考點08 二次函數與方程不等式之間的關系（解析版）

考點八二次函數與方程不等式之間的關系知識點拓展一、二次函數與一元二次方程的關系1．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標．3．（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點．考向一二次函數與一元二次方程、不等式的綜合拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點個數及相應的一元二次方程根的情況都由Δ=b2–4ac決定.1．當Δ>0，即拋物線與x軸有兩個交點時，方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，這兩個交點的橫坐標即為一元二次方程的兩個根．2．當Δ=0，即拋物線與x軸有一個交點（即頂點）時，方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根，此時一元二次方程的根即為拋物線頂點的橫坐標．3．當Δ<0，即拋物線與x軸無交點時，方程ax2+bx+c=0無實數根，此時拋物線在x軸的上方（a>0時）或在x軸的下方（a<0時）．典例引領1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（k是常數）與x軸交于A、B兩，其中點A的坐標為，點在此拋物線上，其橫坐標為，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，(1)求此拋物線的解析式；(2)直接寫出點B的坐標；(3)當點P在x軸上方，且的值隨m的增大而增大時，求m的取值范圍；(4)當拋物線上點A與點P之間的部分（包括點P）的最高點到y(tǒng)軸的距離等于時，直接寫出m的值．【答案】(1)(2)(3)當時，的值隨m的增大而增大(4)或或【分析】（1）將點的坐標代入拋物線解析式中，求出的值即可；（2）令，求解即可；（3）由可得，進而得出，，則，根據二次函數的性質即可求解；（4）分三種情況討論：當時，此時最高點為點，且點在軸上方，由最高點到軸的距離等于可得方程，求解即可；②當時，此時最高點為拋物線的頂點，且點在軸上方，由最高點到軸的距離等于可得方程，求解即可；③當時，此時最高點為拋物線的頂點，且點在軸下方，由最高點到軸的距離等于可得方程，求解即可．【詳解】（1）點在拋物線上，，解得：，此拋物線的解析式；（2）令，得，解得：，，；（3），點的橫坐標為，，軸，，，，，，當時，的值隨的增大而增大；（4），拋物線的頂點坐標為，①當時，此時最高點為點，且點在軸上方，，解得：（舍去），；②當時，此時最高點為拋物線的頂點，且點在軸上方，，解得：，（舍去）；③當時，此時最高點為拋物線的頂點，且點在軸下方，，解得：，（舍去）．綜上，或或．【點睛】本題主要考查用待定系數法求拋物線解析式、求拋物線與軸的交點坐標、二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的圖象與性質、解二元一次方程，解題關鍵是：（1）利用待定系數法正確求出拋物線解析式；（2）熟知求拋物線與軸交點坐標的方法；（3）熟練掌握二次函數的圖象與性質；（4）利用分類討論思想，正確列出方程并求解．2．已知拋物線與x軸交于不同的兩點．(1)求的取值范圍；(2)證明該拋物線經過象限內的某個定點P，并求點P的坐標；(3)設拋物線與軸的兩個交點分別是A，B，當時，的面積是否有最大值或最小值？若有，求出該最大值或最小值及對應的的值；若沒有，請說明理由．【答案】(1)且(2)證明見解析；(3)的面積有最大值，最大值為，此時，的面積無最小值【分析】本題主要考查了二次函數的綜合應用，掌握二次函數與一元二次方程的關系是解題的關鍵：（1）根據根的判別式求出m的取值范圍：（2）根據題意可得y的值與m無關，把原函數關系式變形為，令，求出x的值，即可求解；（3）先求出拋物線與x軸兩個交點的橫坐標分別為，可得，再由，可得，從而確定的取值范圍，求得的面積為，從而得解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于不同的兩點，∴方程有兩個不相等的實數根，∴，且，∴且，解得：且，∴的取值范圍是：且；（2）解：∵∴，即，令，解得：，當時，，此時拋物線過點；當時，，此時拋物線過點(舍去)；∴該拋物線經過象限內的某個定點P，點P的坐標為；（3）解：的面積有最大值，無最小值．當時，，解得：，∴拋物線與x軸兩個交點的橫坐標分別為，∴，∵，∴，∴，，∴當時，有最大值，最大值為，根據題意得：的面積為，∴當最大時，的面積有最大，最大值為，此時．無最小值，的面積無最小值．3．如圖，二次函數的圖像與x軸交于A，B兩點，其頂點為C，連接．

(1)若，，求a的值；(2)若，，（?。┊?，請判斷此時拋物線的圖像與直線的圖像公共點的情況；（ⅱ）已知點和點在該拋物線上，若，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)（?。佄锞€的圖像與直線的圖像有兩個公共點；（ⅱ）當，a的取值范圍為或【分析】本題主要考查拋物線與坐標軸交點問題、二次函數與一元二次方程的關系、二次函數的性質等知識點，綜合運用二次函數的知識是解題關鍵．（1）如圖：過C作軸于點D．設出各點坐標，則，，代入得到方程組求解即可；（2）將，代入可得；（?。┝谐龇匠淘佼嫵梢话闶?，然后運用根的判別式判定即可；（ⅱ）分和兩種情況，分別運用二次函數的性質即可解答．【詳解】（1）解：過C作軸于點D．

由題意可知，∵，∴，設，則，，拋物線解析式為，把代入得：，解得．（2）解：∵，，∴，（?。┯深}意可得：，即，∵，∴，∴拋物線的圖像與直線的圖像有兩個公共點；（ⅱ）∵，，∴拋物線的對稱軸為，當時，由，則，解得：；當時，由，則或，解得：；綜上，當，a的取值范圍為或．4．如圖，函數的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．(1)已知一次函數的圖象過點B，C，求這個一次函數的解析式；(2)當時，對于x的每一個值，函數（b為常數）的值大于函數的值，直接寫出b的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，則，可求，當，則，可求，待定系數法求一次函數解析式即可；（2）由題意知，的圖象與直線平行，如圖，結合圖象求解作答即可．【詳解】（1）解：令，則，解得，或，∴，當，則，即，設一次函數解析式為，將，代入得，，解得，，∴一次函數的解析式為；（2）解：由題意知，的圖象與直線平行，如圖，∵當時，對于x的每一個值，，∴由圖可知：．【點睛】本題考查了二次函數與軸的交點坐標，一次函數解析式，一次函數圖象的平移，二次函數與不等式．熟練掌握二次函數與軸的交點坐標，一次函數解析式，一次函數圖象的平移，二次函數與不等式是解題的關鍵．變式拓展5．如圖所示，二次函數的圖象經過、、三點．

(1)求二次函數的解析式；(2)方程有兩個實數根，m的取值范圍為__________．(3)不等式的解集為__________；【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數解析式、二次函數圖象與一次函數的交點問題，利用數形結合思想求解是解答的關鍵．（1）利用待定系數法，設二次函數的解析式為，進而代值求解a值即可；（2）先求得二次函數的最小值，再結合圖象，求得使直線與二次函數圖象有兩個交點時的m值的取值范圍即可；（3）先判斷出二次函數的圖象與直線的交點坐標為，，再根據圖象，求得使二次函數的圖象位于直線上方部分的點的橫坐標取值范圍即可．【詳解】（1）解：根據題意，設二次函數的解析式，將代入，得，∴二次函數的解析式為，即；（2）解：∵，∴當時，y有最小值，∴當時，直線與二次函數的圖象有一個交點，即方程有兩個相等的實數根，當時，直線與二次函數的圖象有兩個交點，即方程有兩個不相等的實數根，故答案為：；（3）解：由圖可知，二次函數的圖象與直線的交點坐標為，，∴當或時，二次函數的圖象位于直線上方，故不等式的解集為或，故答案為：或．6．已知二次函數的圖象與x軸兩交點為、．(1)填空：________；(2)求代數式的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程與二次函數之間的關系，熟知二次函數與x軸兩個交點的橫坐標即為對應的一元二次方程的解是解題的關鍵．（1）由題意知，，是一元二次方程的兩個根，則由根與系數的關系可得；（2）由題意知，，是一元二次方程的兩個根，則由根與系數的關系可得，，再由進行求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，是一元二次方程的兩個根，∴，故答案為：；（2）解：由題意知，，是一元二次方程的兩個根，∴，．∴．7．如圖，拋物線y＝a（x﹣2）2+3（a為常數且a≠0）與y軸交于點A（0，）．（1）求該拋物線的解析式；（2）若直線y＝kx（k≠0）與拋物線有兩個交點，交點的橫坐標分別為x1，x2，當x12+x22＝10時，求k的值；（3）當﹣4＜x≤m時，y有最大值，求m的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）把代入拋物線的解析式，解方程求解即可；（2）聯(lián)立兩個函數的解析式，消去得：再利用根與系數的關系與可得關于的方程，解方程可得答案；（3）先求解拋物線的對稱軸方程，分三種情況討論，當＜＜結合函數圖象，利用函數的最大值列方程，再解方程即可得到答案.【詳解】解：（1）把代入中，拋物線的解析式為：（2）聯(lián)立一次函數與拋物線的解析式得：整理得：∵x1+x2=4-3k，x1?x2=-3，∴x12+x22=（4-3k）2+6=10，解得：∴（3）∵函數的對稱軸為直線x=2，當m＜2時，當x=m時，y有最大值，=-（m-2）2+3，解得m=±，∴m=-，當m≥2時，當x=2時，y有最大值，∴=3，∴m=，綜上所述，m的值為-或．【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解拋物線的解析式，拋物線與軸的交點坐標，一元二次方程根與系數的關系，二次函數的增減性，掌握數形結合的方法與分類討論是解題的關鍵.8．在平面直角坐標系中，拋物線經過點，．(1)若，①求此拋物線的對稱軸；②當時，直接寫出m的取值范圍；(2)若，點在該拋物線上，且，請比較p，q的大小，并說明理由．【答案】(1)①；②或(2)，理由見解析【分析】（1）①把點代入，求出a的值，可求出拋物線解析式，再把解析式化為頂點式，即可求解；②求出拋物線與x軸的另一個交點為，再根據二次函數的圖象，即可求解；（2）把點代入可得，再由，可得，，從而得到拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線，然后根據，可得，再根據，可得到對稱軸的距離大于對稱軸的距離，即可求解．【詳解】（1）解：①當時，點，把點代入得：，解得：，∴該函數解析式為，∵，∴拋物線的對稱軸為直線；②令，則，解得：，∴拋物線與x軸的另一個交點為，∵，∴拋物線開口向下，∴當時，m的取值范圍為或；（2）解：，理由如下：把點代入得：，∵，∴，∴，∴，∴拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，∴，∵，∴到對稱軸的距離大于對稱軸的距離，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．9．如圖，二次函數的圖象與軸的正半軸交于點，經過點的直線與該函數圖象交于點，與軸交于點．(1)求直線的函數表達式及點的坐標；(2)點是第四象限內二次函數圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點，設點的橫坐標為．當時，求的值．【答案】(1)，(2)的值為2，3或【分析】（1）先求得點A坐標，再利用待定系數法求直線的函數表達式，進而可求解點C坐標；（2）由題意，點，的坐標分別為，，且，，分當點在直線上方時和當點在直線下方時兩種情況，結合坐標與圖形列方程求解即可．【詳解】（1）解：對于，當時，，解得，.點在軸正半軸上，∴點的坐標為.設直線的函數表達式為.將，兩點的坐標，分別代入，得，解得，直線的函數表達式為；將代入，得，∴點的坐標為；（2）解：由題意可知：點，的坐標分別為，，且，∵點的坐標為，∴，則，如圖，當點在直線上方時，，∵，∴解得∵∴如圖，當點在直線下方時，，∵，∴解得，綜上，的值為2，3或．【點睛】本題考查二次函數與x軸的交點問題、待定系數法求函數表達式、坐標與圖形、解一元二次方程等知識，利用數形結合和分類討論思想求解是解答的關鍵．10．已知二次函數．(1)求證：對于任意的實數，該二次函數圖象與軸總有公共點；(2)若該二次函數圖象與軸有兩個公共點，，且點坐標為