陽泉市重點中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

陽泉市重點中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．不等式的解集為（）A. B.C. D.3．點A是曲線上任意一點，則點A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.4．設(shè)命題，則為A. B.C. D.5．已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為()A. B.C. D.6．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.8．即空氣質(zhì)量指數(shù)，越小，表明空氣質(zhì)量越好，當(dāng)不大于100時稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”.如圖是某市3月1日到12日的統(tǒng)計數(shù)據(jù).則下列敘述正確的是A.這天的的中位數(shù)是B.天中超過天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”C.從3月4日到9日，空氣質(zhì)量越來越好D.這天的的平均值為9．甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A. B.C.3 D.411．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)12．若函數(shù)，則（）A. B.C.0 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖三角形數(shù)陣：123456789101112131415……按照自上而下，自左而右的順序，2021位于第i行的第j列，則______14．與直線平行，且距離為的直線方程為______15．已知直線與，若，則實數(shù)a的值為______16．千年一遇對稱日，萬事圓滿在今朝，年月日又是一個難得的“世界完全對稱日”（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對稱的日期）.數(shù)學(xué)上把這樣的對稱自然數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有個（），其中末位是奇數(shù)的又叫做回文奇數(shù)，則在內(nèi)的回文奇數(shù)的個數(shù)為___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答下列題目設(shè)首項為2的數(shù)列的前n項和為，前n項積為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求的值18．（12分）如圖，在三棱柱中，面ABC，，，D為BC的中點（1）求證：平面；（2）若F為中點，求與平面所成角的正弦值19．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，為等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和20．（12分）已知圓D經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.（1）求圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：與圓D交于M、N兩點，求線段MN的長度.21．（12分）已知點是圓上任意一點，是圓內(nèi)一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點（1）當(dāng)點在圓上運動時，求點的軌跡的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過坐標(biāo)原點，且斜率為的直線與曲線相交于、兩點，記、的斜率分別是、，以、為直徑的圓的面積分別為、當(dāng)、都存在且不為時，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由22．（10分）已知函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性.（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】計算，然后等價于在（0，+∞）由2個不同的實數(shù)根，然后計算即可.【詳解】的定義域是（0，+∞），，若函數(shù)有兩個不同的極值點，則在（0，+∞）由2個不同的實數(shù)根，故，解得：，故選：D.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點個數(shù)求參，考查計算能力以及思維轉(zhuǎn)變能力，屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：A.3、A【解析】動點在曲線，則找出曲線上某點的斜率與直線的斜率相等的點為距離最小的點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域為：對求導(dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時，，則此時該點到直線的距離為最小根據(jù)點到直線的距離公式可得：解得：故選：A4、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)該為，即本題的正確選項為C.5、A【解析】根據(jù)已知不等式和要求解的不等式特征，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式.通過已知條件研究g(x)的奇偶性和單調(diào)性即可解該不等式.【詳解】令，則根據(jù)題意可知，，∴g(x)是奇函數(shù)，∵，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∵g(x)是奇函數(shù)，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調(diào)遞減，由不等式得，.故選：A.6、B【解析】先分析充分性：假設(shè)特殊等比數(shù)列即可判斷；再分析充分性，由條件得恒成立，再對和進(jìn)行分類討論即可判斷.【詳解】先分析充分性：在等比數(shù)列中，，所以假設(shè)，，所以，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，當(dāng)，時，成立，當(dāng)，時，不成立，當(dāng)，時，不成立，當(dāng)，時，不成立，當(dāng)，時，成立，當(dāng)，時，不成立，當(dāng)，時，不恒成立，當(dāng)，時，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時成立，所以必要性成立.故選：B.7、C【解析】取中點，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數(shù)計算的正弦值.【詳解】取中點，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C8、C【解析】這12天的AQI指數(shù)值的中位數(shù)是，故A不正確；這12天中，空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正確；；從4日到9日，空氣質(zhì)量越來越好，，故C正確；這12天的指數(shù)值的平均值為110，故D不正確.故選C9、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖，結(jié)合均值、方差的實際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.10、C【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)，再由，可求出的關(guān)系式，然后求【詳解】由，得，因為，所以，所以，故選：C11、B【解析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件，再根據(jù)題設(shè)不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故選：B.12、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，再用積的求導(dǎo)法則求導(dǎo)計算得解.【詳解】令，則，求導(dǎo)得：，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、69【解析】由圖可知，第行有個數(shù)，求出第行的最后一個數(shù)，從而可分析計算出，即可得出答案.【詳解】解：由圖可知，第行有個數(shù)，第行最后一個數(shù)為，因為，所以第行的最后一個數(shù)為2016，所以2021位第行，即，又，所以2021位第行第5列，即，所以.故答案為：69.14、或【解析】由題意，設(shè)所求直線方程為，根據(jù)兩平行直線間的距離公式即可求解.【詳解】解：由題意，設(shè)所求直線方程為，因為直線與直線的距離為，所以，解得或，所以所求直線方程為或，故答案為：或.15、【解析】由可得，從而可求出實數(shù)a的值【詳解】因為直線與，且，所以，解得，故答案：16、【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，結(jié)合題中定義、組合的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】兩位數(shù)的回文奇數(shù)有，共個，三位數(shù)的回文奇數(shù)有，四位數(shù)的回文奇數(shù)有，所以在內(nèi)的回文奇數(shù)的個數(shù)為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）若選①可得，從而得到，即可得到是常數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式；若選②，根據(jù)，作差即可得到，再利用累乘法計算可得；若選③：可得，即可得到數(shù)列是等差數(shù)列，首項為2，公差為1，從而求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消法計算可得；【小問1詳解】解：選①：∵即∴即∴數(shù)列是常數(shù)列∴∴選②：∵∴時，則即∴∴當(dāng)時，也滿足，∴選③：因為，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項為2，公差為1則∴【小問2詳解】解：由（1）可得，∴18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接交于點O，連接OD，通過三角形中位線證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】解法1：如圖，連接交于點O，連接OD，因為在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以O(shè)是的中點，因為D為BC的中點，所以在中，，因為平面，平面，所以平面平面解法2：因為在三棱柱中，面ABC，，所以BA，BC，兩兩垂直，故以B點為坐標(biāo)原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，因為，所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，∴，平面，所以平面；【小問2詳解】設(shè)與平面所成角為，由(1)知平面法向量為，F(xiàn)為中點，∴，，∴即與平面所成角正弦值為.19、（1），；（2）【解析】（1）由已知利用遞推公式，可得，代入分別可求數(shù)列的首項，公比，從而可求.（2）由（1）可得，利用乘“公比”錯位相減法求和【詳解】解：(1)當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，故的通項式為設(shè)的公比為，由已知條件知，，，所以，，即(2)，兩式相減得：【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求法，錯位相減法求數(shù)列通項，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）利用圓的弦長公式即可得出答案.【小問1詳解】解：設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得，解得，所以圓D標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】解：由（1）可知圓心，半徑，所以圓心D（1，0）到直線l：的距離，所以.21、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)由條件可得點軌跡滿足橢圓定義，設(shè)出橢圓方程，由，的值可得的值，從而求得軌跡方程；(2)設(shè)出直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求得為定值，也為定值，從而可得是定值【小問1詳解】由題意知，，根據(jù)橢圓的定義知點的軌跡是以，為焦點的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，，曲線的方程為；【小問2詳解】由題意知直線的方程為且m≠0)，設(shè)直線與橢圓的交點為，，，，由得，，，，，，，，，，是定值，為．22、（1）在R上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；（2）證明見解析.【解析】（1）對求導(dǎo)，令并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值，確定的符號，即可知的單調(diào)