中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：相似三角形的常見模型

2022年中考數(shù)學(xué)相似三角形的常見模型

上@學(xué)習(xí)目標(biāo)）

1.了解相似三角形的性質(zhì)定理與判定定理；

2.能利用相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理解決簡單問題.

件重難點(diǎn)分析

1.相似三角形的判定；

2.能構(gòu)成相似三角形的常見模型.

《模型分析》

相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn),

其變化很多，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再

遇到相似三角形的問題就信心更足了.本專題重點(diǎn)講解相似三角形的六大基本模型.

在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比

例的線段或出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系.

o要點(diǎn)集結(jié)）

相似基本模型專題探究之一線三等角

【知識點(diǎn)睛】

一.常見基本類型:

同側(cè)型（通常以等腰三角形或者等邊三角形為背景）

二.模型性質(zhì)應(yīng)用:

常用結(jié)論：

1易得△左S△右；

2.如圖②，當(dāng)DE=D尸時(shí)，ABDE2ACFD；

3.中點(diǎn)型“一線三等角”中，可得三個(gè)三角形兩兩相似

如右圖，若N1=N2=N3,且=則一般地：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到底邊的

中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值

模型構(gòu)造:

1.圖中已存在“一線三等角”，則直接應(yīng)用模型結(jié)論解題.

2.圖中存在“一線兩等角”，補(bǔ)上“一等角”，構(gòu)造模型解題.

3.圖中某直線上只存在1個(gè)角，補(bǔ)上“兩等角”，構(gòu)造模型解題.

如果直線上只有1個(gè)角，要補(bǔ)成“一線三等角”時(shí)，該角通常是特殊角（30。、45。、

60°>

特征：構(gòu)造特殊角的等角時(shí)，一般是在“定線”上做含特殊角的直角三角形。

“一線三等角”得到的相似，通常用外邊的兩等角的兩邊對應(yīng)成比例求解長度.

相似常見模型之平行相似

【知識點(diǎn)睛】

A字圖及其變型“斜A型”

當(dāng)DE〃BC時(shí)

△ADE^AABC當(dāng)/ADE=/ACB時(shí)

性質(zhì)：△ADE^AACB

GADAEDE

①-----二------性質(zhì)：

ABACBCADAE_DE

②金AE

DB~EC

☆:斜A型在圓中的應(yīng)用:

如圖可得：△PABSAPCD

☆:“A字圖”最值應(yīng)用

A字圖中作動(dòng)態(tài)矩形求最大面積時(shí)，通常當(dāng)MN為△ABC中位線,

矩形面積達(dá)到最大值！

8字圖及其變型“蝴蝶型”

B\當(dāng)AB〃CD時(shí)些i4時(shí)

rAAOB^ADOC'"變型B△AJB^ACJD

［性質(zhì)：性質(zhì)：

ABOAOBABJAJB

CDOD0CDTD~7C~1D

☆:“蝴蝶型”常見應(yīng)用

1.常出現(xiàn)在“圓”中，直接由相交弦得到，求角度相關(guān)此時(shí)注意“同弧所對圓周角相等”的應(yīng)用

2.出現(xiàn)在“手拉手模型”中，用于證明“兩直線垂直”或者“兩直線成一固定已知角度”

☆:A字圖與8字圖相似模型均是由“平行”直接得到的，有“〃”，多想此兩種模型

常見“〃”的引入方式：

1.直接給出平行的已知條件

2.平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等幾何圖形中自帶的平行

3.由很多中點(diǎn)構(gòu)造的“中位線”的平行

4.根據(jù)線段成比例的條件或結(jié)論自己構(gòu)造平行輔助線

閡胰郎青

一、相似的有關(guān)概念

1.相似形

具有相同形狀的圖形叫做相似形.相似形僅是形狀相同，大小不一定相同.相似圖

形之間的互相變換稱為相似變換.

2.相似圖形的特性

兩個(gè)相似圖形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等.

3.相似比

兩個(gè)相似圖形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

二、相似三角形的概念

1.相似三角形的定義

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.

如圖,AABC與AA'B'C'相似，記作AABC^AA'B'C,符號s讀作“相似于”.

2.相似比

相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.“全等三角形”一定是“相

似形”，“相似形”不一定是“全等形”.

三、相似三角形的性質(zhì)

1.相似三角形的對應(yīng)角相等

如圖，AABC與△A'5'C'相似，則有NA=NA',=NC=NC'.

2.相似三角形的對應(yīng)邊成比例

則有‘^=上邑=’^=左（人為相似比）.

如圖，AABC與八4'5'（7相似,

A'B'B'CA!C

3.相似三角形的對應(yīng)邊上的中線，高線和對應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比.

如圖1,AABC與△A'3'C'相似，40是A4BC中3c邊上的中線，AM'是△A'3'C'

中3'C邊上的中線，則有'=生=生=左=當(dāng)_（左為相似比）.

A'B'B'C'A'CAM'

如圖2,AABC與△A'B'C'相似，AH是A4BC中3c邊上的高線，A'H'是△AB'C'中

B'C'邊上的高線，則有絲=生=至=左=也（人為相似比）.

AB'B'CA'CAH'

如圖3,AABC與△A'B'C'相似，AD是A4BC中NS4c的角平分線，A。'是△A'B'C

中NB'A'C'的角平分線，則有絲=更1=/￡=左=灼］（左為相似比）.

A'B'B'CA'CAD'

圖3

4.相似三角形周長的比等于相似比.

ARAC

如圖4,AABC與△A'3'C'相似，則有——=-^-=—^-=k（左為相似比）.應(yīng)用比

ABrB'C'AC

例的等比性質(zhì)有其=軍ACAB+BC+AC

A!BrB'C'AVAB+EC+AC'-

A

圖4

5.相似三角形面積的比等于相似比的平方.

如圖5,AABC與△AEC相似，AH是"5。中6c邊上的高線，A"'是△A?C中

B'C邊上的高線，則有絲=空=<￡=左=也-（左為相似比）.進(jìn)而可得

ABrBrCACAHf

>△48。___2__________A"_k2

SAXBC1.BC.AHB'C'AH

2

四、相似三角形的判定

1.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與

原三角形相似.

2.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相

似.可簡單說成：兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似.

3.如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這

兩個(gè)三角形相似.

4.如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的你對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相

似.可簡單地說成：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.

5.如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊

對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.

6.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形相似（常用但要證明）

7.如果一個(gè)等腰三角形和另一個(gè)等腰三角形的頂角相等或一對底角相等，那么這兩個(gè)

等腰三角形相似；如果它們的腰和底對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)等腰三角形也相似.

五、相似證明中的比例式或等積式、比例中項(xiàng)式、倒數(shù)式、復(fù)合式

證明比例式或等積式的主要方法有“三點(diǎn)定形法”.

1.橫向定型法

欲證些=見，橫向觀察，比例式中的分子的兩條線段是AB和3C,三個(gè)字母

BEBF

A,B,C恰為△ABC的頂點(diǎn)；分母的兩條線段是班T和跳"三個(gè)字母8,E,P恰為

ABEF的三個(gè)頂點(diǎn).因此只需證AABCS/XEBF.

2.縱向定型法

欲證理="，縱向觀察，比例式左邊的比AB和3C中的三個(gè)字母A,2,C恰為

BCEF

AABC的頂點(diǎn)；右邊的比兩條線段是DE1和EF中的三個(gè)字母￡>,E,尸恰為△DEF的

三個(gè)頂點(diǎn).因此只需證.

3.中間比法

由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)常會碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒有相同點(diǎn)的情況，此時(shí)可考慮運(yùn)用

等線，等比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似三角形.這種方法就是

等量代換法.在證明比例式時(shí)，常用到中間比.

比例中項(xiàng)式的證明，通常涉及到與公共邊有關(guān)的相似問題。這類問題的典型模型是射影

定理模型，模型的特征和結(jié)論要熟練掌握和透徹理解.

倒數(shù)式的證明，往往需要先進(jìn)行變形，將等式的一邊化為1,另一邊化為幾個(gè)比值和的

形式，然后對比值進(jìn)行等量代換，進(jìn)而證明之.

復(fù)合式的證明比較復(fù)雜.通常需要進(jìn)行等線代換（對線段進(jìn)行等量代換），等比代換，

等積代換，將復(fù)合式轉(zhuǎn)化為基本的比例式或等積式，然后進(jìn)行證明.

六、相似證明中常見輔助線的作法

在相似的證明中，常見的輔助線的作法是做平行線構(gòu)造成比例線段或相似三角形，同時(shí)

再結(jié)合等量代換得到要證明的結(jié)論.常見的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代

換等.

如圖：平分N班C交于。，求證:—=—.

DCAC

證法一：過C作CE〃AD,交54的延長線于E.

：.Z1=ZE,Z2=Z3.

VZ1=Z2,AZ3=ZE./.AC=AE.

.BDBABA

AD//CE,.

.DCBE~AC

點(diǎn)評：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“A”型圖的基本模型.

E

證法二；過3作AC的平行線，交的延長線于E.

AZ1=Z2=ZE,AAB=BE.

.BDBEAB

BE//AC,.

'~DC~ACAC

點(diǎn)評：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“X”型圖的基本模型.

七、相似證明中的面積法

面積法主要是將面積的比，和線段的比進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化來解決問題.

常用的面積法基本模型如下：

<-BCAH”

我口圖：c=2-----=_

CD

SAACDCDAH

2

G—?BC,AH4q4c

如圖：S^ABC_2___A。

S/\BCD八「

△BCD_1?BC?DGDGOD

2

S/\ABD_S/\ABDS_ABAD_AB?AD

如圖：AAED

S4ACES/\AEDSAACE~~\E^C~AEAC

八、相似證明中的基本模型

g郴喇）

“A”字型

ADAEDE

1.圖①A字型DE//BC,結(jié)論:

AC~BC

AEADDE

2.圖②反A字型NADE二NB,結(jié)論:

AC-AB-BC

DFBG

3.圖③雙A字型DE〃BC,結(jié)論:

EF-GC

4.圖④內(nèi)含正方形A字形,結(jié)論七=黃（“為正方形邊長）

圖①圖②圖③圖④

例1.如圖，在中，D,￡分別是和/C上的點(diǎn)，旦DE〃BC,膽=旦，DE

BD2

=6,則6c的長為（）

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得些=坦，再根據(jù)旭=心_,龐=6,即可得出二

BCABBD2BC

③，進(jìn)而得到及7長.

5

【解答】黑：?：DE//BC,

:.^ADEsAABC,

.DE=AD

"BC而'

AD=3；龐=6,

BD2

?.?6_3,

BC5

：.BC=10,

故選：c.

根據(jù)平行線和公共角對應(yīng)角相等，導(dǎo)出三角形相似.

例2.如圖，D、E是AABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，且A。AC=AE.AB,

求證：ZADE=ZB.

【答案】VADAC=AEAB

.ADAB

**AE-AC

'：ZDAE=ZBAC

ADAE^ABAC

：.ZADE=ZB

【解析】由邊乘積導(dǎo)出對應(yīng)邊成比例.

機(jī)4埠）

反A字型需要注意對應(yīng)邊和對應(yīng)角的識別.

rI--V---]1例3.如圖，在AABC中，點(diǎn)D,E,Q分別在AB,AC,BC上，且DE/7BC,AQ交DE

【答案】證明：在4ABQ和4ADP中，

：DP〃BQ,

.'.△ADP^AABQ,

.DPAP

"''BQ~布

l.一,PEAP

同理在AACQ和AAPE中，一=—，

DPPE

'BQQC

【解析】可證明△ADPS/XABQ,AACQ^AADP,從而得出二=工

以上兩個(gè)題目為雙A字模型，注意相同比例的等量代換.

I--------1例4.如圖，在△被7中，28=47=10,8C=12,矩形龍F(tuán)G的頂點(diǎn)位于的邊上,

設(shè)EF=x,S四邊形座

(1)填空：自變量x的取值范圍是0<x<12

(2)求出y與x的函數(shù)表達(dá)式；

(3)請描述y隨x的變化而變化的情況.

【分析】(1)根據(jù)題意即可得到結(jié)論；

(2)利用勾股定理和等腰三角形的三線合一求得飄AN,再利用得出比

例線段，利用x表示出可進(jìn)一步利用矩形的面積求的函數(shù)解析式；列表取值，描點(diǎn)畫

出圖象；

(3)根據(jù)以上三種表示方式回答問題即可.

【解答】解：(1)0<^<12；

故答案為：0<x<12；

(2)如圖，過點(diǎn)/作加U以于點(diǎn)兒交加于點(diǎn)瓶

*8—10,BC=\2,ANLBC,

,?BN=CN=6,AN=JAB2-BN2=&，

"：DG//BC,

:.NADG=/ABC,NAGQ/ACB,

:AADCSXABC,

AM_EF即8-MN二x

AN^BC，8=12,

:.MN=8-2x.

3

：.y=EF^MN=x(8-&)=-l^+8x=-2(x-6)2+24；

333

(3)當(dāng)0<x<6時(shí)，y隨x的增大而增大；

當(dāng)x=6時(shí)，y的值達(dá)到最大值24,

當(dāng)6Vx<12時(shí)，y隨x的增大而減小.

練習(xí)1.如圖，在一塊三角形區(qū)域48C中，ZC=60°,49是的高，灰：=10米，49=8

米.現(xiàn)要在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)建造■個(gè)矩形水池EFHG,如圖的方案是點(diǎn)G,〃在BC邊上,

點(diǎn)￡在/8邊上，點(diǎn)尸在/C邊上.

(1)設(shè)EG=x,當(dāng)x取何值時(shí)，水池分粉的面積為15米z?

(2)該水池的面積能不能為25米,？

(3)實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在寬上距C點(diǎn)3米處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大

矩形水池的邊上？在或不在，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)矩形的對邊平行可得"”6G然后求出△/瓦'和△/歐相似，再利用相

似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列式表示出EF,再根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得

解；

(2)根據(jù)面積等于25列出方程，利用根的判別式判斷即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出面積最大時(shí)的x的值，再利用/C的正切值求出CH

的長度，然后與3米比較即可判斷.

【解答】解：(1);四邊形藥肱是矩形，

：.EF//BC,

:.叢AEFs叢ABC,

.AK=EF

"ADBC，

即殳￡=空，

810

解得斯=)式w

4

2

...水池跖％的面積=x?3比二x,J=-52+402,

44

2

當(dāng)面積為15米2時(shí)，&..+4。匕=15,

4

整理得，￥-8矛+12=0,

解得羽=2,至=6,

答：x=2米或6米時(shí)，水池用陽的面積為15米*

(2)假設(shè)水池的面積能為25米2,

2

則-5x+4Ox=25,

4

整理得，/-8x+20=0,

-4ac=(-8)2-4X1X20=64-80=-16<0,

二方程沒有實(shí)數(shù)解，

故水池的面積不能為25米M

2

(3):水池切正?的面積=-5三+40x_=-」(XL8X)=-至(x-4)?+20,

444

當(dāng)x=4時(shí)，水池的面積最大，

.O=x+tan60。=4

3

...大樹能位于最大矩形水池的邊GH上.

本題難度稍微大一點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，涉及到二次函數(shù)的內(nèi)容，學(xué)生需要計(jì)算功底比較扎實(shí).

“8”字型

AOBOAB

1.圖①“8”字型AB〃CD,結(jié)論:

OD~CO~~CD

圖②“反8”字型NA=NC,結(jié)論：*=鬻=若、四點(diǎn)共圓

2.

AEDF

3.圖③“雙8”字型AB〃CD,結(jié)論:

BE~CF

4.圖④“A、8”字型AB〃CD〃EF,結(jié)論:---1---=--

ABCDEF

5.圖⑤，結(jié)論：EF=EG、^^AED?S^BEC=&ABE?S^CDE

圖①圖④

--------1例L如圖，口/為口中，￡是。的延長線上一點(diǎn),BE與AD交手點(diǎn)F.證明：AABF

S△儂.

【分析】根據(jù)平行四邊形對角相等可得對邊平行可得45〃。，根據(jù)兩直線平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到//即=/￡,然后利用兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明.

【解答】證明：???四邊形/皿是平行四邊形，

：.ZA=ZC,AB//CD,

'：AB//CD,

:./ABF=/E,

在△/跖和△儂中，/A=/C,ZABF=ZE,

叢ABFs叢CEB.

練習(xí)1.如圖，AA8C中,AD,應(yīng)'是兩條中線，則心女：S4ABe=()

c

A.1：2B.2：3C.1：3D.1：4

【分析】在△/8C中，AD>應(yīng)是兩條中線，可得龐是△/比T的中位線，即可證得△功C

^/\ABC,然后由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案.

【解答】解：中，AD,龍是兩條中線，

，施是△/回的中位線，

：.DE//AB,DE^—AB,

2

:.AEDCs叢ABC,

?(~<(~>_/DE、2_1

??VEDC：J^ABC—I---)----?

AB4

故選：D.

■v」?fàn)?

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用.

0例2.如圖，在口力及蘇中，/4比'的平分線"分別與力。、交于點(diǎn)&F.

(1)求證：AB=AF；

【分析】(1)由在加灰力中，AD//BC,利用平行線的性質(zhì)，可求得/2=/3,又由哥'是

回的平分線，易證得N1=N3,利用等角對等邊的知識，即可證得26=46；

(2)易證得△/如△儂，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得膽的值.

【解答】解：（1）如圖，在F6切中，AD//BC.

.?.Z2=Z3,

:跖是//%的平分線，

.?.Z1=Z2,

/.Z1=Z3,

：.AB=AF-,

(2)'：ZAEF=Z.CEB,Z2=Z3,

:.叢AEFs叢CEB,

?：AF=AB=3,

.AE=AF=3_

,,ECBCT

AAE=3

練習(xí)1.如圖，在正方形切中，CE1DF于。點(diǎn),假設(shè)正方形的邊長1,CF=x.

（1）試求四邊形〃的面積；

（2）當(dāng)戶是優(yōu)的中點(diǎn)時(shí)，求四邊形/戊應(yīng)的面積的值.

【分析】（1）先得△頌必則SACBE=SADC產(chǎn)工,再由△儂求得以的，

2

貝US四邊形血）（如=1-S&CBE_SaDCE-Slxcop-

（2）當(dāng)戶是正的中點(diǎn)時(shí)，x=工，代入（1）中所求的表達(dá)式求得四邊形/必近的面積的

2

值.

【解答】解：（1）易知△儂必△，陰

得BE=CF=X,Ed=^,SACBE=SADCF4X.

又ACOFsXCBE,

所以SACBE：S/\COF=：FE=(1+x)：X,

23

得SACOF年S"E=袤M

x?_2-2X+2X2-X，

所以SADOE=1-22ACBE+AC0F~-x+

2(l+x2)~2(l+x2)

(2)當(dāng)尸是回的中點(diǎn)時(shí)，x9

x2

2-2Xy+2X受WL

此時(shí)SADOE=12

2(1+(y))

以上兩個(gè)題目是A字型和8字型的綜合題目，需要將兩種模型的特點(diǎn)結(jié)合使用，題目分析思

路相對比較復(fù)雜.

由例3.如圖，點(diǎn)￡在矩形/及/的邊/。上，魚4EBC=NECB.

(1)求證：AE—ED-,

(2)連接初交)于點(diǎn)尸，求△比F和△〃跖的面積之比.

【分析】(1)根據(jù)也證明Rt△/龐必RtZkDB即可.

(2)利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】(1)證明：?..四邊形/宛9是矩形，

：.AB=CD,NA=NCDE=90°,

'：2EBC=/ECB,

:.EB=EC,

(應(yīng)),

:.AE=ED.

(2)解：YBC=AD,AE=ED,

：.BC=2DE,

'：DE//BC,

:.叢DEFs^BCF,

S

ADEF_(DE)2=1_

^ABCFBC4

練習(xí)1.如圖，在四邊形/灰/中，Z5=90°,對角線47平分/掰〃Ad=AB-AD.

(1)求證：ACVCD-,

(2)若點(diǎn)￡是4?的中點(diǎn)，連接第//￡C=134°,求/題的度數(shù).

【分析】（1）只要證明△掰Cs4,。。看到切=90°解決問題；

（2）首先證明NAN以力=67°,再利用相似三角形的性質(zhì)推出/片67°即可

解決問題；

【解答】（1）證明：

.AC=AD

,,ABAC，

：AC平分/物2,

：.ABAC=ZCAD,

:.XBACsMCAD,

：.ZB=Z.ACD=^°,

C.ACLCD.

(2)：N/C9=90°,AE=ED,

:.EC=EA=ED,

：.AD=ZECD,

.：/AEC=少/ECA\34°,

：.AECD=AD=^V,

■:XABCs^ACD,

：.ZACB=ZD=67°,

：.4BCD=67°+90°=157°.

練習(xí)2.如圖，直角梯形ABCD中，AB〃CD,AB±BC,對角線ACLBD,垂足為E,AD=BD,過

點(diǎn)E作EF〃AB交AD于F,求證：(1)AF=BE；(2)AF2=AE?EC.

【答案】證明：(1)：EF〃AB,

,,.△DFE^ADAB.

.DFDE

"DA~DB

又：DA=DB,.\DF=DE.

.?.DA-DF=DB-DE,即AF=BE.

(2)VABXBC,

.'.△ABC為直角三角形.

又：AC_LBD,

/.△BCE^AABE.

?EB

——，即EB2=AE?EC.

,ECEB

又：AF=EB,AAF2=AE?EC.

【解析】（1）根據(jù)平行構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解答；（2）因?yàn)锳BLBC,

所以4ABC為直角三角形，又因?yàn)锳CLBD,所以可知△BCEs^ABE,利用相似三角形的性質(zhì)

即可解答.

以上題目為在梯形當(dāng)中三角形相似問題的典型考查.

I一線三等角型

結(jié)論：出現(xiàn)兩個(gè)相似三角形

圖④

I----1例1.如圖，在RtA4回中，/BAC=9Q°,AB=AC=2,點(diǎn)，在8。所在的直線上運(yùn)動(dòng),

作/加/=45°（4D,￡按逆時(shí)針方向）.若點(diǎn)〃在線段比'上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E.

①求證：△/劭s△旌'；

②當(dāng)龍是等腰三角形時(shí)，求46的長.

【分析】①由/兒如/曲。=135°,/ADB+/CDE=135°,得出NBAD=NCDE,推出△

ABD^^DCE-,

②分三種情況討論，（1）當(dāng)時(shí)，/ADE=4AED=45°時(shí)，得到/物￡=90°,點(diǎn)久

￡分別與6、。重合；（2）當(dāng)龐時(shí)，由①知△ASM/X,儂（3）當(dāng)/少=應(yīng)'時(shí)，有/

EAA/ADE=45°=/C,得到/力比三/2旗二?。。，于是得到應(yīng)'=/￡=[2。=1.

2

【解答】①證明：：/為C=90°,AB=AC,

；./6=/。=45°,

:./BA>NADB=135°,

：//龐=45°,

:"ADm/EDC=\33°,

:"BAD=/EDC,

:.△ABM△DCE；

②分三種情況：

(1)當(dāng)/，=/￡時(shí)，/ADE=/AED=45°時(shí)，

.../%￡=90°,點(diǎn)以￡分別與反。重合，

：.AE=AC=2；

(2)當(dāng)應(yīng)時(shí)，由①知△/劭6/\"為，

"：AD=DE,XAB噲&DCE,

:.AB=Cg2,

:.BACE=2V2-2,

C.AE^AC-CE=4-2V2；

(3)當(dāng)/￡=龐時(shí)，有/演6//龐=45°=/G

:.NADC=NAED=9Q°,

:.AE=DE=LAC=\.

2

練習(xí)1.一般來說，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象分為不同種

類的數(shù)學(xué)思想叫做“分類”的思想；將事物進(jìn)行分類，然后對劃分的每一類分別進(jìn)行研

究和求解的方法叫做“分類討論”法，請你依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決下列

問題：

在RtZk/及:中，/物。=90°,26=47=2,點(diǎn)，在6c所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作//龐=45°

(/、D、￡按逆時(shí)針方向)，

(1)如圖1,若點(diǎn)，在線段回上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E

①求證：△ABD^MDCE；

②當(dāng)△/龐是等腰三角形時(shí)，求/￡的長；

(2)如圖2,若點(diǎn)〃在歐的延長線上運(yùn)動(dòng)，龍的反向延長線與/C延長線相交于點(diǎn)E',

是否存在點(diǎn)〃使得△力龍'是等腰三角形？若存在，求出切與/少的長；若不存在，

請簡要說明理由.

出△/劭s△比F.

②(i)當(dāng)時(shí)，/ADE=/AED=43°時(shí)，得到/物6=90°,點(diǎn)、D、￡分別與6、C

重合；

(ii)當(dāng)49=龐時(shí)，由①知△/劭s/\〃您

(iii)當(dāng)/￡=〃￡時(shí)，有/協(xié)2=//龐=45°=/G

故N4?C=N/旗=90°.三種情況討論.

(2)存在，可證D,得到切=/C=2,進(jìn)而得出/￡'的長.

【解答】解：(1)①由/9C=90°,AB=AC,推出/6=/C=45°.

由/物6//如=135°,/ADB+/EDC=\35°得到/物片N碩C.

推出△/應(yīng)s

②分三種情況：

(i)當(dāng)/〃=/￡時(shí)，2ADE=/AED=蜴。時(shí)，得到/物￡=90°,點(diǎn)小￡分別與反C

重合，所以/￡=4-2.

(ii)當(dāng)49=龐時(shí)，由①知△/Ms△腔

又,：AADE,知△/及匕

所以力6=。?=2,故初=〃=2?-2,

所以AE^AC-CE=4-2?.

(iii)當(dāng)/￡=〃￡時(shí)，有/功9=/4;應(yīng)=45°=ZC,

故/血心=//旗=90°.

所以/￡=龐=247=1.

2

故/￡的長為1；

(2)存在(只有一種情況).

由N/W=45°推出/。分/49C=45°.

由N4龐=45°推出/加3/應(yīng)'力=45°.

從而推出/4?C=/龐'A.證得D.

所以螞=_綽_,

CDDE'

又,：AgDE，,

：.CD=AC=2.

D,

.AD_AC

-AE，AD'

：.Ad=AOAE',

過點(diǎn)A做A/LLBC于點(diǎn)、H,

則/〃=?,DH=2+&,

貝ij4=〃+應(yīng)，

(V2)2+(2+V2)2=2AE',

：.AE'=4+272.

I____I例2.如圖，在△ABC和ACDE中，NB=/D=90°,C為線段BD上一點(diǎn)，且AC_LCE.AB=3,

DE=2,BC=6.求CD的長.

E

3b---------------------

【答案】解：???在AABC中，ZB=90°,

ZA+ZACB=90°.

VACXCE,AZACB+ZECD=90°.

ZA=ZECD.

V4AABCflACDEZA=ZECD,ZB=ZD=90°,

ABBC

：.AABC^ACDE,—=—.

CDDE

VAB=3,DE=2,BC=6,ACD=1.

【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得NA+NACB,ZACB+ZECD,再根據(jù)余角的性質(zhì)，可得

4DBC

NA=NECD根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得丁=下，根據(jù)比例的性質(zhì)，即可得出答

CDDE

案.

練習(xí)1.如圖，在Rt△/回中，NC=90°,46=50,47=30,D,E,尸分別是47,AB,BC

的中點(diǎn).點(diǎn)?從點(diǎn)，出發(fā)沿折線龍-斯-凡-繆以每秒7個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)

。從點(diǎn)8出發(fā)沿歷1方向以每秒4個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)0作射線反交折

線BC-CA于點(diǎn)、G.點(diǎn)戶，0同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)戶繞行一周回到點(diǎn)2時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)0也隨之

停止.設(shè)點(diǎn)R0運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).

<1)D,/兩點(diǎn)間的距離是25；

(2)射線/能否把四邊形的分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值；若不能，

說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到折線以-叱上，且點(diǎn)尸又恰好落在射線加上時(shí)，求t的值；

(4)連接加，當(dāng)陽〃46時(shí)，請直接寫出力的值.

【分析】(1)由中位線定理即可求出所的長；

(2)連接陽過點(diǎn)尸作施46于點(diǎn)〃由四邊形即為矩形，4把矩形CB即分為面

積相等的兩部分，根據(jù)△闞^△刎，對應(yīng)邊的比相等，就可以求得力的值；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（2@W^W5時(shí)根據(jù)△戶*根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比

7

相等，可以求出右的值；

②當(dāng)點(diǎn)尸在叱上（5WtW7@）時(shí)，陽=所必'就可以得到；

7

（4）當(dāng)加〃46時(shí)四邊形/W是矩形，由此可以直接寫出t.

【解答】解：（1）RtZU8C中，ZC=90°,羽=50,

■:D,6是47,6c的中點(diǎn)，

所為△/及7的中位線，

:.DF=LB=25

2

故答案為:25.

（2）能.

如圖1,連接抄過點(diǎn)尸作也四于點(diǎn)〃

■:D,戶是/G8c的中點(diǎn)，

：.DE//BC,EF//AC,四邊形Gft如為矩形，

直過所的中點(diǎn)。時(shí)，即過矩形兩'的中點(diǎn)，直把矩形CW分為面積相等的兩部分

此時(shí)"=12.5.由跳'=20,叢HBFs叢CBA,得郎=16.

故-QH+HB_12.5+161

4―4一一百.

（3）①當(dāng)點(diǎn)戶在砂上（2反/力W5）時(shí)，

7

如圖2,QB=4t,DE+EP^lt,

由△PQEs^BCA,得）YU=25毋..

5030

/.t=4—；

41

②當(dāng)點(diǎn)尸在叱上（5WtW73O時(shí)，

7

如圖3,己知啰=4%，從而如=―嗎_=萼=5得

cosZBA

5

由件=7-35,班'=20,得5t=7-35+20.

解得t=7—；

2

(4)如圖4,t=12；如圖5,t=7理.

343

(注：判斷小〃可分為以下幾種情形：當(dāng)0＜tW22時(shí)，點(diǎn)戶下行，點(diǎn)G上行，可知

7

其中存在所〃居的時(shí)刻，

如圖4；此后，點(diǎn)G繼續(xù)上行到點(diǎn)尸時(shí)，力=4,而點(diǎn)戶卻在下行到點(diǎn)￡再沿0上行，發(fā)

現(xiàn)點(diǎn)戶在鰭上運(yùn)動(dòng)時(shí)不存在陽〃26；5WtW7@當(dāng)時(shí)，點(diǎn)戶，G均在尸。上，也不存在陽

7

//AB-,由于點(diǎn)戶比點(diǎn)G先到達(dá)點(diǎn)。并繼續(xù)沿。下行，所以在70＜大＜8中存在PG//AB

7

的時(shí)刻，如圖5當(dāng)8WCW10時(shí)，點(diǎn)只G均在切上，不存在尸G〃相)

圖S

圖，

以上兩個(gè)題目為同一個(gè)題目的變形考察，學(xué)生注意熟練掌握.本模型是一線三等角的特殊模

型一一垂直型.

e母子型

圖①內(nèi)角分線型，結(jié)論：嚕=黑；圖②外角分線型，結(jié)論:ABBD

1.

ACDCAC~CD

2.圖③斜射影定理型，結(jié)論：AB2=BDBC,

3.圖④射影定理型，結(jié)論：（1）AC2=ADAB,

(2)CD2=ADBD,

(3)BC°=BD-BA

圖①圖②

ABAC

------1例1.閱讀理解:如圖，在AABC中,AD平分NBAC,求證：一二一

BDCD

小明在證明此題時(shí)，想通過證明三角形相似來解決，但發(fā)現(xiàn)圖中無相似三角形，于是過點(diǎn)B

48AC

作BE〃AC交AD的延長線于點(diǎn)E,構(gòu)造△ACDs^EBD,則一=一

BDCD

48AC

于是小明得出結(jié)論：在AABC中，AD平分NBAC,則一=一.

BDCD

請完成小明的證明過程.

D

BC

【答案】解：過點(diǎn)B作BE//AC交AD延長線于點(diǎn)E,

：BE〃AC,

/.ZDBE=ZC,ZE=ZCAD,

BD_BE

.'.△BDE^ACDA,

DC-AC)

又：AD是角平分線，ZE=ZDAC=ZBAD,

AB_AC

.\BE=AB,

BD—CD

【解析】先過點(diǎn)B作BE〃AC交AD延長線于點(diǎn)E,由于BE〃AC,利用平行線分線段成比例定

理的推論、平行線的性質(zhì)，可得△BDEs^CDA,ZE=ZDAC,再利用相似三角形的性質(zhì)可有

器=黃，而利用AD時(shí)角平分線又知/E=/DAC=NBAD,于是BE=AB,等量代換即可證.

練習(xí)1.如圖，〃是△/回的邊8c上一點(diǎn)，已知4?=4,AD=2,/DAC=/B,若的面

【分析】首先證明△4?！饕?,由相似三角形的性質(zhì)可得：△力3的面積：△48C的面

積為1：4,因?yàn)椤?比1的面積為勿，進(jìn)而求出△/切的面積.

【解答】解：物C=N6,

:.△ACMXBCA,

*6=4,AD^2,

切的面積：的面積為1：4,

:△/6C的面積為〃，

...△〃/的面積為工處

4

故答案為：-m.

4

題小結(jié))

注意畫輔助線構(gòu)造相似三角形，一般在利用角平分線構(gòu)造相似時(shí)，常會優(yōu)先考慮利用平行來

構(gòu)造.

例2.如圖，點(diǎn)C,2在線段上，Zk/O是等邊三角形，且//必=120。，求證：

(1)/\ACP^^PDB,

(2)CD=AC'BD.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/也?=/如。=/。少=60°,于是推出//次

=/PDB=\2G,等量代換得到/例根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

(2)由相似三角形的性質(zhì)得到國?二值,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到戶。=如=①，等量

PDBD

代換得到￡0,即可得到結(jié)論.

CDBD

【解答】證明：(1)是等邊三角形，

APCD=ZPDC=ZCPD=60°,

:./ACP=NPDB=\2Q°,

VZAPB=120°,

：.ZAPC+ZBPD^60°,

'：ZCAP^ZAPC=60°

：.ZBPD^ACAP,

:.△ACP^APDB；

(2)由(1)得LACPSAPDB,

?.A?-C二-P-C-,

PDBD

是等邊三角形，

:.PC=PD=CD,

.ACCD

??--=-----，

CDBD

：.a}=AOBD.

練習(xí)1.如圖，在四邊形/氏/中，/6=90°,對角線/C平分/為〃Ad=AB'AD.

(1)求證：ACX.CD-,

(2)若點(diǎn)￡是4?的中點(diǎn)，連接區(qū)N/P134。，求/頗的度數(shù).

【分析】(1)只要證明△掰Cs4。?？吹?8=/力切=90°解決問題；

(2)首先證明NQ/反力=67°,再利用相似三角形的性質(zhì)推出N//=/A67°即可

解決問題；

【解答】U)證明：［6=力也必

.AC=AD