山東省蒙陰第一中學2024-2025學年高三上學期10月質量檢測數(shù)學試題

高二質量檢測數(shù)學注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊第一章至第二章2.2。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知空間向量，且，則（）A． B．4 C．2 D．2．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．3．已知在正四面體中，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．4．過兩不同點的直線的斜率為1，則（）A．1 B．2 C． D．5．已知是直線的一個方向向量，是平面的一個法向量。若，則下列選項可能正確的是（）A． B．C． D．6．已知在空間直角坐標系中，在方向上的投影向量為，則點到直線的距離為（）A． B． C． D．27．在三棱錐中，為的重心，，若交平面于點，且，則的最小值為（）A． B． C．1 D．8．如圖，在正方體中，點滿足。設二面角的平面角為，則當增大時，的大小變化為（）A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知直線，直線，則下列命題是真命題的是（）A．若，則B．若，則或1C．若是直線的一個方向向量，則D．若與坐標軸圍成一個面積為的三角形，則或310．在長方體中，為長方體表面上一動點，則的值可能是（）A． B． C． D．211．已知四棱柱的底面是邊長為4的菱形，平面，，點滿足，其中．若，則的值可能為（）A． B． C．8 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知空間單位向量滿足，則___________．13．在空間直角坐標系中，點均在球的同一個大圓（球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓）上，則球的表面積為___________．14．已知在平面直角坐標系中，點．若直線與線段相交，則的取值范圍為___________。四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖，在正方體中，分別為棱的中點，。（1）試用表示。（2）證明：四點共面．（3）證明：三點共線．16．（15分）如圖，在四棱錐中，．（1）證明：平面。（2）求直線與平面所成角的正弦值．17．（15分）已知在平行四邊形中，．（1）求直線的方程；（2）求的邊上的高所在直線的方程；（3）若一條光線從點射出，經(jīng)軸反射，反射光線經(jīng)過點，求入射光線所在直線的方程；（4）過點的直線與軸正半軸交于點，與軸正半軸交于點，求的最小值．18．（17分）在如圖1所示的圖形中，四邊形為菱形，和均為直角三角形，，現(xiàn)沿將和進行翻折，使（在平面同側），如圖2．（1）當二面角為時，判斷與平面是否平行；（2）探究當二面角為時，平面與平面是否垂直；（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值．19．（17分）若在空間直角坐標系中，直線的方向向量為，且過點，直線的方向向量為，且過點，則與方向向量的叉積為與的混合積為．若，則與共面；若，則與異面．已知直線的一個方向向量為，且過點，直線的一個方向向量為，且過點．（1）證明：與是異面直線．（2）若點，求的長的最小值．（3）若為坐標原點，直線，求的坐標．高二質量檢測數(shù)學參考答案1．D依題意得，解得．2．B由題意得直線的斜率為．設直線的傾斜角為，則，由，得．3．A根據(jù)題意可得分別為的中點，則．因為，所以．4．C根據(jù)題意可得，解得或．當時，點重合，不符合題意，舍去．當時，經(jīng)驗證，符合題意．5．C因為，所以。對于A，，A錯誤。對于B，，B錯誤．對于，C正確．對于D，，D錯誤。6．B根據(jù)題意可得點到直線的距離為。7．C因為，所以．因為，所以．因為四點共面，所以，即．因為，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為1。8．A以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系（圖略）．設，則，所以，．設平面的法向量為，則得?。B接（圖略），易得平面的一個法向量為，所以．因為，所以的值隨著的增大而減小，則鈍角隨著的增大而增大．由圖可知為鈍角，所以隨著的增大而增大．9．ABD若，則，解得，A正確．若，則，解得或1，B正確。若是的一個方向向量，則，解得，C錯誤。對于，令，得，令，得，因為與兩坐標軸圍成一個面積為的三角形，所以，解得或3，D正確．10．BC以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系（圖略），則。設，則，所以．設，連接（圖略），則，因為為長方體的中心，所以。因為，所以，所以．11．BCD因為點滿足，所以易得點在底面上，連接（圖略），則，得。因為平面，所以，則。因為，且當點與點或重合時，取得最大值，最大值為4，所以，即的取值范圍為。12．2因為，所以。13．由，得，則，所以為直角三角形，則即外接圓的直徑，即是球的直徑。因為，所以，得球的半徑為，故球的表面積為．14．可化為，由得則直線過定點．當時，直線與線段相交，滿足題意．當時，直線的斜率，因為直線的斜率，直線的斜率，所以或，解得或。綜上可得的取值范圍為。15．（1）解：依題意可得，（2）證明：連接。因為所以，則共面，故四點共面．（3）證明：連接。因為，，所以，則．因為，所以三點共線．16．（1）證明：取的中點，連接．因為，所以。因為，所以四邊形是平行四邊形，所以．因為，所以，所以。因為，所以．因為平面，且，所以平面．（2）解：易證兩兩垂直，則以為原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．由題中數(shù)據(jù)可得，則．設平面的法向量為，則令，得．設直線與平面所成的角為，則．故直線與平面所成角的正弦值為．17．解：（1）易得直線的斜率，則直線的方程為，即．（2）因為直線的斜率，所以的邊上的高所在直線的斜率為1，則所求直線方程為，即．（3）點關于軸對稱的點的坐標為，則入射光線所在直線經(jīng)過點，則入射光線所在直線的斜率，故入射光線所在直線的方程為，即。（4）依題意可設直線的方程為，則．，因為，當且僅當時，等號成立，所以，即的最小值為12．18．解：（1）若二面角為，則平面平面。因為平面平面，且，所以平面。如圖，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則。設平面的法向量為，因為，所以令，得．因為，所以，所以不與平面平行．（2）取的中點，連接，則，因為，所以二面角的平面角為，即。如圖，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，．設平面的法向量為，因為，所以令，得．設平面的法向量為，因為，所以令，得．因為，所以不垂直，所以平面不與平面垂直．（3）在（2）中的坐標系中，設平面的法向量為