九年級數學二次根式的性質和運算培優(yōu)教程

九年級數學二次根式的性質和運算培優(yōu)教程考點·方法·破譯1．了解二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義，能準確進行辨析；2．掌握二次根式有關性質，并能熟練運用性質進行化簡；3．會根據二次根式的性質挖掘題中隱含條件，求參數的值（或取值范圍）.經典·考題·賞板【例１】（荊州）下列根式中屬最簡二次根式的是（）A.B.C.D.【解法指導】判斷式子是否為最簡二次根式的條件有兩點：①被開方式中不能含分母；②被開方式中不能有可開盡方的數或式子.B中含分母，C、D含開方數4、9，故選A.【變式題組】1．⑴（中山）下列根式中不是最簡二次根式的是（）A.B.C.D.⑵①；②；③；④，最簡二次根式是（）A．①,② B．③,④ C．①,③ D．①,④【例２】(黔東南)方程，當y＞0時，m的取值范圍是（）A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解法指導】本題屬于兩個非負數的代數和問題，隱含兩個代數式均為0的結論.由題意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化為y＝2－m，則2－m＞0，故選C.【變式題組】2．（寧波）若實數x、y滿足，則xy的值是__________.3．（荊門）若，則x－y的值為（）A．－1 B．1 C．2 D．34．（鄂州）使代數式有意義的x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠45.（懷化），則a－b－c＝________.【例３】下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A．B． C． D．【解法指導】判斷幾個二次根式是否為同類二次根式應先把它們都化為最簡二次根式，再看被開方數是否一樣.A．；B． 不能化簡；C.；D．，而.故本題應選D.【變式題組】6．如果最簡二次根式與是同類二次根式，則a＝________．7．在下列各組根式中，是同類二次根式的是（）A．和B．和 C．和 D．和8．已知最簡二次根式和是同類二次根式，則a＝_______，b＝______.【例４】下列計算正確的是（）A．B． C． D．【解法指導】正確運用二次根式的性質①；②；③；④進行化簡計算，并能運用乘法公式進行計算.A、B中的項不能合并.D..故本題應選C.【變式題組】9.（聊城）下列計算正確的是（）A．B． C． D．10．計算：_____________11．_____________12．(濟寧)已知a為實數，那么＝（）A．aB．－a C．－1 D．013．已知a＞b＞0，a＋b＝6，則的值為（）A． B．2 C． D．【例５】已知xy＞0，化簡二次根式的正確結果為（）A． B． C． D．【解法指導】先要判斷出y＜0，再根據xy＞0知x＜0.故原式.選D.【變式題組】14．已知a、b、c為△ABC三邊的長，則化簡的結果是_______.15．觀察下列分母有理化的計算：，，，算果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：_________.16．已知，則0＜x＜1，則_________.【例６】（遼寧）⑴先化簡嗎，再求值：，其中，.⑵已知，，那么代數式值為________.【解法指導】對于⑴，先化簡代數式再代入求值；對于⑵，根據已知數的特征求xy、x＋y的值，再代入求值.【解】⑴原式＝，當，時，ab＝1，a＋b＝,原式＝.⑵由題意得：xy＝1，x＋y＝10,原式＝.【變式題組】17．（威海）先化簡，再求值：(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中,.18．（黃石）已知a是的小數部分，那么代數式的值為________.【例７】已知實數x、y滿足，則3x2－2y2＋3x－3y－2007的值為（）A．－2008 B．2008 C．－1 D．1【解法指導】對條件等式作類似于因式分解的變形，找出a、b的關系，再代入求值.解:∵，∴，，由以上兩式可得x＝y(tǒng).∴,解得x2＝2008，所以3x2－2y2＋3x－3y－2007＝3x2－2x2＋3x－3x－2007＝x2－2007＝1，故選D.【變式題組】19．若a＞0，b＞0，且，求的值.演練鞏固·反饋提高01．若，則估計m的值所在的范圍是（）A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜502．（綿陽）已知是正整數，則實數n的最大值為（）A．12 B．11 C．8 D．303．（黃石）下列根式中，不是最簡二次根式的是（）A.B.C.D.04．（賀州）下列根式中，不是最簡二次根式的是（）A.B.C.D.05．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A.B.C.D.06．（常德）設a＝20，b＝(－3)2,,,則a、b、c、d、按由小到大的順序排列正確的是（）A．c＜a＜d＜b B．b＜d＜a＜c C．a＜c＜d＜b D．b＜c＜a＜d07．（十堰）下列運算正確的是（）A． B． C． D．08．如果把式子根號外的因式移入根號內，化簡的結果為（）A． B． C． D．09．（徐州）如果式子化簡的結果為2x－3，則x的取值范圍是（）A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x＞010．（懷化）函數中自變量的取值范圍是________.11．（湘西）對于任意不相等的兩個數a，b，定義一種運算a※b＝.那么12※4＝________.12．（荊州）先化簡，再求值：，其中.13．（廣州）先化簡，再求值：，其中.培優(yōu)升級·奧賽檢測01．（涼山州）已知一個正數的平方根是3x－2和5x＋6，則這個數是________.02．已知a、b是正整數，且滿足是整數，則這樣的有序數對（a，b）共有________對.03．（全國競賽）設，則________.04．（全國競賽）設,a是x的小數部分,b是x的小數部,則a3＋b3＋3ab＝________.05．（重慶競賽）已知，則x2＋y2＝________.06．（全國競賽）已知，，，那么a、b、c的大小關系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b07．（武漢聯賽）已知（x，y均為實數），則y的最大值與最小值的差為（）A． B．3 C． D．08．（全國競賽）已知非零實數a、