專題04二次函數(shù)的圖象與性質-2023年中考數(shù)學一模試題分項匯編

專題04二次函數(shù)的圖象與性質一、單選題1．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預測）將拋物線向上平移3個單位后所得的拋物線解析式是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)關系式變換的平移法則“左加右減，上加下減”可以得出結論．【詳解】解：向上平移3個單位，．故選：A．【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的平移問題，理解并會應用平移法則是本題解題的關鍵．2．（2023·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)，關于該函數(shù)在的取值范圍內有最大值，a可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質可得二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，最小值為，從而得到點關于對稱軸的對稱點為，即可求解．【詳解】解：∵，∴二次函數(shù)的圖象開口向上，，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，最小值為，當時，，∴點在二次函數(shù)圖象上，且點關于對稱軸的對稱點為，∵該函數(shù)在的取值范圍內有最大值，∴，∴a可能為．故選：D【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．3．（2023·浙江溫州·模擬預測）已知在二次函數(shù)的圖象上有三點，，，，，且，，則的值為（

）A．正數(shù) B．負數(shù) C．0 D．非負數(shù)【答案】B【分析】用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，分別求得，，進而可得出答案．【詳解】點在二次函數(shù)的圖象上，，解得，二次函數(shù)，且與軸的交點坐標為，，，，，，，即為負數(shù)，故選：B．【點睛】本題考查求二次函數(shù)解析式和求定值，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式是解題關鍵．4．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）若點，，均在拋物線上，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別把點，，代入拋物線解析式進行求解，然后問題可求解．【詳解】解：把代入拋物線得：；把代入拋物線得：；把代入拋物線得：；∴；故選C．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)的圖象經過點，，在范圍內有最大值為，最小值為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把，代入，求出函數(shù)解析式，然后結合在范圍內有最大值為，最小值為，求出a的臨界值即可．【詳解】解：把，代入，得，解得，∴，∴拋物線開口向下，當時，y取得最大值4，∵在范圍內有最大值為，∴．解，得，∴當時，拋物線在范圍內有最大值為，最小值為．故選B．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質，掌握二次函數(shù)的性質是解答本題的關鍵．6．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）已知，，三個函數(shù)圖象都經過，兩點，當時，對應的函數(shù)值，，，下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別計算得出三個函數(shù)的解析式，再求得時，對應的函數(shù)值，比較即可得解．【詳解】解：將，兩點代入，求得，，∴；將，兩點代入，求得，，∴，將，代入，求得，∴，當時，，，，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求函數(shù)的值，準確計算是解題的關鍵．7．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）已知點，，是二次函數(shù)上的點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質得到拋物線的對稱軸，然后比較三個點離對稱軸的遠近得到a、b、c的大小關系．【詳解】解：二次函數(shù)的對稱軸為直線，∵點，，是二次函數(shù)上，∴點C離最遠，點B離最近，且拋物線開口向下，∴．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質，掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．8．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）已知，，是拋物線上的三點，則下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出該拋物線的對稱軸為直線，再由二次函數(shù)的增減性，即可求解．【詳解】解：，∴該拋物線的對稱軸為直線，∵，∴拋物線開口向上，∵，∴．故選：A【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．9．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預測）關于拋物線的判斷，下列說法正確的是（

）．A．拋物線的開口方向向上B．拋物線的對稱軸是直線C．在拋物線對稱軸左側，隨增大而減小D．拋物線頂點到軸的距離是2【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質可進行求解．【詳解】解：由拋物線可知：，開口向下，對稱軸為直線，∴當時，y隨x的增大而增大，當時，，所以頂點坐標為，故拋物線頂點到x軸的距離是2；綜上所述只有D選項正確；故選D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．10．（2023·浙江溫州·?？家荒＃┮阎c，，，在二次函數(shù)的圖象上，當，滿足時，均有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線解析式求出拋物線對稱軸，并根據(jù)當，滿足時，均有，得出拋物線對稱軸在直線的左側或與直線重合，且當時，然后解不等式組即可．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，時，均有，二次函數(shù)的對稱軸在直線的左側或與直線重合，且當時，即，且，由得，由得，．故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，關鍵是找出，和對稱軸的位置．11．（2023·浙江·模擬預測）已知點兩點均在二次函數(shù)的圖像上，則b的值為（）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】由A、B坐標可知A、B關于對稱軸對稱，結合二次函數(shù)對稱軸公式進行求解即可．【詳解】解：∵點兩點均在二次函數(shù)的圖像上，∴拋物線的對稱軸為直線，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的對稱性，正確判斷出A、B關于對稱軸對稱是解題的關鍵．12．（2023·浙江寧波·校考一模）已知二次函數(shù)的圖象經過點，，，，若，則下列表達式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性，可得二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，然后分兩種情況：當時，當時，結合二次函數(shù)的性質，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經過點，，∴二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，當時，∵，∴，即，此時；當時，∵，∴，即，此時；綜上所述，若，則．故選：C【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)題意得到二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線是解題的關鍵．13．（2023·浙江寧波·校考一模）二次函數(shù)中當時y隨x的增大而增大，則一次項系數(shù)b滿足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，結合當時y隨x的增大而增大，列出關于b的不等式，解不等式即可．【詳解】解：∵當時y隨x的增大而增大，∴，解得：，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質，列出關于b的不等式．14．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）點A（m1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)y1＜y2列出關于m的不等式即可解得答案．【詳解】解：∵點A（m1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x1）2+n的圖象上，∴y1=（m11）2+n=（m2）2+n，y2=（m1）2+n，∵y1＜y2，∴（m2）2+n＜（m1）2+n，∴（m2）2（m1）2＜0，即2m+3＜0，∴m＞，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據(jù)已知列出關于m的不等式．15．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，已知，設函數(shù)的圖像與x軸有M個交點，函數(shù)的圖像與x軸有N個交點，則（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖像與x軸有M個交點解得，再對a，b分情況討論，求得答案．【詳解】對于函數(shù)，當時，函數(shù)與x軸兩交點為（－a，0）、（－b，0），∵，所以有2個交點，故對于函數(shù)①，交點為，此時②，交點為，此時③，交點為，此時綜上所述，或故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)與坐標軸的交點，解題的關鍵是分情況討論a，b．16．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)，當時，y的最大值為，則a的值為（

）A．或6 B．0或6 C．或2 D．2或6【答案】A【分析】根據(jù)題意易得二次函數(shù)的對稱軸為直線，分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可進行求解．【詳解】解:由二次函數(shù)可知對稱軸為直線，開口向下∴當時，y有最大值1；∵當時，y的最大值為∴當時，二次函數(shù)在上y隨x的增大而減小，即當時，有最大值；則有，解得或（不符合題意，舍去)；當時，二次函數(shù)在上y隨x的增大而增大,即當時，有最大值；則有，解得:或（不符合題意，舍去)；綜上所述:a的值為或6；故選：A【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像與性質，熟練掌握二次函數(shù)圖像性質是解題的關鍵．17．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）已知拋物線經過點，將點A先向右平移3個單位，再向下平移b個單位恰好落在拋物線的最低點處，則b的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】D【分析】求出拋物線的對稱軸，根據(jù)點A先向右平移3個單位，再向下平移b個單位恰好落在拋物線的最低點處，求出的值，進而求出頂點坐標和點坐標，即可得解．【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線：，∵將點A先向右平移3個單位，再向下平移b個單位恰好落在拋物線的最低點處，∴，∴，∴頂點坐標為：，當時，，∴，∴；故選D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質．熟練掌握點的平移規(guī)則，左減右加，上加下減，是解題的關鍵．18．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)的圖象如圖，有下列5個結論：①；②；③；④；⑤（的實數(shù)）其中正確結論有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)圖象的開口方向，對稱軸，與軸的交點位置判斷①；根據(jù)圖象判斷時，函數(shù)值的符號，判斷②；根據(jù)對稱性，判斷時，函數(shù)值的符號，判斷③；結合對稱軸和特殊點判斷④；根據(jù)二次函數(shù)圖像的頂點判斷⑤，進而得出結論．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，與軸交于正半軸，∴，，，∴，∴；故①錯誤；由圖象可知：當時，對應的函數(shù)值小于0，即：，∴；故②正確；∵拋物線的對稱軸為直線，∴和的函數(shù)值相同，即：，∵，∴；故③正確；∵，，∴，∴，即：；故④錯誤；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當時，函數(shù)取得最大值為，∴，∴；故⑤正確；綜上：正確的有個；故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)解析式的系數(shù)之間的關系．熟練掌握二次函數(shù)的性質，利用數(shù)形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．19．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考一模）已知二次函數(shù)，與的部分對應值為：x…21012…y…1232？…關于此函數(shù)的圖象和性質，下列說法正確的是（

）A．當時，函數(shù)圖象從左到右上升 B．拋物線開口向上C．方程的一個根在與之間 D．當時，【答案】C【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)知道函數(shù)圖象關于對稱，頂點為，所以圖象的開口向下，則可以判斷選項A、B、D錯誤；根據(jù)圖像與軸的交點，即可判斷C選項正確．【詳解】和時的函數(shù)值相同，都是2，拋物線的對稱軸為，拋物線的頂點為，是函數(shù)最大值，拋物線的開口向下，故B選項錯誤；當時，隨的增大而減小，即函數(shù)圖象從左到右下降，故A選項錯誤；時，，時，，方程的一個根在與之間，故C選項正確；函數(shù)圖象關于對稱，

與的值相等，時，，故D選項錯誤．故答案選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．20．（2023·浙江·模擬預測）如圖，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，且經過點，則下列說法①；②；③若是拋物線上的兩點，則；④正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】根據(jù)拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，，再由對稱軸為直線得到，即可判斷①；根據(jù)當時，，即可判斷②；根據(jù)拋物線開口向下，離對稱軸越遠函數(shù)值越小，即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質可知當時，函數(shù)有最大值，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，故①正確；由函數(shù)圖象可知，當時，，∴，故②正確；∵拋物線開口向下，∴離對稱軸越遠函數(shù)值越小，∵，∴，故③錯誤；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當時，函數(shù)有最大值，∴，∴，故④正確；故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號等等，解題的關鍵是靈活應用圖中信息解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題21．（2023·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)的圖象與x軸恰有一個交點，且過點和點，則______．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸恰有一個交點，可得，再由二次函數(shù)的軸對稱性可得，從而得到，，再把代入解析式可得，然后代入結合完全平方公式計算，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸恰有一個交點，∴，即，∵二次函數(shù)的圖象過點和點，∴，解得：，∴，∴二次函數(shù)的解析式為，當時，，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，解題的關鍵是得到，，靈活利用完全平方公式計算是解題的關鍵．22．（2023·浙江·模擬預測）已知二次函數(shù)的圖象經過點，則__________．（選擇“”、“”、“”填空）【答案】【分析】通過作差法判斷與得大小即可．【詳解】整理得故答案為“”．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標的特點、整式的混合運算等知識點，熟練掌握作差法是解答本題的關鍵．23．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)．當時，y的取值范圍是，該二次函數(shù)的對稱軸為，則m的值是____．【答案】或【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質可得當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，然后分三種情況討論：若，該函數(shù)圖象過點，；若，該函數(shù)圖象過點，；若，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：二次函數(shù)的對稱軸為直線，∵該二次函數(shù)的對稱軸為，∴，∵，∴當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，∵當時，y的取值范圍是，若，該函數(shù)圖象過點，，∴，解得：，此時（舍去）；若，該函數(shù)圖象過點，，∴，解得：，此時（舍去）；若，當時，此時，當時，，且該函數(shù)圖象過點，∴，解得：或，此時（舍去）或；當時，此時，當時，，該函數(shù)圖象過點，∴，解得：或，此時（舍去）或；綜上所述，m的值是為或．故答案為：或【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．24．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預測）請你寫出一個頂點在x軸上的二次函數(shù)表達式________.【答案】y=x2（答案不唯一）【詳解】解：答案不唯一，如：．故答案為（答案不唯一）．25．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）若二次函數(shù)的圖象經過點，，，且，則下列結論：①；②；③；④中，一定成立的有____________．（填序號）【答案】①②④【分析】由，可知對稱軸為直線由可知開口向上，時，隨增大而增大，根據(jù)已知條件可得根據(jù)對稱軸為直線可知與的一個交點在和之間，與的另一個交點在和之間，即可得出，，即可得出結論．【詳解】解：∴對稱軸為直線∴開口向上，時，隨增大而增大，的圖象經過點，，故①一定成立，∴與的一個交點在和之間，∵對稱軸為∴與的另一個交點在和之間，的圖象經過點，或故②③一定成立，∴綜上所述，一定成立的有①②④．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解此題的關鍵．26．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考一模）已知二次函數(shù)，當時，y的取值范圍是，該二次函數(shù)的對稱軸為，則m的取值范圍是________．【答案】或【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質可得當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，然后分三種情況討論：若，該函數(shù)圖象過點，；若，該函數(shù)圖象過點，；若，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：二次函數(shù)的對稱軸為直線，∵該二次函數(shù)的對稱軸為，∴，∵，∴當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，∵當時，y的取值范圍是，若，該函數(shù)圖象過點，，∴，解得：，此時（舍去）；若，該函數(shù)圖象過點，，∴，解得：，此時（舍去）；若，當時，此時，當時，，且該函數(shù)圖象過點，∴，解得：或，此時（舍去）或；當時，此時，當時，，該函數(shù)圖象過點，∴，解得：或，此時（舍去）或；綜上所述，m的值是為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．27．（2023·浙江杭州·模擬預測）已知拋物線（，，是常數(shù)）開口向下，過，兩點，且．下列四個結論：①；②若，則；③若點，在拋物線上，，且，則；④當時，關于的一元二次方程必有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的是_________（填寫序號）．【答案】①③④【分析】首先判斷對稱軸，再由拋物線的開口方向判斷①；由拋物線經過A（1，0），，當時，，求出，再代入判斷②，拋物線，由點，在拋物線上，得，，把兩個等式相減，整理得，通過判斷，的符號判斷③；將方程寫成a（xm）（x+1）1=0，整理，得，再利用判別式即可判斷④．【詳解】解：拋物線過，兩點，且，，

，，即，拋物線開口向下，，，故①正確；若，則，，，故②不正確；拋物線，點，在拋物線上，∴，，把兩個等式相減，整理得，，，，，，，故③正確；依題意，將方程寫成a（xm）（x+1）1=0，整理，得，，，，，，，

故④正確．綜上所述，①③④正確．故答案為；①③④．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題關鍵是掌握二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．三、解答題28．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸相交于點，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的解析式．(2)點是拋物線上不同的兩點．①若，求之間的數(shù)量關系．②若，求的最小值．【答案】(1)(2)①；②最小值為【分析】（1）將A，B兩點代入解析式解得即可；（2）①若，則，化簡即可得到的關系；②代入化簡成頂點式即可得到最小值．【詳解】（1）拋物線與x軸相交于點解得；（2）①點是拋物線上不同的兩點．若，則．；②==，當=1時，的最小值為2．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質和最值問題，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．29．（2023·浙江寧波·校考一模）已知拋物線的對稱軸為．(1)求的值；(2)若當時，拋物線與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式進行解答；（2）①當時，拋物線與x軸只有一個交點；②當時，拋物線與軸有且只有一個交點，則當時，當時，解不等式組即可．【詳解】（1）解：∵對稱軸為．∴，解得；（2）由（1）得，①∵拋物線與軸有且只有一個交點，∴，解得；②當時，拋物線與軸有且只有一個交點，∴，解得∴的取值范圍是或【點睛】此題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)圖象的平移，關鍵是綜合應用二次函數(shù)的性質解題．30．（2023·浙江寧波·校考一模）如圖，已知點，在二次函數(shù)的圖象上，圖象經過點且．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)若，求頂點到直線的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）把點（3，1）代入二次函數(shù)的解析式求出a即可；（2）判斷出M，N關于拋物線的對稱軸對稱，求出點M的縱坐標，可得結論；【詳解】（1）解：將點代入中，，解得∶，二次函數(shù)的表達式為：；（2）解：∵，∴二次函數(shù)圖象的解析式為直線，頂點坐標為，∵∴點M，N關于對稱軸對稱，∴又，∴，，，即直線為：，又二次函數(shù)的頂點坐標為，頂點到的距離為．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質，軸對稱等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．31．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖像經過點，點．(1)求二次函數(shù)的表達式和頂點坐標．(2)點在該二次函數(shù)圖像上，當時，求n的值．(3)已知，，若將該二次函數(shù)的圖像向上平移個單位后與線段有交點，請結合圖像，直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）將點，代入，求出a和b的值，即可解答；（2）把代入二次函數(shù)表達式，即可求解；（3）分別求出拋物線與線段有一個交點和兩個交點時k的值即可得到k的取值范圍．【詳解】（1）解：將點，代入得，解得，∴二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)的頂點坐標為．（2）解：把點代入得：，∵，∴．（3）解：∵，，∴線段軸，其中點坐標為，①若原拋物線向上平移k個單位，與線段只有一個公共點時，如圖，此時，；②若原拋物線向上平移k個單位，與線段有兩個公共點時，且恰好為A、B兩點，如圖，設此時拋物線的解析式為，把或代入，求得，，∴，綜上所述，將該二次函數(shù)的圖像向上平移個單位后與線段有交點，k的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，靈活運用數(shù)形結合思想是解答本題的關鍵．32．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）對于拋物線．(1)若拋物線過點，①求頂點坐標；②當時，直接寫出的取值范圍為_______；(2)已知當時，，求和的值．【答案】(1)①；②(2)，【分析】（1）①先利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，再將解析式化為頂點式即可得出答案；②先確定拋物線的對稱軸為直線，，再確定當時，，當時，，比較函數(shù)值的大小即可得出答案；（2）先確定拋物線與軸交點坐標為，而當時，，從而可得出，利用頂點縱坐標公式可求出，此時當時，可得，建立方程解之即可．【詳解】（1）解：①∵拋物線過點，∴，解得：，∴，∴頂點坐標為；②∵拋物線的對稱軸為直線，當時，，當時，，當時，，當時，的取值范圍為．故答案為：．（2）∵拋物線當時，，∴拋物線與軸交于點，∵當時，，∴拋物線經歷先下降再上升的過程，∴，解得：或（舍去），∴，．【點睛】考查二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的最值，解方程組，待定系數(shù)法，掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．33．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）已知拋物線．(1)若拋物線與y軸的交點為，求拋物線的函數(shù)表達式和頂點坐標．(2)已知拋物線與y軸的交點在y軸正半軸上，與x軸有交點．若點，在拋物線上，求c的取值范圍及m的最大值．【答案】(1)；；(2)；1．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)表達式，再將其化為頂點式即可得到頂點坐標；（2）根據(jù)拋物線與y軸的交點在y軸正半軸上，得到，再根據(jù)與x軸有交點，利用一元二次方程根的判別式，解得，然后利用拋物線上對稱點與對稱軸的關系，求出，即可得到m的最大值．【詳解】（1）解：拋物線與y軸的交點為，，拋物線的函數(shù)表達式為，，頂點坐標為；（2）解：拋物線與y軸的交點在y軸正半軸上，，拋物線與x軸有交點，有實數(shù)解，，由圖像法解一元二次不等式，得：或（舍），c的取值范圍為，拋物線，對稱軸為，點，在拋物線上，，，，m的最大值為1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與軸的交點問題，一元二次方程根的判別式等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質，以及二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系是解題關鍵．34．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經過點，點．(1)求二次函數(shù)的表達式和頂點坐標．(2)點在該二次函數(shù)圖象上，當時，求的值．(3)已知，若將該二次函數(shù)的圖象向上平移個單位后與線段有交點，請結合圖象，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）把點，點代入得方程組，求出的值可得函數(shù)解析式，再把函數(shù)關系式化為頂點式即可得到頂點坐標；（2）把代入函數(shù)關系式即可求出n的值；（3）分別求出拋物線與線段有一個交點和兩個交點時k的值即可得到k的取值范圍【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象經過點，點，∴把點，點分別代入得，，解得，，∴二次函數(shù)的解析式為：；又，∴拋物線的頂點坐標為：；（2）∵點在該二次函數(shù)圖象上，∴當時，；（3）∵，∴線段軸，其中點坐標為①若原拋物線向上平移k個單位，與線段只有一個公共點時，如圖，此時，；②若原拋物線向上平移k個單位，與線段只有一個公共點時，且恰好為A、B兩點，如圖，設此時拋物線的解析式為，把或代入，求得，，∴綜上所述，將該二次函數(shù)的圖象向上平移個單位后與線段有交點，的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，靈活運用數(shù)形結合是解答本題的關鍵35．（2023·浙江溫州·模擬預測）如圖，二次函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象的對稱軸為直線．(1)求a的值．(2)向上平移該二次函數(shù)的圖象，使其經過原點，求平移后圖象所對應的二次函數(shù)的表達式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線解析式得到拋物線與x軸的交點橫坐標，結合拋物線的軸對稱性質求得a的值即可；（2）將a的值代入，結合拋物線解析式求平移后圖象所對應的二次函數(shù)的表達式．【詳解】（1）解：由二次函數(shù)（a為常數(shù)）知，該拋物線與x軸的交點坐標是和，∵對稱軸為直線，∴，解得；（2）解：由（1）知，，則該拋物線解析式是：，即，∴拋物線向上平移3個單位后經過原點，∴平移后圖象所對應的二次函數(shù)的表達式是．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上的點的坐標，根據(jù)對于函數(shù)圖象的描述能夠理解函數(shù)的解析式的特點，是解決本題的關鍵．36．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，已知點C為二次函數(shù)的頂點，點為y軸正半軸上一點，過點P作y軸的垂線交函數(shù)圖像于點A，B（點A在點B的左側）.點M在射線上，且滿足.過點M作交拋物線于點N，記點N的縱坐標為.(1)求頂點C的坐標.(2)①若，求MB的值.②當時，求的取值范圍.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）將二次函數(shù)解析式化成頂點式即可解答；（2）①當時，令，，解得，，即點的橫坐標為，即可求得，再根據(jù)可得，最后根據(jù)即可解答；②由題意可得，即，然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質求得最大值和最小值即可解答.【詳解】（1）解：，頂點的坐標為.（2）解：①當時，令，，解得，，即點的橫坐標為∴，∵∴∴.②，.當時，的最小值為.當時，的最大值為6..【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點式、二次函數(shù)的性質等知識點，掌握數(shù)形結合思想是解答本題的關鍵.37．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸的一個交點為，與軸交于點．(1)求的值及點的坐標．(2)將該拋物線向右平移個單位長度后，與軸交于點，且點的對應點為，若，求的值．【答案】(1)，點的坐標為(2)【分析】（1）將代入拋物線中，求得，再求當時，求得即可得點的坐標；（2）根據(jù)平移得點的對應點為的坐標，平移后拋物線的解析為，求得點的坐標，再根據(jù)，建立方程即可求得的值．【詳解】（1）解：將代入拋物線中，得：，解得：，即：拋物線為：，當時，，∴點的坐標為；（2）∵拋物線向右平移個單位長度，與軸交于點，且點的對應點為，∴平移后拋物線，，當時，，則∵，∴，整理得解得：或（舍去）∴．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，會求函數(shù)平移后的解析式是解題的關鍵．38．（2023·浙江舟山·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)．(1)若，且函數(shù)圖象經過，兩點，求此二次函數(shù)的解析式；并根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)值時自變量x的取值范圍；(2)在（1）的條件下，已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），將這條拋物線向右平移m（）個單位，平移后的拋物線于x軸交于C，D兩點（點C在點D的左側），若B，C是線段的三等分點，求m的值．(3)已知，當，q（p，q是實數(shù)，）時，該函數(shù)對應的函數(shù)值分別為P，Q．若，求證．【答案】(1)，當時，；(2)2或8；(3)見解析．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，畫出函數(shù)圖象，結合圖象可求解；（2）分兩種情況：①當C在B的左側時，先根據(jù)三等分點的定義得：，由平移個單位可知：，計算點A和B的坐標可得的長，從而得結論．②當C在B的右側時，同理可得結論；（3）由，得，容易得到，利用，即代入對代數(shù)式進行化簡，并配方得出，最后注意利用條件判斷，得證結論．【詳解】（1）解：由題意可得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；畫出函數(shù)圖象，如圖，當時，，解得，，由圖象可得：當時，；（2）當時，，，，，∴，，∴，①如圖，當C在B的左側時，∵B，C是線段的三等分點，∴，由題意得：,∴，∴，②同理，