2024八年級數學上冊階段拔尖專訓第3招等腰三角形“三線合一”六種常見題型習題課件新版浙教版

浙教版八年級上第3招等腰三角形“三線合一”六種常見題型01分類訓練目

錄CONTENTS教你一招

等腰三角形中的“頂角平分線、底邊上的高、底邊上的

中線”，只要知道其中“一線”，就可以說明這條線同時也

是其他“兩線”.運用等腰三角形“三線合一”的性質證明

角相等、線段相等或垂直，可減少證全等的次數，簡化解題

過程.

利用“三線合一”求角的度數

A.50°B.72°C.62°D.82°C123456789102.

[2024·金華永康市月考]如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AD

⊥

BC

，∠

BAD

＝26°，且

AD

＝

AE

，求∠

AED

的

度數.12345678910

123456789103.

[新視角過程探究題]【數學知識】等腰三角形的“三線合

一”性質非常重要，如圖①，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AD

是中線，若∠

C

＝58°，則∠

BAD

的度數

為

?；32°

12345678910【數學應用】如圖②，在△

ABC

和∠

AEF

中，

AB

＝

AC

，

AE

＝

AF

，

AD

，

AG

分別為△

ABC

和△

AEF

的中線，若∠

BAF

＝110°，∠

CAE

＝24°，求∠

DAG

的度數；12345678910

∴∠

DAG

＝∠

DAC

＋∠

EAG

＋∠

CAE

＝43°＋24°＝67°.12345678910【拓展】如圖③，在△

ABC

和△

ABE

中，

AB

＝

AC

，

AB

＝

AE

，

AD

，

AF

分別為△

ABC

和△

ABE

的中線，

AD

與

BE

交于點

O

，若∠

AOF

＝69°，則∠

CAE

的度數

為

?.42°

12345678910【點撥】∵

AB

＝

AC

，

AB

＝

AE

，

AD

，

AF

分別為△

ABC

和△

ABE

的中線，∴∠

BAD

＝∠

CAD

，∠

BAF

＝∠

EAF

，∠

ABE

＝∠

E

，

∠

ABC

＝∠

C

，∠

BDA

＝∠

BFA

＝90°.∵∠

BOD

＝∠

AOF

＝69°，∴∠

OBD

＝90°－69°＝21°.又∵∠

BAE

＝180°－2∠

ABE

，∠

BAC

＝180°－2∠

ABC

，∴∠

CAE

＝∠

BAE

－∠

BAC

＝180°－2∠

ABE

－(180°－

2∠

ABC

)＝2(∠

ABC

－∠

ABE

)＝2∠

OBD

＝2×21°＝42°.12345678910

利用“三線合一”求線段長

BA.

2B.3C.

4

D.5123456789105.

如圖，在△

ABC

中，

BD

，

CE

分別是邊

AC

，

AB

上的高，點

M

是

BC

的中點，且

MN

⊥

DE

，垂足為

點

N

，連結

ME

，

MD

，若

BC

＝20

cm，

ED

＝12

cm，求

MN

的長.12345678910

12345678910

利用“三線合一”證線段相等6.

如圖，在△

ABC

中，點

D

，

E

，

F

分別在

BC

，

AB

，

AC

上，

BD

＝

CF

，

BE

＝

CD

，

AB

＝

AC

，

DG

⊥

EF

于點

G

.

求證：

EG

＝

FG

.

12345678910

12345678910

利用等腰三角形“三線合一”判斷三角形的形狀7.

[2024·臺州期末]如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

＞

BC

，

作高線

CE

，角平分線

BF

，中線

AD

，三者兩兩相于點

G

，

H

，

I

.

則下列三角形一定是等腰三角形的是(

D

)A.

△

ACE

B.

△

ABF

C.

△

CFG

D.

△

GHI

12345678910【點撥】∵

CE

是高線，∴∠

AEC

＝90°.若△

ACE

為等腰三角形，則

EA

＝

EC

，即∠

EAC

＝∠

ECA

＝45°，而題設中∠

BAC

并不一定是45°，故選項A不符合題意；∵

AB

＝

AC

＞

BC

，∴若△

ABF

為等腰三角形，則

FA

＝

FB

，12345678910即∠

FAB

＝∠1，如圖.∵

BF

是△

ABC

的角平分線，∴∠1＝∠2，∠

ABC

＝∠

ACB

＝2∠1，∴5∠1＝180°，∴∠1＝36°＝∠

BAC

，而題設中∠

BAC

并不一定是36°，故選項B不符合題意；12345678910同理選項C不符合題意；∵

AB

＝

AC

，

AD

是△

ABC

的中線，∴

AD

⊥

BC

.

∵

BF

是∠

ABC

的平分線，

CE

是高線，∴∠

IGH

＝∠

EGB

＝90°－∠1，∠

GIH

＝90°－∠2，∴∠

IGH

＝∠

GIH

，∴

HI

＝

HG

，∴△

GHI

一定為等腰三角形，故選項D符合題意.D【答案】123456789108.

在△

ABC

中，已知∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，

D

為

BC

邊的中點.(1)如圖①，

E

，

F

分別是

AB

，

AC

上的點，且

BE

＝

AF

，試判斷△

DEF

的形狀，并說明理由；12345678910【解】△

DEF

為等腰直角三角形.理由如下：連結

AD

.

∵∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

＝45°.∵

D

為

BC

邊的中點，∴

AD

⊥

BC

，∠

BAD

＝∠

DAC

＝45°，

BD

＝

AD

＝

DC

.

12345678910

12345678910(2)如圖②，若

E

，

F

分別為

AB

，

CA

延長線上的點，且

仍有

BE

＝

AF

，請判斷△

DEF

是否仍具有(1)中的形

狀，并說明理由.12345678910

12345678910又由(1)知∠

ADB

＝90°.∴∠

BDF

＋∠

FDA

＝∠

BDF

＋∠

EDB

＝∠

EDF

＝90°.∴△

DEF

是等腰直角三角形.12345678910

利用“三線合一”證線段的倍分關系(構造三線法)9.

如圖，在等腰直角三角形

ABC

中，已知

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝90°，

BF

平分∠

ABC

交

AC

于點

F

，

CD

⊥

BD

交

BF

的延長線于點

D

.

求證：

BF

＝2

CD

.

12345678910【證明】如圖，延長

BA

，

CD

交于點

E

.

∵

BF

平分∠

ABC

，

CD

⊥

BD

，∴∠

EBD

＝∠

CBD

，∠

BDE

＝∠

BDC

＝90°.又∵

BD

＝

BD

，∴△

BDC

≌△

BDE

，∴

BC

＝

BE

.

又∵

BD

⊥

CE

，∴

CE

＝2

CD

.

∵∠

BAC

＝90°，∠

BDC

＝90°，∠

AFB

＝∠

DFC

，∴∠

ABF

＝∠

ACE

.

又∵

AB

＝

AC

，∠

BAF

＝∠

CAE

＝90°，∴△

ABF

≌△

ACE

(

ASA

)，∴

BF

＝

CE

，∴

BF

＝2

CD

.

1234567891010.

如圖，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

于點

D

，且∠

ABC

＝2∠

C

.

求證：

CD

＝

AB

＋

BD

.

利用“三線合一”證線段的和差關系(構造三線法)12345678910【證明】如圖，以點

A

為圓心，

AB

長為半徑畫弧，交

CD

于點

E

，連結

AE

，則

AE

＝

AB

，∴∠

AEB

＝∠

ABC

.

∵