2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的圖象（九大題型）講義（解析版）

第06講函數(shù)的圖象

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1:掌握基本初等函數(shù)的圖像..............................................................4

知識點2:函數(shù)圖像作法.........................................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：由解析式選圖（識圖）1...........................7

題型二：由圖象選表達(dá)式........................................................................9

題型三：表達(dá)式含參數(shù)的圖象問題...............................................................13

題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題.......................................................................17

題型五：函數(shù)圖象的變換.......................................................................21

題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值...................................................24

題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式...............................................................27

題型八：利用函數(shù)的圖像求恒成立問題...........................................................30

題型九：利用函數(shù)的圖像判斷零點的個數(shù).........................................................33

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................38

05課本典例?高考素材...........................................................41

06易錯分析?答題模板...........................................................44

易錯點：圖像的變換問題.......................................................................44

答題模板：圖像的變換問題.....................................................................44

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

基本初等函數(shù)的圖像是高考中的重要考點之

是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具.高考中總以一

2023年天津卷第4題，5分次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)'指數(shù)函數(shù)、對

(1)函數(shù)圖像的識別

2022年天津卷第3題，5分?jǐn)?shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等的圖像為基礎(chǔ)來考

(2)函數(shù)圖像的應(yīng)用

2022年全國乙卷第8題，5分查函數(shù)圖像，往往結(jié)合函數(shù)性質(zhì)一并考查，考查

(3)函數(shù)圖像的變換

2022年全國甲卷第5題，5分的內(nèi)容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以

及靈活地應(yīng)用圖像判斷方程解的個數(shù)，屬于每年

必考內(nèi)容之一.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

(2)會畫簡單的函數(shù)圖象.

(3)會運用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與不等式解的問題.

〃親電突破二題型跳空^

知識固本

知識點1:掌握基本初等函數(shù)的圖像

（1）一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)；（3）反比例函數(shù)；（4）指數(shù)函數(shù)；（5）對數(shù)函數(shù)；（6）三角函數(shù).

%

【診斷自測】函數(shù)的圖象是下列的（）

%

【解析】因為函數(shù)=的定義域為4-/>0,解得：-2<X<2,故B錯誤.

A/4-X2

/（一可=揚+^=-〃耳，則函數(shù)〃力=石+^為奇函數(shù)，故c,D錯誤；

故選：A.

知識點2：函數(shù)圖像作法

1、直接畫

①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質(zhì)：奇偶性（或其他對稱性）、單調(diào)性、周期性、凹凸性;

④特殊點、極值點、與橫/縱坐標(biāo)交點；⑤特殊線(對稱軸、漸近線等).

2、圖像的變換

(1)平移變換

①函數(shù)y=/(x+a)(a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸向左平移。個單位得到的；

②函數(shù)y=f{x-a){a>0)的圖像是把函數(shù)y=f{x)的圖像沿x軸向右平移a個單位得到的；

③函數(shù)y=/(X)+o(a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(無)的圖像沿y軸向上平移a個單位得到的；

④函數(shù)y=/(x)+a(a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(x)的圖像沿y軸向下平移a個單位得到的；

(2)對稱變換

①函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖像關(guān)于y軸對稱；

函數(shù)、=〃尤)與函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對稱；

函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-/(-幻的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(0,0)對稱；

②若函數(shù)/(尤)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，則對定義域內(nèi)的任意x都有

f(a-x)=f(a+x)或f(x)=/(2a-x)(實質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線x=a對稱的兩點連線的中點橫坐標(biāo)

為a,即+為常數(shù));

2

若函數(shù)了(無)的圖像關(guān)于點(a,6)對稱，則對定義域內(nèi)的任意x都有

/(x)=2b—/(2a-(a—x)=2b—f(a+x)

③y=If(x)|的圖像是將函數(shù)于(X)的圖像保留X軸上方的部分不變，將X軸下方的部分關(guān)于無軸對稱翻

折上來得到的(如圖(a)和圖。))所示

④y=/(|x|)的圖像是將函數(shù)/(尤)的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于y軸對稱得

到函數(shù)y=/(W)左邊的圖像即函數(shù)y=/(W)是一個偶函數(shù)(如圖(c)所示).

注：|/(刈的圖像先保留了(X)原來在x軸上方的圖像，做出x軸下方的圖像關(guān)于x軸對稱圖形，然后擦

去x軸下方的圖像得到；而了(國)的圖像是先保留了(無)在y軸右方的圖像，擦去y軸左方的圖像，然后做

出y軸右方的圖像關(guān)于y軸的對稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.

⑤函數(shù)>=/一(尤)與y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對稱.

(3)伸縮變換

①y=4/Xx)(A>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到

原來的A倍得到.

②y=>0)的圖像，可將y=f(x)的圖像上的每一點的橫坐標(biāo)伸長(0</<1)或縮短>1)到

原來的工倍得到.

CO

【診斷自測】若函數(shù)y=/(x)的定義域為R,則函數(shù)y=/(x-i)與y=〃i-x)的圖象關(guān)于()

A.直線x=0對稱B.直線>=。對稱

C.直線尤=1對稱D.直線y=l對稱

【答案】C

【解析】因為函數(shù)/(x-l)的圖象是/(x)的圖象向右平移1個單位得到的，

/■(17)=〃-(*-1))的圖象是〃-尤)的圖象也向右平移1個單位得到的；

又因為/(x)與f(-x)的圖象是關(guān)于y軸(直線x=o)對稱，

所以函數(shù)y=與y=〃i-X)的圖象關(guān)于直線X=1對稱.

故選：C.

解題方法總結(jié)

(1)若/(機(jī)+%)=/(根-％)恒成立，則)=/(%)的圖像關(guān)于直線％=相對稱.

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)定義在實數(shù)集上，貝！J函數(shù)y=f(x-m)與y=(m>0)的圖象關(guān)于直線

x=m對稱.

(3)若/(〃+%)=/(b-x),對任意工￡尺恒成立，則y=/(x)的圖象關(guān)于直線％=9鏟對稱.

(4)函數(shù)y=/(a+x)與函數(shù)y="6-尤)的圖象關(guān)于直線工=等對稱.

(5)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(2〃-X)的圖象關(guān)于直線x=〃對稱.

(6)函數(shù)y=/(兄)與函數(shù)y=2/7-/(2々-％)的圖象關(guān)于點(〃，6)中心對稱.

(7)函數(shù)平移遵循自變量“左加右減”，函數(shù)值“上加下減”.

題型洞察

題型一：由解析式選圖（識圖）

【典例1-1]（2024?安徽淮北?二模）函數(shù)=的大致圖像為（）

711、；71X

y0\1

、『產(chǎn)%\11

1111111

【答案】C

,￡（、sinx兀

【解析】由/（%）=][可知，cosxwO,gpx—+kn.kGZ,顯然該函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱,

cosx2

￡（、sin（-x）sinx、

由"T）=|C°S（T）|=9:一〃x）可知，函數(shù)為奇函數(shù)，排除B,D兩項，

.3兀

□sin——

又/（T）=—>=1>°，排除A項，故c項正確?

4|cos當(dāng)

4

故選：C.

【典例1-2]（2024?陜西商洛-模擬預(yù)測）函數(shù)y=%cosx-sinx的部分圖象大致為（）

-itnxor

I'/1

cDJ

十明

【答案】A

【解析】當(dāng)x=0時，y=o,故排除選項C；

當(dāng)x=7t時，y=-7t<0,故排除選項B；

令/（x）=Acos.x-sinx,則f（-x）=-Acosx+sinx=-/（%）在［-兀,可上恒成立，

函數(shù)y=xcosx-sinx在區(qū)間［-無,可上是奇函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，

故排除選項D,A選項正確.

故選：A.

【方法技巧】

利用函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點等）排除錯誤選項，從而篩選

出正確答案.

【變式1-1］（2024?天津?二模）研究函數(shù)圖象的特征，函數(shù)/（x）=半忖的圖象大致為（）

X+1

【答案】B

【解析】〃到=翌定義域為（-8,0）30,+8）,即定義域關(guān)于原點對稱,

目J（/r、）=”-xITn14x1一/、

所以是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除CD,

注意到當(dāng)0cx<1時，有xln國｛0,爐+1）。，即/（力<（）,

此時函數(shù)圖象位于x軸下方，故排除A,經(jīng)檢驗B選項符合題意.

故選：B.

1

【變式1?2】（2024?湖北?模擬預(yù)測）函數(shù)鏟-1寸的圖象大致為（）

【答案】A

/、-ex-ex-21n(-x),x<0

【解析[〃x)=e'-e=lm9=?V7

ex-ex-21nx,x>0

i

因為當(dāng)X<0時，y=e*,y=_e=y=_21n(_x)都為增函數(shù)，

所以，>:/一/-力可-力在6/⑼上單調(diào)遞增，故B，C錯誤;

又因為/(一4)=匕一"-e*-Inx2，

所以〃力不是奇函數(shù)，即圖象不關(guān)于原點對稱，故D錯誤.

故選：A

題型二：由圖象選表達(dá)式

【典例24】(2024?安徽馬鞍山?三模)已知函數(shù)y=/(x)的大致圖象如圖所示，則y=/(x)的解析

式可能為()

A./(x)=-------B./(x)=-------

79X-19X+1

/W=)-2

^7F(x+l)ln(|x|+2)

【答案】D

3

【解析】對于選項A：因為/⑴=?〉0,與圖象不符，故A錯誤；

O

3

對于選項B：因為/⑴=5>0,與圖象不符，故B錯誤；

對于選項c：因為_AD=竽>。，與圖象不符，故c錯誤；

故選：D.

【典例2-2](2024?寧夏固原?一模)已知函數(shù)/(尤)的部分圖像如圖所示，則“X)的解析式可能為

B-"AR

e'+eTx

D./（x）=

c.4^3

【答案】A

【解析】對于B,當(dāng)x>l時，/（尤）=e'-ex,易知e*—eT>0,3-4*<0,

v73-4x

則/（x）＜0,不滿足圖象，故B錯誤;

x4-e~x（3、

對于C,〃x）=e4*3，定義域為1-8,J

Q~X_|_QxQX_|_p_X

又Xr）=4l,_a=lHTT=〃x），則/（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，故C錯誤;

41X\D4X\J

xx|

對于D，當(dāng)m時，〃x）=pp=17rl+口，

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，/（元）在（1,討）上單調(diào)遞減，故D錯誤；

檢驗選項A,〃無）=第［滿足圖中性質(zhì)，故A正確.

4四|一3

故選：A.

【方法技巧】

1、從定義域值域判斷圖像位置；

2、從奇偶性判斷圖像的對稱性；

3、從周期性判斷圖像循環(huán)往復(fù)；

4、從單調(diào)性判斷大致變化趨勢；

5、從特殊點排除錯誤選項.

【變式2-1］（2024?天津?二模）函數(shù)“X）的圖象如圖所示，則”X）的解析式可能為（）

z、Inlxl

C./(x)=D-f(力丹

【答案】C

【解析】由圖象知，該函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且/⑴=0,

(、ln|-x|InIxl/、

對于A,〃f)=.+?=T=〃x),為偶函數(shù)，故A錯誤；

(-X)+1%+1

e—T1

對于B,/(l)=^-^=e--#0,故B錯誤；

對于c,f(_x)=tizl=_d,為奇函數(shù)，當(dāng)彳>0時，/(同=三二L=x—

~xXXX

因為y=x,y=-g在(o,+e)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以/(無)=》-；在(0,+8)單調(diào)遞增，故c正確；

對于D,當(dāng)尤>0時，〃x)=/，/(尤)=匕詈，所以xe(O,e)時，/^x)>0,

/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(e,-)時，/'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，故D錯誤，

故選：C.

【變式2-2](2024?湖南?二模)己知函數(shù)〃x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)〃x)的解析式可能為

【答案】A

【解析】由圖可知，函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，排除C；

由圖可知，函數(shù)的定義域不是實數(shù)集.故排除B；

由圖可知，當(dāng)xf+8時，y—,

而對于D選項，當(dāng)xf+口時，y-O,故排除D.

故選：A.

【變式2-3］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）函數(shù)AM的部分圖象如圖所示，則/（力的解析式可能為

“、xsinx”、xsinx+x

B./W=---c.fM=

|x|+l|x|+l

【答案】A

【解析】由圖象可得函數(shù)為偶函數(shù)，且xdR,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，f（x）=O,

對于A,因為=xeR,所以函數(shù)〃力是偶函數(shù)，又

y=sinx+x,x>0,

則y=cosx+l>0,所以函數(shù)丁=sin%+x在（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以y=sin%+x>0,故解析式可能為A,故A正確；

3兀,3兀3兀

/o\—sin---------

對于B,由/［三）=七一-=與十<0,不合題意，故B錯誤；

T+1T+1

對于C,因為xs：（：）：（X）=X；：X［X,所以“一力力/⑴且

—x+1\x\+1

所以函數(shù)/（x）是非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；

對于D,由〃刈=萼￥=0,不合題意，故D錯誤.

71+1

故選：A.

題型三：表達(dá)式含參數(shù)的圖象問題

【典例3-1】（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（無）=x?x>0）,a為實數(shù)，7⑴的導(dǎo)函數(shù)為了'（x）,

在同一直角坐標(biāo)系中，“X）與/（尤）的大致圖象不可能是（）

【解析】由/（尤）=苫?？傻?'（X）=aXaT

對于A,當(dāng)a=-l時，在第一象限上〃x）=/遞減，對應(yīng)/'（耳=--=-5圖象在第四象限且遞增，故

A項符合；

對于B,C,D,在第一象限上"X）與/'（x）的圖象在（0,+⑹上都單調(diào)遞增，故a>0且以-1>0,貝索>1.

又由〃x）=r（x）可得X=6Z>1,即〃犬）=/與/'（工）=辦小的圖象交點橫坐標(biāo)應(yīng)大于1,顯然C項不符

合，B,D項均符合.

故選：C.

【典例3-2］（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃力=。"+1）"'（彳-1）"（其中

A.m>n>0B.m<3nC.m>O>nD.a<0

【答案】AB

【解析】選項A,B,C：由題意知

/'（%）=6zm（x+l）w1（x—l）77+<2H（x+l）m（x—l）71=+（%—1）“'（根—〃）],

令/'（力二°，解得％=—1或%=1或%=,

m+n

由題圖可知函數(shù)/■（“的一個極值點位于區(qū)間fo,^,

m—〃]

因止匕0<-------<—,又〃z+〃:>0,所以。<2機(jī)一2〃<加+孔=>〃<根<3〃，故〃>0,因止匕A,B正確，C錯

m+n2

誤.

選項D：由題圖可知/=]-g]>0,

若取機(jī)=3,"=2,則解得°>0，因此D錯誤.

故選：AB

【方法技巧】

根據(jù)參數(shù)的不同情況對每個選項逐一分析，推斷出合理的圖像位置關(guān)系，排除相互矛盾的位置關(guān)系,

以得出正確選項.

【變式3-1]（多選題）（2024?安徽合肥?一模）函數(shù)/（幻=尤3一二的eR）的圖象可能是（）

X

【答案】ABD

【解析】由題意可知，函數(shù)/（X）的定義域為（-8,0）5°，+“），

當(dāng)機(jī)>0時，（（尤）=3/+4>0,函數(shù)”X）在（-8,0）,（0,+8）上單調(diào)遞增，故B正確;

當(dāng)〃z=0時，/（x）=/,r（x）=3/>0,所以在（—8,0）,（0,+8）上單調(diào)遞增，故D正確;

IMm

當(dāng)機(jī)<0時，當(dāng)尤>0時，/（x）=%3>0；當(dāng)x<0時，/（x）=x3<0：

故A正確；C錯誤.

故選：ABD.

【變式3-2］（多選題）函數(shù)〃》）=用■的大致圖象可能是（）

x+a

【答案】BCD

【解析】當(dāng)。=0時，/（x）=3是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，“X）為減函數(shù)，此時對應(yīng)圖象可能是C；

1/\_af_2無+q-

當(dāng)。>0時，xeR,令/（x）=0得彳=一：<0,/為非奇非偶函數(shù)，且，&）=,+功2,

令y=-ax2-2x+<?其對應(yīng)方程的A=4+4a3>0,設(shè)其對應(yīng)方程的兩根分別為為，x?,（玉<。<々），

,,

所以xe（-oo,Xi）,/（x）<0,xe（西，馬）,第x）>0,xe（x2,+oo）,/（x）<0,

即函數(shù)〃x）在（75,石）和（孫心）上單調(diào)遞減，在&,%）上單調(diào)遞增，由單調(diào)性判斷此時對應(yīng)圖象可能是

B；

當(dāng)“0時，"X）為非奇非偶函數(shù)，"X）在x=±G'處無定義，

取。=-2,/（耳=?1,7|!］=0/<-應(yīng)時且〃尤）單增，

X—2.y27

x>近時〃尤）<0且/（X）單增,-0c<0時/（X）單增，

此時對應(yīng)圖象可能是D；

對于A,由于圖象無間斷點，故a>0,但此時〃x）在x<0上不可能恒正，

故選：BCD.

【變式3-3］（多選題）（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）函數(shù)/（#）=皿1+力-上山（1-力的大致圖像可能為

【解析】因為/⑺=為1+%)，皿1-%),

所以117〉0，解得Tv九〈I，故〃力定義域為(-M).

?二」-+上+),/(-^)=ln(l-x)-A:ln(l+x),

1+X1X1X

1k

因為左>0時，f\x)=——+——>0在區(qū)間(-1,1)上恒成立,

1+x1-x

所以人%)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增.

當(dāng)％=1時，/(-x)=-/(x),此時/⑺為奇函數(shù)，故選項B正確；

當(dāng)％=0時，/(x)=ln(l+x),易知其圖像為選項D,故選項D正確.

?、八/曰1+k2k1+k2

當(dāng)人＜0時,由/(x)=0,得x=；--=1+---,X----(-1)=——>0,

1—k1—K1—k1—k

所以-即/(X)在區(qū)間(-1,丁丁)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(79,1)上單調(diào)遞減,

1-K1-K\-k

綜上可知，/*)在區(qū)間(-M)上不嚴(yán)格單調(diào)遞減，故選項A不正確;

當(dāng)上=一1時，f(-x)=f{x),此時/(x)為偶函數(shù)，

且/(X)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，故選項C正確,

故選：BCD.

【變式3-4](多選題)函數(shù)〃力=失!(。也ceR)的圖象可能為()

【解析】①當(dāng)aw0,8=0時，f(-A：)=--A--=—2=_/(%),

(―X)+CX+C

f()----

當(dāng)。>0,c>0時，"X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X￡(0,+8)時，/(x)>0,八xLc,

XH--

X

函數(shù)了=%+￡在(0,6)上遞減，在\+8)上遞增，

X

因此/(X)在(0,五)上遞增，在(五,+8)上遞減，A可能；

當(dāng)a<0,c<0時，/(X)是定義在｛xeR|》*±^/^｝上的奇函數(shù)，

當(dāng)xe(0,Q)時，/(x)>0,"X)—一二，函數(shù)>=尤-二在(0,口)上遞增，

工---X

X

則/(X)在(0,右)上遞增，當(dāng)尤e(Q,+8)時，/?<0,同理〃X)在(、R,+00)上遞增，B可能；

__bb

②當(dāng)a=0,6w0,c<0時，f(x)的定義域為,f(-無)=(_x)2+.=*2+］：="，),,⑴為偶函數(shù),

若6>0時，當(dāng)xe時，/(%)<0(注意/(0)<0),

當(dāng)xe(-co,.(5/^,+oo)時，/(%)>0,則C不可能；

若6<0時，當(dāng)xe時，/(x)>0,當(dāng)xe(-oo,->/=?)，(>/=?,+<?)時，/(%)<0,則D可能.

故選：ABD

題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題

【典例4-1】如圖，長方形A3CD的邊AB=2,BC=l,。是A3的中點.點P沿著邊8C,CD與DA

運動，記NBOP=x.將動點尸到A,B兩點距離之和表示為x的函數(shù)/(x),則y=/(x)的圖像大致為()

D

【解析】由題意可得/1）=&+亞=2&,/Q=V22+12+1=A/5+1,

故/由此可排除C、D；

當(dāng)。＜無＜:時點尸在邊BC上，PB=tanx,PA=y/AB2+PB2=74+tan2x＞

所以〃無）=tanx+而嬴二，可知xe/T時圖像不是線段,可排除A,故選B.

故選：B.

【典例4-2]（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）如圖，點尸在邊長為1的正方形邊上運動，M是8的中

點，當(dāng)點尸沿A-3-C-M運動時，點尸經(jīng)過的路程無與△加的面積〉的函數(shù)y=/（x）的圖象的形狀大

致是（）

E.均不是

【答案】A

1x

【解析】當(dāng)點尸在AB上時，y=-xAPxBC=1,

當(dāng)點尸在上時,y=ABxBC--xABxBP--ADxDM--MCxCP

-222

X

4

當(dāng)點P在CN上時,y=—xADxPM

-2

其中A選項符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.

故選：A.

【方法技巧】

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.

【變式4-1](2024?安徽?模擬預(yù)測)如圖，直線/在初始位置與等邊ABC的底邊重合，之后/開始

在平面上按逆時針方向繞點A勻速轉(zhuǎn)動(轉(zhuǎn)動角度不超過60。)，它掃過的三角形內(nèi)陰影部分的面積S是時

間，的函數(shù).這個函數(shù)的圖象大致是()

C

AB

【解析】如圖所示，取3C的中點E,連接A石，因為-ABC為等邊三角形，可得NE43=30,

設(shè)等邊二ABC的邊長為2,且小歸=&,其中0<a<60,

可得|￡)閔=|AE||tan(30—a)卜V3|tan(30—cr)|,

又由^ABC的面積為S=^3,可得SME=,

且S3=(x括x兩tan(30-cr)|=|-|tan(30-cr)|,

則乙ABD的面積為8=5.8一59七=￥-"|tan(30一①=+1tan(^-30),

令S（x）=#^+：a11（工-30）,其中0<x<60,

31

可得s'(X)=7X———>0,所以S(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

又由余弦函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)x=30時，函數(shù)S(x)取得最小值，

所以陰影部分的面積一直在增加，但是增加速度先快后慢再快,

結(jié)合選項，可得選項C符合題意.

故選：C.

【變式4-2](2024?山東?二模)如圖所示，動點尸在邊長為1的正方形ABCD的邊上沿

A->3fC-￡>運動，x表示動點尸由A點出發(fā)所經(jīng)過的路程，>表示△APD的面積，則函數(shù)y=/(x)的

大致圖像是().

【答案】A

【解析】當(dāng)xe[O,l]時，y=|,是一條過原點的線段;

當(dāng)xe[l,2]時，y=g,是一段平行于x軸的線段；

當(dāng)xe[2,3]時，片土/，圖象為一條線段.

故選：A.

題型五：函數(shù)圖象的變換

【典例5-1](2024?北京西城?二模)將函數(shù)f(無)=tanx的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象再

關(guān)于丁軸對稱，得到函數(shù)g(M的圖象，則g(x)=()

A.1-tanxB.-1-tanxC.-tan(x-l)D.-tan(x+l)

【答案】D

【解析】將函數(shù)f(x)=tanx的圖象向右平移1個單位長度，所得函數(shù)為/(x-l)=tan(x-1),

則函數(shù)/(X-1)=1酸(X-1)的圖象再關(guān)于丁軸對稱得函數(shù)8(*)=/(-彳-1)=頌(-彳-1)=一1311(彳+1).

故選：D.

【典例5-2】(2024?遼寧?三模)已知對數(shù)函數(shù)/(x)=log〃x,函數(shù)/(元)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不

變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，再將g(x)的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象

恰好與函數(shù)/*)的圖象重合，則。的值是()

A.-B.|C.昱D.73

233

【答案】D

【解析】因為將函數(shù)/⑺的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到函數(shù)g（x）的圖象,

所以g（x）=log.即g（x）=log"X-loga3,

將g（x）的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式y(tǒng)=log“x-log.3+2,

因為所得圖象恰好與函數(shù)/'（x）的圖象重合，

所以-log03+2=0,

所以/=3,又a>0且a#1,

解得a=6,

故選：D

【方法技巧】

熟悉函數(shù)三種變換：（1）平移變換；（2）對稱變換；（3）伸縮變換.

【變式5-1］（2024?江西贛州?二模）已知函數(shù)/（尤）的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數(shù)

圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式（）

C.y=/(i-2x)D.y=f

【答案】C

【解析】

.y=f(l-2x)

①關(guān)于y軸對稱②向右平移1個單位③縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?/p>

故選：C.

【變式5-2](2024?四川南充?二模)已知函數(shù)，(x)=ex-er,則函數(shù)y=f(xT)+l的圖象()

A.關(guān)于點(1,1)對稱B.關(guān)于點(TD對稱C.關(guān)于點(-1,0)對稱D.關(guān)于點

(1,0)對稱

【答案】A

【解析】因為/(x)=e=eT,所以/(-x)=e-f(x),即/⑺的圖象關(guān)于原點對稱，

函數(shù)y=/(x-D+i的圖象可由Ax)的圖象，先向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到,

所以函數(shù)＞=f(x-D+l的圖象關(guān)于點(1』)對稱.

故選：A.

【答案】C

【解析】由圖知，將/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱后再向下平移1個單位即得圖2,

又將/(X)的圖象關(guān)于y軸對稱后可得函數(shù)y=〃-x)，

再向下平移1個單位，可得y=〃-x)-1

所以解析式為y=〃-x)-1,

故選：C.

題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值

【典例6-1】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃力=.若〃?<",/(m)=/(n),則"一機(jī)

[x+3,x<0

的最小值為()

53

A.1B.—C.-D.2

42

【答案】D

【解析】畫出"》)的圖象如下圖所示，

令/(")=/(〃)=/,則0</V3,

5.—3<m<0<n,貝U25A7=t,m+3=t,

所以〃=—且加=，一3,

4

訴l、jt2—4z+12("2)+8/、

所以〃—機(jī)=---------=--------(0</W3),

44v7

當(dāng)，=2時，〃-機(jī)取得最小值為2.

故選：D.

【典例6-2]用min{a,4c}表示a,b,c三個數(shù)中的最小值，則函數(shù)/(x)=min[x+l,-；x+4,-x+61

的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】在一個坐標(biāo)系中畫出y=尤+1,>=-；龍+4,y=-x+6的圖像，從左到右，取橫坐標(biāo)對應(yīng)的縱坐標(biāo)小

的點構(gòu)成新的圖像，如圖:

y=x+l

聯(lián)立1，，解得4(2,3),

y=——x+4

2

min{x+l,-：x+4,-x+61的最大值為3

函數(shù)f(x)=

故選：C.

【方法技巧】

利用函數(shù)圖像求函數(shù)的最值，先作出所涉及到的函數(shù)圖像，根據(jù)題目對函數(shù)的要求，從圖像上尋找取

得最值的位置，計算出答案，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

【變式6-1]已知支eR,設(shè)函數(shù)/(x)=|log2X+2x+可在區(qū)間上,/+1]?>0)上的最大值為M。).若

{b\M,(b)>2]=R,則正實數(shù)f的最大值為

【答案】；

【解析】畫出f(x)=|log2X+2x+4的圖象如下:

由圖象可知，當(dāng)/⑺=/”+1)時，M。)取得最小值，最小值為了⑺，

此時/＜旭＜/+1,-(log2r+2z+Z?)=log2(?+l)+2(r+l)+Z?,

貝Ij力=一glog2《z+l)—2%—l①，

故只需要—(log2r+2/+b”2②，

將①代入②得一［log?f+2/-；log?f(/+1)-2/-jN2,

化簡得」解得區(qū)?，

Z+143

故正實數(shù)方的最大值為;.

故答案為：；

【變式6-2】對a,bsR,記max{a,6}=1m＜份，則函數(shù)了(尤)=max,尤+l|,f-2x+j的最小值

為.

3

【答案】1/1.5

【解析】函數(shù)/(x)=max卜+1|,X2-2X+；1是函數(shù)y=|x+l|與函數(shù)y=—-2x+：同一個x取得的兩個函數(shù)

值的較大的值，

o

作函數(shù)y=|x+l|與函數(shù)y=f-2x+=的圖象如下，

915

由圖象可知，x2—2x+—=x+1,得了=7或%=大,

422

13

故當(dāng)x=3時，"幻的最小值為

,3

故答案為：—.

題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式

|log2x|,xe(O,4)

【典例7-1】已知函數(shù)〃x)=31、，則滿足14/(x)43的x的取值范圍為()

--,XE[4,+OO)

A.[0,2]D[4,6]B.—u[4,6]

c-MMD.I，Iu[2,6]

_oZJ|_oZ_

【答案】D

【解析】令〃x)=l,則|log2x|=l(xe(0,4))或N^=l(xe[4,+oo)),

X-J

解得x=1或x=2或x=6.

2

令/(無)=3,則|log2H=3(xw(O,4))或N^=3(xe[4,+(?)),

x-3

解得X=：或x=4.

o

畫出函數(shù)/(X)圖象的草圖(如圖)，得滿足l</(x)V3的X的取值范圍為

o2

13

XH---,XG0,—

22

【典例7-2]（2024?重慶沙坪壩-模擬預(yù)測）已知函數(shù)"%）=<則

2-小-13

,XG—,+00

2

〃x）>|log2,的解集是（）

【答案】C

331

【解析】根據(jù)題意當(dāng)xe-,3、h,/(x)=2-(x-1+1)=3-x,

9、5

當(dāng)xe3,,J時,/(x)=2T2_/(無一3)]=/(無-3)=x_/,

作出函數(shù)f(x)=,

3、的圖象如圖,

2，+°01

在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|log2x|的圖象,

故選：c

【方法技巧】

利用函數(shù)圖像求解不等式的解集及參數(shù)的取值