2025屆黑龍江省哈爾濱尚志中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆黑龍江省哈爾濱尚志中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某老師希望調(diào)查全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時間.該教師調(diào)查了60位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習(xí)時間是3.5小時.這里的總體是（）A.楊高的全校學(xué)生；B.楊高的全校學(xué)生的平均每天自習(xí)時間；C.所調(diào)查的60名學(xué)生；D.所調(diào)查的60名學(xué)生的平均每天自習(xí)時間.2．當(dāng)實數(shù)，m變化時，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.63．已知橢圓與橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.焦距相等 D.離心率相等4．已知等差數(shù)列為其前項和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.135．已知橢圓和雙曲線有共同焦點，是它們一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為A.3 B.2C. D.6．已知直線經(jīng)過點，且是的方向向量，則點到的距離為（）A. B.C. D.7．不等式的解集為（）A.或 B.C. D.8．考試停課復(fù)習(xí)期間，小王同學(xué)計劃將一天中的7節(jié)課全部用來復(fù)習(xí)4門不同的考試科目，每門科目復(fù)習(xí)1或2節(jié)課，則不同的復(fù)習(xí)安排方法有（）種A.360 B.630C.2520 D.151209．如圖，面積為的正方形中有一個不規(guī)則的圖形，可按下面方法估計的面積：在正方形中隨機(jī)投擲個點，若個點中有個點落入中，則的面積的估計值為，假設(shè)正方形的邊長為，的面積為，并向正方形中隨機(jī)投擲個點，用以上方法估計的面積時，的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率為附表：A. B.C. D.10．已知函數(shù).設(shè)命題的定義域為，命題的值域為.若為真，為假，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．若，則（）A. B.C. D.12．已知向量，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，以為圓心的圓經(jīng)過原點，且與拋物線的準(zhǔn)線相切，切點為，線段交拋物線于點，則___________.14．函數(shù)，若，則的值等于_______15．機(jī)動車駕駛考試是為了獲得機(jī)動車駕駛證的考試，采用全國統(tǒng)一的考試科目內(nèi)容及合格標(biāo)準(zhǔn)，包括科目一理論考試、科目二場地駕駛技能考試、科目三道路駕駛技能考試和科目四安全文明常識考試共四項考試，考生應(yīng)依次參加四項考試，前一項考試合格后才能報名參加后一項考試，考試不合格則需另行交費預(yù)約再次補(bǔ)考．據(jù)公安部門通報，佛山市四項考試的合格率依次為，，，，且各項考試是否通過互不影響，則一位佛山公民通過駕考四項考試至多需要補(bǔ)考一次的概率為______16．已知直線與圓相切，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，.（1）求角B；（2）求a，c的值及的面積.18．（12分）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點到平面的距離.19．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，另外考生根據(jù)自己實際需要在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門科目中自選3門參加考試．下面是某校高一200名學(xué)生在一次檢測中的物理、化學(xué)、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，畫出頻率分布直方圖如下圖所示（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）由頻率分布直方圖，求物理、化學(xué)、生物三科總分成績的第60百分位數(shù)；（3）若小明決定從“物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)”五門學(xué)科中選擇三門作為自己的選考科目，求小明選中“技術(shù)”的概率20．（12分）已知橢圓的離心率為，且其左頂點到右焦點的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點、在橢圓上，以線段為直徑的圓過原點，試問是否存在定點，使得到直線的距離為定值？若存在，請求出點坐標(biāo)；若不存在，請說理由.21．（12分）已知等比數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若，設(shè)（），記數(shù)列的前n項和為，求.22．（10分）2021年11月初某市出現(xiàn)新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學(xué)”的行動，老師們立即開展了線上教學(xué)．某中學(xué)為了解教學(xué)效果，于11月30日復(fù)課第一天安排了測試，數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高二年級學(xué)生這次測試的數(shù)學(xué)成績與每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長之間的相關(guān)關(guān)系，對在校高二學(xué)生隨機(jī)抽取45名進(jìn)行調(diào)查，了解到其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時，并得到如下的統(tǒng)計圖：（1）根據(jù)統(tǒng)計圖填寫下面列聯(lián)表，是否有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長有關(guān)”；數(shù)學(xué)成績不超過120分?jǐn)?shù)學(xué)成績超過120分總計每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時25每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時總計45（2）從被抽查的，且這次數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，求這兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的概率附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由總體的概念可得答案.【詳解】某老師希望調(diào)查全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時間，該教師調(diào)查了60位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習(xí)時間是3.5小時，這里的總體是全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時間.故選：B.2、D【解析】根據(jù)點到直線的距離公式可知可以表示單位圓上點到直線的距離，利用圓的性質(zhì)結(jié)合圖形即得.【詳解】由題可知，可以表示單位圓上點到直線的距離，設(shè)，因直線，即表示恒過定點，根據(jù)圓的性質(zhì)可得.故選：D.3、C【解析】利用，可得且，即可得出結(jié)論【詳解】∵，且，橢圓與橢圓的關(guān)系是有相等的焦距故選：C4、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，，進(jìn)而根據(jù)條件求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.5、D【解析】設(shè)橢圓長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長a2，焦距2c．根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到，利用基本不等式可得結(jié)論【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設(shè)|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D【點睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，考查利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題6、B【解析】求出，根據(jù)點到直線的距離的向量公式進(jìn)行求解.【詳解】因為，為的一個方向向量，所以點到直線的距離.故選：B7、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】由不等式可得或不等式的解集為或故選：A8、C【解析】，先安排復(fù)習(xí)節(jié)的科目，然后安排其余科目，由此計算出不同的復(fù)習(xí)安排方法數(shù).【詳解】第步，門科目選門，安排節(jié)課，方法數(shù)有種，第步，安排其余科目，每門科目節(jié)課，方法數(shù)有種，所以不同的復(fù)習(xí)安排方法有種.故選：C9、D【解析】每個點落入中的概率為，設(shè)落入中的點的數(shù)目為，題意所求概率為故選D10、C【解析】根據(jù)一元二次不等式恒成立和二次函數(shù)值域可求得為真命題時的取值范圍，根據(jù)和的真假性可知一真一假，分類討論可得結(jié)果.【詳解】若命題為真，則在上恒成立，，；若命題為真，則的值域包含，則或，；為真，為假，一真一假，若真假，則；若假真，則；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：C.11、D【解析】設(shè)，計算出、的值，利用平方差公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)由已知可得，，因此，.故選：D.12、A【解析】根據(jù)得出，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析可知為等腰三角形，可得出，將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，可求得的值，可得出拋物線的方程以及點的坐標(biāo)，求出點的坐標(biāo)，設(shè)點，其中，分析可知，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求出的值，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線的定義結(jié)合已知條件可知，則為等腰三角形，易知拋物線的焦點為，故，即點，因為點在拋物線上，則，解得，所以，拋物線的方程為，故點、，因為以點為圓心，為半徑的圓與直線相切于點，則，設(shè)點，其中，，，由題意可知，則，整理可得，解得，因此，.故答案為：.14、【解析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，化簡即可求出的值.【詳解】函數(shù).故答案為：.15、【解析】至多需要補(bǔ)考一次，分5種情況分別計算后再求和即可.【詳解】不需要補(bǔ)考就通過的概率為；僅補(bǔ)考科目一就通過的概率為；僅補(bǔ)考科目二就通過的概率為；僅補(bǔ)考科目三就通過的概率為；僅補(bǔ)考科目三就通過的概率為，一位佛山公民通過駕考四項考試至多需要補(bǔ)考一次的概率為.故答案為：16、【解析】由直線與圓相切，結(jié)合點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由直線與圓相切，所以圓心到直線l的距離等于半徑r，即.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），，【解析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得，進(jìn)而求得.（2）利用余弦定理求得和，由此求得三角形的面積.【小問1詳解】由于，∴.又∵，∴.∴.【小問2詳解】∵，且，，，∴，解得或（舍）.∴，.∴.18、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量及，利用向量的夾角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小問1詳解】解：以點作坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，0，，設(shè)平面的一個法向量為，又，則，則可取，又，設(shè)直線與平面的夾角為，則，直線與平面的正弦值為；【小問2詳解】解：因為所以點到平面的距離為，點到平面的距離為19、（1）=0.005（2）232（3）【解析】（1）由頻率和為1列方程求解即可，（2）由于前3組的頻率和小于0.6，前4組的頻率和大于0.6，所以三科總分成績的第60百分位數(shù)在第4組內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，從而可求得結(jié)果，（3）利用列舉法求解即可【小問1詳解】由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075++0.0025)×20=1，解得=0.005【小問2詳解】因為(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.6，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.6，所以三科總分成績的第60百分位數(shù)在[220，240)內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，解得=232，即第60百分位數(shù)為232【小問3詳解】將物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)5門學(xué)科分別記作．則事件A表示小明選中“技術(shù)”，則，所以P(A)=20、（1）；（2）存在，.【解析】（1）由題設(shè)可知求出，再結(jié)合，從而可求出橢圓的方程，（2）①若直線與軸垂直，由對稱性可知，代入橢圓方程可求得結(jié)果，②若直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)，，再由條件，得，從而得，再利用點到直線的距離公式可求得結(jié)果【詳解】（1）由題設(shè)可知解得，，，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)，，①若直線與軸垂直，由對稱性可知，將點代入橢圓方程，解得，原點到該直線的距離；②若直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，由消去得，則由條件，即，由韋達(dá)定理得，整理得，則原點到該直線的距離；故存在定點，使得到直線的距離為定值.21、（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知建立方程組，求得數(shù)列的首項和公比，從而求得數(shù)列的通項；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得和（），運(yùn)用錯位相減法可求得數(shù)列的和【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，可得，記為①又因為，可得，即記為②，由①②可得或，故的通項公式為或（Ⅱ）由（Ⅰ）及可知，所以（），所以③④③－④得，所以【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和.（2）錯位相減法：若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求.（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，相消剩下首尾的