蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題10等可能條件下的概率壓軸題六種模型全攻略特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題10等可能條件下的概率壓軸題六種模型全攻略考點(diǎn)一等可能性考點(diǎn)二列舉法求概率考點(diǎn)三幾何求概率考點(diǎn)四樹狀圖法求概率考點(diǎn)四列表法求概率考點(diǎn)六已知概率求數(shù)量典型例題典型例題考點(diǎn)一等可能性例題：（2022·山西太原·七年級期末）下列隨機(jī)試驗(yàn)中，結(jié)果具有“等可能性”的是（

）A．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子 B．籃球運(yùn)動(dòng)員定點(diǎn)投籃C．?dāng)S一個(gè)礦泉水瓶蓋 D．從裝有若干小球的透明袋子摸球【變式訓(xùn)練】1．（2021·山東泰安·七年級期末）下列事件不能確定是等可能事件的是（

）A．拋起一枚硬幣，落地后國徽面朝上或朝下B．七年級五班要隨機(jī)抽一名學(xué)生參加校運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)隊(duì)，班級內(nèi)學(xué)生小明或小華被抽到C．今年7月1號下雨或不下雨D．不透明的袋子里裝有個(gè)球，紅白，除顏色外均相同，搖勻后從袋子里任意摸出一球，顏色是白色或紅色2．（2021·江蘇南京·八年級期中）從一副撲克牌中任意抽取1張，則下列事件：①這張牌是“A”，②這張牌是“紅桃”，③這張牌是“大王”，按其發(fā)生的可能性從小到大的順序是_______．（填寫序號）．考點(diǎn)二列舉法求概率例題：（2022·廣東深圳·八年級期末）從3、5、6、9四個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，不放回，再隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，把第一個(gè)數(shù)作為十位數(shù)字，第二個(gè)數(shù)作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)的概率是______．【變式訓(xùn)練】1．（2021·四川·平昌縣中小學(xué)教學(xué)研究室九年級期末）如圖所示的電路中，當(dāng)隨機(jī)閉合開關(guān)中的兩個(gè)時(shí)，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為_________．2．（2022·廣西貴港·中考真題）從，，2這三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則該點(diǎn)落在第三象限的概率是___．3．（2022·浙江金華·九年級期末）從長為9，6，5，4的四根木條中任取三根．(1)請直接寫出不同的取法有幾種？分別列舉出來．(2)求能組成三角形的概率．考點(diǎn)三幾何求概率例題：（2022·陜西·紫陽縣師訓(xùn)教研中心九年級期末）如圖是正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了灰色．現(xiàn)在要從其余13個(gè)白色小方格中任選出一個(gè)也涂成灰色，則使整個(gè)涂灰部分為軸對稱圖形的概率是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動(dòng)，并隨機(jī)的停留在某塊方磚上，那么它最終停留在陰影區(qū)域的概率是______．2．（2022·山東淄博·七年級期中）向如圖所示的等邊三角形區(qū)域內(nèi)扔沙包（區(qū)域中每個(gè)小等邊三角形除顏色外完全相同），沙包隨機(jī)落在某個(gè)等邊三角形內(nèi)．(1)扔沙包一次，落在圖中陰影區(qū)域的概率是________；(2)要使沙包落在圖中陰影區(qū)域的概率為，還要涂黑幾個(gè)小等邊三角形？請說明理由．考點(diǎn)四樹狀圖法求概率例題：（2021·浙江溫州·九年級期中）有三個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字2，3，5的卡片，它們的背面都相同．現(xiàn)將它們背面朝上，從中任意抽出一張卡片，放回，再任意抽出一張．(1)請用樹狀圖或列表法表示出所有可能的結(jié)果．(2)求兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．【變式訓(xùn)練】1．（2022·陜西安康·九年級期末）小葉和小瑜報(bào)名參加“十四運(yùn)”志愿者活動(dòng)，他們將被隨機(jī)分配到羽毛球（A）、籃球（B）、射箭（C）、水球（D）四個(gè)項(xiàng)目中承擔(dān)工作任務(wù)．(1)小葉被分配到水球（D）項(xiàng)目的概率為______；(2)請用畫樹狀圖或列表的方法，求出小葉和小瑜至少有一人被分配到射箭項(xiàng)目的概率．2．（2022·河北滄州·九年級期末）某新冠疫苗接種點(diǎn)有4個(gè)完全相同的冷藏箱用來儲(chǔ)存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都來自同一廠家，其有兩箱儲(chǔ)存廠家的疫苗，另兩箱分別儲(chǔ)存廠家和廠家的疫苗．(1)如果將4個(gè)箱子隨機(jī)送往4個(gè)接種臺(tái)，每個(gè)接種臺(tái)接受一個(gè)箱子，那么1號臺(tái)恰好收到廠家疫苗的概率是________；(2)如果從中隨機(jī)拿出兩個(gè)箱子，送往1號和2號接種臺(tái)，請用列表或畫樹狀圖的方法求拿出的兩個(gè)冷藏箱里有廠家疫苗的概率．考點(diǎn)五列表法求概率例題：（2021·江蘇·常州市金壇良常初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）良常中學(xué)七年級某班開展社團(tuán)活動(dòng)，內(nèi)容有：羽毛球、書法、茶藝表演．小紅從三項(xiàng)中隨機(jī)抽取社團(tuán)內(nèi)容，求下列事件概率．(1)抽取一項(xiàng)，恰好是羽毛球的概率是；(2)求抽取兩項(xiàng)，羽毛球在其中的概率．【變式訓(xùn)練】1．（2022·青海西寧·中考真題）“青繡”是我省非遺項(xiàng)目，其中土族盤繡、湟中堆繡、貴南藏繡、河湟刺繡等先后列入國家級、省級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．(1)省文旅廳為調(diào)查我省青少年對“青繡”文化的了解情況，應(yīng)選擇的調(diào)查方式是________（填“全面調(diào)查”或“抽樣調(diào)查”）；(2)為了增進(jìn)我省青少年對“青繡”文化的了解，在一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中設(shè)置了轉(zhuǎn)盤游戲．如圖所示，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，指針固定不動(dòng)，轉(zhuǎn)盤被分成了大小相同的4個(gè)扇形，并在每個(gè)扇形區(qū)域分別標(biāo)上A，B，C，D（A代表土族盤繡、B代表湟中堆繡、C代表貴南藏繡、D代表河湟刺繡）．游戲規(guī)則：每人轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪個(gè)區(qū)域就獲得相應(yīng)的繡品（若指針落在分界線上，重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一區(qū)域內(nèi)為止）．請用畫樹狀圖或列表的方法求出甲、乙兩名同學(xué)獲得同一種繡品的概率，并列出所有等可能的結(jié)果．2．（2022·遼寧鐵嶺·九年級期末）四個(gè)完全相同的乒乓球，分別標(biāo)注數(shù)字1、2、3、4，將它們放入一個(gè)不透明的盒子中．從盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下數(shù)字后放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下數(shù)字后再放回．請用列表或畫樹狀圖的方法解決下列問題：(1)求兩次摸到的球上數(shù)字同時(shí)為偶數(shù)的概率；(2)在上面的問題中，如果第一次摸出球后不放回，繼續(xù)第二次摸球，求兩次摸到的球上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．考點(diǎn)六已知概率求數(shù)量例題：（2022·江蘇徐州·八年級階段練習(xí)）在一個(gè)不透明的口袋中裝有若干個(gè)質(zhì)地相同而顏色可能不全相同的球，如果口袋中只裝有3個(gè)黃球，且摸出黃球的概率為，那么袋中共有___個(gè)球．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧鐵嶺·九年級期末）在一個(gè)不透明的袋子中，有若干個(gè)紅球和白球，它們除顏色外完全相同，其中紅球有12個(gè)，且從中摸出白球的概率為，則袋子中白球的個(gè)數(shù)為______．2．（2022·福建·福州立志中學(xué)九年級期末）不透明的袋子里有50張2022年北京冬奧會(huì)宣傳卡片，卡片上印有會(huì)徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融圖案，每張卡片只有一種圖案，除圖案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n張．從中隨機(jī)摸出1張卡片，若印有冰墩墩圖來的概率是，則n的值是_________．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）某班級計(jì)劃舉辦手抄報(bào)展覽，確定了“5G時(shí)代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個(gè)主題，若小明和小亮每人隨機(jī)選擇其中一個(gè)主題，則他們恰好選擇同一個(gè)主題的概率是（

）A． B． C． D．2．（2022·山東淄博·七年級期中）有一枚均勻的正方體骰子，骰子各個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，若任意拋擲一次骰子，朝上的面的點(diǎn)數(shù)記為x，計(jì)算，則其結(jié)果為非負(fù)數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．3．（2021·廣西桂林·九年級階段練習(xí)）在不透明口袋內(nèi)有形狀、大小、質(zhì)地完全一樣的一袋小球，其中若干個(gè)黑球，白球2個(gè)，隨機(jī)抽取一個(gè)小球是黑球的可能性大小是60%，則黑球的個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．5 C．4 D．34．（2021·湖南婁底·二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，若隨意拋出一粒石子在這個(gè)圓面上，則石子落在正方形ABCD內(nèi)概率是（

）A． B． C． D．5．（2022·河北唐山·九年級期末）從－1，－2，3，6這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，分別記為m，n，那么點(diǎn)在函數(shù)圖像上的概率是（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·江蘇鹽城·八年級階段練習(xí)）從－1，0，，3，中隨機(jī)任取一數(shù)，取到無理數(shù)的概率是______．7．（2022·黑龍江綏化·中考真題）一個(gè)不透明的箱子中有5個(gè)紅球和若干個(gè)黃球，除顏色外無其它差別.若任意摸出一個(gè)球，摸出紅球的概率為，則這個(gè)箱子中黃球的個(gè)數(shù)為______個(gè)．8．（2022·陜西·紫陽縣師訓(xùn)教研中心九年級期末）看了《田忌賽馬》故事后，小青用數(shù)學(xué)模型來分析：齊王與田忌的上、中、下三個(gè)等級的三匹馬記分如下表，每匹馬只賽一場，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場兩勝則贏．已知齊王的三匹馬出場順序?yàn)?，10，6，田忌的三匹馬隨機(jī)出場，則齊王贏得比賽的概率是田忌贏得比賽概率的_________倍．下等馬中等馬上等馬齊王6810田忌5799．（山東省青島市實(shí)驗(yàn)初中、三十七中、三十九中2022年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面上分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字，投擲這個(gè)骰子一次，得到的點(diǎn)數(shù)與2，4作為三角形三邊的長，能構(gòu)成等腰三角形的概率是______．10．（2022·廣東·平遠(yuǎn)縣教師發(fā)展中心七年級期末）一只螞蟻?zhàn)杂勺栽诘卦谟闷咔砂迤闯傻恼叫沃信纴砼廊ィ繅K七巧板的表面完全相同），它最終停留在1號七巧板上的概率______．三、解答題11．（2022·陜西安康·九年級期中）一張圓桌旁設(shè)有4個(gè)座位，甲、乙兩人各隨機(jī)選擇一個(gè)座位．(1)若甲先選擇，則甲坐①號座位的概率是______；(2)請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率．12．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級階段練習(xí)）一個(gè)不透明的袋中裝有黃球、黑球和紅球共個(gè)，它們除顏色外都相同，其中紅球有個(gè)，且經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出一個(gè)球?yàn)辄S球的頻率接近．(1)求袋中有多少個(gè)黑球；(2)現(xiàn)從袋中取出若干個(gè)黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率達(dá)到，問至少取出了多少個(gè)黑球？13．（2022·陜西·紫陽縣師訓(xùn)教研中心九年級期末）隨著高鐵、地鐵的大量興建以及鐵路的改擴(kuò)建，人們的出行方式越來越多，出行越來越便捷．為保障旅客快捷、安全的出入車站，每個(gè)車站都修建了如圖所示的出入閘口．某車站有四個(gè)出入閘口，分別記為A，B，C，D．(1)一名乘客通過該站閘口時(shí)，選擇B閘口通過的概率是___；(2)當(dāng)兩名乘客通過該站閘口時(shí)，請用畫樹狀圖或列表法求這兩名乘客選擇不同閘口通過的概率．14．（2022·浙江寧波·九年級期末）在一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)注1、2的兩個(gè)小球（小球除數(shù)字外，其余都相同），另有背面完全一樣、正面分別寫有3、4、5的三張卡片，現(xiàn)從口袋中任意摸出一個(gè)小球，再從這三張背面朝上的卡片中任意摸出一張，則：(1)共有多少種結(jié)果？（請用列表或者畫樹狀圖的方法表示說明）(2)小方和小圓選擇下列兩個(gè)規(guī)則中的一個(gè)做游戲：①若兩次摸出的數(shù)字，和為奇數(shù)，則小方贏，否則小圓贏；②若兩次摸出的數(shù)字，積為奇數(shù)，則小方贏，否則小圓贏．小方想要在游戲中獲勝機(jī)會(huì)更大些，他應(yīng)選擇哪一條規(guī)則，請說明理由．15．（2022·河北廊坊·九年級期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戲，一人為蒙眼人，捉另外兩人，捉到一人，記為捉一次；被捉到的人成為新的蒙眼人，接著捉……一直這樣玩（每次捉到一人）．請用樹狀圖解決下列問題，(1)若甲為開始蒙眼人，捉兩次，求第二次捉到丙的概率；(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，應(yīng)該誰為開始蒙眼人？16．（2021·四川樂山·三模）2021年，成都將舉辦世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，這是在中國西部第一次舉辦的世界綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，運(yùn)動(dòng)會(huì)相關(guān)準(zhǔn)備工作正在有序進(jìn)行，比賽項(xiàng)目已經(jīng)確定．某校體育社團(tuán)隨機(jī)抽查了部分同學(xué)在田徑、跳水、籃球、游泳四種比賽項(xiàng)目中選擇一種觀看的意愿（如圖1）．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)這次被調(diào)查的同學(xué)共有人；(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“籃球”對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為

．(3)請把圖2的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(4)現(xiàn)擬從甲、乙、丙、丁四人中任選兩名同學(xué)擔(dān)任大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)的志愿者，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率．專題10等可能條件下的概率壓軸題六種模型全攻略考點(diǎn)一等可能性考點(diǎn)二列舉法求概率考點(diǎn)三幾何求概率考點(diǎn)四樹狀圖法求概率考點(diǎn)四列表法求概率考點(diǎn)六已知概率求數(shù)量典型例題典型例題考點(diǎn)一等可能性例題：（2022·山西太原·七年級期末）下列隨機(jī)試驗(yàn)中，結(jié)果具有“等可能性”的是（

）A．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子 B．籃球運(yùn)動(dòng)員定點(diǎn)投籃C．?dāng)S一個(gè)礦泉水瓶蓋 D．從裝有若干小球的透明袋子摸球【答案】A【詳解】解：A，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，任一點(diǎn)數(shù)的概率都是六分之一，故該選項(xiàng)正確；B，籃球運(yùn)動(dòng)員定點(diǎn)投籃，投中與否的概率并不相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C，擲一個(gè)礦泉水瓶蓋，因瓶蓋質(zhì)地不均勻，正反面出現(xiàn)的概率并不相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D，從裝有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一顏色小球的概率不一定相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件的判斷，掌握等可能事件的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·山東泰安·七年級期末）下列事件不能確定是等可能事件的是（

）A．拋起一枚硬幣，落地后國徽面朝上或朝下B．七年級五班要隨機(jī)抽一名學(xué)生參加校運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)隊(duì)，班級內(nèi)學(xué)生小明或小華被抽到C．今年7月1號下雨或不下雨D．不透明的袋子里裝有個(gè)球，紅白，除顏色外均相同，搖勻后從袋子里任意摸出一球，顏色是白色或紅色【答案】C【分析】根據(jù)等可能事件的定義：如果一次試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是相等的，那么每一個(gè)基本事件互為等可能事件；即可作出判斷．【詳解】解：A．拋起一枚硬幣，落地后國徽面朝上或朝下是等可能事件，故選項(xiàng)不符合題意；B．七年級五班要隨機(jī)抽一名學(xué)生參加校運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)隊(duì)，班級內(nèi)學(xué)生小明或小華被抽到是等可能事件，故選項(xiàng)不符合題意；C．今年7月1號下雨或不下雨不能確定是等可能事件，故選項(xiàng)符合題意；D．不透明的袋子里裝有6個(gè)球，3紅3白，除顏色外均相同，搖勻后從袋子里任意摸出一球，顏色是白色或紅色是等可能事件，故選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了隨機(jī)事件，正確分析各個(gè)事件的可能性是解題關(guān)鍵．2．（2021·江蘇南京·八年級期中）從一副撲克牌中任意抽取1張，則下列事件：①這張牌是“A”，②這張牌是“紅桃”，③這張牌是“大王”，按其發(fā)生的可能性從小到大的順序是_______．（填寫序號）．【答案】③①②【分析】首先分別求出一副撲克牌中含“A”、“紅桃”、“大王”的張數(shù)各是多少，然后根據(jù)每張牌被抽到的機(jī)會(huì)相等，只要比較出哪個(gè)事件的可能結(jié)果最多，即可判斷出這些事件發(fā)生的可能性的大小，并將這些事件按發(fā)生的可能性從小到大順序排列即可．【詳解】解：∵一副撲克牌中含“A”4張，“紅桃”13張，“大王”1張，∵1＜4＜13，∴將這些事件按發(fā)生的可能性從小到大順序排列：③①②．故答案為：③①②．【點(diǎn)睛】此題主要考查了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是判斷出一副撲克牌中含“A”、“紅桃”、“大王”的張數(shù)各是多少．考點(diǎn)二列舉法求概率例題：（2022·廣東深圳·八年級期末）從3、5、6、9四個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，不放回，再隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，把第一個(gè)數(shù)作為十位數(shù)字，第二個(gè)數(shù)作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)的概率是______．【答案】【分析】從4個(gè)數(shù)中取兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)，把所有情況全部列出來，找出其中的奇數(shù)，用奇數(shù)的個(gè)數(shù)除以兩位數(shù)的總個(gè)數(shù)就是這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)的概率．【詳解】從3、5、6、9這四個(gè)數(shù)中取兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)有下列情況：35、36、39、53、56、59、63、65、69、93、95、96，共12種結(jié)果，其中奇數(shù)有9種結(jié)果，∴P(這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù))=故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，事件A發(fā)生的概率=，掌握概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·四川·平昌縣中小學(xué)教學(xué)研究室九年級期末）如圖所示的電路中，當(dāng)隨機(jī)閉合開關(guān)中的兩個(gè)時(shí)，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為_________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得：隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，有3種方法，其中有兩種能夠讓燈泡發(fā)光，故其概率為．【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，有3種方法，分別為：；；；其中有2種能夠讓燈泡發(fā)光，分別是；；所以P（燈泡發(fā)光）=．故本題答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是概率的求法．如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．2．（2022·廣西貴港·中考真題）從，，2這三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則該點(diǎn)落在第三象限的概率是___．【答案】【分析】列舉出所有情況，看在第三象限的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．【詳解】解：∵從，，2這三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，∴所有的點(diǎn)為：（，），（，2），（，2），（，），（2，），（2，），共6個(gè)點(diǎn)；在第三象限的點(diǎn)有（，），（，），共2個(gè)；∴該點(diǎn)落在第三象限的概率是；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列舉法求概率，解題的關(guān)鍵是正確的列出所有可能的點(diǎn)，以及在第三象限上的點(diǎn)，再由概率公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．3．（2022·浙江金華·九年級期末）從長為9，6，5，4的四根木條中任取三根．(1)請直接寫出不同的取法有幾種？分別列舉出來．(2)求能組成三角形的概率．【答案】(1)4種，見解析(2)【分析】（1）根據(jù)枚舉法，得到9、6、5；9、6、4；9、5、4；6、5、4共四種．（2）判斷構(gòu)成三角形的種數(shù)，用它除以總的可能性種數(shù)即可．（1）根據(jù)題意，得一共有4種等可能性，具體如下：9、6、5；9、6、4；9、5、4；6、5、4共四種．（2）能構(gòu)成三角形的有9、6、5；9、6、4；6、5、4共三種，故能組成三角形的概率是．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，熟練掌握枚舉法計(jì)算概率是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三幾何求概率例題：（2022·陜西·紫陽縣師訓(xùn)教研中心九年級期末）如圖是正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了灰色．現(xiàn)在要從其余13個(gè)白色小方格中任選出一個(gè)也涂成灰色，則使整個(gè)涂灰部分為軸對稱圖形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用軸對稱圖形的定義找出使整個(gè)涂黑部分為軸對稱圖形的小方格的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【詳解】解：根據(jù)題意，從其余13個(gè)白色小方格中任選出一個(gè)也涂成黑色，使整個(gè)涂黑部分為軸對稱圖形，這樣的小方格有3個(gè)，如圖所以使整個(gè)涂黑部分為軸對稱圖形的概率=．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式：某事件的概率=某事件所占的結(jié)果數(shù)除以所有結(jié)果數(shù)．也考查了軸對稱圖形．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動(dòng)，并隨機(jī)的停留在某塊方磚上，那么它最終停留在陰影區(qū)域的概率是______．【答案】【分析】根據(jù)題意可得一共有9塊方磚，其中陰影區(qū)域的有4塊，再根據(jù)概率公式計(jì)算，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：一共有9塊方磚，其中陰影區(qū)域的有4塊，∴它最終停留在陰影區(qū)域的概率是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式：熟練掌握隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東淄博·七年級期中）向如圖所示的等邊三角形區(qū)域內(nèi)扔沙包（區(qū)域中每個(gè)小等邊三角形除顏色外完全相同），沙包隨機(jī)落在某個(gè)等邊三角形內(nèi)．(1)扔沙包一次，落在圖中陰影區(qū)域的概率是________；(2)要使沙包落在圖中陰影區(qū)域的概率為，還要涂黑幾個(gè)小等邊三角形？請說明理由．【答案】(1)(2)2個(gè)，理由見解析【分析】（1）由圖中共有16個(gè)等邊三角形，其中陰影部分的三角形有6個(gè)，利用概率公式計(jì)算可得；(2)要使沙包落在圖中陰影區(qū)域的概率為，所以圖形中陰影部分的小等邊三角形要達(dá)到8個(gè)，據(jù)此可得．（1）解：圖中共有16個(gè)等邊三角形，其中陰影部分的三角形有6個(gè)，∴扔沙包一次，落在圖中陰影區(qū)域的概率是，故答案為：；（2）解：涂黑2個(gè)；∵圖形中有16個(gè)小等邊三角形，要使沙包落在圖中陰影區(qū)域的概率為，∴所以圖形中陰影部分的小等邊三角形要達(dá)到8個(gè)，已經(jīng)涂黑了6個(gè)，∴還需要涂黑2個(gè)；如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件(A)；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件(A)發(fā)生的概率．考點(diǎn)四樹狀圖法求概率例題：（2021·浙江溫州·九年級期中）有三個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字2，3，5的卡片，它們的背面都相同．現(xiàn)將它們背面朝上，從中任意抽出一張卡片，放回，再任意抽出一張．(1)請用樹狀圖或列表法表示出所有可能的結(jié)果．(2)求兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，得出所有等可能的結(jié)果數(shù)；（2）根據(jù)（l）得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可求得答案．（1）解：根據(jù)題意畫圖如下：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）∵共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，抽取的兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的有5種情況，∴兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，注意畫樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意此題屬于放回實(shí)驗(yàn)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·陜西安康·九年級期末）小葉和小瑜報(bào)名參加“十四運(yùn)”志愿者活動(dòng)，他們將被隨機(jī)分配到羽毛球（A）、籃球（B）、射箭（C）、水球（D）四個(gè)項(xiàng)目中承擔(dān)工作任務(wù)．(1)小葉被分配到水球（D）項(xiàng)目的概率為______；(2)請用畫樹狀圖或列表的方法，求出小葉和小瑜至少有一人被分配到射箭項(xiàng)目的概率．【答案】(1)(2)小葉和小瑜至少有一人被分配到射箭項(xiàng)的概率為【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，畫出樹狀圖，可得共有16種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中小葉和小瑜至少有一人被分配到射箭項(xiàng)的有7種，再根據(jù)概率公式計(jì)算，即可求解．（1）解∶共4種可分配的可能性，其中分配到水球（D）項(xiàng)的只有1種，因此小悅被分配到水球（D）項(xiàng)目的概率為，故答案為：；（2）解∶畫樹狀圖如下：共有16種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中小葉和小瑜至少有一人被分配到射箭項(xiàng)的有7種，所以小葉和小瑜至少有一人被分配到射箭項(xiàng)的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用樹狀圖或列表法求概率，明確題意，準(zhǔn)確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河北滄州·九年級期末）某新冠疫苗接種點(diǎn)有4個(gè)完全相同的冷藏箱用來儲(chǔ)存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都來自同一廠家，其有兩箱儲(chǔ)存廠家的疫苗，另兩箱分別儲(chǔ)存廠家和廠家的疫苗．(1)如果將4個(gè)箱子隨機(jī)送往4個(gè)接種臺(tái)，每個(gè)接種臺(tái)接受一個(gè)箱子，那么1號臺(tái)恰好收到廠家疫苗的概率是________；(2)如果從中隨機(jī)拿出兩個(gè)箱子，送往1號和2號接種臺(tái)，請用列表或畫樹狀圖的方法求拿出的兩個(gè)冷藏箱里有廠家疫苗的概率．【答案】(1)(2)，畫樹狀圖見解析【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，拿出的兩個(gè)冷藏箱里有廠家疫苗的結(jié)果有10種，再由概率公式求解即可．（1）解：如果將4個(gè)箱子隨機(jī)送往4個(gè)接種臺(tái)，每個(gè)接種臺(tái)接受一個(gè)箱子，那么1號臺(tái)恰好收到廠家疫苗的概率是，故答案為：（2）解：樹狀圖如圖，由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中有A廠家疫苗的結(jié)果有10種，故P（拿出的兩個(gè)冷藏箱里有A廠家疫苗）==.【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．考點(diǎn)五列表法求概率例題：（2021·江蘇·常州市金壇良常初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）良常中學(xué)七年級某班開展社團(tuán)活動(dòng)，內(nèi)容有：羽毛球、書法、茶藝表演．小紅從三項(xiàng)中隨機(jī)抽取社團(tuán)內(nèi)容，求下列事件概率．(1)抽取一項(xiàng)，恰好是羽毛球的概率是；(2)求抽取兩項(xiàng)，羽毛球在其中的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)概率公式直接求解即可；（2）設(shè)羽毛球、書法、茶藝表演分別用表示，列表法求概率即可求解．（1）解：從三項(xiàng)中隨機(jī)抽取社團(tuán)內(nèi)容，抽取一項(xiàng)，恰好是羽毛球的概率是；（2）設(shè)羽毛球、書法、茶藝表演分別用表示列表如圖，ABCAABACBBABCCCACB共有6種等可能結(jié)果，羽毛球在其中的有4種，故求抽取兩項(xiàng)，羽毛球在其中的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法與列表法求概率，掌握求概率的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·青海西寧·中考真題）“青繡”是我省非遺項(xiàng)目，其中土族盤繡、湟中堆繡、貴南藏繡、河湟刺繡等先后列入國家級、省級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．(1)省文旅廳為調(diào)查我省青少年對“青繡”文化的了解情況，應(yīng)選擇的調(diào)查方式是________（填“全面調(diào)查”或“抽樣調(diào)查”）；(2)為了增進(jìn)我省青少年對“青繡”文化的了解，在一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中設(shè)置了轉(zhuǎn)盤游戲．如圖所示，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，指針固定不動(dòng)，轉(zhuǎn)盤被分成了大小相同的4個(gè)扇形，并在每個(gè)扇形區(qū)域分別標(biāo)上A，B，C，D（A代表土族盤繡、B代表湟中堆繡、C代表貴南藏繡、D代表河湟刺繡）．游戲規(guī)則：每人轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪個(gè)區(qū)域就獲得相應(yīng)的繡品（若指針落在分界線上，重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一區(qū)域內(nèi)為止）．請用畫樹狀圖或列表的方法求出甲、乙兩名同學(xué)獲得同一種繡品的概率，并列出所有等可能的結(jié)果．【答案】(1)抽樣調(diào)查(2)，見解析【分析】（1）選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查，據(jù)此判定即可．（2）利用列表法求解即可．（1）解：省文旅廳為調(diào)查我省青少年對“青繡”文化的了解情況，應(yīng)選擇的調(diào)查方式是抽樣調(diào)查，故答案為：抽樣調(diào)查；（2）解：列表如下：甲乙ABCDAAABACADABABBBCBDBCACBCCCDCDADBDCDDD由表格可知，共有16種等可能結(jié)果，其中甲、乙兩名同學(xué)獲得同一種繡品的結(jié)果共有4種，即AA，BB，CC，DD∴．【點(diǎn)睛】本題考查抽樣設(shè)調(diào)查與全面調(diào)查的判定，列表法求概率，熟練掌握調(diào)查方式的選擇與用列表法可畫樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧鐵嶺·九年級期末）四個(gè)完全相同的乒乓球，分別標(biāo)注數(shù)字1、2、3、4，將它們放入一個(gè)不透明的盒子中．從盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下數(shù)字后放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下數(shù)字后再放回．請用列表或畫樹狀圖的方法解決下列問題：(1)求兩次摸到的球上數(shù)字同時(shí)為偶數(shù)的概率；(2)在上面的問題中，如果第一次摸出球后不放回，繼續(xù)第二次摸球，求兩次摸到的球上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．【答案】(1)兩次摸到的球上數(shù)字同時(shí)為偶數(shù)的概率為(2)兩次摸到的球上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為【分析】（1）用列表法分析，所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，共有種，其中“兩次摸到的球上數(shù)字同時(shí)為偶數(shù)”的有種情況，再利用概率公式計(jì)算即可；（2）用列表法分析，所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，共有12種，其中“兩次摸到的球上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率”的有種情況，再利用概率公式計(jì)算即可；(1)解：用表格列出所有可能的結(jié)果：第一次第二次123411、11、21、31、422、12、22、32、433、13、23、33、444、14、24、34、4由表格可知，共有種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的，其中“兩次摸到的球上數(shù)字同時(shí)為偶數(shù)”的有種情況分別（2、2）、（2、4）、（4、2）、（4、4），所以概率為；(2)解：用表格列出所有可能的結(jié)果：第一次第二次123411、21、31、422、12、32、433、13、23、444、14、24、3由表格可知，共有種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的，其中“兩次摸到的球上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率”的有種情況，分別為（1、3）、（2、4）、（3、1）、（4、2），所以概率為．【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹狀圖法求隨機(jī)事件發(fā)生的概率，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果情況是正確解答的關(guān)鍵．考點(diǎn)六已知概率求數(shù)量例題：（2022·江蘇徐州·八年級階段練習(xí)）在一個(gè)不透明的口袋中裝有若干個(gè)質(zhì)地相同而顏色可能不全相同的球，如果口袋中只裝有3個(gè)黃球，且摸出黃球的概率為，那么袋中共有___個(gè)球．【答案】9【分析】根據(jù)概率的計(jì)算公式求解即可【詳解】設(shè)袋中共有個(gè)球，則，解得．故答案為9．【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算，牢記概率的定義及計(jì)算公式為要．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧鐵嶺·九年級期末）在一個(gè)不透明的袋子中，有若干個(gè)紅球和白球，它們除顏色外完全相同，其中紅球有12個(gè)，且從中摸出白球的概率為，則袋子中白球的個(gè)數(shù)為______．【答案】24【分析】設(shè)白球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，由題意可得，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：設(shè)白球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的根，∴白球的個(gè)數(shù)為24個(gè)；故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率，熟練掌握利用概率求解問題是解題的關(guān)鍵．2．（2022·福建·福州立志中學(xué)九年級期末）不透明的袋子里有50張2022年北京冬奧會(huì)宣傳卡片，卡片上印有會(huì)徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融圖案，每張卡片只有一種圖案，除圖案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n張．從中隨機(jī)摸出1張卡片，若印有冰墩墩圖來的概率是，則n的值是_________．【答案】10【分析】根據(jù)概率的意義列方程求解即可．【詳解】解：由題意得，，解得n=10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的意義及計(jì)算方法，理解概率的意義是正確求解的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）某班級計(jì)劃舉辦手抄報(bào)展覽，確定了“5G時(shí)代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個(gè)主題，若小明和小亮每人隨機(jī)選擇其中一個(gè)主題，則他們恰好選擇同一個(gè)主題的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小剛恰好選擇同一個(gè)主題結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把“5G時(shí)代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個(gè)主題分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小剛恰好選擇同一個(gè)主題的結(jié)果有3種，∴小明和小剛恰好選擇同一個(gè)主題的概率為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2022·山東淄博·七年級期中）有一枚均勻的正方體骰子，骰子各個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，若任意拋擲一次骰子，朝上的面的點(diǎn)數(shù)記為x，計(jì)算，則其結(jié)果為非負(fù)數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)朝上的面的點(diǎn)數(shù)為5,6時(shí)滿足題意，根據(jù)概率公式計(jì)算即可求解．【詳解】當(dāng)朝上的面的點(diǎn)數(shù)為5或6時(shí)滿足，為非負(fù)數(shù)，當(dāng)朝上的面的點(diǎn)數(shù)為5,6朝上的概率為．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，有理數(shù)的減法，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．3．（2021·廣西桂林·九年級階段練習(xí)）在不透明口袋內(nèi)有形狀、大小、質(zhì)地完全一樣的一袋小球，其中若干個(gè)黑球，白球2個(gè)，隨機(jī)抽取一個(gè)小球是黑球的可能性大小是60%，則黑球的個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】用白球的個(gè)數(shù)除以抽取白球可能性的大小得出袋中球的總個(gè)數(shù)，繼而可得答案．【詳解】】解：根據(jù)題意，袋中球的總個(gè)數(shù)為2÷（1-60%）=5，所以黑球的個(gè)數(shù)為5-2=3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查可能性大小，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法．4．（2021·湖南婁底·二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，若隨意拋出一粒石子在這個(gè)圓面上，則石子落在正方形ABCD內(nèi)概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在這個(gè)圓面上隨意拋一粒豆子，落在圓內(nèi)每一個(gè)地方是均等的，因此計(jì)算出正方形和圓的面積，利用幾何概率的計(jì)算方法解答即可．【詳解】解：∵設(shè)正方形的邊長為a，∴⊙O的半徑為，∴S圓＝×（a）2，S正方形＝a2，∴在這個(gè)圓面上隨意拋一粒豆子，則豆子落在正方形ABCD內(nèi)的概率是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概率的意義：一般地，對于古典概型，如果試驗(yàn)的基本事件為n，隨機(jī)事件A所包含的基本事件數(shù)為m，我們就用來描述事件A出現(xiàn)的可能性大小，稱它為事件A的概率，記作P（A），即有P（A）＝．5．（2022·河北唐山·九年級期末）從－1，－2，3，6這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，分別記為m，n，那么點(diǎn)在函數(shù)圖像上的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與點(diǎn)（m，n）在函數(shù)圖像上的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：畫出樹狀圖，∵共有12種等可能的結(jié)果，點(diǎn)（m，n）在函數(shù)圖像上的有（-1，6），（-2，3），（3，-2），（6，-1），∴點(diǎn)（m，n）在函數(shù)圖像上的概率是：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及列表法與樹狀圖法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．二、填空題6．（2022·江蘇鹽城·八年級階段練習(xí)）從－1，0，，3，中隨機(jī)任取一數(shù)，取到無理數(shù)的概率是______．【答案】##【分析】首先找到－1，0，，3，中無理數(shù)為π，，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：∵從－1，0，，3，中隨機(jī)任取一數(shù)，一共有5種等可能結(jié)果，其中滿足無理數(shù)的占兩種π和，∴取到無理數(shù)的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算公式和無理數(shù)的定義，解決問題的關(guān)鍵是掌握概率的計(jì)算公式．7．（2022·黑龍江綏化·中考真題）一個(gè)不透明的箱子中有5個(gè)紅球和若干個(gè)黃球，除顏色外無其它差別.若任意摸出一個(gè)球，摸出紅球的概率為，則這個(gè)箱子中黃球的個(gè)數(shù)為______個(gè)．【答案】15【分析】設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)概率計(jì)算公式列出方程，解出x即可．【詳解】解：設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，解得：，檢驗(yàn)：將代入，值不為零，∴是方程的解，∴黃球的個(gè)數(shù)為15個(gè)，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查概率計(jì)算公式，根據(jù)題意列出分式方程并檢驗(yàn)是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022·陜西·紫陽縣師訓(xùn)教研中心九年級期末）看了《田忌賽馬》故事后，小青用數(shù)學(xué)模型來分析：齊王與田忌的上、中、下三個(gè)等級的三匹馬記分如下表，每匹馬只賽一場，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場兩勝則贏．已知齊王的三匹馬出場順序?yàn)?，10，6，田忌的三匹馬隨機(jī)出場，則齊王贏得比賽的概率是田忌贏得比賽概率的_________倍．下等馬中等馬上等馬齊王6810田忌579【答案】5【分析】利用列舉法列舉出田忌的匹馬出場順序，求出所求情況占總情況的多少即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，齊王的三匹馬出場順序?yàn)?，10，6；田忌的三匹馬出場順序?yàn)?，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；一共有6中等可能的結(jié)果，其中田忌贏得比賽的有9，5，7一種，齊王贏得比賽的有5種，∴齊王贏得比賽的概率為，田忌贏得比賽的概率為，則齊王贏得比賽的概率是田忌贏得比賽概率的5倍，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查列舉法求概率，解答的關(guān)鍵是列舉法需要做到不重不漏，還要熟知求概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．（山東省青島市實(shí)驗(yàn)初中、三十七中、三十九中2022年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面上分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字，投擲這個(gè)骰子一次，得到的點(diǎn)數(shù)與2，4作為三角形三邊的長，能構(gòu)成等腰三角形的概率是______．【答案】【分析】骰子的六個(gè)面上分別刻有數(shù)字1，2，3，4，5，6，投擲這個(gè)骰子一次有6種結(jié)果，利用構(gòu)成三角形的條件，其中能與2、4構(gòu)成等腰三角形的只有一種情況，根據(jù)概率公式計(jì)算可得．【詳解】解：骰子的六個(gè)面上分別刻有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其中能與2、4構(gòu)成等腰三角形的只有4，∴能構(gòu)成等腰三角形的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用列舉法求概率，解題的關(guān)鍵是熟練掌握概率公式，事件A發(fā)生的概率為且0≤P（A）≤1．10．（2022·廣東·平遠(yuǎn)縣教師發(fā)展中心七年級期末）一只螞蟻?zhàn)杂勺栽诘卦谟闷咔砂迤闯傻恼叫沃信纴砼廊ィ繅K七巧板的表面完全相同），它最終停留在1號七巧板上的概率______．【答案】##0.25【分析】根據(jù)1號七巧板占總的面積比例即可解題．【詳解】∵1號七巧板面積占總面積的∴它最終停留在1號七巧板上的概率是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何面積法求概率，解題的關(guān)鍵是把概率問題轉(zhuǎn)換成面積比．三、解答題11．（2022·陜西安康·九年級期中）一張圓桌旁設(shè)有4個(gè)座位，甲、乙兩人各隨機(jī)選擇一個(gè)座位．(1)若甲先選擇，則甲坐①號座位的概率是______；(2)請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖列出所有等可能的情況，再利用概率公式求解即可．（1）解：∵共有4個(gè)座位，∴甲先選擇坐①號座位的概率為．故答案為：．（2）解：畫樹狀圖如下：∵共有12中等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人相鄰而坐的結(jié)果有：（①，②），（①，④），（②，①），（②，③），（③，②），（③，④），（④，③），（④，①），共8種，∴甲、乙兩人相鄰而坐的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級階段練習(xí)）一個(gè)不透明的袋中裝有黃球、黑球和紅球共個(gè)，它們除顏色外都相同，其中紅球有個(gè)，且經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出一個(gè)球?yàn)辄S球的頻率接近．(1)求袋中有多少個(gè)黑球；(2)現(xiàn)從袋中取出若干個(gè)黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率達(dá)到，問至少取出了多少個(gè)黑球？【答案】(1)袋中有個(gè)黑球(2)至少取出個(gè)黑球【分析】（1）由一個(gè)不透明的袋中裝有黃球、黑球和紅球共個(gè)，經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出一個(gè)球?yàn)辄S球的頻率接近，求出黃球的個(gè)數(shù)，再用總數(shù)減去黃球、黑球的個(gè)數(shù)，即為黑球的個(gè)數(shù)；（2首先設(shè)取出個(gè)黑球，根據(jù)攪拌均勻后使從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率達(dá)到，列出方程，解方程即可求得答案．（1）解：黃球有個(gè)，黑球有個(gè)．答：袋中有個(gè)黑球；（2）解：設(shè)取出個(gè)黑球，根據(jù)題意得，解得．答：至少取出個(gè)黑球．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．13．（2022·陜西·紫陽縣師訓(xùn)教研中心九年級期末）隨著高鐵、地鐵的大量興建以及鐵路的改擴(kuò)建，人們的出行方式越來越多，出行越來越便捷．為保障旅客快捷、安全的出入車站，每個(gè)車站都修建了如圖所示的出入閘口．某車站有四個(gè)出入閘口，分別記為A，B，C，D．(1)一名乘客通過該站閘口時(shí)，選擇B閘口通過的概率是___；(2)當(dāng)兩名乘客通過該站閘口時(shí)，請用畫樹狀圖或列表法求這兩名乘客選擇不同閘口通過的概率．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)概率公式即可求得；(2)首先畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式即可求得．（1）解：共有4出入閘口，選擇B閘口通過的概率是，故答案為：；（2）解：畫樹狀圖得：由樹狀圖可知，有16種等可能的結(jié)果，其中兩名乘客選擇不同閘口通過的有12種結(jié)果，∴兩名乘客選擇不同閘口通過的概率．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式及利用畫樹狀圖法求概率，熟練掌握和運(yùn)用利用畫樹狀圖法或列表法求概率的方法是解決本題的關(guān)鍵．14．（2022·浙江寧波·九年級期末）在一個(gè)不透明的口袋里裝