廣東省汕頭市潮南區(qū)2025屆高三年級上冊摸底考試數(shù)學試題（含答案）

廣東省汕頭市潮南區(qū)2025屆高三上學期摸底考試數(shù)學試題

一、選擇題：本題共11小題，每小題5分，共55分。

1.設集合a={1,3},B=（x\x2-3x+m=0],若2nB={1},則集合8=（）

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

2.設復數(shù)z在復平面內對應的點為則作的模為（）

A.1B.2dD.0

3.|a|=6,"為單位向量，當江，"的夾角為135。時，向量1在向量之上的投影向量為（）

A,V2eB.一#eC.3V2eD.-3巡？

4.雙曲線C:冷a=l（a>0,b>0）的一條漸近線為y=3,則C的離心率為（）

A.A/2B.A/3C.2D.4

5.已知數(shù)列an=:二標需。€N*）,則數(shù)列{冊}的前100項中的最小項和最大項分別是（）

A.。100B.。45，。44C.。45，D.。44，。100

6.已知三棱錐P—ABC中，AP=AC=BP=BC=2^,AB=PC=2@,則其外接球表面積為（）

A.mB.8mnC.8兀D.247r

7.已知函數(shù)g。）的圖象與人嗎=/_?|久的圖象關于點（1,1）對稱，且。（久）的圖象與直線y=4%-6相切，則

實數(shù)機=（）

A.2B.-1C.-4D.4

8.如圖為一款3*3電子觸控燈面板，每個方格中的燈只有“亮”與“不亮”兩種狀態(tài)，觸摸燈一次，將導

致自身和所有相鄰的燈狀態(tài)發(fā)生改變.例如，在面板燈全不亮狀態(tài)下，觸摸E號燈時，E號燈亮起，周圍的

B、D、F、”號燈也發(fā)亮，其他號燈仍保持“不亮”狀態(tài).如果在面板燈都“不亮”狀態(tài)下，只要4號燈

亮，則需要觸摸面板燈最少次數(shù)為（）

ABC

DEF

GHI

A.5B.7C.1D.9

9.某校高三年級選考地理科的學生有100名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分數(shù)轉換為等級分，已知等級分X的

分數(shù)轉換區(qū)間為[30,100],若等級分X?N（80,25）,貝|（）參考數(shù)據：P^-a<X<fi+（r）=0.6827；P

（〃一2。<X<〃+2a）=0.9545；P（〃-3。<%<//+3。）=0.9973

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A.這次考試等級分的標準差為5

B.這次考試等級分超過80分的約有45人

C.這次考試等級分在［70,80］內的人數(shù)約為48人

D.P(65<X<75)=0.1573

10.函數(shù)/(x)=2sin?久+")(3>0,\(p\<兀)圖象上相鄰的最高點與最低點的橫坐標相差方，/(%)的一條對

稱軸％=苫，且/9)>/(1)，下列敘述正確的是()

A,函數(shù)/(%)的解析式為/'(%)=2sin(2x+§

B.f(x)的一個對稱中心修,0),且在，，圖上單調遞減

C./(久)向左平移看個單位得到的圖象關于y軸對稱且/(0)<0

D.對任意xe后引，a>聶(幻—cos2久恒成立時，滿足條件的a值可為1

11.已知曲線C上點滿足：到定點(1,0)與定直線y軸的距離的差為定值小，其中41，42分別為曲線c上的兩

點，且點4恒在點①的右側，選項正確的為()

A.若則曲線C的圖像為一條拋物線

B.若爪=1,則曲線C的方程為y2=4x(x>0)

C.當m>1時，對于任意的4(久i，yo)和42。2，丫0)，都有Wil<%1

D.當m<-1時，對于任意的4i(xi,yo)和42(%2,、0)，都有必|<|久2］

二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若3sina—sin0=1,a+0=5,則sina=.

13.已知函數(shù)/(*)的定義域為R,數(shù)列｛an｝滿足斯=/0),已知兩個條件：①函數(shù)/(%)在［1,+8)是減函

數(shù)；②是遞減數(shù)列.寫出一個滿足①和②的函數(shù)八久)解析式：；寫出一個滿足②但不滿足①的

函數(shù)/'(%)解析式：.

14.某填空題有兩小問，按目前掌握信息：十個人中有四人能夠答對第一問；在第一問答錯情況下，第二

問答對的概率僅為0.05；第一問答對的情況下，第二問答錯的概率為0.7.用頻率估計概率，選擇有效信息

估計該題兩小問均答錯的概率：.

三、解答題：本題共5小題，每小題12分，共60分。

15.在五邊形2BCDE中，乙BCD=^BAE=冬，乙CBD=今cos4DBE=|,CD=2m，DE=8.

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(1)求BE的長度；

(2)求三角形力BE周長的最大值為多少？

16.已知橢圓噂+\=l(a>b>0)的左、右頂點分別為4B,點(1,|)在該橢圓上，且該橢圓的右焦點F

(2)如圖，過點F且斜率為k的直線I與橢圓交于M,N兩點，記直線2M的斜率為的，直線BN的斜率為矽，求

證：的=京2.

17.多面體E-4BCD的底面為梯形，AB//CD,AB=2CD=2也，EA=ED=BC,乙BCD=2乙CBD=9

0°,且四邊形BDEN為矩形，點P為線段EN上一點(異于點E、N).

(1)若點P為線段EN中點，求證：CP〃平面ZME；

(2)是否存在點P,使直線BE與平面24。所成的角的正弦值為坐？若存在，求出P|；若不存在，請說明理

由.

18.為提高我國公民整體健康水平，2022年1月，由國家衛(wèi)生健康委疾控局指導、中國疾病預防控制中心和

國家體育總局體育科學研究所牽頭組織編制的《中國人群身體活動指南(2021)》(以下簡稱《指南》)正式

發(fā)布.《指南》建議18-64歲的成年人每周進行150-300分鐘中等強度或75-150分鐘高強度的有氧運動(以

下簡稱為“達標成年人”).經過兩年的宣傳，某體育健康機構為制作一期《達標成年人》的紀錄片，采取

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街頭采訪的方式進行拍攝，當采訪到第二位“達標成年人”時，停止當天采訪■記采訪的18-64歲的市民數(shù)

為隨機變量X(X22),且該市隨機抽取的18-64歲的市民是達標成年人的概率為看抽查結果相互獨立.

(1)求某天采訪剛好到第五位可停止當天采訪的概率；

(2)若抽取的18-64歲的市民數(shù)X不超過n的概率大于|,求整數(shù)九的最小值.

19.懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.通過建立坐標系，懸鏈線可表示為雙

曲余弦函數(shù)麗(x)=絲芽二的圖象,現(xiàn)定義雙曲正弦函數(shù)sh(x)=心舁，回答以下問題：

(1)類比三角函數(shù)的導數(shù)關系：(sin%)，=cos%,(cosx)z=-sin%,寫出sh(%)與ch(%)的導數(shù)關系式，并證

明；

(2)對任意第>0,恒有s/i(%)>a%成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)求/(%)=ch(%)-cos%-/的最小值.

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參考答案

1.5

2.2

3.0

4.C

5.B

6.D

7.C

8.A

9.ACD

10.XBD

11.AD

12.|或0

13.〃>)=?"(答案不唯一)；；?/(久)=—/+2/(答案不唯一)

14.0.57

15.1?：(1)

在中，由正弦定理知肅而=而海，所以器=筌，解得B0=6，

在人皿￡中，由余弦定理知cosWBE=比第捍，所以江啜騎能

化簡得5BE2—36BE—140=0,解得BE=10或—3舍負)，

故BE的長度為BE=10；

(2)

在84BE中，由余弦定理知，BE2=BA2+AE2-2BA-AE-cos^BAE,

^T^lOO=BA2+AE2+BA-AE,所以(BZ+AE')2-BA-AE=100,

即(BA+AE)2-100=BA-AE<+當且僅當84AE=型晅時，等號成立,

43

此時aB2+AE)2=100,BA+HE的最大值為苧，

所以三角形ABE周長的最大值為亨+10.

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16.解：(1)

a2a=2

依題意，可得,b=F

+4b2

故橢圓C的標準方程為：[+9=1；

4,D

如圖，當直線/的斜率k=0時，可得的=七=0,顯然滿足的=92

'%=my+1

當kHO時，不妨設直線/:%=my+1,由名+及.=1，消去工,整理得，(3/n2+4)y2+6my-9=0,

,43

y1+y2~—1-------a

顯然4>0,設M(xi,yi),N(%2,y2)，則由韋達定理，，3啄+4,故=a(+),

yi?丫2=—2

32m2+4

因4(—2,0),B(2,0),貝收1=^^,七=登,

貝|]3自_的=膏7丫23丫1(久2—2)一丫2(為1+2)3yiOy2-l)-y2Oyi+3)

%2-2—(%1+2)(%2-2)(汽1+2)(%2—2)

此式的分子為：3y1(my2-l)-y2(my1+3)=2my1y2-3y1-3y2=3(yt+丫2)-3(%+y2)=。，

故得3kl=k2,即七="k2，得證.

17.解：⑴

由條件可知NCBD=4ABD=45°,BC=CD=",BD=2,

則4D=yjAB2+BD2-2AB-BDcoszXBD=2=yjAB2-BD2

即-2D8為等腰直角三角形，所以乙4DC=135。，

取的中點F,連接CF,；.乙DCF=45°今。/〃力。，

因為ZDu平面DAE,CFC平面ZME,

所以CF〃平面D4E,

又因為四邊形BDEN為矩形，點P為線段EN中點，所以PF〃DE,

同理有PF〃平面D4E,

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而PFnCF=F,PF、CFU平面CFP,

所以平面CFP〃平面D4E,

因為CPu平面CFP,所以CP〃平面D4E；

取AD的中點0,連接E0,OB,

根據題意知=瓦42+E02,即AADE為等腰直角三角形，

EO1AD,BO=居E。=1,BE=^BD2+DE2=m=^JBO2+EO2,

貝怩。1BO,

因為B。CiAD=OQB、ADu底面ABCD,所以E。1底面ABCD,

過。作Oy1AD,易知。y〃BD〃EN,

如圖所示建立空間直角坐標系，易知4(1,0,0),。(―1,0,0),B(—1,2,0),E(0,0,1),

設P((U,1)(4G(0,2)),則而=(1,A,1),^4=(2,0,0),麗=(-1,2-1),

設平面PAD的一個法向量為三=(久,y,z),

(n-DA=2x—0

,令z=-A,則x=0,y=1,即71=(0,1,—2),

[n-AP=x+Ay+z=0

n-EB12+^176

設直線BE與平面PAD所成的角為a,sina=|cosn,EB|=

|n|.\EB\—J6Q+斗)一丁

解之得即|EP|/

18.解：(1)

依題意，采訪的前四位中有一位是達標成年人，第五位必是達標成年人,

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因抽取的市民只有“是達標成年人”或“不是達標成年人”兩個結果，且抽查結果相互獨立，故這是個打

重伯努利概型.

故“這一天采訪剛好到第五位可停止當天采訪”的概率為盤X^X《)3X，急；

(2)

依題意，可列出隨機變量X(XN2)的分布列：

X2345n

心X(/x|WX《)2X(|)2或X0)2x(,)3*X《)2x(|)n-2

P學

2

于是&2+禺X?)2X|+C|X(j)X(|)2+..?+*X(j)2X哥一2>

化簡得，![l+2x|+3x(|)2+-+(n-1)x(|)"-2]>|,

即1+2)|+3)(|)2+-??+(n-1)X(|)n-2>6(*)

不妨記S=1+2X|+3X(|)2+.??+(n-1)X(§n-2①

貝u|s=lx|+2x(|)2+3x(|)3+-+(n-1)x(|)時1②

由①一②，可得，=1+|+(|)2+(|)3+…+(|)n-2-(n-l)x俞1,

sn1

即1=[0-1)x(|)T=3-3x(|)n-i-(n-l)x(|)nT=3-(n+2)x(j)"-,

故得，S=9-(2n+4)x(令n-2,代入(*)整理得，(2n+4)x仔產菖<3.

2

設冊=(2n+4)x(j)n-2,(n>2,neN*),

?.Q/i+i(2TI+6)xi4n+12-一-r心一r、口、耳、一山八七」

由河=3+4)X(7-2=藐。<1可知，｛冊｝是遞減數(shù)列，

又。6=16*《)4=譽>3,而。7=18*(|)5=塞<3,故整數(shù)n的最小值為7.

Jo1oZ4-a

19.解：⑴

平方關系：ch2(x)-sh2(x)=1；

和角公式：ch(x+y)=ch(x)ch(y)+sh(%)式(y)；

h(x)=ch(x)

導數(shù):

'-ch(x)=sh(x)

理由如下：平方關系，Ch2(x)-s/l2(x)=("號二)2一(笆蓑二)?

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=-+i+2?+i2=

44'

入，?、e%+y+e*y

ch(x+y)=---------------,

一J,1,、PX+p~xpy+p~yx_-xy_-y

和角公式：c/i(x)c/i(y)+s/i(%)sh(y)=---------------------+--P---p-------p---p---

Qx+y_i_Qx~y+x+y_i_^―%—y^x+y_Qx~y—x+y_i_y

=---------------------4---------------------+--------------------4--------------------

ex+y+e~x~y

二2

故ch(久+y)=ch(x)ch(y)+sh(x)sh(y')；

導數(shù)：sh'(X)=e_：e_)=e或e_=麗刀，ch!(x)=-=shx；

(2)

構造函數(shù)F(x)=sh(x)-ax,xG[0,+oo),由(1)可知F'(x)=c/i(x)-a,

i.當aW1