中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)復(fù)習(xí)：半角模型 知識(shí)講義

半角模型知識(shí)精講

1.如圖，在正方形ABC。中，E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，且NEAF=45。，則8E+。歹=ER

簡(jiǎn)證：如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG,使得與重合,

通過(guò)證明△AEFgZXAEG即可得到BE+DF=EF.

2.如圖，在正方形A3。中，E、尸分別是3C、CD上的點(diǎn)，且/EAF=45。，則AE平分/BEEAP平分

ZDFE.

簡(jiǎn)證：如圖，將△")/繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG,使得AD與A2重合；將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到△AOH,使得A8與AO重合.

H

?.?旋轉(zhuǎn)，N1=NH,XVAAFE^AAFH,：.Z2=ZH,：.Z1=Z2；

:旋轉(zhuǎn),Z4=ZG,XVAAEF^AAEG,；.N3=/G,；./3=/4,

即AE平分NBERAF平分/DFE.

3.如圖，在正方形ABC。中，E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，且NEAP=45。，貝US^ABE+SA。？=S^AEF.

簡(jiǎn)證：通過(guò)上述的全等直接可以得到，不再證明.

4.如圖，在正方形A8CD中，E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，且/EAF=45。，過(guò)點(diǎn)A作AH_LEF交E尸于

點(diǎn)“，則A”=A8.

簡(jiǎn)證：由上述結(jié)論可知AE平分NBERXVABXBC,：.AH^AB.

5.如圖，在正方形A8C。中，E、E分別是3C、CD上的點(diǎn)，且/胡尸=45。，貝U%CEF2AB.

AD

簡(jiǎn)證：由結(jié)論1可得EF=BE+QR則CACEFnCE+CF+EFuCE+CF+BE+DFuZAA

6.如圖，在正方形ABC。中，E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，且NEAP=45。，AE、AF分別與8。相交于

點(diǎn)M、N,則8河2+。"2=阿2.

簡(jiǎn)證：如圖，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋90。得到△AGB,連接GM.

通過(guò)證明△AMG四△AMN得MN=MG,DN=BG,/GBE=90°,即可證+ON?=A/TV?.

7.如圖，在正方形ABC。中，E、P分別是BC、CD上的點(diǎn)，且NEAP=45。，AE,AP分別與BO相交于

點(diǎn)M、N,則△BMEsADFNsAAMNs4BAN/\DMAAAFE.

AD

簡(jiǎn)證：通過(guò)證明角相等得到三角形相似，要善于使用上述結(jié)論.

8.如圖，在正方形A2C。中，E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，且NEAP=45。，AE、AP分別與3。相交于

點(diǎn)M、N,則石尸=口北村.

簡(jiǎn)證：連接AC,VZDAF^ZEAC,ZADB^ZACB,：./\ECA^>/\NDA,

?EFAEACr：

又；4AAMNsdAAFE,：.訴=.=.=6.

【補(bǔ)充】通過(guò)面積比是相似比的平方比亦可得到SMEF=

9.如圖，在正方形ABC。中，E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，且NEA尸=45。，AE.A尸分別與相交于

點(diǎn)M、N,則AB2=6N.

BEC

簡(jiǎn)證：由結(jié)論7可得4Ms△BA-.?.元方=/，即482=笈可—。河.

uiVLJiiy

10.如圖，在正方形ABC。中，E、尸分別是8C、C。上的點(diǎn)，且NEAF=45。，AE、AF分別與8。相交于

點(diǎn)M、N,則CE-CF=2BE-DF.

簡(jiǎn)證：設(shè),DF=a,BE=b,AB=c,在RtZkCEF中，

(a+6)2=(c—。)2+(c—6)2,化簡(jiǎn)得2而=(c—a)(c—b),CS?CF=2BE?。工

11.如圖，在正方形ABC。中，E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，且NEAB=45。，AE、AP分別與BO相交于

點(diǎn)M、N,則當(dāng)時(shí)，E/最小，SAAEF最小，5文政最大.

證明：如圖，作△AEP的外接圓，點(diǎn)P為所的中點(diǎn)，連接。4、OE、OF、PC,過(guò)點(diǎn)A作A8_LEE

,：ZEAF=45°,：,ZEOF=90°,設(shè)。尸=PC=JER=z,則0/=口2,

乙

0A+OP+PC—2+y/2x,S^AEF=^EF-AH=AB-x,SAABE+SAADE=SAAEF,

?'?S/^CEF—S正方形ABC?—S&ABE-S&ADF-S&AEF=S正方形ABC0—?S&AEF=S正方形ABCD-?X

當(dāng)點(diǎn)A、0、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，即8E=Z)RX,EF、均有最小值，54翅尸有最大值.

12.如圖，在正方形ABC。中，E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，且NEAP=45。，AE、AP分別與2。相交于

點(diǎn)M、N,則BN—DN=gBE,DM—BM=”DF.

簡(jiǎn)證：由結(jié)論8可得△△EC4SA/VD4,工行=而萬(wàn)=，2,E。=v^ND,

JT-LZIVU

■:DB=6(BE+EC)=y/2BE+2ND,：.BN-DNy/2BE,

同理可得刀河-BM^y/2DF.

補(bǔ)充：等腰直角三角形與“半角模型"

如圖所示，在等腰直角三角形A3C中，若/。CE=45。，則/。2+8石2=。石2

證明：如圖，將△AC。繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△8CD',連接

.,.AD=BD',

在△OCE與△