2025屆湖南省長沙市開福區(qū)長沙市第一中學高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆湖南省長沙市開福區(qū)長沙市第一中學高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．高二某班共有60名學生，其中女生有20名，“三好學生”人數(shù)是全班人數(shù)的，且“三好學生”中女生占一半.現(xiàn)從該班學生中任選1人參加座談會，則在已知沒有選上女生的條件下，選上的學生是“三好學生”的概率為（）A. B.C. D.2．已知實數(shù)滿足，則的取值范圍（）A.-1m B.-1m<0或0<mC.m或m-1 D.m1或m-13．“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.86．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.7．東漢末年的數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.對于圖2.下列結(jié)論正確的是（）①這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形；②若，，則；③若，則；④若是的中點，則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④8．為推動黨史學習教育各項工作扎實開展，營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學習教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學習必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（）A.10種 B.12種C.16種 D.24種9．拋物線y＝4x2的焦點坐標是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.10．已知直線，，若，則實數(shù)（）A. B.C.1 D.211．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的極大值為，無極小值 B.函數(shù)的極小值為，無極大值C.函數(shù)的極大值為0，無極小值 D.函數(shù)的極小值為0，無極大值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過橢圓上一點作軸的垂線，垂足為，則線段中點的軌跡方程為___________.14．在長方體中，若，，則異面直線與所成角的大小為______.15．兩條平行直線與的距離是__________16．如圖所示，高爾頓釘板是一個關于概率的模型，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間．小球每次下落時，將隨機的向兩邊等概率的落下．當有大量的小球都落下時，最終在釘板下面不同位置收集到小球．現(xiàn)有5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱的所有棱長都是，平面，為的中點，為的中點（1）證明：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值18．（12分）已知，對于有限集，令表示集合中元素的個數(shù)．例如：當時，，（1）當時，請直接寫出集合的子集的個數(shù)；（2）當時，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求滿足條件的有序集合對的個數(shù)；（3）假設存在集合、具有以下性質(zhì)：將1，1，2，2，··，，．這個整數(shù)按某種次序排成一列，使得在這個序列中，對于任意，與之間恰好排列個整數(shù)．證明：是4的倍數(shù)19．（12分）如圖，在正方體中，是棱的中點.（1）試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；（2）求證：直線面.20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，且，討論函數(shù)的零點個數(shù).21．（12分）已知圓，直線（1）證明直線與圓C一定有兩個交點；（2）求直線與圓相交的最短弦長，并求對應弦長最短時的直線方程22．（10分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設事件表示“選上的學生是男生”，事件表示“選上的學生是三好學生，求出和，利用條件概率公式計算即可求解.【詳解】設事件表示“選上的學生是男生”，事件表示“選上的學生是‘三好學生’”，則所求概率為.由題意可得：男生有人，“三好學生”有人，所以“三好學生”中男生有人，所以，，故.故選：C.2、C【解析】把看成動點與所確定的直線的斜率，動點在所給曲線上.【詳解】就是點，所確定的直線的斜率，而在上，因為，.故選：C3、B【解析】因但4、D【解析】設出雙曲線方程，通過做標準品和雙曲線與圓O的交點將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設雙曲線的方程為，則，因為AB＝BC＝CD，所以，所以，因為坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D5、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式利用條件，列出關于與的方程組，通過解方程組求數(shù)列的公差.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.6、C【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，要保證導數(shù)在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.7、A【解析】對于①，由三角形大邊對大角的性質(zhì)分析，對于②，根據(jù)題意利用正弦定理分析，對于③，利用余弦定理分析，對于④，利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對于①，根據(jù)題意，圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，故，，所以這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故①正確；對于②，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因為，所以，故②正確；對于③，不妨設，所以在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，故③錯誤；對于④，若是的中點，則，所以，故④正確.故選：A第II卷（非選擇題8、A【解析】對中心組學習所在的階段分兩種情況討論得解.【詳解】解：如果中心組學習在第一階段，主題班會、主題團日在第二、三階段，則其它活動有2種方法；主題班會、主題團日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團日在第四、五階段，則其它活動有1種方法，則此時共有種方法；如果中心組學習在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有種方法.綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A9、C【解析】將拋物線方程化為標準方程，由此可拋物線的焦點坐標得選項.【詳解】解：將拋物線y＝4x2的化為標準方程為x2＝y(tǒng)，p＝，開口向上，焦點在y軸的正半軸上，故焦點坐標為（0，）.故選：C10、D【解析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.【詳解】因為直線，，且，所以，故選：D.11、A【解析】因為直線和直線垂直，所以或，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】因為“直線和直線垂直，所以或.當時，直線和直線垂直；當直線和直線垂直時，不一定成立.所以是直線和直線垂直的充分不必要條件，故選：A12、A【解析】利用導數(shù)來求得的極值.【詳解】的定義域為，，在遞增；在遞減，所以的極大值為，沒有極小值.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】相關點法求解軌跡方程.【詳解】設，則，則，即，因為，代入可得，即的軌跡方程為.故答案為：14、【解析】畫出長方體,再將異面直線與利用平行線轉(zhuǎn)移到一個三角形內(nèi)求解角度即可.【詳解】畫出長方體可得異面直線與所成角為與之間的夾角,連接.則因為,則,又,故,又,故為等腰直角三角形,故,即異面直線與所成角的大小為故答案為【點睛】本題主要考查立體幾何中異面直線的角度問題,一般的處理方法是將異面直線經(jīng)過平行線的轉(zhuǎn)換構成三角形求角度,屬于基礎題型.15、5【解析】根據(jù)兩平行直線，可求得a值，根據(jù)兩平行線間距離公式，即可得答案.【詳解】因為兩平行直線與，所以，解得，所以兩平行線的距離.故答案為：516、【解析】先研究一個小球從正上方落下的情況，從而可求出一個小球從正上方落下落到2號位置的概率，進而可求出5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率【詳解】如圖所示，先研究一個小球從正上方落下的情況，11，12，13，14指小球第2層到第3層的線路圖，以此類推，小球所有的路線情況如下：01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16種情況，其中落入2號位置的有4種，所以每個球落入2號位置的概率為，所以5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點，連接交于，連接，，由平面幾何得，再根據(jù)線面平行的判定可得證；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法即可得結(jié)果.【小問1詳解】取的中點，連接交于，連接，在三棱柱中，為的中點，，為的中點，且，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面；【小問2詳解】平面，，平面，，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設平面的法向量為，則即取，則，，又是平面的一個法向量，，故平面和平面夾角的余弦值為18、（1）8（2）454（3）證明見詳解【解析】（1）n元集合的直接個數(shù)為可得；（2）由已知結(jié)合可得，或，然后可得集合的包含關系可解；（3）根據(jù)每兩個相同整數(shù)之間的整數(shù)個數(shù)之和與總的數(shù)字個數(shù)之間的關系可證.【小問1詳解】當時，集合的子集個數(shù)為【小問2詳解】易知，又，所以，即，得，或，所以或1）若，則滿足條件的集合對共有，2）若，同理，滿足條件集合對共有2433）當A=B時，滿足條件的集合對共有所以，滿足條件集合對共243+243-32=454個.【小問3詳解】記，則1，1，2，2，··，，共2n個正整數(shù)，將這2n個正整數(shù)按照要求排列時，需在1和1中間放入1個數(shù)，在2和2中間放入2個數(shù)，…，在n和n中間放入n個數(shù)，共放入了個數(shù)，由于排列完成后共有2n個數(shù)，且1，1，2，2，··，，剛好放完，所以放入數(shù)字個數(shù)必為偶數(shù)，即Z，所以，Z，所以是4的倍數(shù)19、（1）平面AEC，理由見解析（2）證明見解析【解析】（1）以線面平行的判定定理去證明直線與平面平行即可；（2）以線面垂直的判定定理去證明直線面即可.【小問1詳解】連接BD，設，連接OE.在中，O、E分別是BD、的中點，則.因為直線OE在平面AEC上，而直線不在平面AEC上，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，得到直線平面AEC.【小問2詳解】正方體中，故，又，故同理故，又，故又根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得直線平面.20、（1）.（2）答案見解析.【解析】（1）求導函數(shù)，求得，，由此可求得曲線在點處的切線方程；（2）求得導函數(shù)，分和討論，當時，設，求導函數(shù)，分析導函數(shù)的符號，得出所令函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點存在定理可得答案.【小問1詳解】解：當時，，所以，故，，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】解：依題意，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，設，此時，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以當，即時，有唯一零點在區(qū)間上，當，即時，在上無零點；故當時，在上有1個零點；當時，在上無零點.21、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）由，變形為求解直線過的定點，即可得解；（2）法一：由圓心和連線與直線垂直求解；法二：由圓心到直線距離最大時求解.【小問1詳解】解：，所以，令，所以直線經(jīng)過定點，