2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 第1章 勾股定理 同步練習(xí)

北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第1章勾股定理2024-2025學(xué)年同步練習(xí)

一.選擇題（共9小題）

1.下列給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）

A.2,4,6B.1,V3-2C.1,V2-V3D.3,4,5

2.一直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為4和3,則斜邊長(zhǎng)為（）

A.8B.7C.6D.5

3.如圖，在5X6的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B在格點(diǎn)上，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,則線段A3的長(zhǎng)為（）

4.在△ABC中a,b,c分別是NA、ZB,/C的對(duì)邊，下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）

A.a：b-.c=5：12：13B.a：b：c=1：V2：V3

C.ZA：ZB：/C=3：4：5D.ZA+ZB=ZC

5.如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門(mén)的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地A8=2.1米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感

應(yīng)門(mén)就會(huì)自動(dòng)打開(kāi).一個(gè)身高L6米的學(xué)生CD正對(duì)門(mén),緩慢走到離門(mén)1.2米的地方時(shí)（2C=1.2米），感應(yīng)門(mén)

自動(dòng)打開(kāi)，則人頭頂離感應(yīng)器的距離等于（）

感應(yīng)軍，名

/

A.1.2米B.1.3米C.1.5米D.2米

6.如圖，在RtZsABC中，ZACB=90a,AC=6,BC=8,。是斜邊的高，則的長(zhǎng)為（）

cB

AB

-T-fC5D.10

7.如果三角形的三邊分別為我，巡，2,那么這個(gè)三角形的最大角的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.等邊三角形的邊長(zhǎng)為4,則該三角形的面積為（）

A.473B.73C.2MD.3

9.如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3cm,AC=5cm,將△ABC沿。E折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則AE的

282

二.填空題（共9小題）

10.一直角三角形斜邊上的中線等于5,一直角邊長(zhǎng)是6,則另一直角邊長(zhǎng)是.

11.已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5、12,則這個(gè)直角三角形第三邊長(zhǎng)的平方為.

12.如圖，矩形ABC。中，AB=3,AD^l,AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于

點(diǎn)M,則點(diǎn)M表示的數(shù)為.

DC

-1012M

13.將一副三角板按如圖所示擺放成四邊形A2CD,發(fā)現(xiàn)只要知道其中一邊的長(zhǎng)就可以求出其它各邊的長(zhǎng)，若已知

AD=3A/2，則AB的長(zhǎng)為.

14.如圖，圓柱形容器高為16°相，底面周長(zhǎng)為24cm,在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在

杯子的上沿蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻A處到達(dá)B處的最短距離為.

-----人

15.如圖，在小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C在格點(diǎn)上，。是4B與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)

16.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,其面積標(biāo)記為Si,以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的

一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2,…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則&022的值

為.

S,

17.將矩形紙片ABCD折疊，如圖所示，已知AD^lOcm,AG=HB=8cm,EF//GI//HJ//CB,EG=EH=GH=

4cm,則螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是cm.

A~GH-B

18.已知《52+122=13,從勾股定理的學(xué)習(xí)中可以將該式看成直角三角形的兩直角邊分別為5、12,計(jì)算結(jié)果為

斜邊13,同理計(jì)算值，(。>0)可以看成直角邊分別為縱8,結(jié)果為斜邊長(zhǎng)度，利用此原理并結(jié)合圖形解

決問(wèn)題：已知。+6=15(a>0,b>0),計(jì)算22+g+{b2+25的最小值為-

三.解答題(共2小題)

19.如圖，在△ABC中，。是邊上一點(diǎn)，AD=U,AC=13,CD=5.

(1)求證：ADXBC；

(2)若AB=15,求BC的長(zhǎng).

20.如圖，A市氣象站測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A市正東方向800千米的B處，以50千米/時(shí)的速度向北偏西60°的8尸方

向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心500千米范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.

(1)A市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？寫(xiě)出你的結(jié)論并給予說(shuō)明；

(2)如果A市受這次臺(tái)風(fēng)影響，那么受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有多長(zhǎng)?

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參考答案與試題解析

選擇題（共9小題）

1.下列給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）

A.2,4,6B.1,弧,2C.1,近,V3D.3,4,5

【解答】解：A、V22+42#62,

.1.2,4,6不是一組勾股數(shù)，選項(xiàng)不符合題意；

8、：愿不是整數(shù)，

??.1,我，2不是一組勾股數(shù)，選項(xiàng)不符合題意；

c、,:如、愿不是整數(shù)，

???1，V2.我不是一組勾股數(shù)，選項(xiàng)不符合題意；

D、V32+42=52,

.1.3,4,5是一組勾股數(shù)，選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

2.一直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為4和3,則斜邊長(zhǎng)為（）

A.8B.7C.6D.5

【解答】解：由勾股定理得，斜邊長(zhǎng)=衣帝=5/元=5,

故選：D.

B在格點(diǎn)上，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,則線段的長(zhǎng)為（)

C.5D.7

【解答】解：根據(jù)題意，利用勾股定理有郎=7?^=5。

故選：C.

4.在△A3C中mb,c分別是NA、NB,NC的對(duì)邊，下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）

=

A.a：b：c=5：12：13B.a：b：cI：V2：V3

C.ZA：ZB：ZC=3：4：5D.ZA+ZB=ZC

【解答】解：A.設(shè)。=54，b=12k,c=13左，

（5k）2+（12左）2=（13左）2,

.".<r+b1=c1,

故AABC是直角三角形；

B.設(shè)。=左，b—y[2,kic=J"§A,

,:必+（近k）2=（遂左）2,

.".a2+b2=c1,

故AABC是直角三角形；

C.VZA：ZB：NC=3：4：5,

；./C=75°,

.二△ABC不是直角三角形；

B.VZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.-.ZC=90°,故△ABC是直角三角形；

故選：C.

5.如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門(mén)的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地AB=2.1米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感

應(yīng)門(mén)就會(huì)自動(dòng)打開(kāi).一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對(duì)門(mén)，緩慢走到離門(mén)1.2米的地方時(shí)（BC=1.2米），感應(yīng)門(mén)

自動(dòng)打開(kāi)，則人頭頂離感應(yīng)器的距離A。等于（）

B.1.3米C.1.5米D.2米

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。ELA2于點(diǎn)E,

：A8=2.1米，8E=CZ）=L6米，EO=BC=L2米,

J.AE^AB-B￡=2.1-1.6=0.5（米）.

在RtZxADE中，由勾股定理得到：AD=VAE2+DE252+l.2^=1.3（米），

故選：B.

6.，AC=6,BC=8,CD是斜邊的高，則CD的長(zhǎng)為（）

C.5D.10

55

【解答】解：???在RtzXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

?*,A3={62+82=10，

△ABC的面積為工X6X8=2X10XC。，

22

.-.cz）=21.

5

故選：A.

7.如果三角形的三邊分別為正,遍，2,那么這個(gè)三角形的最大角的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解答】解：???三角形的三邊分別為正,巫,2,

222

?-2+（V2）=（V6）-

.??該三角形是直角三角形，

.?.這個(gè)三角形的最大角的度數(shù)為90°,

故選：D.

8.等邊三角形的邊長(zhǎng)為4,則該三角形的面積為（）

A.4?B.MC.2?D.3

【解答】解：???等邊三角形三線合一，

為8C的中點(diǎn)，BD=DC=2,

在中，AB=4,BD=2,

；?A￡>=VAB2-BD2=2A/3'

：.等邊△ABC的面積為L(zhǎng)C?AD=」X4X2VS=4、R.

22

故選：A.

B

D

9.如圖，在Rt/kABC中，NB=90°,AB=3cm,AC=5cm,將△ABC沿0E折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，則AE的

7

C25D.—cm

82

【解答】解：設(shè)AE=%5,由翻折變換的性質(zhì)可知，EC=xcm,

VZB=90°，AB=3cm,AC=5cm,

?'?BC=VAC2-AB2=4CTJ>

:?BE=BC-CE=(4-x)cm,

在RtzMBE中，AEL=AB1+BET,BPx2=32+(4-x)2,

解得，x=—,

8

故選：c.

二.填空題（共9小題）

10.一直角三角形斜邊上的中線等于5,一直角邊長(zhǎng)是6,則另一直角邊長(zhǎng)是8

【解答】解：：直角三角形斜邊上的中線等于5,

,斜邊長(zhǎng)為10.

:一直角邊長(zhǎng)是6,

.?.另一■直角邊長(zhǎng)=4102-62=8?

故答案為：8.

11.己知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5、12,則這個(gè)直角三角形第三邊長(zhǎng)的平方為169或119.

【解答】解：當(dāng)兩直角邊的長(zhǎng)是5、12時(shí)，則斜邊長(zhǎng)的平方是：52+122=169,

當(dāng)12為斜邊時(shí)，則另一條直角邊的平方是：122-52=119,

故答案為：169或119.

12.如圖，矩形中，AB=3,AD^l,AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于

點(diǎn)則點(diǎn)M表示的數(shù)為-1+'廣五.

DC

-1012M

【解答】解：AC=yj皿2+BC2=N32+]2=J]0,

則AM=JI5，

'.'A點(diǎn)表示-1,

點(diǎn)表示的數(shù)為：-1+JI5.

故答案為：-i+V10-

13.將一副三角板按如圖所示擺放成四邊形A8C。，發(fā)現(xiàn)只要知道其中一邊的長(zhǎng)就可以求出其它各邊的長(zhǎng)，若已知

AO=3V2.則AB的長(zhǎng)為—473_.

【解答】解：在Rt^AOC中，AD=3?ZDAC=45°,

：.AD=CD=3M，

??AC=7AD24CD2=J(3&)2+(3&)2=6,

在RtaABC中，COS/ACB=3^,

AB

貝I]AB=—典—=魯=4?.

cos30°M

2

故答案為4?.

14.如圖，圓柱形容器高為16on,底面周長(zhǎng)為24c",在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在

杯子的上沿蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻A處到達(dá)B處的最短距離為20cm.

?圓柱形玻容器，高16c7",底面周長(zhǎng)為24cm,

BD=12cm,

"AB=VAD2+DB2=V162+122=20(cm).

.??螞蟻A處到達(dá)B處的最短距離為20c",

故答案為：20cm.

15.如圖，在小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,2,C在格點(diǎn)上，。是43與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)是

【解答】解：，；AC=y22+]2=A/^,BC=^22+42=2Vs>AB=yj§2+42=5,

.\AC2+BC2=25=AB2,

ZACB=90°,

'：DE//AF,

??B?E_BD_—>2_J.,.

EFAD2

：.BD=AD,

A

16.如圖，正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,其面積標(biāo)記為Si,以8為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的

2019

一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2,…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2022的值為(1)

-2

△CDE是等腰直角三角形,

:.DE=CE,/CED=90°,

：.CD2=D￡2+CE2=2D￡2,

:.DE=^^CD,

2_

即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的亞倍,

2

.?.SI=22=4=4X(A)0,

2

S2=(2X叵2=2=4X(_1)1,

22

S3=(V22=1=4X(A)2,

v22

$4=(1xY±_)2=」=4義(A)3,

222

.?.&=4X(A)n~l,

2

.?.S2022=4X(1)2。21=(1)2019.

22

故答案為：(」)2019.

2

17.將矩形紙片ABCD折疊，如圖所示，已知AD=l0cm,AG=HB=8cm,EF//GI//HJ//CB,=EH=GH=

4cm,則螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是26cm.

根據(jù)題意可得：展開(kāi)圖中的42=8+8+4+4=24(cm),BC—10cm.

由題(1)可得：在Rtz^ABC中，

由勾股定理可得：AC=-7AB2+BC2=^242+102=26(cm),

即螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是26cm.

故答案為：26.

18.已知］52+122=3從勾股定理的學(xué)習(xí)中可以將該式看成直角三角形的兩直角邊分別為5、12,計(jì)算結(jié)果為

斜邊13,同理計(jì)算值H(。>0)可以看成直角邊分別為“8,結(jié)果為斜邊長(zhǎng)度，利用此原理并結(jié)合圖形解

決問(wèn)題：已知。+6=15(?>0,6>0),計(jì)算402+g+,b2+25的最小值為17

【解答】解：構(gòu)造兩直角三角形如圖，NCAE=NDBE=90°,AB=15,AC=3,BD=5,點(diǎn)E為4B上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，AE=a,BE=b,

則CE=VAE2+AC2=Va2+32=Va2+9'DE=VBE2+BD2=7b2+52=Vb2+25'

；?+Yb2+25=CE+DE?CD,

.?.“+9+db2+25的最小值為線段CD的長(zhǎng),

過(guò)點(diǎn)D作DF