2025屆河北省“名校聯(lián)盟”高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2025屆河北省“名校聯(lián)盟”高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，，且，總有，則的取值范圍是（）A B.C. D.3．某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣，獲得了200名男生的100米體能測(cè)試成績(jī)（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定成績(jī)低于13秒為優(yōu)，成績(jī)高于14.8秒為不達(dá)標(biāo).由直方圖推斷，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.直方圖中a的值為0.40B.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)為13.75秒C.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)的人數(shù)為54D.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)?yōu)椴贿_(dá)標(biāo)的人數(shù)為184．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.5．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(xiàn)C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F且與x軸垂直的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A. B.C. D.7．已知傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)，相交于，兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率是（）A. B.C. D.8．已知向量，，則（）A. B.C. D.9．中共一大會(huì)址、江西井岡山、貴州遵義、陜西延安是中學(xué)生的幾個(gè)重要的研學(xué)旅行地.某中學(xué)在校學(xué)生人，學(xué)校團(tuán)委為了了解本校學(xué)生到上述紅色基地研學(xué)旅行的情況，隨機(jī)調(diào)查了名學(xué)生，其中到過(guò)中共一大會(huì)址或井岡山研學(xué)旅行的共有人，到過(guò)井岡山研學(xué)旅行的人，到過(guò)中共一大會(huì)址并且到過(guò)井岡山研學(xué)旅行的恰有人，根據(jù)這項(xiàng)調(diào)查，估計(jì)該學(xué)校到過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生大約有（）人A. B.C. D.10．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)，與圓在第一象限的交點(diǎn)，、分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，且，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.311．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A. B.C. D.12．在四面體OABC中，點(diǎn)M在線(xiàn)段OA上，且，N為BC中點(diǎn)，已知，，，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸相交于，兩點(diǎn)，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為_(kāi)__________.14．北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開(kāi)始，每一圈比前一圈多9塊．已知每層圈數(shù)相同，共有9圈，則下層比上層多______塊石板15．若直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，則___________.16．直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則m的值是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn).（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）已知曲線(xiàn)上一點(diǎn)，動(dòng)圓，且點(diǎn)在圓外，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)分別交曲線(xiàn)于點(diǎn)，.（i）求證：直線(xiàn)的斜率為定值；（ii）若直線(xiàn)與交于點(diǎn)，且時(shí)，求直線(xiàn)的方程.18．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導(dǎo)演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點(diǎn)8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來(lái)了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因?yàn)橛捌心概g的這份簡(jiǎn)單、純粹、誠(chéng)摯的情感觸碰了人們內(nèi)心柔軟的地方，打動(dòng)了萬(wàn)千觀(guān)眾，才贏得了良好的口碑，不少觀(guān)眾都流下了感動(dòng)的淚水．影片結(jié)束后，某電影院工作人員當(dāng)日隨機(jī)抽查了100名觀(guān)看《你好，煥英》的觀(guān)眾，詢(xún)問(wèn)他們?cè)谟^(guān)看影片的過(guò)程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀(guān)眾女性觀(guān)眾合計(jì)流淚20沒(méi)有流淚520合計(jì)（1）完成表格中的數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為觀(guān)眾在觀(guān)看影片的過(guò)程中流淚與性別有關(guān)？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒(méi)有流淚的觀(guān)眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機(jī)抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，19．（12分）已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，其左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線(xiàn)：分別與線(xiàn)段（不含端點(diǎn)）和線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓的另一交點(diǎn)為，求證：，，三點(diǎn)共線(xiàn).20．（12分）如圖在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，為的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）一個(gè)完美均勻且靈活的平衡鏈被它的兩端懸掛，且只受重力的影響，這個(gè)鏈子形成的曲線(xiàn)形狀被稱(chēng)為懸鏈線(xiàn)（如圖所示）.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，懸鏈線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)近似是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)，其解析式可以為，其中，是常數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷并證明的奇偶性；（2）當(dāng)時(shí)，若最小值為，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】因但2、B【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義、二次函數(shù)性質(zhì)及對(duì)稱(chēng)軸方程，即可求解參數(shù)取值范圍.【詳解】依題意可得，在上為減函數(shù)，則，即的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性定義，二次函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】根據(jù)頻率之和為求得，結(jié)合眾數(shù)、頻率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，解得，A選項(xiàng)正確.眾數(shù)為，B選項(xiàng)正確.成績(jī)低于秒的頻率為，人數(shù)為，所以C選項(xiàng)正確.成績(jī)高于的頻率為，人數(shù)為人，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D4、D【解析】根據(jù)兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.5、A【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關(guān)系，結(jié)合計(jì)算作答.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A6、B【解析】根據(jù)已知條件求得以及，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【詳解】因?yàn)?，故可得，則，又，令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上的最小值為.故選：.7、A【解析】依據(jù)點(diǎn)差法即可求得的關(guān)系，進(jìn)而即可得到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率.【詳解】設(shè)，則由，可得則，即，則則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率為故選：A8、D【解析】按空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則運(yùn)算即可.【詳解】.故選：D.9、B【解析】作出韋恩圖，設(shè)調(diào)查的學(xué)生中去過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生人數(shù)為，根據(jù)題意求出的值，由此可得出該學(xué)校到過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生人數(shù).【詳解】如下圖所示，設(shè)調(diào)查的學(xué)生中去過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生人數(shù)為，由題意可得，解的，因此，該學(xué)校到過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生的人數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查韋恩圖的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用分層抽樣求樣本容量，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】根據(jù)幾何關(guān)系得到是直角三角形，然后由雙曲線(xiàn)的定義及勾股定理可求解.【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，又因?yàn)樵谥?，，所以是直角三角形，?由雙曲線(xiàn)定義知，又因?yàn)?，所?在中，由勾股定理得，化簡(jiǎn)得，所以.故選：C.11、C【解析】按照程序框圖的流程進(jìn)行計(jì)算.【詳解】，故輸出S的值為.故選：C12、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因?yàn)镹為BC中點(diǎn)，所以,因?yàn)镸在線(xiàn)段OA上，且，所以，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由直線(xiàn)的方程求出直線(xiàn)的斜率以及，兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的斜率以及線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】由直線(xiàn)可得，所以直線(xiàn)的斜率為，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的斜率為，令可得；令可得；即，，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，整理得.故答案為：.14、1458【解析】首先由條件可得第圈的石板為，且為等差數(shù)列，利用基本量求和，即可求解.【詳解】設(shè)第圈的石板為，由條件可知數(shù)列是等差數(shù)列，且上層的第一圈為，且，所以，上層的石板數(shù)為，下層的石板數(shù)為.所以下層比上層多塊石板.故答案為：145815、4【解析】由直線(xiàn)垂直的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意得，解得.故答案為：16、【解析】利用直線(xiàn)的平行條件即得.詳解】∵直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，∴，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）（i）答案見(jiàn)解析（ii）或【解析】（1）通過(guò)幾何關(guān)系可知，且,由此可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)，通過(guò)雙曲線(xiàn)的定義即可求解；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及求出，即得到直線(xiàn)的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直線(xiàn)方程.【小問(wèn)1詳解】由題意可知,∵,且,∴根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)，即，，，則點(diǎn)的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】（i）設(shè)點(diǎn)，，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立得，其中，且，，，∵曲線(xiàn)上一點(diǎn)，∴，由已知條件得直線(xiàn)和直線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，即，整理得，，，，即，則或，當(dāng)，直線(xiàn)方程為，此直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，應(yīng)舍去，故直線(xiàn)的斜率為定值.（ii）由（i）可知，由已知得，即，當(dāng)時(shí)，，，即，，，解得或，但是當(dāng)時(shí)，，故應(yīng)舍去，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)方程為，當(dāng)時(shí)，，即，，，解得（舍去）或，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)方程為,故直線(xiàn)的方程為或.18、（1）填表見(jiàn)解析；有99.9%的把握認(rèn)為觀(guān)眾在觀(guān)看影片的過(guò)程中流淚與性別有關(guān)；（2）【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可完善列聯(lián)表，然后計(jì)算可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣定義求出5人中流淚與沒(méi)有流淚的觀(guān)眾人數(shù)并編號(hào)，用列舉法寫(xiě)出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流淚的基本事件，計(jì)數(shù)后可計(jì)算概率【詳解】解：（1）男性觀(guān)眾女性觀(guān)眾合計(jì)流淚206080沒(méi)有流淚15520合計(jì)3565100所以有99.9%的把握認(rèn)為觀(guān)眾在觀(guān)看影片的過(guò)程中流淚與性別有關(guān)（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒(méi)有流淚的觀(guān)眾中抽取5人，則流淚的觀(guān)眾抽到人，記為，，，，沒(méi)有流淚的觀(guān)眾抽到人，記為從這5人中抽2人有10種情況，分別是，，，，，，，，，其中這2人都流淚有6種情況，分別是，，，，，所以所求概率19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由和，聯(lián)立求解；（2）由（1）易得直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，，分別與x=t聯(lián)立，求得M，N坐標(biāo)，設(shè)，利用，得到，然后兩邊乘以，結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上化簡(jiǎn)得到即可，【詳解】（1）在橢圓中，，，，則，，由題意得：，又，解得，，所以橢圓的方程為.（2）由（1）可知，，，，則直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，由題意，，聯(lián)立，同理聯(lián)立，設(shè)，則①，且點(diǎn)滿(mǎn)足：，即，兩邊乘以，可得：，代入①得：，而，則，所以，，三點(diǎn)共線(xiàn).20、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）推導(dǎo)出PQ⊥AD，從而PQ⊥平面ABCD，連接AC，交BQ于N，連接MN，則AQ∥BC，推導(dǎo)出MN∥PA，由此能證明PA∥平面BMQ（2）連結(jié)BD，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，以QA、QB、QP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣P的余弦值【詳解】（1）由已知PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ?面PAD，∴PQ⊥平面ABCD，連接AC，交BQ于N，連接MN，∵底面ABCD是菱形，∴AQ∥BC，∴△ANQ∽△BCN，，又，∴，∴MN∥PA，又MN?平面BMQ，PA?平面BMQ，∴PA∥平面BMQ（2）連結(jié)BD，∵底面底面是菱形，∴△ABD是正三角形，∴由（1）知PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥AD，PQ⊥BQ，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，以QA、QB、QP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），設(shè)平面BMQ的法向量＝（x，y，z），∴，由（1）知MN∥PA，∴，∴，取z＝1，得，平面BQP的法向量，設(shè)二面角M﹣BQ﹣P的平面角為θ，則cosθ＝，∴二面角M﹣BQ﹣P的余弦值為21、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用拋物線(xiàn)的定義即求；（2）由題可設(shè)直線(xiàn)的方程為，利用韋達(dá)定理法結(jié)合條件可得，即得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線(xiàn)的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，設(shè)拋物線(xiàn)方程為，由，得，所以動(dòng)點(diǎn)