北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)復(fù)習(xí)總結(jié)

北師大版初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)匯總九年級（上冊）

班級姓名

第一章證明（二）

1、三角形全等的性質(zhì)及判定

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角也相等

判定：SSS、SAS、ASA、AAS、

2、等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論

性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）

判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）

推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合

一”）

3、等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60度；等邊三角形的三條

邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸。

判定定理：有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。或者三個角都相等的三角形

是等邊三角形。

含30度的直角三角形的邊的性質(zhì)

定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一

半。

4、直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。

(2)命題包括已知和結(jié)論兩部分；逆命題是將倒是的已知和結(jié)論交換；正確的逆命題

就是逆定理。

(3)直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL)

5、線段的垂直平分線

(1)線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。

判定：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

(2)三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等。

(3)如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、

N;作直線MN,則直線MN就是線段AB的垂直平分線。

6、角平分線

(1)角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等；

判定：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上。

(2)三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。

(3)如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線

第二章一元二次方程

※只含有一個未知數(shù)的整式方程，且都可以化為辦2+bx+c=O(a、b、C為

常數(shù)，aWO）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。

※把以2+fer+c=0（a、b、c為常數(shù)，aWO）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次

項(xiàng)系數(shù)；b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。

※解一元二次方程的方法：

①配方法〈即將其變?yōu)椋╔+M2=0的形式〉

※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②將二次項(xiàng)系數(shù)化成1；

③把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

④兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；

⑤把方程轉(zhuǎn)化成（x+m）2=0的形式；

⑥兩邊開方求其根。

②公式法x=—"*2-4ac（注意在找abc時(shí)須先把方程化為一般形式）

③分解因式法把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要

包括“提公因式”和“十字相乘

※根的判別式：當(dāng)b2-4ac〉0時(shí)，方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4ac〈0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。

※根與系數(shù)的關(guān)系：如果一元二次方程以2+云+°=0的兩根分別為x、x,則有：

12

bc

x+x=x-x=—o

i2a12。

※一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：

（1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根X、X的對稱式的值，特別注意以下公式：

12

Gz11X+X

①12+%2=(1+1)2—2xX②+=—L------2-

121212XXXX

1212

③（X-X）2=（%+X）2-4xX④IX-X1=./（X+X）2-4xX

12121212v1212

⑤（Ixl+lxl）2=（x+X）2-2xX+2IXXI

12121212

⑥13+%3=（X+X）3-3%X（X+X）

12121212

⑦其他能用X+x或XX表達(dá)的代數(shù)式。

1212

（3）已知方程的兩根x、x,可以構(gòu)造一元二次方程：%2-（%+%）%+%x=0

121212

（4）已知兩數(shù)X、X的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程

12

X2-（X+x）x+xX=0的根

I212

※在利用方程來解應(yīng)用題時(shí)，主要分為兩個步驟：

①設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)情況只要設(shè)問題為X；但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件

及等量關(guān)系等諸多方面考慮）;

②尋找等量關(guān)系（一般地，題目中會含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即

可根據(jù)其列出方程）。

派處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為：問題寥.方程照.解答

抽象檢驗(yàn)

第三章證明（三）

※平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰

的兩頂點(diǎn)連成的線段叫做它的號隼奔

※平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等對角相等，對角線互相平分。

※平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直

線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)且四條邊都相等，兩條對角線互相垂直平分，每一

條對角線平分一組對角。

菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。

※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫零彩矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸

對稱圖形，有兩條對稱軸）

※矩形的判定：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形（根據(jù)定義）。

對角線相等的平行四邊形是矩形。

四個角都相等的四邊形是矩形。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱

圖形，有兩條對稱軸）

※正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；

鄰邊相等的矩形是正方形；

對角線相等的菱形是正方形；

對角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系（如圖3所示）:

※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

派兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。

X一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等，對角線相等。

同一底上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

冰夾在兩條平行線間的平行線段相等。

※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

,圖3

左視圖要畫在正視圖的右邊。

主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象

俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象

左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象

※視圖中每一個閉合的線框都表示物體上一個表面（平面或曲面），而相連的兩個閉合線

框一定不在一個平面上。

※在一個外形線框內(nèi)所包括的各個小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的

各個小的平面體（或曲面體）。

※在畫視圖時(shí)，看得見的部分的輪廓線通常畫成實(shí)線，看不見的部分輪廓線通常畫成

虛線。

物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。

太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行以影。

探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影

稱為中心球影。

※區(qū)分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。

眼睛的位置稱為科卓；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為理線；眼睛看不到的地方稱為肯巴

※從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。

①點(diǎn)在一個平面上的投影仍是一個點(diǎn)；

②線段在一個面上的投影可分為三種情況：

線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn)；

線段平行于投影面時(shí)，投影長度等于線段的實(shí)際長度；

線段傾斜于投影面時(shí)，投影長度小于線段的實(shí)際長度。

③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：

平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀；

平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；

平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。

第五章反比例函數(shù)

※反比例函數(shù)的概念：一般地，y=匕（k為常數(shù)，kWO）叫做反比例函數(shù)，即y是x

的反比例函數(shù)。

（X為自變量，y為因變量，其中X不能為零）

※反比例函數(shù)的等價(jià)形式：y是x的反比例函數(shù)-y=4（kwO）-一

X

y=kx-i（左w0）<-->xy=k（k^0）<—>變量y與x成反比例，比例系數(shù)為k.

※判斷兩個變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：①按照反比例函數(shù)的定義判斷；

②看兩個變量的乘積是否為定值〈即肛=上》。（通常第二種方法更適用）

※反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線

※反比例函數(shù)的畫法的注意事項(xiàng)

①反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點(diǎn)法”是不能畫的；

②選取的點(diǎn)越多畫的圖越準(zhǔn)確；

③畫圖注意其美觀性（對稱性、延伸特征）。

※反比例函數(shù)性質(zhì)：

①當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)，y隨X的增大而

減??；

②當(dāng)k〈0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增

大；

③雙曲線的兩支會無限接近坐標(biāo)軸（X軸和y軸），但不會與坐標(biāo)軸相交。

※反比例函數(shù)圖象的幾何特征：（如圖4所示）

點(diǎn)P（x,y）在雙曲線上都有S=1xy1=1kIS=J_I.ry|=J_IZrI

矩形OAPBAAO822

第六章頻率與概率

※在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)