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2024~2025學(xué)年高二10月質(zhì)量檢測卷數(shù)學(xué)(A卷)考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分,考試時間120分鐘。2.答題前,考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。3.考生作答時,請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效,在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍:人教A版選擇性必修第一冊第一章~第二章。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知直線經(jīng)過,兩點,則的傾斜角為()A. B. C. D.2.已知圓的方程是,則圓心的坐標(biāo)是()A. B. C. D.3.在長方體中,為棱的中點.若,,,則()A. B. C. D.4.兩平行直線,之間的距離為()A. B.3 C. D.5.曲線與軸圍成區(qū)域的面積為()A. B. C. D.6.已知平面的一個法向量,是平面內(nèi)一點,是平面外一點,則點到平面的距離是()A. B. C. D.37.在平面直角坐標(biāo)系中,圓的方程為,若直線上存在點,使以點為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.在正三棱柱中,,,,為棱上的動點,為線段上的動點,且,則線段長度的最小值為()A.2 B. C. D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。9.下列關(guān)于空間向量的命題中,是真命題的是()A.若三個非零向量能構(gòu)成空間的一個基底,則它們一定不共面B.若,則,的夾角是銳角C.不相等的兩個空間向量的??赡芟嗟菵.若,是兩個不共線的向量,且(,且),則構(gòu)成空間的一個基底10.已知直線,直線,則()A.當(dāng)時,與的交點為 B.直線恒過點C.若,則 D.存在,使11.“太極圖”是中國傳統(tǒng)文化之一,其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起,也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”.整個圖形是一個圓形,其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個半圓.則下列命題正確的是()A.黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界所在圓的方程為B.直線與白色部分有公共點C.點是黑色陰影部分(包括黑白交界處)中一點,則的最大值為4D.過點作互相垂直的直線,,其中與圓交于點,,與圓交于點,,則四邊形面積的最大值是22三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.若直線與直線垂直,且它在軸上的截距為4,則直線的方程為_________.13.圓和圓的公切線的方程為________.14.如圖,在四棱錐中,,且,若,,則平面與平面夾角的余弦值為________.四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(本小題滿分13分)已知直線與交于,兩點.(1)求線段的垂直平分線的方程;(2)若,求的值.16.(本小題滿分15分)如圖所示的幾何體是圓錐的一部分,其中是圓錐的高,是圓錐底面的一條直徑,,,是的中點.(1)求直線與所成角的余弦值;(2)求直線與平面所成角的正弦值.17.(本小題滿分15分)在平行四邊形中,,,.(1)若圓過,,三點,求圓的方程;(2)過點作圓的切線,切點為,,求.18.(本小題滿分17分)如圖,四邊形是直角梯形,,,,為的中點,是平面外一點,,,,是線段上一點,三棱錐的體積是.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.19.(本小題滿分17分)已知圓的圓心在直線上,與軸正半軸相切,且截直線所得的弦長為4.(1)求圓的方程;(2)設(shè)點在圓上運動,點,為線段上一點且滿足,記點的軌跡為曲線.①求曲線的方程,并說明曲線的形狀;②在直線上是否存在異于原點的定點,使得對于上任意一點,為定值,若存在,求出所有滿足條件的點的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
20242025學(xué)年高二10月質(zhì)量檢測卷?數(shù)學(xué)(A卷)參考答案、提示及評分細(xì)則1.C設(shè)直線的傾斜角為,則,又,所以.故選C.2.A圓的方程可化為,圓心的坐標(biāo)是.故選A.3.D.故選D.4.A直線可化為,直線,所以兩平行直線之間的距離為.故選A.5.B曲線的方程化為,即,所以這條曲線與軸圍成的區(qū)域是一個半徑的半圓,其面積為.故選B.6.C,點到平面的距離.故選C.7.B解法一:設(shè),由以為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點,得關(guān)于的不等式有解,即有解,所以,解得或.故選B.解法二:圓的方程化標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以圓是以為圓心,1為半徑的圓.又直線上存在點,使以該點為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點,所以只需圓與直線有公共點即可.由,解得或.故選B.8.D因為在正三棱柱中,為的中點,取的中點,連接,如圖,以為原點,,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,因為是棱上的動點,設(shè),且,因為,所以,于是令,,所以,.又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,,即線段長度的最小值為.故選D.9.AC選項A,由空間向量基本定理可知正確;選項B,當(dāng)且,時,,故B錯誤;選項C,由向量定義可知正確;選項D,由平面向量基本定理可知,與,共面,則不能構(gòu)成空間的一個基底,故D錯誤.故選AC.10.ABC對于A.當(dāng)時,直線,直線,由解得所以兩直線的交點為,故A正確;對于B,直線,令解得即直線恒過點,故B正確;對于C,若,則,解得,故C正確;對于D,假設(shè)存在,使,則,解得或,當(dāng)時,,,兩直線重合,舍去,當(dāng)時,直線,直線,兩直線重合,舍去,所以不存在,使,故D錯誤.故選ABC.11.ABD對于A,黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界所在圓的圓心為,半徑為2,所以圓的方程為,故A正確;對于B,白色部分包含左側(cè)小半圓和右側(cè)大半圓,直線的斜率大于0,且過點,所以直線與右側(cè)大半圓無公共點,左側(cè)小半圓的方程為,圓心為,半徑為2,圓心到直線的距離為,所以左側(cè)小半圓與直線有公共點,故B正確;對于C,黑色陰影部分小半圓的方程為,設(shè),由題意知直線與圓有公共點,此時,解得,又黑色陰影部分小半圓在軸右側(cè),當(dāng)直線與半圓相切時有最大值,此時在軸截距為,故,故C錯誤;設(shè)原點到直線,的距離分別為,,則,,且,四邊形的面積為,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以四邊形面積的最大值是22,故D正確.故選ABD.12.因為直線與直線垂直,所以直線的斜率,又直線在軸上的截距為4,即直線過點,由點斜式可得直線,化簡得.13.或或由題意易得兩圓相外切,且均與直線相切,直線與直線的交點為,所以設(shè)過的另外一條切線為,故,解得,或,故.因為的斜率為,故過兩圓切點的切線斜率為,設(shè)過公切點的切線方程為,則,所以,故.14.因為,所以,,又,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以.分別取,的中點,,因為,所以,又平面,平面,所以,又,,平面,所以平面,所以,又,以為坐標(biāo)原點,,,分別為,,軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則,,,,可得平面的一個法向量,平面的一個法向量,則平面與平面夾角的余弦值.15.解:(1)方程可化為,圓心,半徑,取的中點,則直線是線段的垂直平分線,所以,因為,所以,所以線段的垂直平分線的方程為,即.(2)點到直線的距離,所以,即,解得.16.解:(1)以為原點,,,的方向分別作為,,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,.設(shè)直線與所成的角為,則,即直線與所成角的余弦值是.(2)由(1)知,,,設(shè)平面的法向量為,則取,得,所以平面的一個法向量.設(shè)直線與平面所成的角為,則,即直線與平面所成角的正弦值為.17.解:(1)設(shè)圓的方程為,則解得故所求圓的方程為,其標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),由題意知,所以,所以,,即,所以,所以,所以四邊形的面積.又,所以,所以.18.(1)證明:如圖,連接交于點,因為,,,所以,所以,因為,所以,所以,即.又因為,,,平面,所以平面,又平面,所以.又因為,所以,又,,平面,所以平面.(2)解:以為原點,、所在直線分別為、軸,平行于的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,,,,,.設(shè),則,即點,則三棱錐的體積,解得,所以.則,設(shè)平面的法向量,由令,得平面的一個法向量,易知,為平面的一個法向量,所以,由圖可知二面角是銳二面角,故二面角的余弦值是.19.解:(1)設(shè)圓心,因為圓與軸正半軸相切,所以,且半徑
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