安徽省亳州市2025屆高三年級上冊開學摸底大聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

安徽省亳州市2025屆高三上學期開學摸底大聯(lián)考數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.在復平面內(nèi)，復數(shù)(l+i)4(lT)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2

2.已知集合A={xGW*|X-5X-14<0},B={x\log2(x-2^<2}廁圖中陰影部分表示的集合為()

A,{3,4,5}B.{1,2}C.{3,4,5,6}D.{1,2,6}

3.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：1,2,6,8,9,小，這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則M為()

A.9B.10C.11D.12

4.已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個底面的圓周都在同一個體積為與在兀的球面上，該圓柱的側(cè)面積為

()

A.87rB.67rC.57rD.47r

5.已知aC(0,9sin3a=5sinacos2a,則tana值為()

A.A/3B.乎C.孝D.1

6.已知雙曲線C:：—y2=i(a>0),點M在C上，過點M作C兩條漸近線的垂線，垂足分別為4B,若|M2|?

\MB\則雙曲線C的離心率為()

A*B.竽C.竽D.V3

7.已知函數(shù)/O)的定義域為R,y=/(x)+e”是偶函數(shù)，y=f0)-3礦是奇函數(shù)，則/'(ln3)的值為()

71011

A.-B.3C.-D.—

8.數(shù)列{即}的前71項和為S"滿足a?+i-an=dn6{1,3},即=2,則Si0可能的不同取值的個數(shù)為()

A.45B.46C.90D.91

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知隨機變量X滿足：X?B(4,p),0<p<1,E(X)=/)(X),貝lj()

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241132

A.p=5B.E(X)冶C.E(2X+1)=苓D.D(2X+1)=5

10,設(shè)函數(shù)fO)=(x-a)2(x-4),定義域為R,若關(guān)于x的不等式/(x)>。的解集為{x|*>4或x=1},下列

說法正確的是()

Aj(x)的極大值為0

B.點(2,—2)是曲線y=/(x)的對稱中心

C.直線y=9x-4與函數(shù)/O)的圖象相切

D,若函數(shù)f(久)在區(qū)間(血,4)上存在最小值，則小的取值范圍為(0,3)

11.已知曲線0(/+丫2-2)2=4+8盯，點P(x(),yo)為曲線C上任意一點，則()

A.曲線C的圖象由兩個圓構(gòu)成

B.B+就的最大值為2避

C磊|的取值范圍為卜力］

D.直線y=x+2與曲線C有且僅有3個交點

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量之=(2,3),另=且(2+2石)〃之，則向量刃在向量匯上的投影向量坐標是.

13.已知函數(shù)fO)=2sin3x與。(久)=2cos3x(3>0)的圖象上任意3個相鄰的交點構(gòu)成直角三角形，則

14.用n個不同的元素組成6個非空集合(1WTHWTI,每個元素只能使用一次)，不同的組成方案數(shù)記作5普,

且當時，11.現(xiàn)有7名同學參加趣味答題活動，參加一次答題，即可隨機獲得

4BCD四種不同卡片中一張，獲得每種卡片的概率相同，若每人僅可參加一次，這7名同學獲得卡片后，

可集齊全4種卡片的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

在aABC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,寢=2sin(C—冷.

(1)求B;

⑵若△2BC的面積為避/C邊上的高為1,求△4BC的周長.

16.(本小題12分)

已知橢圓喏+3=l(a>b>0)的左、右焦點為％尸2，離心率為竽，點P為橢圓C上任意一點，且aP

?小2的周長為6+4避.

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(1)求橢圓C的方程；

(2)直線=x+避與直線gy=久—平分別交橢圓C于4B和C,D兩點，求四邊形力BCD的面積.

17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，AB//CD,^ABC=90°,平面P/W_L平面ABC。，AB=2CD=2BC=4.

(1)證明：PA1BD-

(2)若P4=PD=2,點M為棱2B的中點，求二面角4-PD-M的余弦值.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x-ln(x—a),a＞0.

(1)若Y=2為函數(shù)/(x)的極值點，求a的值；

(2)若不等式刀一/(久)+V9a-4久＜Ina+a-ln2恒成立，求a的取值范圍.

19.(本小題12分)

已知數(shù)列｛%｝,對于任意的neN*,都有w+an+2＞2即+1，則稱數(shù)列｛an｝為“凹數(shù)列”.

(1)判斷數(shù)列冊=21是否為“凹數(shù)列”，請說明理由；

(2)已知等差數(shù)列｛d｝,首項為4,公差為d,且｛勺｝為“凹數(shù)列”，求d的取值范圍；

(3)證明：數(shù)列&｝為“凹數(shù)列”的充要條件是“對于任意的GN*,當k＜爪＜九時，有果于＜

n—m'

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參考答案

1.5

2.D

3.5

4.2

5.C

6.B

7.0

8.B

9.BCD

10.ABC

11.XC

12.(1，|)

13.晅

4

14匹

1024

15.解：⑴由堊=2sin(C-)得cos/=2cosB(岸sinC-JcosC)①，

由A+B+C=n,得cos/=—cos(B+C)=—cosBcosC+sinBsinf②,

由①②聯(lián)立，得sinBsinC=避cosBsinC,

由Ce(0,7r),得sinC。0,所以tanB=4，

TT

又由3e(0,71),得B=3；

(2)因為△ABC的面積為避，

所以9x1=避，得b=24，

由*zcsin8=居即加x^=居所以ac=4,

2222

由余弦定理，得按=a+c-2accosB9即12=a+c—ac,

所以(a+c)2=Sac+12=24,可得a+c=2#，

所以△ZBC的周長為a+Z?+c=2+2A/3.

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2a+2c=6+4A/2

222

16.解：⑴由題意知a—b+c

C_2V2'

,a3

解得a=3/=l,c=2避,

則橢圓c的方程為卷+y2=i；

(2)易知四邊形4BCD為平行四邊形,

設(shè)做久1，月)出(久222)，

?=X+避cL

聯(lián)立直線k與橢圓C：W+v2=i，消去y并整理得5/+9依比+9=0,

Q)

由韋達定理得%1+%2=-斗%1%2=稱，

5n

22

\AB\=yjl+k-^/(%1+%2)-4%1%2=-^5,

因為4B與CD平行，所以這兩條直線的距離d一封肉=逆,

則平行四邊形力BCD的面積S=\AB\-d=看*的=守.

17.解：（1）

證明：因為4B〃CD/ABC=90°,所以/BCD=90。，

所以B。=杷2+CD?=2&■/CBD=45。，所以NAB。=45。，

=BD2+AB2-2BD-AB-cos45°

=8+16-2x2亞X4*￥=8,

所以AB2=B￡）2+4。2,所以NADB=90°,即4D1BD,

又因為面PAD1面ABCD,面PADn面4BCD=AD,BDu面ABCD,

所以B。1面PHD,

又因為PAu面PAD,所以BD1PA;

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(2)

解：取力D的中點。，連接P。,“。，

由(1)知4。=2^/2,因為24=PD=2,易知P。1AD.PO=也，

因為“為的中點，。為力。的中點，所以0M=3BD=",OM〃BD,

所以。M1平面PAD,所以。P,OM,OD兩兩垂直，

以。為坐標原點，。時,0。,?！杆谥本€分別為居％2軸，建立空間直角坐標系,

則4(0,-aO),P(O,O,#),D(O,#,O),M(#,O,O),

則方=(0,72-72),?=(72,0,-72),

平面APD的法向量為訪=(1,0,0),

設(shè)平面PDM的法向量為五=(x,y,z),

同伍,匣=(久,%z)?(0,72,-72)="y一招z=0

-PM=(久,y,z).(00,-5)=遂x-?z=0，

令z=1,則x=y=l,故元=(1,1,1),

故3而〉=瑞編=專=手

設(shè)二面角a-PD-M的大小為仇由圖形可知，e為銳角，

故二面角力-PD-M的余弦值為圣

18.解：(1)由題/。)=1—三，故((2)=1—2=0,解得a=L

■XLv乙Cc

1Y—2

此時/(x)=xTn(x-l),故定義域為(1,+8),/(x)=

所以當xe(1,2)時尸(x)<0,x6(2,+8)時,/(%)>0,

所以x=2為函數(shù)f(x)的極值點，故a=l.

(2)

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設(shè)/t(%)=ln(x-a)+19a-4x,定義域為(內(nèi)號

h，(x__J__2_/9a-4為一2(%-a)

(劃-元―Q19a-4x-(%-a)J9a-4%'

設(shè)g(%)=^/9a-4x-2(x-a)(a<x<華)，

所以“(%)=，9。：4比一2<0,所以g(x)在(a,第上單調(diào)遞減，

又g(a)=J而>0應售)=一：<。，0(%)在(。制上連續(xù)，

所以存在%oE(。片)使9(%o)="9。一4%0-2(%()-口)=0,

當%E(a,%o)時，g(%)>0,即“(%)>0,函數(shù)九(%)單調(diào)遞增,

當xE,堂］時，g(x)<0,即廳(%)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/1(%)的最大值為

h(%)max-hQo)=ln(%()-a)+J9a-4/。=ln(%()-a)+2(%()-。)，

因為%-/(%)+49a-4%<Ina+a-ln2恒成立，

即ln(%()—a)+2(%0—a)<In］+2x苴恒成立，

設(shè)m(%)=In%+2x(x>0),則租'(%)=+2>0,所以m(%)單調(diào)遞增,

所以xo—a4,即右三尊恒成立，

因為gO)在(兄竽)上單調(diào)遞減，且gOo)=o,

所以只需g圖wo恒成立，即M-awo,

解得a>3.

故a的取值范圍是［3,+co).

19.解：（1）

n?1n+1nn

因為an=2,則即+2-￡1?1+1=2+2-2皿+1=2皿+1,an+1-an=2-2=2,

nnn

又2+1>2,故。?+2-即+1>an+i-a”HPan+an+2>2an+1,數(shù)列｛2｝是“凹數(shù)列

(2)

因為等差數(shù)列使?｝的公差為匕/=4,

所以6n=+(71—l)d=4+(n—l)d,

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所以鋁+磊>2>號對任意n22,nCN*恒成立，

4+(n—2)d+4+nd74+(n-l)d

即，dZ>zx

n—1n+1n

所以d+生4+d+2=>2缶+—),

n—1n+1n/

12.

即(4-d)(/y+：

n+1rv)>0,

122n22

因