高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式 專項練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專題05基本不等式（核心考點(diǎn)精講精練）

1.4年真題考點(diǎn)分布

4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年新I卷，第22題第二問,8分基本不等式求最值圓錐曲線大題綜合

2022年新I卷，第18題第二問,6分基本不等式求最值正余弦定理解三角形

2022年新II卷，第12題,5分基本不等式求最值三角換元及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)

2021年新I卷，第5題,5分基本不等式求最值橢圓方程及其性質(zhì)

2020年新I卷，第20題第二問,6分基本不等式求最值空間向量及立體幾何

2020年新II卷，第12題,5分基本不等式求最值指對函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，本身知識點(diǎn)命題可變性多，學(xué)生易

上手學(xué)習(xí)，但高考常作為壓軸題考查，難度較難，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握基本不等式及其推論，會使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”

2.能正確處理常數(shù)“1”求最值

3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值

4.能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用與函數(shù)和解析幾何的求解過程中求最值

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會結(jié)合條件等式考查拼湊思想來使用基本不等式求最

值，或者和其他版塊關(guān)聯(lián)，難度中等偏上。

知識講解

1.基本不等式

a>0,石<色吆當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時取等號

2

其中9a叫做正數(shù)。，人的算術(shù)平均數(shù)，

2

AK叫做正數(shù)。，匕的幾何平均數(shù)

通常表達(dá)為：a+b>2y[ab（積定和最?。?/p>

應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”

（1）基本不等式的推論1

a>0,b>Gnab+"（和定積最大）

4

當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時取等號

（2）基本不等式的推論2

\/a,b^R=>a2+b2>2ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時取等號

（3）其他結(jié)論

誠+"2（">0）.

Ic^+b2

\2一(a>0,Z?>0).

③已知a,b,x,y為正實數(shù)，

(1

(ax+by)—I—

若〃%+力=1,則有'+,=I"=a+b+^+^>a+b+2\[ab=(y[a+y/b)2.

(7A

/、4b

(x+y)—I—

若，+：=1,則有x+y=I"y)—a+b+^+^>a+b+2y[ab=(-\[a+y[b)2.

注意1.使用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可.

注意2.“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立”的含義是“a=6”是等號成立的充要條件，這一點(diǎn)至關(guān)重要，忽略它往

往會導(dǎo)致解題錯誤.

注意3.連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致.

考點(diǎn)一、直接用基本不等式求最值

☆典例引領(lǐng)

■■■■■■■■■■■

1.（2023?安徽滁州?安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)。>0*>0,a+8=l,則2〃+2&的最小值為

2.（2023?湖北孝感?校聯(lián)考模擬預(yù)測）|4+-]（?+4赤）的最小值為.

VV即時檢測

...........

31m

1.（2023?山西大同?大同市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a>0,6>0,若不等式義+:上一守恒成立，則優(yōu)的

aba+3b

最大值為.

2.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)x,y滿足爐+2/一2孫=4,則U的最大值為.

考點(diǎn)二、巧用“1”或常數(shù)關(guān)系求最值

☆典例引領(lǐng)

1

1.（2023?湖北?統(tǒng)考二模）若正數(shù)羽y滿足x+2y=2,則』y+一的最小值為（）

%y

LL5

A.V2+1B.2V2+1C.2D.-

2.（2023?湖南邵陽?統(tǒng)考二模）若a>0,b>0,a+b=9,則型+:的最小值為_____.

ab

即時檢測

12

1.（2023?重慶?統(tǒng)考一*模）已知a>0,。>0,2a+b=2,則—F：的最小值是__________.

ab

2.（2023?山西晉中?統(tǒng)考三模）設(shè)%>-1,丁>。且x+2y=l,則」^+工的最小值為.

x+1y

21

3.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？家荒＃┮阎?y=4,且％,y>。，則--+一的最小值為______.

x-yy

4.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？家荒＃┤鬭,be（O,y）,且&+金=9,貝打+變的最小值為（）

ba

1

A.9B.3C.1D.-

3

考點(diǎn)三、變形為分式的“分母”形式求最值

典例引領(lǐng)

1.2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知a>l,貝。。+也的最小值為（）

a-Y

A.8B.9C.10D.11

Q

2.（2023?山西忻州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知。>2,則2°+展的最小值是（）

?-2

A.6B.8C.10D.12

J即時檢測

41

1.（2023?黑龍江哈爾濱?哈九中校考模擬預(yù)測）已知％y都是正數(shù)，且x+y=2,則一-+—；的最小值為

x+2y+1

4

2.（2023?廣東肇慶??？寄M預(yù)測）已知%>“，若%+——的最小值大于7,寫出滿足條件的一個〃的值：

x-a

2Q

3.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考一模）已知〃>0,b>0,且a+b=2,貝——+--的最小值是（）

a+lb+1

9

A.2B.4C.-D.9

2

4.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模）已知實數(shù)。>0>>，且。-6=5,則'+上的最小值為.

a+12-b

考點(diǎn)四、兩次應(yīng)用基本不等式求最值

☆典例引領(lǐng)

Z41

1.（2023?河北衡水?衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)無y,z>。，滿足孫+—=2,則當(dāng)一+一取得最

xyz

小值時，y+z的值為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

即時檢測

1.（2023?吉林長春?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若eR,">0,則+1+4的最小值為.

a2b+a2c

2.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知〃為非零實數(shù)，b,。均為正實數(shù)，則的最大值為（）

4a4+b2+c2

A1R歷V2V3

rX.D.Lc.Un.

2424

考點(diǎn)五、條件等式變形求最值

典例引領(lǐng)

1.（2022年新高考全國H卷數(shù)學(xué)真題）若無，y滿足d+y2一孫=i,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

2.（2020年新高考全國n卷數(shù)學(xué)真題）已知Q>0,b>0,且o+b=1,則（）

A.a2+b2>-B.T-b>-

22

C.log2tz+log2Z?>-2D.>/a+4b<\/2

3.（2023?海南?海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知％>0,J>0,若2x+y+孫=6,則2x+y的最小值為

2.（2023?安徽馬鞍山,統(tǒng)考二模）若〃，b,c均為正數(shù)，且滿足/+3a〃+3ac+9A=18,貝U2々+36+3。的最

小值是（）

A.6B.4A/6C.60D.6y/3

即時檢測

1.（2023?湖北襄陽?襄陽四中?？寄M預(yù)測）若a,6,c均為正數(shù),且滿足/+2必+3℃+6歷=1,則2a+2b+3c

的最小值是（）

A.2B.1C.72D.2夜

2.（2023?遼寧沈陽?東北育才雙語學(xué)校?？家荒＃┤鬭>0,b>0,2ab+a+1b=3,則。+2b的最小值是

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知a",c均為正數(shù)，且滿足a+Z;+4c=2,則%也二U的最小值為

C

考點(diǎn)六、構(gòu)造法或換元法求最值

典例引領(lǐng)

（12、2

1.（2023?江蘇常州?常州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a>0,b>0,ol,a+2b=2,則一+7卜+--

\ab）c-1

的最小值為（）

921

A.—B.2C.6D.—

22

117

+

2.（2023?吉林?長春^一^高校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x,y滿足x+y=《，則^x+yx+2y的小值為

即時檢測

1.（2023?遼寧?鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式4”尤+—1=24對任意尤>2恒成立，則正實數(shù)。

ax-2

的取值集合為.

2.（2023?山東日照,山東省日照實驗高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)蒼丫滿足e2-3，+3-3x=ei+y,則

y1

一十一的最小值為.

%y

3.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若x>0,y>0,則1：；；廣+4的最大值為.

考點(diǎn)七、利用基本不等式判斷或證明不等式關(guān)系

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足a<b<c且出七<0,則下列不等關(guān)系一定正確的是

（）

A.ac<beB.ab<ac

bc>bac

C.-+->2D.-+->2

cbab

2.（2023?湖南長沙?長郡中學(xué)校考一模）已知2m=3〃=6,則根，〃不可熊滿足的關(guān)系是（）

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.（w—I）2+（H—I）2>2

即時檢測

1.（多選）（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知a,6eR,則下列不等式成立的是（）

A.山疝B.史±<,@?

22寸2

c.lab<Q+bD.ab<a+b

a+b22

2.（多選）（2023?河北唐山?開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知6＜。＜0,則下列不等式正確的是（）

A.b2>abB.ClH—---

ba

baAc21721

C.-+->2D.a+—<b+—

abab

考點(diǎn)八、基本不等式的實際應(yīng)用問題

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?江蘇常州??？家荒＃┘住⒁覂擅緳C(jī)的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300

元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的

油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次

來說，甲、乙誰更合算（）

A.甲更合算B.乙更合算

C.甲乙同樣合算D.無法判斷誰更合算

即時檢測

1.（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖所示圖

形，在等腰直角三角形AABC中，點(diǎn)。為斜邊A3的中點(diǎn)，點(diǎn)。為斜邊上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn)，設(shè)AD=a,

BD=b,用該圖形能證明的不等式為（

B.2"；W(a>0,5>0)

u*醫(yī)鼠＞。力＞。）D.a1+b2>2y[ab(?>0,Z?>0)

2.（多選）（2023?安徽淮北?統(tǒng)考二模）設(shè)a,b為兩個正數(shù)，定義。，匕的算術(shù)平均數(shù)為9=二，幾

何平均數(shù)為G（a,9=而.上個世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家D.H.Lehmer提出了"Lehmer均值〃，即

pv

"）=出n『其中。為有理數(shù)?下列結(jié)論正確的是（）

A.105m5)<4(4,5)B.(?,/?)<G(?,/?)

c.L2(a,5)<A(a,Z?)D.Ln+i(a,b)4Ln(aM

考點(diǎn)九、基本不等式多選題綜合

典例引領(lǐng)

■■■■■■■■■■■

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知&6為實數(shù)，且&>的，則下列不等式正確的是（）

A.a2>b2B.

ab

-Z?+lb

c.-->-D.b+—>l

a+1ab+1

即時檢測

1.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)。，匕滿足a+4b=2,則（）

A.ab<—B.2"+16入4C.—H—>—D.y[a+2>fb>4

4ab2

2.（2023?遼寧?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)c均為正數(shù)，且/+廿+4，=1,則（）

A.ab+2bc+2ca<1B.當(dāng)a>—■時，a=b=c可能成立

6

C.ab<—D

2-

3.（2023?江蘇?二模）已知〃>0,b>0,且4+g,貝1J()

A.a+y/b<^2B.-<<2

2

2

C.log2a+log2>-1D.a—b>—l

【基礎(chǔ)過關(guān)】

1.（2023?湖南衡陽?衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)工，幾滿足％2+孫+3V=3,則1+y的最大值為（）

3Vn6A/HQ6+1D百+3

AA.-----ND.-------

111133

2.（2。23?海南?？?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若正實數(shù)x,y滿足eg.則?+；的最小值為（）

A.12B.25C.27D.36

3.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知x＞0,y＞0,孫+2x-y=10,則x+y的最小值為（）

A.2忘-1B.2&C.4應(yīng)D.472-1

4.（2023?吉林四平?四平市實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)。,6,則“2a+6=4”是“必22”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

5.（2023?廣東汕頭?金山中學(xué)?？既＃┤簟埃?力＞0,。+6=4,則下列不等式對一切滿足條件a,b恒成立的

是()

A.y/ab<2B.yfa+yfb<2

2

—+Z72>4D.

3ab

6.（2023?河北唐山?開灤第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）己知人＜。＜0,則下列不等式正確的是（

A.b2>abB.

ba

「baA

C.-+->2D.a1+—<Z?2+-

abab

7.（2023?湖南邵陽?統(tǒng)考三模）則下列命題中，正確的有（）

什，mi。b

A.右a>b,貝U——>—yB.若ab=4,貝4]2+/之8

cc

C.若a>b,貝1Jabv/D.若a>b,c>d,貝

三、填空題

91

8.（2023?吉林延邊?統(tǒng)考二模）設(shè)。＞0,b＞\,若a+b=2,則一+「取最小值時。的值為______.

ab-1

9.（2023?浙江寧波?鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a,b為兩個正實數(shù)，且。+48=1,則夜+2振的最大值

為.

19

10.（2023?安徽安慶?安慶一中校考三模）已知非負(fù)數(shù)無＞滿足％+y=l,則一;+—^的最小值是

x+1y+2

【能力提升】

12

1.（2023?遼寧沈陽凍北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)無。滿足一+—=1,貝IJ2肛-2x-y的最小值為

xy

A.2B.4C.8D.9

2.（2023?湖北襄陽?襄陽四中?？寄M預(yù)測）若o',。均為正數(shù),且滿足/+2仍+3ac+6bc=l,則2a+2b+3c

的最小值是（）

A.2B.1C.V2D.2^2

二、多選題

3.（2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考二模）已知相^m+n=2mn,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.mn>lB.m+n<^2C.m2+n2>2D.2m+n>3+2A/2

4.（2023?湖南長沙?長沙市明德中學(xué)校考三模）若a力>0,且々+6=1,則（）

A.y/a+y/b<V2B.-F—>9

ab

C.a2+4^2>-D.—+—>1

4ab

5.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考三模）已知。>0,6>0且4a+b=2,貝1|（）

A.必的最大值為B.2&+揚(yáng)的最大值為2

C.2+；的最小值為6D.4"+2"的最小值為4

ab

三、填空題

6.（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考三模）已知正數(shù)MV滿足4元+2y=孫，貝口+2y的最小值為.

221

7.（2023?山東?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)。>乃>0,則=+蒜+〃/〃2小的最小值為_____-

abaya-Zb）

2Q

8.（2023?遼寧遼陽?統(tǒng)考二模）若0va<4,則—+一的值可以是__________.

a4一〃

1212

9.（2023?山西大同?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知a>0,b>0,a>—+—,b>—+—,則a+b的最小值為_______.

abba

10.（2023?湖南郴州?安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知x>0,y>0,且2x+y=l,則/+!丫2的最小值

4

為.

【真題感知】

22

1.（2021.全國.統(tǒng)考高考真題）已知％B是橢圓C：'■+5=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)加在C上，則

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

2.（2020.全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x與雙曲線C：，-J=l（a>0,10）的兩條漸近線分

別交于。E兩點(diǎn)，若△ODE的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

二、填空題

3.（2021.天津.統(tǒng)考高考真題）若。>0">0,則,+9+b的最小值為___________.

ab

4.（2020?江蘇?統(tǒng)考高考真題）已知5//+/=1?川氏），則f+y2的最小值是.

11Q

5.（2020?天津?統(tǒng)考iWj考真題）已知4>0,b>0,且成>=1,則--1—-H-------的最小值為___________

2a2ba+b

三、解答題

6.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐P-4BC。的底面為正方形，底面A8CD設(shè)平面融。與

平面PBC的交線為I.

（1）證明：/_L平面POC；

（2）已知尸。=4。=1,。為/上的點(diǎn)，求尸B與平面QC。所成角的正弦值的最大值.

7.（2。22?全國?統(tǒng)考高考真題）記9BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為b,c,己知言*

（1）^C=—,求&

⑵求《4^的最小值.

C

8.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)p到點(diǎn)10,￡|的距離，記動

點(diǎn)尸的軌跡為W.

⑴求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點(diǎn)在卬上，證明：矩形ABCD的周長大于36.

專題05基本不等式（核心考點(diǎn)精講精練）

1.4年真題考點(diǎn)分布

4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年新I卷，第22題第二

基本不等式求最值圓錐曲線大題綜合

問,8分

2022年新I卷，第18題第二

基本不等式求最值正余弦定理解三角形

問,6分

2022年新II卷，第12題,5分基本不等式求最值三角換元及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)

2021年新I卷，第5題,5分基本不等式求最值橢圓方程及其性質(zhì)

2020年新I卷，第20題第二

基本不等式求最值空間向量及立體幾何

問,6分

2020年新H卷，第12題,5分基本不等式求最值指對函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，本身知識點(diǎn)命題可變

性多，學(xué)生易上手學(xué)習(xí)，但高考常作為壓軸題考查，難度較難，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推論，會使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”

2.能正確處理常數(shù)“1”求最值

3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值

4.能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用與函數(shù)和解析幾何的求解過程中求最值

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會結(jié)合條件等式考查拼湊思想來使用基

本不等式求最值，或者和其他版塊關(guān)聯(lián)，難度中等偏上。

知識講解

2.基本不等式

。>0,b>G^4ab<^b-當(dāng)且僅當(dāng)〃=〃時取等號

2

其中"2叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，

2

而叫做正數(shù)a,Z?的幾何平均數(shù)

通常表達(dá)為：a+b>2y[ab(積定和最小)

應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”

(4)基本不等式的推論1

tz>0,b>0nabW(和定積最大)

4

當(dāng)且僅當(dāng)。=人時取等號

(5)基本不等式的推論2

X/a,R=>a2+b^>2ab

當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時取等號

(6)其他結(jié)論

①"2(ab>0).

③已知a,b,x,y為正實數(shù)，

(1

(tix+by)—I—

若ax+Z?y=l,則有：+方==a+b+^+^>a+b+2\lab=(y[a+y[b)2.

/、ab

(x+y)—?—

若，+3=1,貝1J有x+y=(X"=a+b+半+與Na+6+2/^=(W+”)2.

注意1.使用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可.

注意2.“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立”的含義是％=加'是等號成立的充要條件，這一點(diǎn)至關(guān)重

要，忽略它往往會導(dǎo)致解題錯誤.

注意3.連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致.

考點(diǎn)一、直接用基本不等式求最值

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?安徽滁州?安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)。>0,6>0,。+6=1,則2"+2”

的最小值為.

【答案】2夜

【分析】運(yùn)用基本不等式求和的最小值即可.

【詳解】回a>0,b>Ofa+b=l,

團(tuán)2a+2“N2,2“x2"=2萬^"=2忘,當(dāng)且僅當(dāng)2"=2"即。=匕=1■時取等號.

故答案為：2日

2.（2023?湖北孝感?校聯(lián)考模擬預(yù)測）+3（?+4/）的最小值為_____.

I"y/yj

【答案】9

【分析】利用基本不等式解出最小值即可.

/、

所以（五+4^7）的最小值為9.

故答案為：9

即時檢測

31nr

1.（2023?山西大同?大同市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知。>0力>。，若不等式一+;之一-

aba+3b

恒成立，則加的最大值為.

【答案】12

【分析】根據(jù)將加分離出來，基本不等式求最值即可求解.

【詳解】由3得般（“+33仔+]=藝+?+6.

aba+3b\ab）ab

X—+7+6>2A/9+6=12,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)丶串?dāng)a=36時等號成立，

abab

0m<12,El機(jī)的最大值為12.

故答案為：12

2.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)%,>滿足/+2/_2孫=4,則孫的最大值

為.

【答案】2V2+2/2+2V2

【分析】利用重要不等式，轉(zhuǎn)化為不等式，求舊的最大值.

【詳解】Hx2+2y2>2\[2xy,所以2虎孫-2盯W4,

即孫<合=忘+

22當(dāng)x=0y時，等號成立,

所以犯的最大值是20+2.

故答案為：2及+2

考點(diǎn)二、巧用“1”或常數(shù)關(guān)系求最值

☆典例引領(lǐng)

y1

1.（2023?湖北?統(tǒng)考二模）若正數(shù)滿足尤+2y=2,則二+一的最小值為（）

xy

LL5

A.V2+1B.20+1C.2D.y

【答案】A

【分析】利用基本不等式及不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為正數(shù)工，'滿足x+2y=2,

所以三至=1.

2

所以上+3+仝-*巨+i=0+i,

xyx2yx2yx2y

22

fx=2y「

當(dāng)且僅當(dāng)彳，即x=2&-2,y=2-0時，取等號，

[x+2y=2

當(dāng)x=20-2,y=2-&時，^+―取得的最小值為V2+1.

故選：A.

2.（2023?湖南邵陽?統(tǒng)考二模）若a>0,b>0,a+b=9,則變+:的最小值為_____

ab

【答案】8

【分析】由已知條件變形史+:=如土：=4+竺+=,然后利用基本不等式求解.

ababab

【詳解】若a>0,b>0,a+b=9,

則型+區(qū)=4（。+3+區(qū)=4+竺+烏24+2、/竺-4=8,當(dāng)且僅當(dāng)。=6力=3時取等號,

ababab\ab

El364曰［/±

則---1"丁的取小值為8.

ab

故答案為：8.

即時檢測

...........

12

1.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）已知々＞0,。＞0,2々+匕=2,則—十7的最小值是__________.

ab

【答案】4

【分析】把上1+：?化為2F+2再利用“1〃的妙用，結(jié)合基本不等式即可得到答案.

ab2ab

［詳解］-+|=y-+|=|（2?+z?）f7-+|＞|=（2?+Z7）fy-+|＞|=2+T~+T-2+2^'=4'

ab2ab2\2abJ\2ab）2ab

當(dāng)且僅當(dāng)與=當(dāng)即6=1,:時，取等號，

2ab2

1?

故上+：的最小值是4,

ab

故答案為：4.

2.（2。23?山西晉中?統(tǒng)考三模）設(shè)"-1-＞。且尤+2卜1,則占+；的最小值為--------

【答案】三

1

【分析】由已知條件可知x+l＞。，且x+l+2y=2,再展開在+—=(x+l+2y)

y2

并利用基本不等式求其最小值.

【詳解】因為%＞Ty＞。,

所以x+l>0,-^->0,—>0,

x+1y

因為x+2y=l,所以x+l+2y=2,

所以:+1=：(；+L](x+l+2y)=；[3+W+W]2；(3+20),

x+1y21%+lyJ2(x+1yJ2

當(dāng)且僅當(dāng)二七二土已，即x=2&-3,y=2-&時取得最小值.

x+1y

故答案為：.吟

21

3.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？家荒＃┮阎?y=4,且%,y＞0,則——+一的

x-yy

最小值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)基本不等式湊項法和"1"的巧用即可求得最值.

［詳解］因為彳+/=4,所以(％_y)+2y=4,又x>y>0,所以無_y>0

則

2+L12+口心7)+2升工/2+工+0+2］義4［4+2/2—"2

x-y>(尤-yy尸」41x-yyJ4IVx-yyI4

4yx—y

當(dāng)且僅當(dāng)一上=—21且x+y=4,即x=3,y=l時，等號成立，

x-yy

21

所以----+一的最小值為2.

%一yy

故答案為：2.

4.(2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)校考一模)若a,6e(O,y),且&+金=9,則"邁的

ba

最小值為()

1

A.9B.3C.1D.-

3

【答案】C

【分析】由基本不等式得［+乎之9,進(jìn)而結(jié)合已知條件得6+g的最小值為1.

【詳解】解：因為a,6e(O,y),所以。夜>0,±如>。，

ab

因為布+?=9

b

所以+巫］］&+勺=5+6&+逑25+2/&.^5=9,即+邁］29,

ab)ab\ab(a,

當(dāng)且僅當(dāng)匕后=+，即a=9,b=］時等號成立，

ab3

所以6+漁川，即6+五的最小值為1.

aa

故選：C

考點(diǎn)三、變形為分式的“分母”形式求最值

典例引領(lǐng)

...........

1.2023,浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知。>1,則。+々的最小值為（）

a—\

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【分析】運(yùn)用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因為

所以