河北省衡水市衡水中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

河北省衡水市衡水中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，則該函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間（）A. B.C. D.2．已知偶函數(shù)的定義域?yàn)榍?，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.3．已知，則的最小值是（）A.5 B.6C.7 D.84．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.5．已知函數(shù)，若存在四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.6．在中，下列關(guān)系恒成立的是A. B.C. D.7．基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天8．已知角x的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin，cos)，則角x的最小正值為()A. B.C. D.9．函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（）A. B.C. D.10．已知，則的值等于（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知集合，，則_________.12．如果實(shí)數(shù)滿足條件，那么的最大值為__________13．已知函數(shù)，，對(duì)任意，總存在使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.14．記函數(shù)的值域?yàn)?，在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率等于__________15．已知對(duì)于任意x,y均有,且時(shí)，，則是_____（填奇或偶）函數(shù)16．已知，，則___________（用a、b表示）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.18．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)(1)求BC邊上的高所在直線的一般式方程；(2)求△ABC的面積19．已知函數(shù).（1）求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，記，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值5和最小值2，求、的值21．有一種候鳥每年都按一定的路線遷陟，飛往繁殖地產(chǎn)卵．科學(xué)家經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是，其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，表示測(cè)量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）若=3，候鳥每分鐘的耗氧量為8100個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？（2）若=6，候鳥停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為多少個(gè)單位？（3）若雄鳥的飛行速度為，雌鳥的飛行速度為，那么此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】分別將選項(xiàng)中區(qū)間的端點(diǎn)代入,利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可【詳解】由題,,,,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間,屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】令得，作出和在上的函數(shù)圖象如圖所示，由圖像可知和在上有個(gè)交點(diǎn)，∴在上有個(gè)零點(diǎn)，∵，均是偶函數(shù)，∴在定義域上共有個(gè)零點(diǎn)，故選點(diǎn)睛：對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等3、C【解析】，根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：，因?yàn)?，又，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，即的最小值是7.故選：C4、C【解析】根據(jù)函數(shù)解析式求得，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間【詳解】解：函數(shù)，定義域?yàn)?，且為連續(xù)函數(shù)，，，，故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】令，則，由題意，有兩個(gè)不同的解，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，由圖可知，得或，所以和各有兩個(gè)解當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，則，當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，則或，綜上，的取值范圍是，故選D點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．本題為嵌套函數(shù)的應(yīng)用，一般的，我們應(yīng)用整體思想解決問題，所以令，則，由題意，有兩個(gè)不同的解，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，再結(jié)合圖象逐步分析，解得答案6、D【解析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為，逐個(gè)去分析即可選出答案【詳解】由題意知，在三角形ABC中，，對(duì)A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，，故D選項(xiàng)正確．故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題7、B【解析】根據(jù)題意可得，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，根據(jù)，解得即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對(duì)數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】先根據(jù)角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)判斷出角的終邊所在象限，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出角的最小正值【詳解】因?yàn)?，，所以角的終邊在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知，故角的最小正值為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查利用角的終邊上一點(diǎn)求角，意在考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解以及終邊相同的角的表示，屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)恒過定點(diǎn)得到定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義得，即可得到答案.【詳解】由于函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)，則，點(diǎn)，點(diǎn)在角的終邊上，.故選：D.10、B【解析】由分段函數(shù)的定義計(jì)算【詳解】，，所以故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，求出集合A，再根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】解：，，，故答案為：.12、1【解析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可【詳解】先根據(jù)約束條件畫出可行域，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，z最大是1，故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題13、【解析】根若對(duì)于任意的∈，總存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，得到函數(shù)f（x）在上值域是g（x）在上值域的子集，然后利用求函數(shù)值域之間的關(guān)系列出不等式，解此不等式組即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍即可【詳解】∵，∴f（0）≤f（x）≤f（1），即0≤f（x）≤4，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)锽＝[0，4]，若對(duì)于任意的∈，總存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，則函數(shù)f（x）在上值域是g（x）在上值域A的子集，即B?A①若a＝0，g（x）＝0，此時(shí)A＝{0}，不滿足條件②當(dāng)a≠0時(shí)，在是增函數(shù)，g（x）∈[﹣+3a，]，即A＝[﹣+3a，]，則，∴綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)的值域，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題14、【解析】因?yàn)?；所以的概率等于點(diǎn)睛：(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域（3）幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率15、奇函數(shù)【解析】賦值，可求得，再賦值即可得到，利用奇偶性的定義可判斷奇偶性；【詳解】，令，得，，再令，得，是上的奇函數(shù)；【點(diǎn)睛】本題考查了賦值法及奇函數(shù)的定義16、##【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，再由指對(duì)數(shù)關(guān)系有，，即可得答案.【詳解】由，又，，∴，，故.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、最大值53，最小值4【解析】先化簡(jiǎn)，然后利用換元法令t＝2x根據(jù)變量x的范圍求出t的范圍，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求在閉區(qū)間上的最值即可【詳解】∵，令，，則，對(duì)稱軸，則在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.則，即時(shí)，；，即時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，以及利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解值域的問題，屬于基礎(chǔ)題18、（1）x＋5y＋3＝0；（2）S△ABC＝3【解析】求三角形一邊的高所在的直線方程時(shí)，可利用點(diǎn)斜式求解，由于高線過三角形一個(gè)頂點(diǎn)，與對(duì)邊垂直，借助垂直求出斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程，已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)求面積，最簡(jiǎn)單的方法是求出一邊的長(zhǎng)以及這邊所在直線的方程，高線長(zhǎng)利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，從而求出面積.試題解析：(1)由斜率公式，得kBC＝5，所以BC邊上的高所在直線方程為y＋1＝－(x－2)，即x＋5y＋3＝0.(2)由兩點(diǎn)間的距離公式，得|BC|＝，BC邊所在的直線方程為y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，所以點(diǎn)A到直線BC的距離d＝，故S△ABC＝.【點(diǎn)睛】已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)求面積，最簡(jiǎn)單的方法是求出一邊的長(zhǎng)以及這邊所在直線的方程，高線長(zhǎng)利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，從而求出面積,還可求出三邊長(zhǎng)借助海倫公式去求；求三角形一邊的高所在的直線方程時(shí)，可利用點(diǎn)斜式求解，由于高線過三角形一個(gè)頂點(diǎn)，與對(duì)邊垂直，借助垂直求出斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.19、（1）（2）（3）【解析】分析：(1)先根據(jù)二倍角公式以及配角公式化為基本三角函數(shù)，再代入求值；(2)根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)確定單調(diào)性遞增區(qū)間，再根據(jù)區(qū)間之間包含關(guān)系列不等式，解得實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)先根據(jù)正弦函數(shù)圖像確定a的取值范圍，再根據(jù)對(duì)稱性得，最后代入求實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：（1）∵∴（2）由，得，∴在區(qū)間上是增函數(shù)∴當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則∴，解得（3）方程在區(qū)間內(nèi)有兩實(shí)數(shù)根等價(jià)于直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn).∵當(dāng)時(shí)，由（2）知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，，，∴即實(shí)數(shù)的取值范圍是∵函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱∴，∴∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛:函數(shù)性質(zhì)(1).(2)周期(3)由求對(duì)稱軸，最大值對(duì)應(yīng)自變量滿足，最小值對(duì)應(yīng)自變量滿足，(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間20、，.【解析】利用對(duì)稱軸x=1，[1，3]是f（x）的遞增區(qū)間及最大值5和最小值2可以找出關(guān)于a、b的表達(dá)式，求出a、b的值試題解析：依題意，的對(duì)稱軸為，函數(shù)在上隨著的增大而增大，故當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值，即，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最小值，即，即，∴聯(lián)立方程得，解得，.21、（1）（2）555（3）9【解析】（1）直接代入求值即可，其中要注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算；（2）還是