2024-2025學年新教材高中數(shù)學第八章立體幾何初步8.6.2直線與平面垂直二素養(yǎng)檢測含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測三十一直線與平面垂直(二)(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.若直線l與平面α不垂直,m?α,那么l與m的位置關系是 ()A.垂直 B.平行C.異面或相交 D.以上都有可能【解析】選D.由線面位置關系推斷.2.空間中直線l和三角形的兩邊AC,BC同時垂直,則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關系是 ()A.平行 B.垂直C.相交 D.不確定【解析】選B.由題意可知,該直線垂直于三角形所確定的平面,故這條直線和三角形的第三邊也垂直.3.設a,b是互不垂直的兩條異面直線,則下列命題成立的是 ()A.存在唯一一條直線l,使得l⊥a,且l⊥bB.存在唯一一條直線l,使得l∥a,且l⊥bC.存在唯一一個平面α,使得a?α,且b∥αD.存在唯一一個平面α,使得a?α,且b⊥α【解析】選C.過直線a上隨意一點P,作b的平行線c,由a,c相交確定一個平面α.直線l只需垂直于平面α,就會與a,b都垂直,這樣的直線有多數(shù)條,故A錯誤.依據兩條異面直線所成角的定義,解除B.依據線面垂直的概念,解除D.4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若點E為A1CA.AC B.BD C.A1D D.A1D1【解析】選B.因為在正方體ABCD-A1B1C1D1中,ABCD是正方形,所以BD⊥A1C1,且BD⊥CC1,又因為A1C1∩CC1=C1,所以BD⊥平面A1C1C,又因為CE5.四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=AD,四邊形ABCD是正方形,E是PD的中點,則AE與PC的關系是 ()A.垂直B.相交C.平行D.相交或平行【解析】選A.因為PA=AD,E為PD的中點,所以AE⊥PD,又PA⊥平面ABCD.所以PA⊥CD,又因為CD⊥AD.PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE.又因為CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD.所以AE⊥PC.6.(多選題)如圖,四棱錐S-ABCD的底面為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結論,其中正確的結論是 ()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角D.二面角B-SD-C的大小為45°【解析】選ABD.由題意,AC⊥平面BDS,所以AC⊥SB,故選項A正確;因為AB∥CD,AB?平面SCD,CD?平面SCD,所以AB∥平面SCD,故選項B正確;AB與SC所成的角是∠SCD,DC與SA所成的角是∠SAB,兩者不相等,故選項C錯誤;二面角B-SD-C的平面角是∠BDC,是45°,故選項D正確.二、填空題(每小題5分,共10分)7.已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如圖所示,且AF=DE,AD=6,則EF=________.

【解析】因為AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE,又因為AF=DE,所以四邊形AFED是平行四邊形,所以EF=AD=6.答案:68.邊長為a的正方形ABCD中,E為AB的中點,F為BC的中點,將△AED,△BEF和△DCF分別沿DE,EF和DF折起使A,B,C重合于一點A′,則三棱錐A′-EFD的體積為________.

【解析】以等腰直角三角形A′EF為底,DA′為高,得VD-A′EF=QUOTES△A′EF·DA′=QUOTE·QUOTE·a=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.三棱錐P-ABC的三個側面兩兩相互垂直,求證:頂點P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心.【證明】如圖,由三個側面兩兩相互垂直易知AP⊥平面PBC,從而AP⊥BC.又因為PO⊥底面ABC,所以PO⊥BC,因為PO與AP相交于P點,所以BC⊥平面PAO,即BC⊥AO.同理可知CO⊥AB,BO⊥AC.所以O點是三角形ABC的垂心.10.如圖,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分別為BC,CD上的點,且EF⊥AC.求證:QUOTE=QUOTE.【證明】因為PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,所以PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.又PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC.又EF⊥AC,PC∩AC=C,所以EF⊥平面PAC,所以EF∥BD,所以QUOTE=QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面,PA≠AD,M,N分別是AB,PC的中點,則MN垂直于 ()A.AD B.CD C.PC D.PD【解析】選B.連接AC,取AC的中點為O,連接NO,MO,如圖所示:因為N,O分別為PC,AC的中點,所以NO∥PA,因為PA⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD,所以NO⊥CD.又因為M,O分別為AB,AC的中點,所以MO∥BC.因為BC⊥CD,所以MO⊥CD,因為NO∩MO=O,所以CD⊥平面MNO,所以CD⊥MN.2.已知m,n表示兩條不同的直線,α表示平面.下列說法正確的是 ()A.若m∥α,n∥α,則m∥nB.若m⊥α,n?α,則m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,則n∥αD.若m∥α,m⊥n,則n⊥α【解析】選B.A中,兩條直線也可以相交或異面,故A錯誤;B中,描述的是線面垂直的性質,故B正確;C中,還會出現(xiàn)n?α的狀況,故C錯誤;D中,還會出現(xiàn)n∥α,n與α相交或n在α內的狀況,故D錯誤.3.如圖所示,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,在圖中與AC垂直的直線有 ()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【解析】選D.因為PO⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以PO⊥AC,又因為AC⊥BO,PO∩BO=O,所以AC⊥平面PBD,因此,平面PBD中的4條直線PB,PD,PO,BD都與AC垂直.4.(多選題)正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段B1D1A.AC⊥BEB.B1E∥平面ABCDC.三棱錐E-ABC的體積為定值D.B1E⊥BC1【解析】選ABC.對于A.因為在正方體中,AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BB1D1D,因為BE?平面BB1D1D,所以AC⊥BE,所以A正確.對于B.因為B1D1∥平面ABCD,所以B1E∥平面ABCD成立,即B正確.對于C.三棱錐E-ABC的底面△ABC的面積為定值,錐體的高BB1為定值,所以錐體體積為定值,即C正確.對于D.因為D1C1⊥BC1,若B1E⊥BC1正確,則可得到BC1⊥平面A1C1,而事實上BC1與平面A1二、填空題(每小題5分,共20分)5.a,b是異面直線,直線l⊥a,l⊥b,直線m⊥a,m⊥b,則l與m的位置關系是________.

【解析】將b平移至c,且使a與c相交,則a,c確定一個平面,記作平面α.因為l⊥b,m⊥b,所以l⊥c,m⊥c,又l⊥a,m⊥a,所以l⊥平面α,m⊥平面α,所以l∥m.答案:l∥m6.已知平面α,β和直線m,給出以下條件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α∥β.要使m⊥β,則所滿意的條件是________.(填所選條件的序號)

【解析】由于當一條直線垂直于兩個平行平面中的一個時,此直線也垂直于另一個平面,結合所給的條件,故由②④可推出m⊥β.即②④是m⊥β的充分條件,故當m⊥β時,應滿意的條件是②④.答案:②④7.正三棱錐的底面邊長為2,側面均為直角三角形,則此三棱錐的體積是________.

【解析】如圖,由已知得PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.又PB⊥PC,PB=PC,BC=2,所以PB=PC=QUOTE.所以VP-ABC=VA-PBC=QUOTEPA·S△PBC=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.則有(1)CD________AE.

(2)PD________平面ABE.(填“⊥”或“∥”)

【解析】(1)在四棱錐P-ABCD中,因為PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.又因為AC⊥CD,且PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC,所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因為E是PC的中點,所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.又PD?平面PCD,所以AE⊥PD.因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB.又因為AB⊥AD,且PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD,所以AB⊥PD.又AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.答案:(1)⊥(2)⊥三、解答題(每小題10分,共30分)9.如圖,在三棱錐P-ABC中,PB⊥平面ABC,PB=BC=CA=4,∠BCA=90°,E為PC的中點.求證:BE⊥平面PAC.【證明】因為PB⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以AC⊥PB.因為∠BCA=90°,所以AC⊥CB,而CB?平面PBC,PB?平面PBC,PB∩CB=B,所以AC⊥平面PBC.又BE?平面PBC,所以AC⊥BE.因為E為PC的中點,且PB=BC,所以BE⊥PC.又PC?平面PAC,AC?平面PBC,PC∩AC=C,所以BE⊥平面PAC.10.如圖,四棱錐S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,E,F分別是SD,SC的中點.求證:(1)BC⊥平面SAB;(2)EF⊥SD.【證明】(1)因為四棱錐S-ABCD的底面是矩形,所以AB⊥BC.因為SA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以SA⊥BC.又因為SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.(2)因為SA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以CD⊥SA.又因為CD⊥AD,SA∩AD=A,所以CD⊥平面SAD.因為E,F分別是SD,SC的中點,所以EF∥CD,所以EF⊥平面SAD.又因為SD?平面SAD,所以EF⊥SD.11.如圖所示,在