2025年高考數(shù)學二輪復(fù)習：函數(shù)的極值、最值和零點問題 學案講義

函數(shù)的極值、最值和零點問題

知識導(dǎo)引

1.極值

一般地,設(shè)函數(shù)y=y(x)的定義域為。，取x。e。，如果對于X。附近的任意不同

于飛的x(是指存在區(qū)間(a,b)=。，使得/G(a,Z?),xe(a,b)且x/%)都有：

(1)/(x)</(x。)，則稱x。為函數(shù)/(x)的一個極大值點，且/(x)在/處取得極

大值；

(2)/(%)>/■(%),則稱/為函數(shù)f(x)的一個極小值點，且“X)在七處取得極

小值.

極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.

一般地，如果X。是/⑺的極值點，且/(x)在x0處可導(dǎo)，則必有廣西)=0.若

/''(X。)存在，則“r(%)=0”是“不是/(x)的極值點”的必要不充分條件.

2.最值

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值;最值一般在極值與端點函數(shù)值中取得.

3.零點

連續(xù)函數(shù)/(%),若存在a<6,使得/(?)/(/>)<0,則存在/e(a,Z?),使得

/(%)=0,在具體函數(shù)中，尋找a,b常常與極值點有聯(lián)系.

,,,

4.*當〉=/(x)在/處可導(dǎo),若/(xo)=O,/(xo)>O,則%是/(%)的極小值點;

W

若廣(/)<O,/(xo)<0,則x0是/(%)的極大值點.

進階提升

題目1

已知函數(shù)/(x)=Inx-tzx,xe[1,e],若函數(shù)/(x)的最大值為-4,求函數(shù)/(%)的

表達式.

審題利用函數(shù)的單調(diào)性求出/(X)max=-4,進而得到/(X)的表達式.

解析/，(x)=--a=1QX,xe[l,e],

xx

①當a..1時，函數(shù)“X)在[l,e]上為減函數(shù),所以/(x)max=/(1),解得a=4;

②當，<a<l時，函數(shù)/(x)在上為增函數(shù)，在J,ej上為減函數(shù)，故

/?ax=/Q^解得a=e?(不符合,舍去)；

③當時，函數(shù)/(x)在[l,e]上為增函數(shù)，/(x)max=/(e),解得

a=*(不符合,舍去)；

e

所以a=4,即/(x)=lnx-4x.

回爐分類討論求出函數(shù)最值,是此類問題的常見解法.

【相似題1】

若函數(shù)f(x)=lwc+ln(2-x)+ax(a>0)在(0,1］上的最大值為2,則

a=

題目2

若函數(shù)/(x)=f—glnx+1在其定義域內(nèi)的一個子集(a-l,a+l)上存在極值,求

實數(shù)。的取值范圍.

審題求出極值點位于區(qū)間即可,一定要注意定義域.

解析對/(%)求導(dǎo)得/'(x)=(2、+1產(chǎn)-1)

當0<x<g時，/<x)<0J(x)單調(diào)遞減；當x>g時，/'〈X)>0J(x)單調(diào)遞增.

故;為/"(X)的極小值點.

若/(%)在定義域內(nèi)的一個子集(a-1,a+1)上存在極值，

13

則有0?a—1<—<a+1,解得1,,6Z<—.

回爐必要條件為廣(力=0在(Q-1,4+1)上有解.

【相似題2】

32

設(shè)函數(shù)/(x)=x+3bx+3c%有兩個極值點國,%2，且國￡[-1,0],x2G[1,2]

(1)試求。的取值范圍；

(2)求證：一10"(工2)”一展

題目3

已知函數(shù)f(x)=x3-x2-x-1的圖象與直線y=c有2個不同的交點，求實數(shù)c

的取值范圍.

審題本題考查三次函數(shù)圖象特點,利用函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)圖象進行分析.

解析對y(x)求導(dǎo)得/[X)=(3X+D(X-1).

當x<-g時，/■，(%)>0,/(%)單調(diào)遞增；當-:<*<1時/■〈力<0,/(%)單調(diào)遞減;

當X>1時,r(x)>0J(x)單調(diào)遞增,其中=-||，/⑴=-2.

若/⑴的圖象與直線y=c有2個不同的交點，則有c=(-或c=/■⑴，解

22

得c=---或c=-2.

27

回爐本題中/(力=/-/-彳-1并不含參數(shù)，因此圖象是固定的，通過數(shù)形

結(jié)合不難知道：若函數(shù)/(x)=x3-x2-x-l的圖象與直線y=c有2個不同的交點，

則c必與函數(shù)極值產(chǎn)生聯(lián)系.

【相似題3】

已知函數(shù)/(x)=ex-x-a,aeR.

⑴當a=0時,求/(x)-(e-l)x的最小值;

⑵討論函數(shù)/(%)的零點的個數(shù).

題目4

設(shè)aeR已知函數(shù)f(x)=ln(X+a\g(x)=e-x.

X

⑴當a=l時，證明：當x>0時，/(x)>g(x)；

(2)當a>1時，證明：函數(shù)y=f(x)-g(x)有唯一零點.

審題(1)構(gòu)造函數(shù)來處理不等式問題，⑵先利用第(1)小題的結(jié)論，易得當

x>0時，y=/(x)-g(x)>0恒成立,所以只需考慮>=/(x)-g(x)在4,0時的零點

問題.

解析⑴即證g+1)>e-，等價于In(x+1)〉三，

xe

記皿山川)一部>。),則叫六士一子=告-

因為x>0,所以e^+x?一1〉]一1〉0,所以貝ija(x)為增函數(shù)，

故h(x)>h(O)=0成立,所以/(x)>g(x).

(2)當x>0時，因為。>1,由⑴知

lnA+(7

f(x)-g(x)=()_e-x>ln(x+l)_eT>0，所以函數(shù)y=/(x)_g(x)在x>0

時沒有零點.

i/.\ln(x+a)----

下面考慮當xe(-a,0)時)/(X)-g(x)=*n"-尸=----------巴的零點

XX

情況.

ex+x2+(tz-l)x-tz

記從X)=ln(x+tz)--(XG(-=----.—

e"'7x+aex(x+a)e”

記尸(x)=ex+x2+(tz-1)x-tz,則尸'(x)=e"+2x+a-1,令G(x)二產(chǎn)'(%)，

因為6<％)=^+2>0,所以6(力遞增，即為(％)=1+2]+。-1遞增,

因為0>1且尸4)=-"—a—l(0,E'(0)=a)0,

故尸(x)在(-a,0)上存在唯一零點七,

所以尸(x)在(-a,x0)上遞減，在(x0,0)上遞減.

由尸(一°)=片">0,尸(毛)<0,尸(0)=1—a<0,

所以尸(x)=ev+x2+(a-1卜-。在xe(-a,x0)上有唯一零點，記為七,

則當xe(一a,xj時，尸(x)>0,/z,(x)>0,當xe(占,0)時，F(xiàn)(x)<O,1(x)<0,

所以/i(x)=ln(x+a)-三在(-%匹)上為增函數(shù)，在(再⑼上為減函數(shù).

e

因為人(0)=1加>0,所以力⑴在(七,0)無零點.

又因為力(再)>A(0)>0,當xe(-a,xj時,一~—=(-x)-e~x<a-ea,

所以當xe(-°,可)7-%一a+e“)時，

"(x)”ln(x+a)+a"e“<hj-a+e-+a)+ae"=0,(或當x->-a

時，6(x)->-e)所以在(-a,0)上有唯一零點，

綜上可知，函數(shù)夕=/(x)-g(x)有唯一零點.

回爐利用函數(shù)單調(diào)性與極值是處理函數(shù)零點的常見方法.

【相似題4】

已知函數(shù)[(x)=sira-ln(l+x),/[x)為/(%)的導(dǎo)數(shù).

證明：(1)/''(x)在區(qū)間上存在唯一極大值點；

(2)f(x)有且僅有2個零點.

題目5

已知函數(shù)/(x)=xeTx,xeR.

⑴求函數(shù)，(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱,證明:

當x>i時，y(x)>g(x)；

(3)如果X]W彳2，且/(再)=/(%2),證明：演+了2>2.

審題單調(diào)區(qū)間問題和不等式問題可利用構(gòu)造函數(shù)法解決，第(3)小題可利用

第⑵小題的對稱函數(shù)g(x)=/(2-x)=(2-x)e-,再利用函數(shù)的單調(diào)性,求得藥廣2

的關(guān)系.

解析⑴因為廣(x)=(l-x)e-，，

所以/'(X)的增區(qū)間為(-8,1],減區(qū)間為[1,+力)，

當X=1時，/(X)有極大值/(1)=-.

e

(2)由題意可知g(x)=/(2-x)=(2-x)ex-2,

令尸(x)=/(x)-g(x),即產(chǎn)(x)=心一"+(x-2)e"-2,

于是干(x)=(x—l)(e2i_i)eT,

當x>l時，2x-2>0,從而e2A2—i>o,又2>0,所以產(chǎn)(x)>0,

從而函數(shù)尸(x)在[1,+“)上是增函數(shù).

又尸⑴=e-「「=0，所以當x>l時，有F(x)>F(l)=O，即當x>l

時，/(x)>g(x).

(3)不妨設(shè)了2>%1，則由題意借助/(x)的單調(diào)性可得々>1>看,

由(2)可知,/(%2)>g(%2),

因為g(%2)=/(2-彳2),所以/(迎)>/(2-

從而/(不)>/(2-12).

因為々>1,所以2-/<1.

又由⑴可知函數(shù)/(X)在區(qū)間(-8,1)上是增函數(shù)，

所以X]>2-x2,即用+工2>2.

回爐構(gòu)造對稱函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性可以解決函數(shù)值相等的兩變量的大小

問題.

【相似題S】

已知函數(shù)f(x)=lux-ax2+(2-tz)x.

⑴討論的單調(diào)性；

(2)設(shè)a〉0,證明：當0vxV)時，/仕+%]>f\-■-x|;

a\a)\a)

(3)若函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸交于45兩點，線段ZB中點的橫坐標為飛,

證明：廣(%)<0

題目6

已知函數(shù)/（x）=xlnx-ax2,aeR.

/,、>-r、“，f（x\+ax~-x+2I

（1）證明nn：當l<x<3時，——------>—；

（3-x）;exe2

（2）設(shè)函數(shù)/=在［l,e］上有極小值,求a的取值范圍.

審題（1）因為函數(shù)式很復(fù)雜,難以處理,直接求導(dǎo)不可行,所以需要進行不等

式放縮，常見函數(shù)不等式有el/+l,當且僅當x=0時取等號；1+lm;,x,當且僅當

x=l時取等號.

r」f(x)+ax2-x+21/

解析(1)當lvx<3時，---------------->—<?(3-x)e2<xlnx-x+2,

(3-x)e"e

易證elx+1,當且僅當x=0時取等號；1+1段,x,當且僅當x=l時取等號，因為

3-x>0,所以（3-》k7==,，==1，當且僅當x=2時取等

e3-x

號，xlnx-x+2=-xln，一%+一1］一x+2=l,當且僅當x=l時取等號，所以

X\x）

（3-x）ex-2<xlnx-x+2,得證.

⑵F(x)=|/(x)|=x2w[l,e](注：分離變量),令g(x)=—,則

g<x)=l產(chǎn)...0,所以g(x)e0,-,

xLe_

①當4,0時，戶(x)=處1%-辦2/(x)=l+lnx-2例..0,/(%)沒有極值，不合題意;

②當0<a」時,3x0e（l,e）,F（xo）=O,當xw/時，F(xiàn)（x）>F（x0）,所以尸（%）

e

是尸（X）的極小值，滿足題意；

1+lnx

(3)當a...—時，產(chǎn)(%)二公之一xlnx,產(chǎn)=2ax—(l+lnx)=2xQ----；---令---

e2x

7/、1+lnx［l,e］,則/⑴喏…0,所以h（x）在［l,e］上遞增,則

nyx)=a-----——,xG

,要使尸(x)有極小值，必需a-g<0<"即aed，綜

h（x\ea—,ci—

2e

回爐利用基本指、對數(shù)不等式進行放縮，需要掌握一些變形技巧；若令

產(chǎn)(x)=x|lnx-ax|,g(x)=h\x-ax,則會糾纏不清.

【相似題6】

已知函數(shù)f（x）=ln（26rx+l）+---x一2QX（Q￡R）.

(1)若x=2是/(x)的極值點,求。的值；

(2)若y=/(x)在［3,+。)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

⑶當a=」時,方程=—^+幺有實根,求b的最大值.

23x

題目7

已知函數(shù)f（x）=alwc+^x-2a-Jx有兩個極值點看,々.

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）求證：/（^）<0;

（3）若馬...9再，求,二2）一/&）的最大值.

x2-2

審題（1）利用導(dǎo)函數(shù)有兩個不同零點來求參數(shù)范圍；

⑵利用廣?）=o得到°與網(wǎng)的關(guān)系,然后得到了?）的單變量解析式；

（3）可用比值換元”迤將馬...9七變成單變量問題.

X]

解析（1）函數(shù)/"（X）的定義域為（0,+“），

因為/，⑺=x-2a6+2a=（^〉0）有兩個解再,乙,

’2x

所以方程r-2〃+2a=0有兩個不同的正根新",日",

由A=4/-8Q>0,且a>0,可得a的取值范圍是a>2.

⑵由⑴知，不妨設(shè)藥<九時，/（%）在（。，西）和（X2，+動上遞增，在（玉,12）上遞

減,因為再一2a^~+2a=0,所以a——<=----,A/XT—CI-Na2-2a

242

因-1=a—1—yja?—2a—Ja?-2a+1—Ja,-2a>0,ffr以-xj^i〉1,

故只要證Inxi-<0

設(shè)g(x)=lnx-4-l,則g[x)=之J,函數(shù)g(x)在(0,4)上遞增,在(4,+<x>)上

遞減,故g(x),,g(4)=ln4-3<0,則/(xJ<0得證.

(3)根據(jù)韋達定理，?+區(qū)=向?值"=2a,

/(X2)-/(Xl)=?ln-+T(X2-X1)-2?(V^-AR)

=—+—(%一演)_(+~

NX]N27^~7^2-)(7^_7^1")

令k」gm「i

x2一項2

昆.3設(shè)萬(。=粵=■，其中J3,

因為彳2…9X],所以令:

王t-1

22(/-1)-+1)1皿+1)

貝小片1(一Int+l)(t-l)-——2t]nt

-<0,

97

所以函數(shù)〃⑴在區(qū)間[3,+8)上單調(diào)遞減，當J3時，力(","3)=3,

8

則/⑷一小)的最大值是m.

x2-x18

回爐利用根表示系數(shù),進而轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞繂栴}；比值換元是處理雙變量問題

的常見方法之一.

【相似題7】

已知函數(shù)f(X)=--A：+6zlnX.

⑴討論了(X)的單調(diào)性；

⑵若/(X)存在兩個極值點看,4，證明：“*)-/⑷<?-2.

題目8

已知函數(shù)/(x)=lux+(1-?)x3+g(x)=xex-b,其中Q/ER,