海南省2024屆高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)全真模擬卷數(shù)學(xué)試題（八）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1海南省2024屆高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)全真模擬卷數(shù)學(xué)試題（八）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為（）A6 B.7 C.9 D.11〖答案〗C〖解析〗已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，共6個(gè)數(shù)，則，所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為從小到大排列的第四個(gè)數(shù)9.故選：C.2.下列方程中表示圓心在直線上，半徑為2，且過(guò)原點(diǎn)的圓的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閳A心在上，所以設(shè)圓心為,因?yàn)閳A的半徑為2，所以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,因?yàn)樵搱A過(guò)原點(diǎn)，所以，解得,所以圓心為或,當(dāng)圓心為時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，D對(duì);當(dāng)圓心為時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.3.已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn，若，則（）A.24 B.12 C.20 D.15〖答案〗D〖解析〗設(shè)等比數(shù)列an的公比為，顯然，否則，此等式不成立，則，由，整理得，即，因此，所以.故選：D.4.如圖所示的沙漏由兩個(gè)完全相同的圓錐組成，且圓錐的底面半徑和高均為2.若沙漏的起始狀態(tài)為上方圓錐中充滿了沙子，下方圓錐中沒有沙子，上方圓錐的沙子勻速漏到下方圓錐中，需要54分鐘全部漏完，則經(jīng)過(guò)52分鐘后，沙漏上方圓錐中沙子的高度為（）A. B.23 C. D.43〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樯匙勇┫聛?lái)的速度是恒定的，上方圓錐的沙子勻速漏到下方圓錐中，則經(jīng)過(guò)52分鐘后，漏下來(lái)的沙子是全部沙子的，剩余的是全部沙子的，下方圓錐的空白部分就是上方圓錐中的沙子部分，所以可以單獨(dú)研究下方圓錐，設(shè)為下方空白的圓錐的高，為沙漏的高，為下方空白部分的圓錐的體積，為下方沙漏的體積，，可得.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故選：A.6.若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闉檎龜?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，所以或（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C.7.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為側(cè)面四邊形的中心，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖：四面體的面是直角三角形，為面與的中心，所以面，因?yàn)樾边叺闹悬c(diǎn)是三角形外心，所以球心在的直線上，面也為直角三角形，分別為與的中點(diǎn)，所以，面，所以面，因?yàn)樾边叺闹悬c(diǎn)是三角形外心，所以球心在的直線上，故球心為直線與直線的交點(diǎn)，正方體的棱長(zhǎng)為2，所以球的半徑為，所以四面體的外接球的表面積為：.故選：D.8.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上異于的點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線與直線交于點(diǎn)，則（）A.12 B.16 C.24 D.32〖答案〗C〖解析〗設(shè)坐標(biāo)，則，根據(jù)題意知，，所以坐標(biāo)為，直線斜率為，所以直線方程為，直線斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，所以直線方程為，聯(lián)立直線方程與方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，所以.故選：C.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，且點(diǎn)均在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心.2為半徑的圓上，點(diǎn)在第四象限，則（）A.點(diǎn)在第一象限 B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗設(shè)，由題意可得，解得或，所以點(diǎn)或，因?yàn)辄c(diǎn)在第四象限，所以，從而可得，所以點(diǎn)在第一象限，故A正確；所以，故B正確；，，所以，所以與不垂直，故C錯(cuò)誤；所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象為中心對(duì)稱圖形C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.關(guān)于的方程在上至多有3個(gè)解〖答案〗AC〖解析〗當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，函數(shù)值從增大到1；在上遞減，函數(shù)值從1減小到；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，函數(shù)值從增大到；在上遞減，函數(shù)值從減小到，函數(shù)在的圖象，如圖：對(duì)于A，，結(jié)合函數(shù)在的圖象，得是的最小正周期，A正確；對(duì)于B，觀察函數(shù)在的圖象，函數(shù)在沒有對(duì)稱中心，又的最小正周期是，則函數(shù)的圖象不是中心對(duì)稱圖形，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由函數(shù)在上遞增，的最小正周期是，得函數(shù)在上遞增，C正確；對(duì)于D，觀察函數(shù)在的圖象，得當(dāng)時(shí)，有4個(gè)解，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱，若，則（）A. B.C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱，故，故，A正確；B選項(xiàng)，由題意得，又，故，令得，即，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題意得，即，令，則，所以為奇函數(shù)，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即，故，令，則，故為偶函數(shù)，D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗由題可得，當(dāng)時(shí)，，則，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，，要使，則，當(dāng)時(shí)，，要使，則，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.13.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為______.〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，消去y得，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，?14.在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗由得，得，得，得，得,故或,又為銳角三角形，故，即,，由及正弦定理可得，故，，因，故恒成立，又,又為銳角三角形，故，，故當(dāng)時(shí)取得最大值，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本題共5小題、共77分.解題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟）15.已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在雙曲線上.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求.解：（1）因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，所以，解得：；又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得：，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，Qx2由題可得過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為：，即，聯(lián)立，消去可得：，所以，，所以.16.如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，.（1）證明：;（2）若直線AB與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)為線段BD上一點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：因?yàn)?，，所以，所?因?yàn)闉橹彼睦庵?，所?因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）解：由（1）及題意知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因?yàn)椋?設(shè)，所以，所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線AB與平面所成的角為，則，解得，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，因?yàn)椴辉谄矫?，所以平面，因?yàn)镸在線段上，所以點(diǎn)M到平面的距離等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離，為，故點(diǎn)M到平面的距離.17.某自助餐廳為了鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱、箱中放有8折、8.5折、9折、9.5折的獎(jiǎng)券各3張，每張獎(jiǎng)券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取3張獎(jiǎng)券，最終餐廳將在結(jié)賬時(shí)按照3張獎(jiǎng)券中最優(yōu)惠的折扣進(jìn)行結(jié)算.（1）求一位顧客抽到的3張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原價(jià)為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時(shí)的價(jià)格為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）從12張中任選3張有種方法，取到的折扣均不相同的取法有，所以一位顧客抽到的3張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率；（2）的所有取值為，，，，，所以的分布列為.18.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)極值；（2）若曲線y=f(x)與曲線有唯一的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）時(shí)，，令解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無(wú)極大值.（2）由分離得，令，令，所以hx在R上單調(diào)遞減，，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞增，在區(qū)間0,+∞上，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，gx=3x+2-要使曲線y=f(x)與曲線有唯一的交點(diǎn)，則的取值范圍是.19.定義：已知數(shù)列為有窮數(shù)列，①對(duì)任意（），總存在，使得，則稱數(shù)列為“乘法封閉數(shù)列”；②對(duì)任意（），總存在，使得，則稱數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，（1）若，判斷數(shù)列是否為“乘法封閉數(shù)列”.（2）已知遞增數(shù)列，為“除法封閉數(shù)列"，求和.（3）已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)的遞增數(shù)列，共有項(xiàng)，，且為“除法封閉數(shù)列”，探究：數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是，請(qǐng)給出說(shuō)明過(guò)程；若不是，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）由題意知，數(shù)列為：.由，不是數(shù)列中的項(xiàng)，故數(shù)列不是“乘法封閉數(shù)列”；（2）由題意數(shù)列遞增可知，則，且，又?jǐn)?shù)列為“除法封閉數(shù)列”，則都是數(shù)列中的項(xiàng)，所以，即①；且，即②，聯(lián)立①②解得，；（3）數(shù)列是等