′（SSS），∴∠E＝∠E′，∠EBC＝∠E′B′C′，∵∠ABD＝∠E′，∠A′B′D′＝∠E′，∴∠ABD＝∠A′B′D′，即∠ABC＝∠A′B′C′，在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），故本選項符合題意；選項C，如圖所示：在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但是△ABC和△ABD不全等，故本選項不符合題意；選項D，如圖所示：在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝高A′D′，此時△ABC和△A′B′C′不全等，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，能熟記全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．7．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是（）A．0＜AD＜10 B．1＜AD＜5 C．2＜AD＜10 D．0＜AD＜5【答案】B【分析】延長AD至點E，使得DE＝AD，可證△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得AE的取值范圍，即可解題．【詳解】解：延長AD至點E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，∵，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD≌△CDE是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知AC平分∠PAQ，點B、D分別在邊AP、AQ上．如果添加一個條件后可推出AB＝AD，那么該條件不可以是（）A．BD⊥AC B．BC＝DC C．∠ACB＝∠ACD D．∠ABC＝∠ADC【答案】B【分析】首先分析選項添加的條件，再根據(jù)全等三角形的判定方法判斷．【詳解】解：添加A選項中條件可用ASA判定兩個三角形全等，故選項錯誤，不符合題意；添加B選項中條件無法判定兩個三角形全等，故選項正確，符合題意；添加C選項中條件可用ASA判定兩個三角形全等，故選項錯誤，不符合題意；添加D選項中條件可用AAS證明三角形全等，故選項錯誤，不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了三角形全等的判定方法，解題的關(guān)鍵是知道判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．二、填空題9．（2021春·上海徐匯·七年級上海市民辦華育中學(xué)校考期末）如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則__．【答案】##度【分析】如圖，利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，然后求出，再判斷出，然后計算即可得解．【詳解】解：標注字母，如圖所示，在和中，，∴（），∴，∵，∴，又∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準確識圖并判斷出全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，∠A＝∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，還需添加一個條件，這個條件可以是____________________．【答案】AC=A1C1（或∠B=∠B1，∠C=∠C1，答案不唯一）.【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理添加即可.【詳解】添加AC=A1C1后可根據(jù)SAS判定ABC≌△A1B1C1，添加∠B=∠B1后可根據(jù)ASA判定ABC≌△A1B1C1，添加∠C=∠C1后可根據(jù)AAS判定ABC≌△A1B1C1，故答案為：AC=A1C1（或∠B=∠B1，∠C=∠C1，答案不唯一）.【點睛】此題考查全等三角形的判定定理，熟記判定定理并運用解題是關(guān)鍵.11．（2019春·上海松江·七年級校考期中）如圖，在與中，有以下四個等式①；②；③；④，請以其中三個等式作條件，余下一個作結(jié)論，寫出所有的正確判斷___________________________（用形式表示）【答案】①②④③，①④③②．【分析】根據(jù)已知條件，根據(jù)三角形全等的判定方法，結(jié)合條件在圖形上的位置進行選擇能夠判定三角形全等的條件，另一個作為結(jié)論，可得答案．【詳解】解：(1)①②④?③．證明如下：∵DE=DC，DA=DB，AC=BE∴△DCA≌△DEB（SSS）∴∠C=∠E（全等三角形的對應(yīng)角相等）(2)①④③?②證明如下：∵，，∴△DCA≌△DEB（SAS）∴DA=DB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）故答案為：①②④?③，①④③?②．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；這是一道考查三角形全等的識別方法的開放性題目，答案可有多種，結(jié)合圖形與判定方法進行選擇是解答本題的關(guān)鍵．12．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，ABC的周長為26，點D、E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC＝10，則DE的長是____．【答案】6【分析】證明△BQA≌△BQE，得到BA=BE，同理證明△CAP≌△CDP，得到AC=CD，根據(jù)三角形的周長公式出去BE+CD，求出DE，【詳解】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，在△BQA和△BQE中，，∴△BQA≌△BQE，∴BA=BE，同理可證△CAP≌△CDP，得到AC=CD，∵BE+CD=AB+AC=26BC=2610=16，∴DE=BE+CDBC=6，故答案為：6【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2021春·上海徐匯·七年級上海市徐匯中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，已知點D、E分別在AB、AC上，BE與CD相交于點O，依據(jù)下列各個選項中所列舉的條件，能說明的是______．（填寫序號）①，；②，；③，；④，．【答案】①②③【分析】只要能確定AB、AC所在的兩個三角形全等即可得出AB=AC，結(jié)合全等三角形的判定方法逐項判斷即可．【詳解】①當，時，結(jié)合，在△ABE和△ACD中，利用“AAS”可證明，則有，故①能得到；②當，，結(jié)合，在△BOD和△COE中，利用“AAS”可證明，∴，∴，∴，∴，故②能得到；③當，時，結(jié)合，可證明，可得，可得，故③能得到；④，時，根據(jù)已知條件無法求得，故④不能得到，所以能得到的有①②③．故答案為：①②③．【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．14．（2021春·上?！て吣昙壭？计谀┤鐖D，已知△ADC的面積為5，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點D，那么△ABC的面積為_________.【答案】10【分析】首先延長BD，交AC于點E，再根據(jù)“ASA”證明△ABD≌△AED，由S△ADE+S△CDE=S△ABD+S△BCD，可知S△ABC=2S△ACD，可得答案．【詳解】延長BD，交AC于點E，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD．∵∠ADB=∠ADE，AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴BD=DE，∴S△BCD=S△CDE，∴S△ADE+S△CDE=S△ABD+S△BCD=5，∴S△ABC=2S△ACD=10．故答案為：10【點睛】這是一道關(guān)于應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)解決三角形的面積問題，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2021春·上海青浦·七年級?？计谀┤鐖D，點B、C、E三點在同一直線上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，則∠3＝______°．【答案】47【分析】根據(jù)“邊邊邊”證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可．【詳解】解：在△ABC和△ADE中，，∴（SSS），∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2，∵，∴，∴．故答案為：47．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．16．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD交于點O，且AO平分∠BAC，那么圖中全等三角形共有_____對．【答案】4【分析】根據(jù)已知條件可以找出題目中有哪些相等的角以及線段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一進行驗證．【詳解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，且AO平分∠BAC，∴∠ODA=∠OEA=90o，∠OAD=∠OAE，在ODA和OEA中，，∴ODAOEA，∴∠B＝∠C，AD＝AE，在ADC和AEB中，∴ADCAEB，∴AB＝AC，在OAC和OAB中，，∴OACOAB，∴BO=CO，在和OBD中，，∴OCEOBD．故答案為：4．【點睛】此題考查了三角形全等的判定方法；提出猜想，驗證猜想是解決幾何問題的基本方法，解題的關(guān)鍵是做題時要注意從已知條件開始思考結(jié)合全等的判定方法逐一判斷，做到不重不漏，由易到難．17．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分別為E，D，AD＝25，DE＝17，則BE＝_____．【答案】8【分析】可先證明△BCE≌△CAD，可求得CE＝AD，結(jié)合條件可求得CD，則可求得BE．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，又∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，在△CBE和△ACD中，，∴△CBE≌△ACD（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD＝25，∵DE＝17，∴CD＝CE﹣DE＝AD﹣DE＝25﹣17＝8，∴BE＝CD＝8；故答案為：8．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)；證明三角形全等得出對應(yīng)邊相等是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題18．（2021春·上海徐匯·七年級上海市民辦華育中學(xué)校考期末）如圖，已知AE∥DF，求證：．【答案】見解析【分析】先證明得到再證明從而可得結(jié)論．【詳解】證明：【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是關(guān)鍵的橋梁．19．（2021春·上海崇明·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，，點D與點E都在射線AP上，且，．(1)說明的理由；(2)說明的理由．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明，即可解決問題；（2）設(shè)和交于點，根據(jù)，可得，然后根據(jù)三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和即可解決問題．(1)解：，，，在和中，，，；(2)解：如圖，設(shè)和交于點，，，，，∴∠BEF=90°，．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能證明出．20．（2022春·上海·七年級校聯(lián)考期末）在中，，，是延長線上的一點，于，與交于，求證：及【答案】見解析【分析】根據(jù)題意得列出≌的條件得到，再過點作于，據(jù)圖形的判斷可直接證明．【詳解】證明：，．，，．在和中，，≌，，過點作于，在中，，，由圖形可知：，，．【點睛】本題考查了全等三角形得判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到判斷全等三角形的條件即可．21．（2022秋·上海寶山·七年級校聯(lián)考期末）如圖，已知中，，，，此時，的長記為，現(xiàn)將繞點旋轉(zhuǎn)，使點落到邊上點處，得到．(1)聯(lián)結(jié)，求四邊形的面積；（用含的代數(shù)式表示）(2)將沿著翻折得，與交于點，請按要求畫圖；(3)四邊形的面積與的面積比值為_____________【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可得，，，，，易證，繼而可得，繼而即可求解；（2）按照要求畫出圖形即可；（3）連接，易得、、、的面積都相等，繼而即可求解．【詳解】（1）聯(lián)結(jié)，由旋轉(zhuǎn)可得：，，，則，，在和中，∴（SAS），∴，∴四邊形的面積，（2）按照要求畫出圖形，如圖所示：（3）連接，∵將沿著翻折得到，∴，∴，又∵，，∴（HL），∴，在和中，∴（ASA），由（1）知，（SAS），∴，∵將繞點旋轉(zhuǎn)，使點落到邊上點處，得到，∴，∴，在和中，∴（SAS），∴，∴、、、的面積都相等，∴四邊形與的面積的比值故答案為：．【點睛】本題考查幾何變換綜合題，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，折疊的旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，屬于中考常見題型22．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，連接AC、BD交于點M．(1)如圖1，若∠AOB＝∠COD＝40°：①AC與BD的數(shù)量關(guān)系為；②∠AMB的度數(shù)為．(2)如圖2，若∠AOB＝∠COD＝90°：①判斷AC與BD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②求∠AMB的度數(shù)．【答案】(1)①AC＝BD，②40°；(2)①AC＝BD，理由見解析；②90°【分析】（1）①由∠AOB＝∠COD可得∠BOD＝∠AOC，再由△ODB≌△OCA即可得AC＝BD；②由△ODB≌△OCA可得∠OBD＝∠OAC，于是∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC，再由三角形內(nèi)角和定理即可解答；（2）①由∠AOB＝∠COD可得∠BOD＝∠AOC，再由△ODB≌△OCA即可得BD＝AC；②由△ODB≌△OCA可得∠OBD＝∠OAC，于是∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC，再由三角形內(nèi)角和定理即可解答.【詳解】（1）解：①∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，在△ODB和△OCA中：OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△ODB≌△OCA（SAS），∴AC＝BD，故答案是：AC＝BD，②∵△ODB≌△OCA，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝140°，又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD，∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，∴∠MAB+∠ABM＝140°，∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+∠ABM＝180°，∴∠AMB＝40°，故答案是：40°；（2）解：①∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，在△ODB和△OCA中：OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△ODB≌△OCA（SAS），∴AC＝BD；②∵△ODB≌△OCA，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD，∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝90°，∴∠MAB+∠ABM＝90°，∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+∠ABM＝180°，∴∠AMB＝90°．【點睛】本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）（1）完成下列推理，并填寫理由已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，求證：CF//DO證明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）∴∠DEA＝∠BOA＝90°（）∵DE//BO（）∴∠EDO＝（）又∵∠CFB＝∠EDO（）∴∠DOF＝∠CFB（）∴CF//DO（）（2）如圖，已知：AD//BC，AD＝CB，AE＝CF，請問∠B＝∠D嗎？為什么？【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DEA＝∠BOA，根據(jù)平行線的判定得到DE∥BO，利用平行線的性質(zhì)得到∠EDO＝∠DOB，等量代換得到∠DOF＝∠CFB，根據(jù)平行線的判定得到結(jié)論；（2）首先由平行線的性質(zhì)得∠A＝∠C，由AE＝CF可得AF＝CE，利用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）∴∠DEA＝∠BOA＝90°（垂直的定義）∵DE∥BO（同位角相等，兩直線平行）∴∠EDO＝∠DOF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵∠CFB＝∠EDO（已知）∴∠DOF＝∠CFB（等量代換）∴CF∥DO（同位角相等，兩直線平行）；故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；∠DOF；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；已知；等量代換；同位角相等，兩直線平行（2）解：∠B＝∠D，理由如下：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，在△ADF與△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定以及全等三角形的性質(zhì)和判定定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．24．（2022春·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．(1)當點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想；(2)將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)，證明見解析(2)，證明見解析【分析】（1）延長BD與EC交于點F，可以證明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，進而結(jié)論得證；（2）延長BD交CE于F，證明△ABD≌△ACE，則BD=CE、∠ABF=∠ECA；根據(jù)∠ABF=∠HCF以及三角形內(nèi)角和定理可證得∠BHC=90°．【詳解】（1）證明：延長BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD，∴．（2）證明：延長BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，證得△ACE≌△ADB和△ABD≌△ACE是解決問題的關(guān)鍵．25．（2018·上?！て吣昙夒A段練習(xí)）如圖1，已知中，，，是過的一條直線，且在的異側(cè)，垂直于，垂直于．(1)試說明：；(2)若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時（），其余條件不變，問與的關(guān)系如何？為什么？(3)若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖：位置時（），其余條件不變，問與、的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需說明．【答案】(1)見詳解；(2)，理由見詳解；(3)，理由見詳解．【分析】（1）根據(jù)，垂直，垂直得到，，結(jié)合，即可得到答案；（2），根據(jù)，垂直，垂直得到，，結(jié)合，即可得到答案；（3），根據(jù)，垂直，垂直得到，，結(jié)合，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，垂直，垂直，∴，，∴，，在與中，∵，∴，∴，，∴；（2）解：，理由如下，∵，垂直，垂直，∴，，在與中，∵，∴，∴，，∴；（3）解：，理由如下，，理由如下，∵，垂直，垂直，∴，，在與中，∵，∴，∴，，∴．【點睛】本題考查三角形全等性質(zhì)與判定，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角、垂直找到等角．26．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）閱讀并填空：如圖，是等腰三角形，，是邊延長線上的一點，在邊上且聯(lián)接交于，如果，那么，為什么？解：