06第六章 平面向量和復(fù)數(shù)（含答案解析）

第六章平面向量和復(fù)數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\u知識(shí)梳理 1考點(diǎn)精講精練 7考點(diǎn)一：平面向量的概念 7考點(diǎn)二：平面向量的運(yùn)算 8考點(diǎn)三：平面向量基本定理 12考點(diǎn)四：平面向量坐標(biāo)運(yùn)算 17考點(diǎn)五：余弦定理 20考點(diǎn)六：正弦定理 25考點(diǎn)七：余弦定理、正弦定理應(yīng)用 28考點(diǎn)八：復(fù)數(shù)的概念及四則運(yùn)算 31平面向量和復(fù)數(shù)實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練 331、向量的有關(guān)概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量表示方法：向量或；?；?（2）零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作.（3）單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量，常用表示.特別的：非零向量的單位向量是.（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；特別的：與任一向量平行或共線.（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作.（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作.2、向量的線性運(yùn)算（1）向量的加法①定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量，我們規(guī)定.②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線）已知兩個(gè)不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的向量(是的對(duì)角線)就是向量與的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.（2）向量的減法①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.②向量減法的三角形法則（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示如果把兩個(gè)向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.（3）向量的數(shù)乘向量數(shù)乘的定義:一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長度與方向規(guī)定如下：①②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.3、共線向量定理①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，.②向量共線定理的注意問題：定理的運(yùn)用過程中要特別注意；特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．4、向量的夾角已知兩個(gè)非零向量和，如圖所示，作，，則()叫做向量與的夾角，記作．(2)范圍：夾角的范圍是．當(dāng)時(shí)，兩向量，共線且同向；當(dāng)時(shí)，兩向量，相互垂直，記作；當(dāng)時(shí)，兩向量，共線但反向．5、數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．記作：.6、平面向量的基本定理（1）定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.（2）基底：不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.（1）不共線的兩個(gè)向量可作為一組基底，即不能作為基底；（2）基底一旦確定，分解方式唯一；（3）用基底兩種表示，即，則，進(jìn)而求參數(shù).7、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量加減：若，則；（2）數(shù)乘向量：若，則；（3）任一向量：設(shè)，則.8、平面向量共線的坐標(biāo)表示若，則的充要條件為9、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知向量，為向量和的夾角：（1）數(shù)量積（2）模：（3）夾角：（4）非零向量的充要條件：10、正弦定理（1）正弦定理的描述①文字語言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.②符號(hào)語言：在中，若角、及所對(duì)邊的邊長分別為，及，則有（2）正弦定理的推廣及常用變形公式在中，若角、及所對(duì)邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則①②；；；③④⑤，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）⑥，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）11、余弦定理（1）余弦定理的描述①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.②符號(hào)語言：在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是,則：；（2）余弦定理的推論；；12、三角形常用面積公式①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).13、復(fù)數(shù)的概念我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中叫做虛數(shù)單位,滿足.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.14、復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)，，（），我們規(guī)定.15、復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)(),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)時(shí),它叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí),它叫做純虛數(shù).這樣,復(fù)數(shù)()可以分類如下:16、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)平面向量17、復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù))的模，記為或公式：，其中復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；特別的，時(shí)，復(fù)數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于(的絕對(duì)值).18、共軛復(fù)數(shù)（1）定義一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).（2）表示方法表示方法：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.19、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的加法法則設(shè)，，（）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的和：（2）復(fù)數(shù)的減法法則類比實(shí)數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足：的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差，記作（3）復(fù)數(shù)的乘法法則我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下：設(shè),是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的乘積為，即（4）復(fù)數(shù)的除法法則（）考點(diǎn)一：平面向量的概念真題講解例題1．（2023·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，下列向量中，與相等的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)橄嗟认蛄渴侵搁L度相等且方向相同的向量,O為正六邊形ABCDEF的中心，所以與模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正確；與只是模相等的向量，故B錯(cuò)誤；與只是模相等的向量，故C錯(cuò)誤；與只是模相等的向量，故D錯(cuò)誤.故選：A.例題2．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列說法中正確的是（

）A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合B．模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量C．若和都是單位向量，則D．零向量與其它向量都共線【答案】D【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄渴强梢砸苿?dòng)的，兩個(gè)向量相等時(shí)，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定重合，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，模相等的兩個(gè)平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，和都是單位向量，但它們的方向不一定相同，故和不一定相等，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，零向量的方向是任意的，零向量與其它向量都共線，D選項(xiàng)正確.故選：D.真題演練1．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是①單位向量都共線；②長度相等的向量都相等；③共線的單位向量必相等；④與非零向量共線的單位向量是.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】因?yàn)椴煌膯挝幌蛄康姆较蚩赡懿幌嗤?，所以①錯(cuò)誤；相反向量的長度相等，但方向相反，則②錯(cuò)誤；因?yàn)楣簿€的單位向量方向可能相反，所以它們不一定相等，則③錯(cuò)誤；與非零向量共線的單位向量是或，則④錯(cuò)誤；故選：A2．（2022春·廣西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在正六邊形ABCDEF中，與向量相等的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由圖可知六邊形ABCDEF是正六邊形，所以ED=AB，與方向相同的只有；而,,與長度相等，方向不同，所以選項(xiàng)A,C,D,均錯(cuò)誤；故選：B考點(diǎn)二：平面向量的運(yùn)算真題講解例題1．（2023·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，，，，若，若，則的值為（

）A．2或 B． C．1 D．2【答案】D【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，由于，所以，所以三點(diǎn)共線，且，，且，所以，令，則，所以，解得，則，解得.故選：D

例題2．（2023春·浙江·高二學(xué)業(yè)考試）己知的外接圓圓心為，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】連接、，

因?yàn)?，則，所以，且，又因?yàn)?，則四邊形為菱形，設(shè)，則為的中點(diǎn)，且，因此，在上的投影向量為，故選：A.例題3．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知向量，滿足，，，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，即，?故選：D.例題4．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知向量滿足，，，則與的夾角的余弦值為.【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄繚M足，，且，可得，所以與的夾角的余弦值為.故答案為：例題5．（2023春·新疆·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量與的夾角為60°，．(1)求的值；(2)求為何值時(shí)，向量與相互垂直．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)橄蛄颗c的夾角為60°，所以（2）因?yàn)橄蛄颗c相互垂直，所以，則，所以，則真題演練1．（2023春·浙江·高二學(xué)業(yè)考試）已知平面向量滿足，則的最大值是（

）A． B．12 C． D．【答案】A【詳解】由可得，即，，即，，即，，令，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是.故選：A2．（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，已知是邊上的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】解：因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，所以，，又因?yàn)椋?，則，故選：C3．（2023·湖南衡陽·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D.4．（2023·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，則，故選：.5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）已知向量，滿足，且，則，夾角為．【答案】【詳解】，夾角余弦值，又，所以，即，夾角為.故答案為：.考點(diǎn)三：平面向量基本定理真題講解例題1．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知、為不共線的向量，，，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【答案】C【詳解】因?yàn)?、為不共線的向量，所以、可以作為一組基底，對(duì)于A：，，若存在實(shí)數(shù)使得，則，所以，方程組無解，所以與不共線，故、、三點(diǎn)不共線，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以，同理可以說明不存在實(shí)數(shù)，使得，即與不共線，故、、三點(diǎn)不共線，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋?，所以，又，所以，故、、三點(diǎn)共線，即C正確；對(duì)于D：，，同理可以說明不存在實(shí)數(shù)，使得，即與不共線，故、、三點(diǎn)不共線，即D錯(cuò)誤；故選：C例題2．（2023春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖所示，，，M為AB的中點(diǎn)，則為（

）

A． B．C． D．【答案】B【詳解】，，M為AB的中點(diǎn)，所以.故選：B例題3．（2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在直角梯形ABCD中，，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E為AD的中點(diǎn)，若，則的值為（）A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】依題意：，，，所以，解得.所以.故選：B例題4．（2023·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）中，M為邊上任意一點(diǎn)，為中點(diǎn)，，則的值為【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以故答案為：真題演練1．（2023春·安徽馬鞍山·高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）在中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以所以故選：D.2．（2023·遼寧沈陽·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，是上靠近的四等分點(diǎn)，是上靠近的四等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)槭巧峡拷乃牡确贮c(diǎn)，是上靠近的四等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以.故選：C.3．（2023·浙江·高二學(xué)業(yè)考試）在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，若，則的最小值是．【答案】/0.9【詳解】如圖所示，中，，∴，又點(diǎn)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，設(shè)，，∴，又，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為.故答案為：．考點(diǎn)四：平面向量坐標(biāo)運(yùn)算真題講解例題1．（2023春·浙江金華·高二學(xué)業(yè)考試）已知向量，，．若λ為實(shí)數(shù)，()∥，則λ＝（

）.A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，因?yàn)?)∥，，所以，解得，故選：B例題2．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，則實(shí)數(shù)（

）A． B．0 C．1 D．或1【答案】D【詳解】由已知向量，可得，由可得，即，解得，故選：D例題3．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．－6 B．－5 C．5 D．6【答案】C【詳解】，，所以，，，因?yàn)椋?，解?故選：C.例題4．（2023·安徽·高二馬鞍山二中校考學(xué)業(yè)考試）在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，則的最小值為．【答案】/【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，如圖所示由題意可知，設(shè)，所以，所以，，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，取最小值為.故答案為：.例題5．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知平面向量，，其中，．(1)求與的夾角；(2)若與共線，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1);(2).【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，，，，，?（2），，與共線，，解得.即實(shí)數(shù)的值為.真題演練1．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，，.故選：A.2．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知平面向量，，且，則（

）A． B．2C．1 D．0【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，可?故選：B.3．（2023秋·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，，且與的夾角為，則．【答案】/【詳解】向量，，所以，，，則，故答案為：．4．（2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，，如果與的夾角是鈍角，則的取值范圍是【答案】【詳解】設(shè)兩個(gè)向量的夾角為，依題意可知為鈍角，則，即，且由得或，由于且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：5．（2023春·天津河北·高二學(xué)業(yè)考試）已知向量，，，且，.(1)求向量與的坐標(biāo)；(2)若，，求向量與的夾角的大小.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由于，，所以，解得，所以，.（2），，，所以，由于，所以.考點(diǎn)五：余弦定理真題講解例題1．（2023春·新疆·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在△ABC中，角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由余弦定理得，，又，所以.故選：C例題2．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，角對(duì)邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所?所以直角三角形.故選：B例題3．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）是鈍角三角形，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，則最大邊c的取值范圍是____________．【答案】【詳解】因?yàn)槭氢g角三角形，最大邊為，所以角為鈍角，在中，由余弦定理可得：，可得，又因?yàn)?，所以，所以最大邊的取值范圍是：，故答案為?例題4．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知向量，，．（1）A=．（2）若，b=2，則邊c=．【答案】2【詳解】因?yàn)?，，由，可得，即，∴，∵，∴，因?yàn)橛捎嘞叶ɡ?，得，代入，，，得，解得（舍）．故答案為：；．例題5．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其面積為S，且（c﹣a）（c+a）+abcosC＝S.（1）求角A的大??；（2）若4cosB?cosC＝1，且a＝2，求S的值.【答案】（1）;（2）【詳解】（1）所以，即，（2）△ABC為等邊三角形所以真題演練1．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）在中，若，，，則AB的長度為（

）A．2 B．4C． D．【答案】D【詳解】解：在中，，，由余弦定理可得，即，解得或（舍去）故選：D2．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、.若，的面積，當(dāng)時(shí)，的內(nèi)切圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，由正弦定理可得，，則，故，因?yàn)?，則，則，，故，則，因此，，所以，為等邊三角形，設(shè)等邊的內(nèi)切圓半徑為，則，則，因此，的內(nèi)切圓的面積為.故選：D.3．（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則角.【答案】/【詳解】因?yàn)?，，即，所以，又，所?故答案為：4．（2023春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，，則=.【答案】/【詳解】由余弦定理，則，又，所以，故答案為：.5．（2023·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，分別為內(nèi)角所對(duì)的邊，若，．(1)求的面積；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由余弦定理，，結(jié)合可得，整理可得，根據(jù)三角形的面積公式，.（2）由（1）知，根據(jù)基本不等式，，當(dāng)時(shí)，的最小值是.考點(diǎn)六：正弦定理真題講解例題1．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）已知中，，，，則B等于（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【詳解】在中，，，，由正弦定理得，，解得，因?yàn)?，所以或，故選：C例題2．（2023春·浙江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則角C為（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【詳解】，，由正弦定理，,由角B為三角形內(nèi)角，則，可得，由，可得或，故選：B例題3．（2023·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在直角中，，為上的點(diǎn)，為上的點(diǎn)，若，，，，則．

【答案】/【詳解】由題意，，所以有，一方面在中運(yùn)用正弦定理得，即，另一方面由以及，得，又，所以;又在中運(yùn)用正弦定理得，即，所以；注意到，所以有.故答案為：例題4．（2023春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，.(1)求的值；(2)若，求b的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，因?yàn)?，所?（2）由正弦定理，，又，所以.真題演練1．（2023·安徽·高二馬鞍山二中?？紝W(xué)業(yè)考試）已知中，，則等于（

）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°【答案】D【詳解】由題意，在中，由正弦定理可得，即，又由，所以，且，所以或，故選：D.2．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，一艘船向正北航行，航行速度為每小時(shí)30海里，在A處看燈塔S在船的北偏東的方向上．1小時(shí)后，船航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東的方向上，則船航行到B處時(shí)與燈塔S的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【詳解】由題意得，在中,，，,由正弦定理有代入數(shù)據(jù)得,解得（海里），故選：A．3．（2023春·天津南開·高一學(xué)業(yè)考試）在中，，，，則．【答案】【詳解】在中，，，，由正弦定理，得.故答案為：4．（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）中，角的對(duì)邊分別為，已知，，，則.【答案】【詳解】在中，，，，由正弦定理，得到.故答案為：.考點(diǎn)七：余弦定理、正弦定理應(yīng)用真題講解例題1．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）學(xué)校興趣小組為了測量市民活動(dòng)中心廣場一圓柱狀建筑物的高度，在地面上選取相距120米的兩點(diǎn)M，N，若在M，N處分別測得圓柱狀建筑物的最大仰角為和，則該圓柱狀建筑物的高度約為（

）

A．60 B． C．30 D．【答案】B【詳解】設(shè)圓柱狀建筑物的高度為，則有，即，所以.故選：B例題2．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，在鐵路建設(shè)中需要確定隧道的長度，已測得隧道兩端的兩點(diǎn)到某一點(diǎn)的距離分別是，及，則兩點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由余弦定理得：，.故選：C.例題3．（2023春·安徽馬鞍山·高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）如圖，在離地面高400的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知，求山的高度..【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故答案為?真題演練1．（2023春·天津河北·高二學(xué)業(yè)考試）為了測量河對(duì)岸兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點(diǎn)處分別測得，，則間的距離為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【詳解】在中，，即，，和中，，是等邊三角形，，在中，，所以，．故選：B2．（2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在地面上共線的三點(diǎn)處測得一個(gè)建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且，則建筑物的高度為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)建筑物的高度為，由題圖知，，，，在和中，分別由余弦定理的推論，得①，②，因?yàn)?，所以③，由①②③，解得或（舍去），即建筑物的高度?故選:D.3．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，A，B兩點(diǎn)分別在河的兩側(cè)，為了測量A，B兩點(diǎn)之間的距離，在點(diǎn)A的同側(cè)選取點(diǎn)C，測得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為米．【答案】【詳解】根據(jù)已知條件，，米，所以，利用正弦定理，則（米）．故答案為：.考點(diǎn)八：復(fù)數(shù)的概念及四則運(yùn)算真題講解例題1．（2023春·新疆·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以的虛部是.故選：D例題2．（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D例題3．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）已知，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【詳解】由得，所以，故選：A例題4．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)，要讓z為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m為.【答案】2【詳解】為實(shí)數(shù)，則，．故答案為：2.例題5．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）i是虛數(shù)單位，則的值為.【答案】【詳解】由，故答案為：真題演練1．（2023·云南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B2．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（

）A．0 B．2 C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以解得.故選：D.3．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．或【答案】C【詳解】解：因?yàn)檫xC4．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)除法得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模求結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所?因此選D.5．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù).【答案】【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：第六章平面向量和復(fù)數(shù)實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的模是（

）A．1 B．i C． D．2【答案】C【詳解】由題可得.故選：C2．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【詳解】的虛部為．故選：C．3．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，則（

）A．3 B．4 C． D．10【答案】C【詳解】因?yàn)椋?故選：C.4．（2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知關(guān)于x的方程有實(shí)根n，且，則復(fù)數(shù)z＝（

）A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i【答案】B【詳解】由題意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0，所以，解得，所以z＝3－i.故選：B5．（2023春·天津河北·高二學(xué)業(yè)考試）化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B6．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）直角梯形ABCD中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，在邊上運(yùn)動(dòng)（包含端點(diǎn)），則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，建立直角坐標(biāo)系，如圖，

則，當(dāng)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記，則，所以，則；當(dāng)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記，則，所以，則；當(dāng)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記，則，所以，則；綜上：.故選：A.7．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，，若，則的值為（

）A．3 B． C．3或 D．5【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，解得或，所以的值?或.故選：C8．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）兩游艇自某地同時(shí)出發(fā)，一艇以的速度向正北方向行駛，另一艇以的速度向北偏東（）角的方向行駛.若經(jīng)過，兩艇相距，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，點(diǎn)為的船后到達(dá)的點(diǎn)，點(diǎn)為的船后到達(dá)的點(diǎn)，則，則，又因，所以.故選：C.9．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知向量，滿足，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以所以又，，?所以，故選：C．10．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，且，，則（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】C【詳解】∵，∴，∴，①當(dāng)時(shí)，，為直角三角形．∵，，∴；②當(dāng)時(shí)，則有，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，綜上，或．故選：C．11．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，，若，則銳角α為（

）A．30° B．60° C．45° D．75°【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以sin2α，∴sinα＝±．又α為銳角，所以α＝30°．故選：A12．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題