新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之幾何專項(xiàng)講義：軌跡方程問題

第12講軌跡方程問題

一、問題綜述

教材中明確提出，解析幾何研究?jī)杉拢?1)求曲線方程；(2)利用方程研究曲線的性質(zhì)，求曲線方程或

者求點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何所有問題的發(fā)端，應(yīng)當(dāng)給與足夠的重視。其方法一般有：直接法、相關(guān)點(diǎn)法、

定義法、參數(shù)法、交軌法，涉及到中點(diǎn)弦可用點(diǎn)差法等。下面我們通過具體題目回顧求軌跡方程的幾種方

法，同時(shí)分析那種方法在那種情況下較好一些，更適合我們。

二、典例分析

類型1：直接法

【例1】設(shè)一動(dòng)點(diǎn)尸到直線/:x=3的距離到它到點(diǎn)A(1,O)的距離之比為事，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程是

解析：設(shè)尸(x,y),可知[~力

丁-…3

.■.3|x-3|=^3[(x-l)2+y2]

=>3(x-3)2=(x-1)2+y2

=>2x2-16x-y2=-26

=^2(x-4)2-/=6=>

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注：直接法的五個(gè)步驟簡(jiǎn)稱：建系，集合，方程，化簡(jiǎn)，證明。其中建系，集合，證明往往可以省略，只需要

方程和化簡(jiǎn)兩個(gè)步驟。我們要留意證明，要保證曲線的方程的純粹性和完備性.

類型2：相關(guān)點(diǎn)法

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【例2】已知月.瑞分別為橢圓C：3+q=l的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則的重心G的軌

跡方程為.

x—1+1

x=--n---------

3

解析：依題意知片(-1,0)，耳(1,0)，設(shè)尸(%,%)(%20),G(x,y),則由三角形重心坐標(biāo)公式可得＜

"=子,代入橢圓c：三+《=1,

反解即

%=3〉43

2

Qr

得重心G的軌跡方程為—+3/=l(y手0).

注：相關(guān)點(diǎn)法，它一般是由已知點(diǎn)的軌跡方程來求未知點(diǎn)的軌跡方程，題目會(huì)給我們一個(gè)橋梁，或者是中點(diǎn)公

式，或者是向量表達(dá)式，我們根據(jù)橋梁建立已知和未知的關(guān)系式，然后反解，用未知點(diǎn)來表示已知點(diǎn)，然

后代入已知點(diǎn)的軌跡方程，可得未知點(diǎn)的軌跡方程，所以又稱代入法。

類型3：定義法

【例3】已知圓M:(x+l)2+y2=i,圓N:(x—l)2+y2=9,動(dòng)圓尸與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心尸的軌

跡為曲線C.求C的方程.

解析：由已知得圓M的圓心為,半徑5=1；圓N的圓心為N(1,O),半徑4=3.設(shè)圓尸的圓心為P(尤,y),

半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，

所以忸叫+|耽|=(氏+/;)+(4-7?)=4+馬=4>|加|=2.

由橢圓的定義可知，曲線C是以N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為6的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，

丫2v2

其方程為F--=1(無力-2).

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注：解析幾何是用代數(shù)研究幾何，但是究其本質(zhì)還是幾何，或者說幾何性質(zhì)是解析幾何中簡(jiǎn)化運(yùn)算最巧妙的手

段，而幾何圖形最基本的幾何性質(zhì)就是定義，要善于發(fā)現(xiàn)題目中隱含的幾何性質(zhì)，善于從代數(shù)式中分析其

幾何特征，從而找到問題更簡(jiǎn)單的解法.

類型4：參數(shù)法

【例4】過平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線分別交x軸，y軸正半軸于A,B兩點(diǎn),求他

中點(diǎn)M的軌跡方程.

4

解析：設(shè)過點(diǎn)尸(2,4)的一條直線為：>-4=依尤-2),與x軸正半軸于A,其坐標(biāo)為(2-—,0),

k

19

設(shè)過點(diǎn)尸(2,4)的另一條直線為：y-4=-一(x-2),與y軸正半軸于3,其坐標(biāo)為(0,4+—),

kk

L-i2

由中點(diǎn)公式可得”的坐標(biāo)為：;，消去參數(shù)3可得:x+2y-5=0.

y=2+-

Lk

當(dāng)上不存在或者為0時(shí)，解得“(1,2)滿足此直線方程，所以"的軌跡方程為：x+2y-5=0.

注：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系比較難發(fā)現(xiàn)時(shí)，我們可以引入第三個(gè)量，也就是一個(gè)參數(shù)，

來表示動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，表示出來后，我們?cè)佟斑^河拆橋”，消掉參數(shù)，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。本題還可以

采用向量的方法，利用向量的數(shù)量積為零，或者利用斜率之積等于-1,或者利用中垂線的幾何性質(zhì)來解決.

類型5：點(diǎn)差法

【例5】過點(diǎn)P(4,4)作一條直線交圓尤2+丁=4于A,B兩點(diǎn),求中點(diǎn)M的軌跡方程.

2

解析：設(shè)4>1，%),2(無2，%)，加(羽)0代入元的方程：+yt=4,無2?+%2=4,兩式做差，可得:

(%-%)(%+9)+(X-%)(%+%)=。，其中％+X,=2x，x+%=2y，—~~^^kAB=kPM=,整理可得：

x^-x2x-4

x2+y2-4x-4y=0(在己知圓的內(nèi)部).

注：本題涉及到中點(diǎn)弦問題，可以使用點(diǎn)差法，在直線與二次曲線相交的問題中，可以代點(diǎn)做差，因?yàn)橄嗤?/p>

結(jié)構(gòu)，會(huì)出現(xiàn)平方差公式，坐標(biāo)之和可以轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)坐標(biāo)，坐標(biāo)之差可以轉(zhuǎn)化為斜率，運(yùn)算非常簡(jiǎn)潔.同時(shí)，本

題還可以使用參數(shù)法，向量或者斜率之積，幾何性質(zhì)垂徑定理等方法來解決.

類型6：交軌法

【例6】如圖所示，動(dòng)圓G：f+y2=匕i</<3與橢圓C2：/+y2=i相交于A,B,C,。四點(diǎn).點(diǎn)4，4分

別為C?的左、右頂點(diǎn)，求直線招與直線交點(diǎn)M的軌跡方程.

解析：由橢圓。2：［+產(chǎn)=1，知4(一3,0),4(3,0),

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(尤0,%),由曲線的對(duì)稱性，上

得3(%,-%)，木共丑/

設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為(尤,y),

直線AA的方程為y=+3).①

%+3

直線48的方程為>=二^。-3).②

毛-3

由①②相乘得V-9).③

尤0-9

又點(diǎn)A(%,%)在橢圓。2上，故北=1-3■.④

將④代入③得y-y2=l(x<-3,y<0).

因此點(diǎn)M的軌跡方程為三-V=l(^<-3,y<0).

注：在本題中，求兩直線交點(diǎn)的軌跡方程，直接運(yùn)算比較困難，我們發(fā)現(xiàn)本題條件中的對(duì)稱，就寫出兩條直線

的方程，其結(jié)構(gòu)也是對(duì)稱的，若是只有一個(gè)參數(shù)，那么代入消參直接可解，現(xiàn)在是有兩個(gè)參數(shù)，我們將結(jié)

構(gòu)相同的兩條直線相乘得到二次式，利用橢圓的方程整體消參可以解得本題，這種方法稱為交軌法，也可

以認(rèn)為是參數(shù)法的升級(jí)版.

【方法小結(jié)】以上介紹了求曲線的方程的幾種方法：直接法、相關(guān)點(diǎn)法、定義法、參數(shù)法、點(diǎn)差法、交軌法.

求點(diǎn)的軌跡方程的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，分析已知條件和曲線的特征，尋找曲線上動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然后轉(zhuǎn)化為等

式。要注意代數(shù)語言、向量語言、幾何語言各自的適用范圍以及優(yōu)劣，最后要保證曲線的方程的純粹性與完備

性.

三、鞏固練習(xí)

1.已知尸是拋物線V=4y的焦點(diǎn)，尸是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PF中點(diǎn)M的軌跡方程是()

A.x2-y——B.x2=2y———C.無2=2y—2D.x2=2y-l

2'16

22

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線尤=《-4<t<4)與橢圓器+/=1交于兩點(diǎn)乙?,%),且

%>0,%<。，A，4分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，則直線與兒［的交點(diǎn)所在曲線方程為.

3.若動(dòng)圓過定點(diǎn)4(—3,0)且和定圓C:(x-3p+y2=4外切，則動(dòng)圓圓心尸的軌跡方程是.

4.已知點(diǎn)C(l,0),點(diǎn)是。。:/+丫2=9上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足AC?3C=0,設(shè)尸為弦鉆的中點(diǎn)，

求點(diǎn)P的軌跡T的方程；

5.圓(x+lp+y2=25的圓心為C,A(l,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，。為圓周上任一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與CQ的

連線交于點(diǎn)M,則M的軌跡方程為.

參考答案:

%0

x=

~2x=2x

1.解：依題意可得尸(0,1),P(%,%)，則有<0，因?yàn)椤?%,%)自身有軌跡方

%+1.%=2y-l

y=

2

程，為：其=4%,將「°=?，代入可得關(guān)于x,y的方程，即M的軌跡方程：(2x)2=4(2y-l)n，=2yT

［為=2、-1

答案：D

2.解：由橢圓可知：A(-4，。)，4(4,0)，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)。

x=/與橢圓相交于月，鳥片,鳥關(guān)于x軸對(duì)稱

考慮直線4名與右片的方程：由a(T,O),5可得：以馬=-￡

>=總(苫+4)①

同理可得：=D(尤-4)②

2

①x②可得：/=-^—(X2-16)③

t-16v7

由片(r,yj在橢圓上可得：:+蔣=1"='(1672),代入③可得：

>2=一