2021年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)高考真題變式題16-20題-(學(xué)生版+解析)

2021年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）高考真題變式題16-20題原題161．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．變式題1基礎(chǔ)2．（文）已知正三棱柱的底面邊長為1，高為2，若其主視圖平行于一個側(cè)面，則左視圖的面積為__________．變式題2基礎(chǔ)3．如圖，在正方體中，點(diǎn)P是上底面內(nèi)一動點(diǎn)，則三棱錐的主視圖與左視圖的面積的比值為_________．變式題3鞏固4．如圖為某幾何體的三視圖，正視圖與側(cè)視圖是兩個全等的直角三角形，直角邊長分別為與1，俯視圖為邊長為1的正方形，則該幾何體最長邊長為_______.變式題4鞏固5．如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積為________.變式題5鞏固6．某零件的結(jié)構(gòu)是在一個圓錐中挖去了一個正方體，且正方體的一個面與圓錐底面重合，該面所對的面的四個頂點(diǎn)在圓錐側(cè)面內(nèi)．在圖①②③④⑤⑥⑦⑧中選兩個分別作為該零件的主視圖和俯視圖，則所選主視圖和俯視圖的編號依次可能為________（寫出符合要求的一組答案即可）．變式題6鞏固7．已知一正四面體的俯視圖如圖所示，它是邊長為的正方形，則這個正四面體的主視圖的面積為________．變式題7提升8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為__________.原題179．某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．變式題1基礎(chǔ)10．甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中環(huán)數(shù)如下：甲：8

6

7

8

6

5

9

10

4

7乙：6

7

7

8

6

7

8

7

9

5（1）

分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）

分別求出兩組數(shù)據(jù)的方差；根據(jù)數(shù)據(jù)計算結(jié)果，估計一下誰的射擊水平較穩(wěn)定變式題2基礎(chǔ)11．已知甲、乙兩組數(shù)可分別用圖（1）（2）表示，分別比較這兩組數(shù)的平均數(shù)的相對大小，以及方差的相對大小.

（1）

（2）變式題3鞏固12．某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表．工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；(2)計算(1)中樣本的均值x和方差s2；(3)36名工人中年齡在與之間有多少人？所占的百分比是多少(精確到0.01%)?變式題4鞏固13．機(jī)床生產(chǎn)一批參考尺寸為的零件，從中隨機(jī)抽取個，量得其尺寸如下表(單位：)：序號12345678910尺寸6.35.86.25.96.26.05.85.85.96.1（1）求樣本零件尺寸的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差；（2）估計這批零件尺寸位于的百分比.參考數(shù)據(jù)：取.變式題5鞏固14．以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績.乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認(rèn)，假設(shè)這個數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以表示.（1）當(dāng)時，分別求出甲、乙兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)以及乙組的方差；（2）若甲組的數(shù)學(xué)平均成績高于乙組的數(shù)學(xué)平均成績，求的值.變式題6提升15．隨著社會的進(jìn)步、科技的發(fā)展，人民對自己生活的環(huán)境要求越來越高，尤其是居住環(huán)境的環(huán)保和綠化受到每一位市民的關(guān)注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法，提倡每位居民做好垃圾分類儲存、分類投放，方便工作人員依分類搬運(yùn)，提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟(jì)價值，力爭物盡其用．某市環(huán)衛(wèi)局在、兩個小區(qū)分別隨機(jī)抽取6戶，進(jìn)行生活垃圾分類調(diào)研工作，依據(jù)住戶情況對近期一周（7天）進(jìn)行生活垃圾分類占用時間統(tǒng)計如下表：住戶編號123456小區(qū)（分鐘）220180210220200230小區(qū)（分鐘）200190240230220210（1）分別計算、小區(qū)每周進(jìn)行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差；（2）如果兩個小區(qū)住戶均按照1000戶計算，小區(qū)的垃圾也要按照垃圾分類搬運(yùn)，市環(huán)衛(wèi)局與兩個小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商，初步實施下列方案：①小區(qū)方案：號召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每200位住戶至少需要一名工作人員進(jìn)行檢查和糾錯生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照3000元（按照28天計算標(biāo)準(zhǔn)）計算，則每位住戶每月至少需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)是多少？②小區(qū)方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點(diǎn)，物業(yè)讓專職人員進(jìn)行生活垃圾分類，一位專職工作人員對生活垃圾分類的效果相當(dāng)于4位普通居民對生活垃圾分類效果，每位專職工作人員（每天工作8小時）月工資按照4000元（按照28天計算標(biāo)準(zhǔn)）計算，則每位住戶每月至少需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)是多少？原題1816．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．變式題1基礎(chǔ)17．如圖所示，平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，，，．（1）求證：平面ADE；（2）求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值．變式題2基礎(chǔ)18．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，M為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面所成的角的余弦值．變式題3鞏固19．如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．變式題4鞏固20．如圖，長方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，．（1）證明：；（2）若，求二面角的正弦值．變式題5鞏固21．如圖，在四棱錐，，，平面，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.變式題6提升22．已知正方形的邊長為，，分別為，的中點(diǎn)，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點(diǎn)在線段上.(1)若為的中點(diǎn)，且直線與由，，三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為，試確定點(diǎn)的位置，并證明直線平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為；若存在，求此時平面與平面的夾角的余弦值，若不存在，說明理由.變式題7提升23．如圖，在三棱錐中，底面ABC，點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面BDE；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.原題1924．記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．變式題1基礎(chǔ)25．已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求n.變式題2基礎(chǔ)26．已知數(shù)列滿足，且，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；變式題3鞏固27．已知數(shù)列滿足，.⑴求數(shù)列的通項公式；⑵若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.變式題4鞏固28．已知數(shù)列滿足，（且）．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．變式題5鞏固29．若的前n項和為，點(diǎn)均在函數(shù)y＝的圖像上.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.變式題6提升30．記數(shù)列的前項和為，已知（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的的最大值.變式題7提升31．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，其中.（1）求的值；（2）求的通項公式；（3）求證：對于一切正整數(shù)，都有.原題2032．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．變式題1基礎(chǔ)33．已知函數(shù)在處有極值2．（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．變式題2基礎(chǔ)34．已知函數(shù)在處的切線方程．（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間與極小值．變式題3鞏固35．已知.（1）若有極大值或極小值，求的取值范圍；（2）若，求證：時.變式題4鞏固36．已知.（1）當(dāng)有兩個零點(diǎn)時，求a的取值范圍；（2）當(dāng)，時，設(shè)，求證：.變式題5鞏固37．已知函數(shù)．（1）若存在極值，求的取值范圍．（2）當(dāng)時，證明：．變式題6提升38．已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)．（1）求a的取值范圍；（2）求證：．2021年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）高考真題變式題16-20題原題161．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．變式題1基礎(chǔ)2．（文）已知正三棱柱的底面邊長為1，高為2，若其主視圖平行于一個側(cè)面，則左視圖的面積為__________．變式題2基礎(chǔ)3．如圖，在正方體中，點(diǎn)P是上底面內(nèi)一動點(diǎn)，則三棱錐的主視圖與左視圖的面積的比值為_________．變式題3鞏固4．如圖為某幾何體的三視圖，正視圖與側(cè)視圖是兩個全等的直角三角形，直角邊長分別為與1，俯視圖為邊長為1的正方形，則該幾何體最長邊長為_______.變式題4鞏固5．如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積為________.變式題5鞏固6．某零件的結(jié)構(gòu)是在一個圓錐中挖去了一個正方體，且正方體的一個面與圓錐底面重合，該面所對的面的四個頂點(diǎn)在圓錐側(cè)面內(nèi)．在圖①②③④⑤⑥⑦⑧中選兩個分別作為該零件的主視圖和俯視圖，則所選主視圖和俯視圖的編號依次可能為________（寫出符合要求的一組答案即可）．變式題6鞏固7．已知一正四面體的俯視圖如圖所示，它是邊長為的正方形，則這個正四面體的主視圖的面積為________．變式題7提升8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為__________.原題179．某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．變式題1基礎(chǔ)10．甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中環(huán)數(shù)如下：甲：8

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7乙：6

7

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5（1）

分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）

分別求出兩組數(shù)據(jù)的方差；根據(jù)數(shù)據(jù)計算結(jié)果，估計一下誰的射擊水平較穩(wěn)定變式題2基礎(chǔ)11．已知甲、乙兩組數(shù)可分別用圖（1）（2）表示，分別比較這兩組數(shù)的平均數(shù)的相對大小，以及方差的相對大小.

（1）

（2）變式題3鞏固12．某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表．工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；(2)計算(1)中樣本的均值x和方差s2；(3)36名工人中年齡在與之間有多少人？所占的百分比是多少(精確到0.01%)?變式題4鞏固13．機(jī)床生產(chǎn)一批參考尺寸為的零件，從中隨機(jī)抽取個，量得其尺寸如下表(單位：)：序號12345678910尺寸6.35.86.25.96.26.05.85.85.96.1（1）求樣本零件尺寸的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差；（2）估計這批零件尺寸位于的百分比.參考數(shù)據(jù)：取.變式題5鞏固14．以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績.乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認(rèn)，假設(shè)這個數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以表示.（1）當(dāng)時，分別求出甲、乙兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)以及乙組的方差；（2）若甲組的數(shù)學(xué)平均成績高于乙組的數(shù)學(xué)平均成績，求的值.變式題6提升15．隨著社會的進(jìn)步、科技的發(fā)展，人民對自己生活的環(huán)境要求越來越高，尤其是居住環(huán)境的環(huán)保和綠化受到每一位市民的關(guān)注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法，提倡每位居民做好垃圾分類儲存、分類投放，方便工作人員依分類搬運(yùn)，提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟(jì)價值，力爭物盡其用．某市環(huán)衛(wèi)局在、兩個小區(qū)分別隨機(jī)抽取6戶，進(jìn)行生活垃圾分類調(diào)研工作，依據(jù)住戶情況對近期一周（7天）進(jìn)行生活垃圾分類占用時間統(tǒng)計如下表：住戶編號123456小區(qū)（分鐘）220180210220200230小區(qū)（分鐘）200190240230220210（1）分別計算、小區(qū)每周進(jìn)行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差；（2）如果兩個小區(qū)住戶均按照1000戶計算，小區(qū)的垃圾也要按照垃圾分類搬運(yùn)，市環(huán)衛(wèi)局與兩個小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商，初步實施下列方案：①小區(qū)方案：號召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每200位住戶至少需要一名工作人員進(jìn)行檢查和糾錯生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照3000元（按照28天計算標(biāo)準(zhǔn)）計算，則每位住戶每月至少需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)是多少？②小區(qū)方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點(diǎn)，物業(yè)讓專職人員進(jìn)行生活垃圾分類，一位專職工作人員對生活垃圾分類的效果相當(dāng)于4位普通居民對生活垃圾分類效果，每位專職工作人員（每天工作8小時）月工資按照4000元（按照28天計算標(biāo)準(zhǔn)）計算，則每位住戶每月至少需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)是多少？原題1816．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．變式題1基礎(chǔ)17．如圖所示，平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，，，．（1）求證：平面ADE；（2）求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值．變式題2基礎(chǔ)18．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，M為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面所成的角的余弦值．變式題3鞏固19．如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．變式題4鞏固20．如圖，長方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，．（1）證明：；（2）若，求二面角的正弦值．變式題5鞏固21．如圖，在四棱錐，，，平面，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.變式題6提升22．已知正方形的邊長為，，分別為，的中點(diǎn)，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點(diǎn)在線段上.(1)若為的中點(diǎn)，且直線與由，，三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為，試確定點(diǎn)的位置，并證明直線平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為；若存在，求此時平面與平面的夾角的余弦值，若不存在，說明理由.變式題7提升23．如圖，在三棱錐中，底面ABC，點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面BDE；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.原題1924．記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．變式題1基礎(chǔ)25．已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求n.變式題2基礎(chǔ)26．已知數(shù)列滿足，且，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；變式題3鞏固27．已知數(shù)列滿足，.⑴求數(shù)列的通項公式；⑵若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.變式題4鞏固28．已知數(shù)列滿足，（且）．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．變式題5鞏固29．若的前n項和為，點(diǎn)均在函數(shù)y＝的圖像上.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.變式題6提升30．記數(shù)列的前項和為，已知（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的的最大值.變式題7提升31．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，其中.（1）求的值；（2）求的通項公式；（3）求證：對于一切正整數(shù)，都有.原題2032．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．變式題1基礎(chǔ)33．已知函數(shù)在處有極值2．（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．變式題2基礎(chǔ)34．已知函數(shù)在處的切線方程．（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間與極小值．變式題3鞏固35．已知.（1）若有極大值或極小值，求的取值范圍；（2）若，求證：時.變式題4鞏固36．已知.（1）當(dāng)有兩個零點(diǎn)時，求a的取值范圍；（2）當(dāng)，時，設(shè)，求證：.變式題5鞏固37．已知函數(shù)．（1）若存在極值，求的取值范圍．（2）當(dāng)時，證明：．變式題6提升38．已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)．（1）求a的取值范圍；（2）求證：．參考答案：1．③④（答案不唯一）【分析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，如圖所示，長方體中，，分別為棱的中點(diǎn)，則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐.故答案為：③④.【點(diǎn)睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.2．【分析】已知正三棱柱的底面邊長為1、高為2，若其主視圖平行于一個側(cè)面，則其左視圖必為此側(cè)面相對的側(cè)棱與其在這個側(cè)面上的投影及上下兩個底面三角形的高所組成的矩形，故求出底面三角形的高即可求出左視圖的面積【詳解】解：由題意得，正三棱柱、正視圖、左視圖，如下圖所示：為此側(cè)面相對的側(cè)棱與其在側(cè)面上的投影及上下兩個底面三角形的高所組成的矩形的面積，由于底面是邊長為1正三角形，故其高為，又正三棱柱的高為2，故此矩形的面積為，即其左視圖的面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查簡單空間圖形的三視圖，解題的關(guān)鍵是由棱柱的結(jié)構(gòu)特征與三視圖的作法推測出左視圖的形狀與度量來，再根據(jù)面積公式求出其面積，本題對空間想像能力要求較高，可以借助實物圖形進(jìn)行輔助判斷．3．【分析】分析點(diǎn)在不同位置時主視圖和左視圖的形狀，由此可分析面積并計算出面積的比值.【詳解】無論點(diǎn)P在上底面的什么位置，三棱錐的主視圖和左視圖均為三角形，且三角形有一邊相等，且該邊上的高相等，故所求比值為．故答案為：.4．【分析】由已知的三視圖，可得該幾何體是一個四棱錐，即可直接求出最長邊長.【詳解】由三視圖還原幾何體如圖所示：該幾何體還原實物圖為四棱錐，為腰長為1的等腰三角形，平面，則，.∴最長邊為故答案為.【點(diǎn)睛】由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：①首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體底面的直觀圖；②觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；③畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.5．33π【分析】由幾何體的三視圖知，該幾何體的下半部分是底面半徑為3，高為4，母線長為5的圓錐，上半部分是半徑為3的半球，由此能求出該幾何體的表面積.【詳解】由幾何體的三視圖知，該幾何體的下半部分是底面半徑為3，高為4，母線長為5的圓錐，上半部分是半徑為3的半球，∴該幾何體的表面積，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是對幾何體正確還原，并根據(jù)三視圖的長度求出幾何體的幾何元素的長度，再代入對應(yīng)的面積公式進(jìn)行求解，考查了空間想象能力．注意“高平齊，長對正，寬相等”原則.6．⑤⑦（或①⑧）【分析】先選俯視圖，再由俯視圖選主視圖即可【詳解】若俯視圖為圖⑦，則主視圖為圖⑤，若俯視圖為圖⑧，則主視圖為圖①，故答案為：⑤⑦（或①⑧）7．【分析】根據(jù)俯視圖還原幾何體，再推測出主視圖的形狀，進(jìn)而求解出主視圖的面積.【詳解】根據(jù)題意，正四面體的棱長可取為，且該正四面體的主視圖是一個底邊長為，腰長為的等腰三角形所以主視圖的高為從而可得主視圖的面積為．故答案為：.8．【分析】根據(jù)三視圖作出原幾何體的直觀圖，將三棱錐補(bǔ)成長方體，計算出長方體的體對角線長，可得出外接球的半徑，結(jié)合球體的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖作出原幾何體的直觀圖如下圖所示：由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，且底面，由三視圖中的數(shù)據(jù)可得，，且，所以，，則，將三棱錐補(bǔ)成長方體，所以，三棱錐的外接球直徑為，可得，因此，該幾何體的外接球的表面積為.故答案為：.9．（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】（1），，，.（2）依題意，，，，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.10．解：（1）7，7；（2）甲：3，乙：1.2，乙【詳解】分析：（1）先算出總環(huán)數(shù)再除以射擊次數(shù)即得平均值；（2）根據(jù)方差公式計算即可.詳解：（1）=1/10（8+6+…+7）=7（環(huán)）=1/10（6+7+…+5）=7（環(huán)）（2）S2甲=1/10[（8-7）2+（6-7）2+…+（7-7）2]=3（環(huán)2），S2乙=1/10[（6-7）2+（7-7）2+…+（5-7）2]=1.2（環(huán)2），（3）從平均數(shù)看甲﹑乙兩名戰(zhàn)士的成績相同．從看方差乙的方差較小，乙的射擊成績較穩(wěn)定．綜上乙射擊成績較好點(diǎn)睛：考查平均值、方差及方差的意義，方差越小越穩(wěn)定.屬于基礎(chǔ)題.11．甲、乙兩組數(shù)的平均數(shù)相等，甲組數(shù)的方差小于乙組數(shù)的方差【解析】分別計算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差即可得出結(jié)論.【詳解】甲、乙兩組數(shù)的平均數(shù)分別為甲，乙.甲、乙兩組數(shù)的方差分別為甲，乙.所以甲、乙兩組數(shù)的平均數(shù)相等，甲組數(shù)的方差小于乙組數(shù)的方差.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)已知數(shù)據(jù)求平均數(shù)和方差，并進(jìn)行比較大小，關(guān)鍵在于熟練掌握公式，準(zhǔn)確計算.12．（1）見解析；（2）；（3）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法，求出樣本的年齡數(shù)據(jù)即可；（2）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式求出其平均數(shù)和方差即可；（3）求出﹣s和+s，從而求出其所占的百分比．(1)36人分成9組，每組4人，其中第一組的工人年齡為44，所以它在組中的編號為2，所以所有樣本數(shù)據(jù)的編號為4n－2(n＝1，2，…，9)，其年齡數(shù)據(jù)為：44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)由均值公式知：由方差公式知：s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝.(3)因為s2＝，s＝，所以36名工人中年齡在－s和＋s之間的人數(shù)等于年齡在區(qū)間[37，43]上的人數(shù)，即40，40，41，…，39，共23人，所以36名工人中年齡在－s和＋s之間的人數(shù)所占的百分比為×100%≈63.89%.13．（1），；（2）.【分析】（1）由平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差計算公式可直接計算求得結(jié)果；（2）由（1）可求得區(qū)間為，利用樣本估計總體的思想可直接計算得到結(jié)果.【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)得：，，；（2）由（1）可知：，.這件樣本中，尺寸在內(nèi)的共有件，以樣本估計總體，則這批零件尺寸位于的百分比約為.14．（1）甲的平均數(shù)，乙的平均數(shù)，乙的方差；（2）.【分析】(1)由莖葉圖可得甲、乙兩組三個數(shù)據(jù)，再利用平均數(shù)、方差公式即可作答；(2)由給定條件列出平均數(shù)的不等式，再由a是不超過9的自然數(shù)得解.【詳解】（1）甲組的平均成績是，乙組的平均成績是，乙組的方差是；（2）因乙組的平均成績是，而，由(1)知，a是不超過9的自然數(shù)，，所以的值是0.15．（1）210分鐘，215分鐘；，；（2）①15元；②64元.【分析】(1)根據(jù)各小區(qū)的數(shù)據(jù)直接求平均數(shù)和方差即可；(2)分別算出兩個小區(qū)進(jìn)行垃圾分類所用的時間，再算出每戶所承擔(dān)的費(fèi)用.【詳解】（1）（分鐘），（分鐘），，；（2）①按照方案，小區(qū)一月至少需要名工作人員進(jìn)行檢查和糾錯生活垃圾分類，其費(fèi)用是元，每位住戶每月需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)為（元），②由（1）知，小區(qū)平均每位住戶每周需要215分鐘進(jìn)行垃圾分類，一月需要（分鐘），小區(qū)一月平均需要分鐘的時間用于生活垃圾分類，∵一位專職工人一天的工作時間按照8小時作為計算標(biāo)準(zhǔn)，每月按照28天作為計算標(biāo)準(zhǔn)，一位專職工作人員對生活垃圾分類效果相當(dāng)于4名普通居民對生活垃圾分類的效果，∴小區(qū)一月需要專職工作人員至少（名），則每位住戶每月需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)為（元），16．（1）；（2）【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)．因為底面，且底面，所以．又因為，，所以平面．又平面，所以．從而．因為，所以．所以，于是．所以．所以．[方法三]：幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因為M為的中點(diǎn)，則，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.[方法二]：構(gòu)造長方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記為H，由于，，所以平面．過H作的垂線，垂足記為G．聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長為的正方形，聯(lián)結(jié)，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．【整體點(diǎn)評】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計算求解，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計算求解二面角問題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.17．（1）見解析（2）【解析】（1）根據(jù)，，從而證明平面平面ADE，從而平面ADE。（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的空間坐標(biāo)，根據(jù)向量法求解即可?！驹斀狻浚?）∵四邊形ABEF為矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，,,設(shè)是平面CDF的一個法向量，則即令，解得又是平面AEFB的一個法向量，∴平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何線面平行證明和二面角求法，線面平行可先證面面平行得到，屬于簡單題目。18．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，依次以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出，利用數(shù)量積即可證明.（2）求出兩平面PAM與平面PDC的法向量，則法向量夾角余弦得二面角的余弦．【詳解】解：（1）依題意，棱DA，DC，DP兩兩互相垂直.以點(diǎn)D為原點(diǎn)，依次以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.可得，.所以，所以（2）由（1）得到，，因此可得，.設(shè)平面的一個法向量為，則由得令，解得.同理，可求平面PDC的一個法向量.所以，平面PAM與平面PDC所成的銳二面角滿足：.即平面PAM與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為.19．（1）見解析（2）【分析】（1）先證平面CMD,得,再證，進(jìn)而完成證明．（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進(jìn)而求得平面與平面所成二面角的正弦值．【詳解】解：（1）由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因為BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因為M為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時，M為的中點(diǎn).由題設(shè)得，設(shè)是平面MAB的法向量,則即可取.是平面MCD的法向量,因此，，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問主要考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行求解，考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，屬于中檔題．20．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)長方體的性質(zhì)，應(yīng)用勾股定理可得，即可證；（2）構(gòu)建以D為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值，進(jìn)而求其正弦值即可.【詳解】（1）由知：，又，∴，又，∴連接，，即，得證.（2）構(gòu)建以D為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，由，若，則，∴，則，，若是面的一個法向量，則，若，得，若是面的一個法向量，則，若，得，∴，則二面角的正弦值為.21．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由平面，得，再根據(jù)，可得平面，從而可得出，再根據(jù)，可得，連接，證得，再根據(jù)，即可證得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由（1）知平面，，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，過點(diǎn)與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，根據(jù)向量法即可得出答案.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以.又因為，，所以平面.因為平面，所以.又因為，所以.連接.因為，所以，，得，又，所以，即.因為平面，平面，所以，又，所以平面，因為平面，所以.（2）解：由（1）知平面，，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，過點(diǎn)與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為，設(shè)，則，，，，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則得所以.令，得，所以.設(shè)平面的一個法向量為，則得所以，，得，所以.則，即平面與平面夾角的余弦值為.22．(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)面面位置關(guān)系判斷點(diǎn)的位置，再根據(jù)線線平行證明線面平行；（2）設(shè)，利用坐標(biāo)法根據(jù)線面夾角為可得的值，再；利用坐標(biāo)法求二面角余弦值.（1）證明：因為直線平面，故點(diǎn)在平面內(nèi)也在平面內(nèi)，所以點(diǎn)在平面與平面的交線上(如圖所示).因為，為的中點(diǎn)，所以，所以，，所以點(diǎn)在的延長線上，且.連接交于，因為四邊形為矩形，所以是的中點(diǎn).連接，所以為的中位線，所以，又因為平面，所以直線平面.（2）解：存在.由已知可得，，，所以平面，所以平面平面,取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以設(shè)（），則，設(shè)平面的法向量，則所以，取，則，所以.因為與平面所成的角為，所以所以，解得或，所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為.設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，所以，，設(shè)二面角的大小為.所以.因為當(dāng)時，，此時平面平面，所以當(dāng)時，為鈍角，所以.當(dāng)時，為銳角，所以23．（1）證明見解析；（2）；（3）4【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合面面平行的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）證明：取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，為AD中點(diǎn)，，平面BDE，平面BDE，平面BDE.為BC中點(diǎn)，，又D、E分別為AP、PC的中點(diǎn)，，則.平面BDE，平面BDE，平面BDE.又，平面MFN，平面MFN，平面平面BDE，又平面MFN，則平面BDE；（2）底面ABC，.以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.，，0，，0，，4，，0，，2，，2，，則，，設(shè)平面MEN的一個法向量為，由，得取，得.由圖可得平面CME的一個法向量為..由圖可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為，則正弦值為；（3）設(shè)，則0，，，.直線NH與直線BE所成角的余弦值為，.解得：.當(dāng)H與P重合時直線NH與直線BE所成角的余弦值為，此時線段AH的長為4.24．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項的關(guān)系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因為，所以，所以．在中，當(dāng)時，．故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時顯然成立．假設(shè)當(dāng)時成立，即．那么當(dāng)時，．綜上，猜想對任意的都成立．即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時，,當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.【整體點(diǎn)評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論；方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；方法三由，得，由的定義得，進(jìn)而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達(dá)式,然后利用和與項的關(guān)系求得的通項公式；25．（1）；（2）.【分析】（1）由、的關(guān)系求，可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可寫出的通項公式；（2）由等比數(shù)列前n項和公式有，結(jié)合已知條件求n即可.【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)，，即，∴是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2），由，得，解得.26．證明見解析【分析】利用已知及等差數(shù)列的定義化簡即可證得結(jié)果.【詳解】證明：，，是以為首項，為公差的等差數(shù)列.27．（1）

（2）【分析】（1）根據(jù)條件，構(gòu)造數(shù)列，可知為等比數(shù)列，進(jìn)而利用等比數(shù)列的通項公式可求得的通項公式．（2）由同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，可得，利用遞推公式可得，再檢驗即可求得的通項公式．【詳解】（1）而，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列即因此（2）∵即

①當(dāng)時，

②－②得∴經(jīng)驗證也滿足上式因此【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，構(gòu)造數(shù)列法和遞推公式法在求通項公式中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．28．（1）證明過程詳見解析，；（2）【分析】（1）對題目所給等式兩邊除以，化簡得，由此證得是等差數(shù)列，并求得其通項公式，進(jìn)而求得的通項公式.（2）利用錯位相減求和法求得的前項和.【詳解】（1）由兩邊除以，化簡得，則數(shù)列為等差數(shù)列.其首項為，公差為，故，所以.（2）由于，所以，，兩式相減得，化簡得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，考查錯位相減求和法，屬于中檔題.29．（1）；（2）.【解析】（1）通過點(diǎn)()均在二次函數(shù)的圖象上，求出，利用，求解數(shù)列的通項公式；（2）通過，數(shù)列的通項公式，利用裂項消項法求解數(shù)列的和即可.【詳解】（1）由題意知：當(dāng)n時，當(dāng)n=1時，，適合上式.（2）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（1）解題關(guān)鍵是利用進(jìn)行求解；（2）解題關(guān)鍵在于利用裂項求和法進(jìn)行求和30．（1）.（2）4【分析】(1)分析得,再由,等式兩邊同除以即可證明數(shù)列是等差數(shù)列,進(jìn)而求得,再根據(jù)數(shù)列通項與前項和的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式即可.(2)根據(jù)(1)可知當(dāng)時,,再整理求解二次不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時,若,則由,得,這與相矛盾,所以.由,等式兩邊同除以并整理,和.所以數(shù)列是首項為,公差的等差數(shù)列.所以,化簡得.所以當(dāng)時,.又因為,不符合上式,所以（2）由（1）知易知.所以由題意,得,整理,得.解得.所以使成立的的最大值是4.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的前項和與通項的關(guān)系?數(shù)列的遞推公式,考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想.31．（1）；（2）；（3）證明見解析【分析】（1）令，可求出；（2）原式可化為，當(dāng)時，，兩式相減，整理可得，即數(shù)列從第二項起是以1為公差的等差數(shù)列，可求出的表達(dá)式，進(jìn)而可得到的通項公式；（3）由（2）知，當(dāng)時，，進(jìn)而可推出，然后驗證和時，不等式都成立，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）令，則，即.（2）由題意，①，當(dāng)時，②，①-②得，，則，即，所以，即數(shù)列從第二項起是以1為公差的等差數(shù)列，且，所以當(dāng)時，，則，又，符合，故的通項公式為.（3）當(dāng)時，成立；當(dāng)時，成立；當(dāng)時，，則.綜上所述，對于一切正整數(shù)，都有.【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推關(guān)系求通項公式，考查放縮法在證明數(shù)列不等式中的運(yùn)用，考查學(xué)生的推理論證能力與計算求解能力，屬于難題.32．（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域為．要證，即證，即證．（ⅰ）當(dāng)時，，，即證．令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（?。áⅲ┯校甗方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；同理，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時，，單減，故；當(dāng)時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．故當(dāng)且時，且，，即，所以．（?。┊?dāng)時，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑?，當(dāng)且時，，即．【整體點(diǎn)評】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時，成立和當(dāng)時，成立，然后