線性代數(shù)習(xí)題-行列式

行列式二階、三階行列式—對角線原理■計算下列二階行列式；;;；；.解=;=;=;■計算下列三階行列式(1)(2);(3)(4)(5)(6).(7).解==2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8-0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1)=-24+8+16-4=-4.=;=.=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).行列式的定義排列與逆序■計算以下各個排列的逆序數(shù),并指出它們的奇偶性:123441322413314265；314265789；542391786；134785692139782645987654321；246813579；.(4)13…24…；(5)13……2.(6).解逆序數(shù)為0逆序數(shù)為4:41,43,42,32.逆序數(shù)為3.偶排列偶排列奇排列11;17.偶排列偶排列,這表明該排列的逆序數(shù)與n有關(guān),故要對n進(jìn)行討論:當(dāng)時為偶數(shù)，此時排列.為偶排列;當(dāng)時為奇數(shù)，此時排列.為奇排列.(4)逆序數(shù)為.32(1個)52,54(2個)72,74,76(3個)××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1個)(5)逆序數(shù)為.32(1個)52,54(2個)××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1個)42(1個)62,64(2個)××××××(2n)2,(2n)4,(2n)6,×××,(2n)(2n-2)(n-1個)(6)當(dāng)為偶數(shù)時，，排列為其中為的逆序數(shù)；為與它前面數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)；為與它們前面數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)的和；為，與它們前面數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)的和.當(dāng)為奇數(shù)時，，排列為其中為的逆序數(shù)；為與它們前面數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)的和；為與它們前面數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)的和.■確定，使6元排列為奇排列.■在由1,2,3,4,5,6,7,8,9組成的下述9階排列中,選擇使得:(1)(2)(3)(3)均要求說明理由.分析排列中的兩個未知數(shù)據(jù)排列的定義只能取3或7.因而只有兩種情況：132574896與172534896，然而我們只需計算上述的一個排列就可得知結(jié)果，因為與是和作一次對換得到的，而作一次對換必改變排列的奇偶性，也就是說若為偶排列,則必為奇排列.其余題解法也類似.解(1)取有為偶排列,符合題目要求.(2)取有為偶排列,故取時172534896為奇排列,符合題目要求.(3)取有為偶排列，符合題目要求.(4)取有為偶排列.故取時931425786為奇排列,符合題目要求.■寫出四階行列式中含有因子的項.解由定義知，四階行列式的一般項為，其中為的逆序數(shù)．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.對應(yīng)的分別為或故和為所求.■寫出4階行列式中包含因子的項,并指出正負(fù)號.解4階行列式中包含因子的項有和.由于，故取正號;，故取負(fù)號.■當(dāng)___,=___時成為5階行列式中一個取負(fù)號的項,為什么?解和只能取1,4或者4,1.不妨先假設(shè),則=,這個項的符號就是,不符合要求.那么當(dāng)時=,它和相比就是交換了列指標(biāo)1和4的位置,因與相比改變了奇偶性,所以的符號為負(fù).故應(yīng)填.■若是5階行列式中的一項,則當(dāng)___,=___時該項的符號為正,當(dāng)___,=___時該項的符號為負(fù),為什么?解此問和問題3類似,和只能取2,3或者3,2.不妨先假設(shè),則符號為=,所以取的是負(fù)號.那么由問題3的分析可知當(dāng)時符號取正.所以當(dāng)時該項的符號為正,當(dāng)時該項的符號為負(fù).■在6階行列式中,下列項應(yīng)該取什么符號?為什么?(1);(2);(3);(4).解(1)因,所以取正號;另一種方法是:=,因,所以取正號.(2),(3),(4)也可這樣做,不再列出.(2)因,所以取負(fù)號;(3)因,所以取負(fù)號;(4)因,所以取正號.■按行列式定義,計算下列行列式((4)中,并均要求寫出計算過程):.;；;..解=1根據(jù)定義=.在行列式的通項中,只有這一項的因子中不含零,所以==.根據(jù)定義,=.在行列式的通項中每一個項中最后三個因子分別取值于行列式最后三行的不同列的三個數(shù),而行列式最后三行中均只有二個數(shù)不為零,所以這三個因子中至少一個取零.這樣行列式的每一項中都含有因子零,所以每項都為零,從而.所給行列式的展開式中只含有一個非零項，它前面的符號應(yīng)為，所以=！。所給行列式的展開式中只含有一個非零項，它前面的符號應(yīng)為，所以=！。.該行列式的展開式只有一項不為零,即,而該項帶有的符號為,所以=..根據(jù)定義=,該展開式通項中取自的第行,現(xiàn)在第行中除了外其余元素都為零.故若,則對應(yīng)的行列式展開式中的那一項一定為零,求和時可不考慮.因此只要考慮的項.同樣對于行列式的第行中除了和外其余元素都為零,且因,從而只能取了.依次類推,行列式展開式的所有項中除去列指標(biāo)對應(yīng)的項外都為零.又因為,所以=.■由行列式定義計算中與的系數(shù)，并說明理由。解含有的展開項只能是，所以的系數(shù)為2；同理，含有的展開項只能是，所以的系數(shù)為-1?！銮蟮恼归_式中和的系數(shù).解的系數(shù)為；含的項只有，所以的系數(shù)為行列式的性質(zhì)■利用行列式的性質(zhì)計算解=;;;====0?！鼋獾?列的(?1)倍加到第3列，再把第1列的(?1)倍加到第2列，其余各列不變，得■計算n階行列式(n32).解當(dāng)時,當(dāng).■解==0■如果，求.解-12■設(shè),據(jù)此計算下列行列式(要求寫出計算過程):(1);(2).解(1)=.(2)法一=.法二注意到該行列式的第二列均為2個數(shù)的和,可用行列式的性質(zhì)5將該行列式分成2個行列式之和.■設(shè)，其中是互不相同的數(shù)。(1)由行列式定義，說明是一個次多項式；(2)由行列式性質(zhì)，求的根。解(1)因為所給行列式的展開式中只有第一行含有，所以若行列式的第一行展開時，含有的對應(yīng)項的系數(shù)恰為乘一個范德蒙行列式于是，由為互不相同的的數(shù)即知含有的對應(yīng)項的系數(shù)不為0，因而為一個次的多項式。(2)若用分代替時，則由行列式的性質(zhì)知所給行列式的值為0，即.故至少有個根.又因為是一個次的多項式，所以必是的全部根。■設(shè)兩兩不等,求，求的根?！銮笙铝卸囗検降母?要求寫出計算過程):(1)=;(2)=.解所以有三個根.(1)法一=.所以多項式的根為.法二是的4次多項式,且可直接驗證,所以的根為.(2)法一=.所以多項式的根為法二是的次多項式,且可直接驗證,所以的根為展開定理求余子式與代數(shù)余子式■求行列式中元素和的代數(shù)余子式.解元素的代數(shù)余子式為,而元素的代數(shù)余子式為.用展開定理計算簡單行列式■求一行或一列元素代數(shù)余子式的線性組合■已知行列式，求（1）第4行元素的余子式之和；（2）第4行元素的代數(shù)余子式之和。解由代數(shù)余子式性質(zhì)知：行列式最后一行元素不影響所求。（1）（2）。■,求.解.■已知，計算解-1■設(shè),計算A41+A42+A43+A44,其中A4j(j=1,2,3,4)是|A|中元素a4j的代數(shù)余子式.解A41+A42+A43+A44=■已知，計算和.解將上式設(shè)為，此式設(shè)為，可直接計算此行列式結(jié)果為3，也可按以下方法來做：題目中的原行列式設(shè)為由行列式的性質(zhì)得：則■已知四階行列式，試求A41+A42與A43+A44的值。其中A4j是D的第4行元素的代數(shù)余子式(j=1，2，3，4)。解。由于，分別取i=j=4，得再取i=2，j=4，得。將代入，得。解得?！鲆阎?，求：(1)；(2)和?！觯蠼鈱⑺行屑拥阶詈笠恍兴膲K缺角行列式■=;■==.■解低階行列式的計算■解■解原式==。■解?！?解原式.■解?！鼋?.■；解■;解原式.■;解原式.解原式==20。■;解原式.■.解原式.■解;■解■,解■；解■.解.■解■解=.注:做到處也可以按第一列展開,再按第一列展開得:原式.■解.■解.■解;■解=;■解-50■解■解原式=。■解■；解各列加到第一列后提取因式=.■解原式=■解===■解■解■.解■解=;■解+=■解下列方程:(1);解,原方程的解為.(2).解,原方程的解為.■設(shè)解====高階行列式的計算■;解將原行列式的第一行加于其余各行,得.■解;■解法一解法二從第2列開始，各列統(tǒng)統(tǒng)加到第1列上去，得；■.解■.解=an-an-2=an-2(a2-1).■===;■解+=;■解先按最后一行展開，得■=；?！鼋夥ㄒ桓餍屑拥降谝恍?，然后提取公因式，有：解法二將第一行乘(-1)分別加到其余各行,得再將各列都加到第一列上,得=[x+(n-1)a](x-a)n-1.■將第2、3、…、n行全部加到第1行第1行乘以-1加到以下各行■解?！鼋飧髁屑拥降谝涣校缓筇岢龉驍?shù)有：.■.解法一各列加到第一列上，然后提取公因式解法二■解原式=?！鼋夥ㄒ唤夥ǘ?解.■計算行列式解.■解■解■.解■解法一解法二解法三的第列提取,得.解法四將行列式增加一行、一列第一行乘以-1加到以下各行第i+1列乘以加到第1列，＝解法五解法六■解■求(其,i=1,2,…,)的值.解.■計算行列式.解.■解法一解法二■.解將各列全加到第1列上后提取公因子得：.■解將第k行的(?1)倍加到第k+1行上去(k=n?1，n?2，n?3，…，2，1)，再將第k行的(?1)倍加到第k+1行上去(k=n?1，n?2，n?3，…，3，2)，得解■解法一解法二原行列式按第1列展開得.解法三按第n行展開得■解法一按第一行(列)展開，得遞推公式=2于是==1由此得+1+2+解法二■解解按第一行展開后再按最后一行展開，有■解由此得遞推公式：即而則得.■,i=1,2,…,)解法一解法二■解各行均減去第二行，再按第一行展開得：。■解各行均減去第三行,再按第一行或第三列展開得■解■解■,.解=解■解按第一行展開，有遞推公式得遞推公式：=1\*GB3①同理可得：=2\*GB3②聯(lián)立=1\*GB3①與=2\*GB3②，解方程組得■解按第一行展開得：后者再按第一列展……①①表明：數(shù)列是以b為公比的等比數(shù)列。因為，從而，…………②[首項]所以?！踇通項公式]由于原行列式關(guān)于a、b對稱，故也有?！躘通項公式]③-④：，…………⑤當(dāng)時，；當(dāng)時，此時，。由④或③知。綜合得：■。解。對調(diào)，即得的轉(zhuǎn)置行列式，從而當(dāng)時，聯(lián)立得；當(dāng)時，對上式取極限得，故。■解同理可得。當(dāng)時，從上述兩式可以解得；當(dāng)時，只須對上式令即可得。范得蒙行列式■.解■■==;■;解此行列式為范德蒙德行列式,則■范德蒙行列式■第1列乘以加到第三列范德蒙行列式■==■。解這是一個三階行列式，看似不難，總可以利用對角線法則計算，但容易出錯?？蓪⒌谝恍械摹?”寫成“”，由行列式加法性質(zhì)得：?！?=;■，■解在行中提出因子，（范德蒙行列式）。■。解將增加一行、一列得到下列階行列式，此行列式顯然與原行列式相等，所以?！鼋鈽?gòu)造輔助范德蒙行列式，為中元素的余子式，而則克萊姆法則■解,■解，。用克拉默法則解線性方程組■；