人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點題型精講及檢測（原卷版）

第第頁專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點題型精講1．一元二次不等式一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.2．二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．溫馨提示：(1)二次函數(shù)的零點不是點，是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)．(2)一元二次方程的根是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點．3．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系溫馨提示：(1)對于一元二次不等式的二次項系數(shù)為正且存在兩個根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．(2)對于二次項系數(shù)是負數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再對照上述情況求解．【題型1一元二次不等式的解法】【方法點撥】解一元二次不等式的一般步驟(1)通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；(2)計算對應(yīng)方程的判別式；(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；(4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．【例1】不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集為（）A．(?12，2) C．(?∞，?2)∪(12【變式1-1】不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（）A．{x|?23≤x≤1} BC．{x|x≤?23或x≥1}【變式1-2】不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集為（）A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B．（﹣4，1） C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）【變式1-3】不等式﹣2x2+x+15≤0的解集為（）A．{x|?52≤x≤3} B．{x|x≤?5C．{x|?3≤x≤52} D．{x|x≤﹣3或【題型2含參的一元二次不等式的解法】【方法點撥】解含參數(shù)的一元二次不等式時：(1)若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進行討論；(2)若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式Δ進行討論；(3)若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進行討論．【例2】若0＜a＜1，解不等式（a﹣x）（x?1a）＞【變式2-1】當(dāng)a≤0時，解關(guān)于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．【變式2-2】解關(guān)于x的不等式x2﹣（a+1a）x+1＜【變式2-3】解關(guān)于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0．【題型3三個“二次”關(guān)系的應(yīng)用】【方法點撥】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化．【例3】已知不等式ax2+bx﹣2＜0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，則不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＞0的解集為（）A．R B．? C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}【變式3-1】二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），則cbA．65 B．?65 C．56【變式3-2】若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|?12＜x＜A．(?∞，?16) B．(?∞，16【變式3-3】二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的兩根為2，﹣3，那么關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為（）A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|x＞2或x＜﹣3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}【題型4解簡單的分式不等式】【方法點撥】(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．(2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．【例4】求不等式的解集：（1）﹣x2+4x+5＜0；（2）2x2﹣5x+2≤0；（3）x+1x?3≥0；（4）【變式4-1】解下列不等式并寫出解集．（1）﹣2x2+3x+9＞0；（2）8?x5+x≥【變式4-2】求下列關(guān)于x的不等式的解集：（1）5x?7≥?1；（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞【變式4-3】解不等式：（1）4x2﹣15x+9＞0；（2）2?xx+4【題型5一元二次不等式恒成立、存在性問題】【方法點撥】不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【例5】已知關(guān)于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是（）A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1【變式5-1】不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集為?，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2）【變式5-2】關(guān)于x的不等式x2+ax﹣2＜0在區(qū)間[1，4]上有解，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【變式5-3】對任意實數(shù)x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，則a的取值范圍是（）A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）【題型6一元二次不等式的實際應(yīng)用】【方法點撥】一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型，解題時要弄清題意，準確找出其中的不等關(guān)系，再利用一元二次不等式求解，確定答案時應(yīng)注意變量具有的“實際含義”．【例6】汽車在行駛過程中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個主要因素．在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對同時剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超10m．已知甲、乙兩種車型的剎車距離s（m）與車速x（km/h）之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．則交通事故的主要責(zé)任方是（填“甲”或“乙”）．【變式6-1】某產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)量x（臺）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時（銷售收入不小于總成本）的最低產(chǎn)量是臺．【變式6-2】某輛汽車以xkm/h的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120）時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為15(x?k+4500x)L．【變式6-3】某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元的價格收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元（又稱征稅率為10個百分點）進行納稅，計劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅降低x（x＞0）個百分點，預(yù)測收購量可增加2x個百分點．（1）寫出稅收y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使此項稅收在稅率調(diào)整后不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點題型檢測一．選擇題1．不等式（x+1）（x+3）＜0的解集是（）A．R B．? C．{x|﹣3＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣3，或x＞﹣1}2．若p：1x＞1；q：（x﹣1）（3﹣x）≤0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知2x2﹣kx+m＜0的解集為（﹣1，t）（t＞﹣1），則k+m的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24．若關(guān)于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，則m的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．[1，+∞）5．已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為（﹣2，4），則不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（）A．{x|x＜?12或x＞14} B．{x|C．{x|x＜?14或x＞12} D．6．若關(guān)于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整數(shù)恰有3個，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．(53，74] B．[537．關(guān)于x的方程x2+（m+4）x+2m+20＝0有兩個正根x1，x2（x1＜x2），下列結(jié)論錯誤的是（）A．0＜x1＜2 B．2＜x2＜6 C．x1x2x1+xD．x12+x228．已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，若對于任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，則t的取值范圍是（）A．{t|t≤2} B．{t|t≤﹣2} C．{t|t≤﹣4} D．{t|t≤4}二．多選題9．與不等式x2﹣x+2＞0的解集相同的不等式有（）A．﹣x2+x﹣2＜0 B．2x2﹣3x+2＞0 C．x2﹣x+3≥0 D．x2+x﹣2＞010．若不等式ax2+bx+c＞0的解集為（﹣1，2），則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)+b+c＞0 C．關(guān)于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集為（﹣3，1） D．關(guān)于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集為（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）11．下列關(guān)于不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集討論正確的是（）A．當(dāng)a＝1時，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集為? B．當(dāng)a＞1時，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集為（a，+∞） C．當(dāng)a＜1時，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集為{x|x＜a或x＞1} D．無論a取何值時，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不為空集12．下列說法正確的是（）A．不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集為{x|x＜12或xB．若實數(shù)a，b，c滿足ac2＞bc2，則a＞b C．若x∈R，則函數(shù)y=x2+4D．當(dāng)x∈R時，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，則k的取值范圍是（0，4）三．填空題13．不等式x2+2x﹣8≤0的解集是．14．已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是．15．已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|1＜x＜3}，則cx2﹣bx+a＞0的解集是．16．對任意x∈R，一元二次不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x?38＜0都成立，則實數(shù)k的取值范圍為四．解答題17．解以下一元二次不等式（1）2x2﹣3x+1≤0（2）﹣x2﹣5x+6＜0（3）4x2﹣4x+1＞0（4）x2﹣6x+9≤018．解下列關(guān)于x的不等式：（a為實數(shù)）（1）x2+2x+a＜0；（2）ax?1x?2＞19．已知不等式ax2+bx+1＞0的解集為{x|?12＜x＜132