專題03 尺規(guī)作圖與一般作圖問題（原卷版）

專題03尺規(guī)作圖與一般作圖問題目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01作一條線段等于已知線段 1題型02作一個(gè)角等于已知角 4題型03作一個(gè)角的平分線 5題型04作一條線段的垂直平分線 6題型05過一點(diǎn)作已知直線的垂線 8中考練場(chǎng) 9 題型01作一條線段等于已知線段【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)作一條線段等于已知線段OAP（1）畫射線OP（2）在射線OP上截取OA=a圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑【典例分析】例1.（2023·廣東模擬）如圖，已知∠MAN，點(diǎn)B在射線AM上．(1)尺規(guī)作圖：①在AN上取一點(diǎn)C，使BC=BA；②作∠MBC的平分線BD.(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下，求證：BD//AN．例2.（2023·全國(guó)）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°．

(1)在斜邊AC上求作線段AO，使AO=BC，連接OB；(要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母)

(2)若OB=2，求AB的長(zhǎng)．【變式演練】1.（2023·江蘇模擬）如圖，P為∠AOB外一點(diǎn)，用兩種不同的方法過點(diǎn)P作直線l交OA，OB于點(diǎn)M，N，使得PM=MN.(要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)2.（2024·云南模擬）有這樣一個(gè)作圖題目：畫一個(gè)平行四邊形ABCD，使AB=3cm，BC=2cm，AC=4cm．

下面是小紅同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．

作法：如圖，

①作線段AB=3cm，

②以A為圓心，4cm為半徑作弧，以B為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；

③再以C為圓心，3cm為半徑作弧，以A為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；

④連結(jié)AD，BC，CD．

所以四邊形ABCD即為所求作平行四邊形．

根據(jù)小紅設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下列證明．

證明：

∵以A為圓心，4cm為半徑作弧，以B為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C，

∴BC=______cm，AC=______cm．

∵以C為圓心，3cm為半徑作弧，以A為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，

∴CD=3cm.AD=2cm．

又∵AB=3cm，

∴AB=CD，AD=______．

∴四邊形ABCD是平行四邊形(______)(填推理依據(jù))．題型02作一個(gè)角等于已知角【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)作一個(gè)角等于已知角以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C,D畫一條射線PO，以點(diǎn)P為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交PO于點(diǎn)C′以P為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點(diǎn)D′過點(diǎn)P、P畫射線PB′，則∠B′PO=∠BOC三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條直線【典例分析】例1.（2023·廣東模擬）作圖與計(jì)算．(1)已知：如圖，∠α，∠AOB．求作：以O(shè)A為一邊，在∠AOB的內(nèi)部作∠AOC=∠α(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)過點(diǎn)O分別引射線OA，OB，OC，且∠AOB=65°，∠BOC=30°，求∠AOC的度數(shù)．【變式演練】1.（2023·福建模擬）如圖，點(diǎn)M在∠AOB的邊OB上．

(1)過點(diǎn)M畫線段MC⊥AO，垂足是C；

(2)過點(diǎn)C作∠ACF=∠O.(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)題型03作一個(gè)角的平分線【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)作一個(gè)角的平分線步驟：1.以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)N、M；2.分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)P；3.畫射線OP,OP即為所求角平分線三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條直線【典例分析】例1.（2023·河南）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AD=AB．

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點(diǎn)E，連接DE.求證：DE=BE．【變式演練】1..（2023·寧夏模擬）如圖，AE/?/BF，AC平分∠BAE，且交BF于點(diǎn)C．(1)作∠ABF的平分線交AE于點(diǎn)D(尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法)；(2)根據(jù)(1)中作圖，連接CD，求證：四邊形ABCD是菱形．2.（2023·廣東模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

(1)用尺規(guī)作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)的前提下，若AD=10，求CD的長(zhǎng)度．題型04作一條線段的垂直平分線【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)4.作一條垂直平分線1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；2.作直線CD，CD為所求直線到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線【典例分析】例1．（2023·陜西）如圖，已知銳角△ABC，∠B=48°.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使PB=PC，且∠PBC=24°.(保留作圖痕跡，不寫作法)

【變式演練】1.（2023·廣西模擬）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．(1)尺規(guī)作圖；作對(duì)角線AC的垂直平分線MN(保留作圖痕跡)；(2)若直線MN分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求證：四邊形AFCE是菱形．2.（2023·寧夏模擬）如圖，AD是△ABC的角平分線．

(1)作線段AD的垂直平分線EF，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；(用直尺和圓規(guī)作圖，標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫作法．)(2)連接DE、DF，求證：四邊形AEDF是菱形．題型05過一點(diǎn)作已知直線的垂線【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)5.過一個(gè)點(diǎn)作已知直線的垂線點(diǎn)在直線上以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑，在AB兩側(cè)作弧，兩弧分別交于點(diǎn)P、C；作直線PC，直線PC即為所求作的垂線等腰三角形“三線合一”；兩點(diǎn)確定一條直線點(diǎn)在直線外在直線另一側(cè)去點(diǎn)M；以點(diǎn)P為圓心，PM長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)Q；作直線PQ，直線PQ即為所求作的垂線【典例分析】例1．（2023·湖北模擬）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．⑴過點(diǎn)E作CD的垂線，垂足為點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)F(尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法)；⑵根據(jù)(1)中作圖，連接DF，若AC=BC，求證：四邊形DECF是菱形．【變式演練】1.（2023·福建模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=22.5°.以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑作圓，延長(zhǎng)BA交⊙C于點(diǎn)D．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)C1；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，連接C1D，證明：直線C1D與1.（2023·廣東）在所給的圖形中，根據(jù)以下步驟完成作圖：

(1)尺規(guī)作圖：在線段AD的延長(zhǎng)線上截取DE=AD；

(2)連接BE，交線段CD于點(diǎn)F；

(3)作射線AF，交線段BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

2.（2022·陜西）如圖，已知△ABC，AC>AB，∠C=45°.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使∠PBC=45°.(保留作圖痕跡．不寫作法)

3.（2021·四川）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．

(1)尺規(guī)作圖：不寫作法，保留作圖痕跡．

①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點(diǎn)D；

②過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E．

(2)在(1)作出的圖形中，求DE的長(zhǎng)．4.（2021·山東）如圖，已知△ABC.求作：⊙O，使它經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，并且圓心O在∠A的平分線上．

5.（2020·福建）如圖△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，求作∠ABC的平分線，分別交AD，AC于P，Q兩點(diǎn)；并證明AP=AQ。(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)

6.（2019·江蘇）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8．

(1)用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(2)若(1)中所作的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．

7.（2020·廣東）如圖，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°．

(1)用直尺和圓規(guī)作出AB的垂直平分線，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2